Как сделать логарифмическую функцию

Как сделать логарифмическую функцию

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции y = log₂x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log₂x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	3	2	1	0	-1	-2	-3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

Решение

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

Решим это линейное неравенство:

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Источник

Определение логарифма, его свойства и график

Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

Если число b в степени y равняется x:

Значит логарифм числа x по основанию b равен y:

Например:

Логарифм как обратная функция к показательной

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.

Число e – это константа, которая может определяться как предел:

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[<"row":9,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":10,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":11,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":12,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":15,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Свойство	Формула	Пример
Основное логарифмическое тождество
Логарифм произведения
Логарифм деления/частного
Логарифм степени
Логарифм числа по основанию в степени	» data-order=»«>	» data-order=»«>
Логарифм корня	» data-order=»«>	» data-order=»«>
Перестановка основания логарифма
Переход к новому основанию
Производная логарифма
Интеграл логарифма
Логарифм отрицательного числа
Логарифм числа, равного основанию
Логарифм бесконечности

Логарифмическая функция

Функция, которая определена формулой f(x)=log_a(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:

Источник

Урок-лекция по теме: «Логарифмическая функция»

Разделы: Математика

Логарифмом положительного числа в по основанию а ( а > 0, а не равно1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в, т.е.

log_а в = х или а х = в.

log 2 8 =3 т.к. 2 3 =8 log4 2= т.к. =2

Необходимо запомнить следующие соотношения:

4) если а > 1, то log _a в > 0 и log _а в 1 и log _а в > 0 при 0 1=0, т.к. 5 0 =1;

4) а>1, а=2, в > 1, в=16, то Log₂ 16 =4,

0 1, в=27, то Log 27=-3

По определению логарифма справедливо равенство

,

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь М, N и k – положительные числа):

,

,

,

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает и сокращает сложные вычисления.

При выполнении преобразований логарифмических выражений часто используют свойства степеней:

, т.к , т.к

, т.к , т.к

Например:

Например:

Если основанием логарифма является число е=2,71828…, то логарифм называется натуральным и обозначается ln x = log _e x.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

Функция , ее свойства

Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида

,

Рассмотрим одновременно две функции: показательную

В связи с тем, что точки координатной плоскости хОу с координатами (b;с) и (с;b) симметричны относительно прямой у=х (рис. 1).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

График функции у = log_a х симметричен графику функции у = а x относительно прямой у = х.

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а x и у = log_aх в случае, когда a>1; на рис.3 схематически изображены графики функций у = а x и у = log_aх в случае, когда 0 r = r. Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.

log₂2 = log₂2 1 = 1,log₂4 = log₂2 2 = 2,

Сведем полученные результаты в таблицу:

У = Iog₂ х-2-10123

Построив на координатной плоскости точки (;-2), (;-1), (1;0), (2;1), (4;2), (8;3), проводим через них логарифмическую кривую (рис. 4).

Свойства функции у = log_ax, a > 1.

Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 2.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7) Е(f) = (-; +);

Замечание. Сравните график функции у = log_ax, изображенный на рис.2, и график функции у = х r (0 а)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х r “набирает обороты” быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у=х r ( при 0 = 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при а>1 и r>0 выполняется равенство

.

Свойства функции у = log_ax, 0 1, ив случае, когда 0

Краткое содержание темы

Примеры выполнения заданий на нахождение области определения логарифмических функций и построение графиков.

Пример 1. Построить графики функций.

А) б) в)

Решение. В этом примере нужно выполнить различные преобразования графика функции (см рис 5)

а) перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-2;-3) (пунктирные прямые х=-2 и у=-3 на рис 6) 2Привяжем” график функции к новой системе координат – это и будет требуемый график (рис 6)

б) Напомним, что график функции симметричен графику функции относительно оси у. Учтя это, строим график функции , а затем, подвергнув его преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции рис 7.

Пример 2.Найдем область определения функции .

Область определения логарифмической функции — множество R₊. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых , т.е. при . Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (-;0,8).

Пример 3. Найдем область определения функции .

Пример 4. Найдем область определения функции.

Решая методом интервалов неравенство

находим (рис 145), что

Задания для самостоятельной работы студентов

Найдите значение логарифмической функции у=log₂x в указанных точках:

а) х1=4, х2=8, х3=16;	в) х1=32, х2=128, х3=2;
б) х1=, х2=, х3=;	г) х1=, х2=, х3=

В одной системе координат изобразите графики функций:

Источник