Как сделать корень степенью

Квадратный, кубический и другие корни в Excel с примерами

Как сделать корень степенью

На клавиатуре нет кнопок с написанием квадратного или другого корня, поэтому в Excel создана специальная функция, вводит и вычисляет квадратный корень. Как ей воспользоваться, а также как извлечь корни разных степеней в Excel? Рассмотрим несколько примеров.

Важно! Функции в Excel вводятся в ячейках русскими буквами без пробелов, перед названием функции ставится знак равно =

За квадратный корень отвечает функция КОРЕНЬ(значение). Чтобы воспользоваться ей, нужно в ячейке написать =КОРЕНЬ и без пробелов внутри скобки написать значение, от которого нужно найти квадратный корень.

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Как извлечь в Excel корень третьей, четвертой и иной степеней?

Для квадратного корня есть своя функция — КОРЕНЬ — а как быть с другими с другими корнями?

Как сделать корень степенью

Этой формулой и нужно пользоваться для вычисления корней разных степеней в Excel. Для возведения степени использовать функцию СТЕПЕНЬ(аргумент) или галочку ^ (на английской раскладке SHIFT + 6). Саму дробную степень писать в скобках.

Как сделать корень степенью.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Как сделать корень степенью

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Как сделать корень степенью

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст

Как сделать корень степенью

Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.

Кстати, такая возможность есть
на всех страницах нашего сайта

Как сделать корень степенью

2007-2021 «Педагогическое сообщество Екатерины Пашковой — PEDSOVET.SU».
12+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-41726 от 20.08.2010 г. Выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Адрес редакции: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Адрес учредителя: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Учредитель, главный редактор: Пашкова Екатерина Ивановна
Контакты: +7-920-0-777-397, info@pedsovet.su
Домен: https://pedsovet.su/
Копирование материалов сайта строго запрещено, регулярно отслеживается и преследуется по закону.

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

Мы используем cookie.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.
Как сделать корень степенью

Источник

Формулы степеней и корней.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n-ной степенью числа a когда:

Как сделать корень степенью

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

Как сделать корень степенью

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

Как сделать корень степенью

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

Как сделать корень степенью

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

Как сделать корень степенью

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

Как сделать корень степенью

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Как сделать корень степенью

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Как сделать корень степенью

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

Как сделать корень степенью

Формулы степеней.

6. a n = Как сделать корень степенью— деление степеней;

7. Как сделать корень степенью— деление степеней;

8. a 1/n = Как сделать корень степенью;

Источник

Корень n-й степени и его свойства

Корень n-й степени и его свойства

Что такое корень n-й степени? Как извлечь корень?

В восьмом классе вы уже успели познакомиться с квадратным корнем. Решали типовые примеры с корнями, применяя те или иные свойства корней. Также решали квадратные уравнения, где без извлечения квадратного корня — никак. Но квадратный корень — это лишь частный случай более широкого понятия — корня n-й степени. Помимо квадратного, бывает, например, кубический корень, корень четвёртой, пятой и более высоких степеней. И для успешной работы с такими корнями неплохо бы всё-таки для начала быть на «ты» с корнями квадратными.) Поэтому у кого проблемы с ними — настоятельно рекомендую повторить.

Извлечение корня — это одна из операций, обратных возведению в степень.) Почему «одна из»? Потому, что, извлекая корень, мы ищем основание по известным степени и показателю. А есть ещё одна обратная операция — нахождение показателя по известным степени и основанию. Такая операция называется нахождением логарифма. Она более сложная, чем извлечение корня и изучается в старших классах.)

Во-первых, обозначение. Квадратный корень, как мы уже знаем, обозначается вот так: Как сделать корень степенью. Называется этот значок очень красиво и научно — радикал. А как обозначают корни других степеней? Очень просто: над «хвостиком» радикала дополнительно пишут показатель той степени, корень которой ищется. Если ищется кубический корень, то пишут тройку: Как сделать корень степенью. Если корень четвёртой степени, то, соответственно, Как сделать корень степенью. И так далее.) В общем виде корень n-й степени обозначается вот так:

Как сделать корень степенью, где Как сделать корень степенью.

Как, например, извлечь кубический корень из 8? То есть Как сделать корень степенью? А какое число в кубе даст нам 8? Двойка, естественно.) Вот и пишут:

Как сделать корень степенью

Или Как сделать корень степенью. Какое число в четвёртой степени даёт 81? Тройка.) Значит,

Как сделать корень степенью

А корень десятой степени из 1? Ну, ежу понятно, что единица в любой степени (в том числе и в десятой) равна единице. ) То есть:

Как сделать корень степеньюи вообще Как сделать корень степенью.

С нулём та же история: ноль в любой натуральной степени равен нулю. Стало быть, Как сделать корень степенью.

Как сделать корень степенью

Ответы (в беспорядке):

Как сделать корень степенью

Потренировались? Тогда считаем примерчики:

Как сделать корень степенью

Ответы (тоже в беспорядке): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Получилось? Великолепно! Движемся дальше.)

Ограничения в корнях. Арифметический корень n-й степени.

В корнях n-й степени, как и в квадратных, тоже есть свои ограничения и свои фишки. По своей сути, они ничем не отличаются от таковых ограничений для квадратных корней.

Например, попробуем посчитать вот такой корень:

Как сделать корень степенью

Зато корни нечётной степени из отрицательных чисел — пожалуйста!

Например, Как сделать корень степенью; Как сделать корень степенью, и так далее.)

А из положительных чисел можно со спокойной душой извлекать любые корни, любых степеней:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

В общем, понятно, думаю. ) И, кстати, корень совершенно не обязан извлекаться ровно. Это просто примеры такие, чисто для понимания.) Бывает, что в процессе решения (например, уравнений) выплывают и довольно скверные корни. Что-нибудь типа Как сделать корень степенью. Из восьмёрки кубический корень извлекается отлично, а тут под корнем семёрка. Что делать? Ничего страшного. Всё точно так же. Как сделать корень степенью– это число, которое при возведении в куб даст нам 7. Только число это очень некрасивое и лохматое. Вот оно:

Как сделать корень степенью

Причём, это число никогда не кончается и не имеет периода: цифры следуют совершенно беспорядочно. Иррациональное оно… В таких случаях ответ так и оставляют в виде корня.) А вот если корень извлекается чисто (к примеру, Как сделать корень степенью), то, естественно, надо корень посчитать и записать:

Как сделать корень степенью

Снова берём наше подопытное число 81 и извлекаем из него корень четвёртой степени:

Как сделать корень степенью

Потому, что три в четвёртой будет 81. Ну, хорошо! Но ведь и минус три в четвёртой тоже будет 81!

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

И, чтобы её устранить, так же, как и в квадратных корнях, ввели специальный термин: арифметический корень n-й степени из числа a – это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a .

А ответ с плюсом-минусом называется по-другому — алгебраический корень n-й степени. У любой чётной степени алгебраическим корнем будет два противоположных числа. В школе же работают только с арифметическими корнями. Поэтому отрицательные числа в арифметических корнях попросту отбрасываются. Например, пишут: Как сделать корень степенью. Сам плюс, конечно же, не пишут: его подразумевают.

Всё, казалось бы, просто, но… А как же быть с корнями нечётной степени из отрицательных чисел? Ведь там-то всегда при извлечении получается отрицательное число! Так как любое отрицательное число в нечётной степени также даёт отрицательное число. А арифметический корень работает только с неотрицательными числами! На то он и арифметический.)

В таких корнях делают вот что: выносят минус из-под корня и ставят перед корнем. Вот так:

Как сделать корень степенью

В таких случаях говорят, что Как сделать корень степеньювыражен через арифметический (т.е. уже неотрицательный) корень Как сделать корень степенью.

Но есть один пунктик, который может вносить путаницу, — это решение простеньких уравнений со степенями. Например, вот такое уравнение:

Как сделать корень степенью

Пишем ответ: Как сделать корень степенью. На самом деле, этот ответ — всего-навсего сокращённая запись двух ответов:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Непонятка здесь заключается в том, что чуть выше я уже написал, что в школе рассматриваются только неотрицательные (т.е. арифметические) корни. А тут один из ответов с минусом… Как быть? Да никак! Знаки здесь — это результат решения уравнения. А сам корень — величина всё равно неотрицательная! Смотрите сами:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Ну как, теперь понятнее? Со скобочками?)

С нечётной степенью всё гораздо проще — там всегда получается один корень. С плюсом или с минусом. Например:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Итак, если мы просто извлекаем корень (чётной степени) из числа, то мы всегда получаем один неотрицательный результат. Потому что это — арифметический корень. А вот, если мы решаем уравнение с чётной степенью, то мы получаем два противоположных корня, поскольку это — решение уравнения.

С корнями нечётных степеней (кубическими, пятой степени и т.д.) проблем никаких. Извлекаем себе и не паримся со знаками. Плюс под корнем — значит, и результат извлечения с плюсом. Минус — значит, минус.)

А теперь настал черёд познакомиться со свойствами корней. Некоторые уже будут нам знакомы по квадратным корням, но добавится и несколько новых. Поехали!

Свойства корней. Корень из произведения.

Это свойство уже знакомо нам из квадратных корней. Для корней других степеней всё аналогично:

Как сделать корень степенью

То есть, корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя отдельно.

Если показатель n чётный, то оба подкоренных числа a и b должны быть, естественно, неотрицательными, иначе формула смысла не имеет. В случае нечётного показателя ограничений никаких нет: выносим минусы из-под корней вперёд и дальше работаем с арифметическими корнями.)

Как и в квадратных корнях, здесь эта формула одинаково полезна как слева направо, так и справа налево. Применение формулы слева направо позволяет извлекать корни из произведения. Например:

Как сделать корень степенью

Эта формула, кстати говоря, справедлива не только для двух, а для любого числа множителей. Например:

Как сделать корень степенью

Также по этой формуле можно извлекать корни из больших чисел: для этого число под корнем раскладывается на множители поменьше, а дальше извлекаются корни отдельно из каждого множителя.

Например, такое задание:

Как сделать корень степенью

Число достаточно большое. Извлекается ли из него корень ровно — тоже без калькулятора непонятно. Хорошо бы его разложить на множители. На что точно делится число 3375? На 5, похоже: последняя цифра — пятёрка.) Делим:

Как сделать корень степенью

Ой, снова на 5 делится! 675:5 = 135. И 135 опять на пятёрку делится. Да когда ж это кончится!)

135:5 = 27. С числом 27 всё уже ясно — это тройка в кубе. Значит, Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Извлекли корень по кусочкам, ну и ладно.)

Как сделать корень степенью

Снова раскладываем на множители по признакам делимости. Каким? На 4, т.к. последняя парочка цифр 40 — делится на 4. И на 10, т.к. последняя цифра — ноль. Значит, можно поделить одним махом сразу на 40:

Как сделать корень степенью

Про число 216 мы уже знаем, что это шестёрка в кубе. Стало быть,

Как сделать корень степенью

А 40, в свою очередь, можно разложить как Как сделать корень степенью. Тогда

Как сделать корень степенью

И тогда окончательно получим:

Как сделать корень степенью

Как вынести множитель за знак корня?

Вынести множитель (или множители) за знак корня очень просто. Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем то, что извлекается.) А что не извлекается — так и оставляем под корнем. Смотрите:

Как сделать корень степенью

Раскладываем число 9072 на множители. Так как у нас корень четвёртой степени, в первую очередь пробуем разложить на множители, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел — 16, 81 и т.д.

Попробуем поделить 9072 на 16:

Как сделать корень степеньюПоделилось!

А вот 567, похоже, делится на 81:

Как сделать корень степенью

Значит, Как сделать корень степенью.

Тогда Как сделать корень степенью

Свойства корней. Умножение корней.

Рассмотрим теперь обратное применение формулы — справа налево:

Как сделать корень степенью

На первый взгляд, ничего нового, но внешность обманчива. ) Обратное применение формулы значительно расширяет наши возможности. Например:

Как сделать корень степенью

Хм, ну и что тут такого? Умножили и всё. Здесь и впрямь ничего особенного. Обычное умножение корней. А вот такой пример!

Как сделать корень степенью

Отдельно из множителей корни чисто не извлекаются. Зато из результата — отлично. )

Опять же формула справедлива для любого числа множителей. Например, надо посчитать вот такое выражение:

Как сделать корень степенью

Здесь главное — внимание. В примере присутствуют разные корни — кубические и четвёртой степени. И ни один из них точно не извлекается…

А формула произведения корней применима только к корням с одинаковыми показателями. Поэтому сгруппируем в отдельную кучку кубические корни и в отдельную — четвёртой степени. А там, глядишь, всё и срастётся.))

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

И калькулятора не понадобилось.)

Как внести множитель под знак корня?

Следующая полезная вещь — внесение числа под корень. Например:

Как сделать корень степенью

Можно ли убрать тройку внутрь корня? Элементарно! Если тройку превратить в корень, то сработает формула произведения корней. Итак, превращаем тройку в корень. Раз у нас корень четвёртой степени, то и превращать будем тоже в корень четвёртой степени.) Вот так:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа. Причём той степени, какой хотим (всё от конкретного примера зависит). Это будет корень из n-й степени этого самого числа:

Как сделать корень степенью

А теперь — внимание! Источник очень грубых ошибок! Я не зря здесь сказал про неотрицательные числа. Арифметический корень работает только с такими. Если у нас в задании где-то затесалось отрицательное число, то либо минус так и оставляем, перед корнем (если он снаружи), либо избавляемся от минуса под корнем, если он внутри. Напоминаю, если под корнем чётной степени получается отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Например, такое задание. Внести множитель под знак корня:

Как сделать корень степенью

Если мы сейчас внесём под корень минус два, то жестоко ошибёмся:

Как сделать корень степенью

В чём здесь ошибка? А в том, что четвёртая степень, в силу своей чётности, благополучно «съела» этот минус, в результате чего заведомо отрицательное число Как сделать корень степеньюпревратилось в положительное Как сделать корень степенью. А верное решение выглядит так:

Как сделать корень степенью

В корнях нечётных степеней минус хоть и не «съедается», но его тоже лучше оставлять снаружи:

Как сделать корень степенью

Здесь корень нечётной степени — кубический, и мы имеем полное право минус тоже загнать под корень. Но предпочтительнее в таких примерах минус также оставлять снаружи и писать ответ выраженным через арифметический (неотрицательный) корень Как сделать корень степенью, поскольку корень Как сделать корень степеньюхоть и имеет право на жизнь, но арифметическим не является.

Итак, с внесением числа под корень тоже всё ясно, я надеюсь.) Переходим к следующему свойству.

Свойства корней. Корень из дроби. Деление корней.

Это свойство также полностью повторяет таковое для квадратных корней. Только теперь мы его распространяем на корни любой степени:

Как сделать корень степенью

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Если n чётно, то число a должно быть неотрицательным, а число b – строго положительным (на ноль делить нельзя). В случае нечётного показателя единственным ограничением будет Как сделать корень степенью.

Это свойство позволяет легко и быстро извлекать корни из дробей:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Идея понятна, думаю. Вместо работы с дробью целиком мы переходим к работе отдельно с числителем и отдельно со знаменателем.) Если дробь десятичная или, о ужас, смешанное число, то предварительно переходим к обыкновенным дробям:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

А теперь посмотрим, как эта формула работает справа налево. Здесь тоже выявляются очень полезные возможности. Например, такой примерчик:

Как сделать корень степенью

Из числителя и знаменателя корни ровно не извлекаются, зато из всей дроби — прекрасно.) Можно решить этот пример и по-другому — вынести в числителе множитель из-под корня с последующим сокращением:

Как сделать корень степенью

Как вам будет угодно. Ответ всегда получится один — правильный. Если ошибок не наляпать по дороге.)

Итак, с умножением/делением корней разобрались. Поднимаемся на следующую ступеньку и рассматриваем третье свойство — корень в степени и корень из степени.

Корень в степени. Корень из степени.

Как возвести корень в степень? Например, пусть у нас есть число Как сделать корень степенью. Можно это число возвести в степень? В куб, например? Конечно! Помножить корень сам на себя три раза, и — по формуле произведения корней:

Как сделать корень степенью

Здесь корень и степень как бы взаимоуничтожились или скомпенсировались. Действительно, если мы число, которое при возведении в куб даст нам тройку, возведём в этот самый куб, то что получим? Тройку и получим, разумеется! И так будет для любого неотрицательного числа. В общем виде:

Как сделать корень степенью

Если показатели степени и корня разные, то тоже никаких проблем. Если знать свойства степеней.)

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Если показатель степени меньше показателя корня, то просто загоняем степень под корень:

Как сделать корень степенью

В общем виде будет:

Как сделать корень степенью

Идея понятна: возводим в степень подкоренное выражение, а дальше упрощаем, вынося множители из-под корня, если это возможно. Если n чётно, то a должно быть неотрицательным. Почему — понятно, думаю.) А если n нечётно, то никаких ограничений на a уже нету:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Разберёмся теперь с корнем из степени. То есть, в степень будет возводиться уже не сам корень, а подкоренное выражение. Здесь тоже ничего сложного, но простора для ошибок значительно больше. Почему? Потому, что в игру вступают отрицательные числа, которые могут вносить путаницу в знаках. Пока начнём с корней нечётных степеней — они гораздо проще.

Пусть у нас есть число 2. Можно его возвести в куб? Конечно! Как сделать корень степенью

А теперь — обратно извлечём из восьмёрки кубический корень:

Как сделать корень степенью

С двойки начали, к двойке же и вернулись.) Ничего удивительного: возведение в куб скомпенсировалось обратной операцией — извлечением кубического корня.

Как сделать корень степенью

Здесь тоже всё путём. Степень и корень друг друга скомпенсировали. В общем виде для корней нечётных степеней можно записать такую формулку:

Как сделать корень степенью

То есть, нечётная степень и корень этой же степени всегда друг друга компенсируют и получается подкоренное выражение. 🙂

А вот с чётной степенью этот фокус может уже не пройти. Смотрите сами:

Как сделать корень степенью

Здесь пока ничего особенного. Четвёртая степень и корень четвёртой же степени тоже друг друга уравновесили и получилась просто двойка, т.е. подкоренное выражение. И для любого неотрицательного числа будет то же самое. А теперь всего лишь заменим в этом корне два на минус два. То есть, посчитаем вот такой корень:

Как сделать корень степенью

Минус у двойки благополучно «сгорел» из-за четвёртой степени. И в результате извлечения корня (арифметического!) мы получили положительное число. Было минус два, стало плюс два.) А вот если бы мы просто бездумно «сократили» степень и корень (одинаковые же!), то получили бы

Как сделать корень степенью

Что является грубейшей ошибкой, да.

Поэтому для чётного показателя формула корня из степени выглядит вот так:

Как сделать корень степенью

Здесь добавился нелюбимый многими знак модуля, но в нём страшного ничего нет: благодаря ему, формула также работает для любого действительного числа a. И модуль просто отсекает минусы:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

И так далее.) Эта формула — аналог формулы корня квадратного из квадрата:

Как сделать корень степенью

Только в корнях n-й степени появилось дополнительное разграничение на чётные и нечётные степени. Чётные степени, как мы видим, более капризные, да.)

А теперь рассмотрим новое полезное и весьма интересное свойство, уже характерное именно для корней n-й степени: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Как сделать корень степенью

Чем-то напоминает основное свойство дроби, не правда ли? В дробях мы тоже числитель и знаменатель можем умножать (делить) на одно и то же число (кроме нуля). На самом деле, это свойство корней — тоже следствие основного свойства дроби. Когда мы познакомимся со степенью с рациональным показателем, то всё станет ясно. Что, как и откуда. )

Прямое применение этой формулы позволяет нам упрощать уже совершенно любые корни из любых степеней. В том числе, если показатели степени подкоренного выражения и самого корня разные. Например, надо упростить вот такое выражение:

Как сделать корень степенью

Поступаем просто. Выделяем для начала под корнем четвёртую степень из десятой и — вперёд! Как? По свойствам степеней, разумеется! Выносим множитель из-под корня или работаем по формуле корня из степени.

Как сделать корень степенью

А вот Как сделать корень степеньюупростим, используя как раз это свойство. Для этого четвёрку под корнем представим как Как сделать корень степенью:

Как сделать корень степенью

И теперь — самое интересное — сокращаем мысленно показатель под корнем (двойку) с показателем корня (четвёркой)! И получаем:

Как сделать корень степенью

Вся цепочка преобразований выглядит так:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Это было прямое применение формулы. А вот обратное применение ещё сильнее повышает наш математический уровень. Сомневаетесь? Напрасно! Дело в том, что обратное применение этой формулы справа налево Как сделать корень степеньюпозволяет нам сравнивать различные корни. Очень мощная штука!

Как сравнивать корни?

Допустим, надо (без калькулятора!) сравнить два числа:

Как сделать корень степеньюи Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Берём Как сделать корень степенью. Как корень из квадратного превратить в корень шестой степени, но так, чтобы суть выражения не изменилась? Чтобы получить шестёрку в показателе корня, надо исходный показатель корня 2 домножить на 3. Это нам надо. Но тогда и пятёрку под корнем придётся дополнительно возвести в степень 3 (т.е. в куб): это уже математике надо. Значит,

Как сделать корень степенью.

С числом Как сделать корень степеньювсё аналогично. Только десятку под корнем будем дополнительно возводить в квадрат:

Как сделать корень степенью

Теперь дело за малым — сравнить два числа Как сделать корень степеньюи Как сделать корень степенью.

Ясно, что Как сделать корень степенью, а значит, и Как сделать корень степеньюи, стало быть, Как сделать корень степенью

Если перед корнями тусуются какие-то множители, то убираем их внутрь корней и — по накатанной колее. Например, такое задание:

Сравнить Как сделать корень степеньюи Как сделать корень степенью.

Первым делом вносим множители под корни:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

А теперь — приводим оба корня к одному показателю. К четвёрке.)

Ну, число Как сделать корень степеньюуже и так приведено и уже готово для сравнения. А вот Как сделать корень степеньюпреобразуем:

Как сделать корень степенью.

Вот теперь всё и прояснилось: Как сделать корень степенью, поэтому Как сделать корень степенью.

А это значит, что Как сделать корень степенью

Этот принцип сравнения одинаковых корней по подкоренным выражениям, строго говоря, основывается на монотонном возрастании функции Как сделать корень степенью. То есть, большему числу соответствует и больший корень. И наоборот.) В разделе по функциям и графикам мы этому факту уделим отдельное внимание, а здесь мы просто им пользуемся. Себе во благо. 🙂

Что ж, осталось последнее усилие. Собираем волю в кулак и знакомимся с последним (и тоже новым для нас) свойством корней — корень под корнем.

Как извлечь корень из корня?

Это свойство на самом деле очень простое и по своей сути очень похоже на возведение степени в степень. Так как является обратным к этой операции.) Вот как оно выглядит:

Как сделать корень степенью

Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.

Это свойство позволяет несколько вложенных корней заменить одним корнем. Например:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Причём вложений может быть сколько угодно — формула всё равно сработает:

Как сделать корень степенью

Как видим, никаких хитростей. Просто перемножаем показатели и считаем (если считается).

Вот, собственно, всё что я пока хотел рассказать.)) Следующим этапом нашей работы с корнями будет преобразование иррациональных выражений. Но это — в следующий раз.

А теперь, как всегда, делаем задания.

Задание 1

Как сделать корень степенью

Задание 2

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Задание 3

Найти значение выражения:

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Задание 4

Вынести множитель из-под знака корня:

Как сделать корень степенью

Внести множитель под знака корня:

Как сделать корень степенью

Задание 5

Как сделать корень степенью

Задание 6

Как сделать корень степенью

Как сделать корень степенью

Всё решилось? Одной левой? Великолепно! Корни — не ваш камень преткновения.) Не всё получилось? Не беда! Не ошибается тот, кто ничего не делает.)

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *