Как сделать сопряженную матрицу

Сопряженный и обратный матрицы

По заданной квадратной матрице найдите сопряженную и обратную матрицу.

Мы настоятельно рекомендуем вам сослаться ниже в качестве предварительного условия этого.
Определитель матрицы

Что такое Адъюнкт?
Сопряженная (или адъюгатная) матрица — это матрица, полученная путем транспонирования кофакторной матрицы данной квадратной матрицы, называемой ее сопряженной или адъюгатной матрицей. Адъюнкт любой квадратной матрицы (скажем) представлен как Adj (A).

Важные свойства:

Как найти Adjoint?
Мы следуем определению, данному выше.

Как найти обратный?
Обратная матрица существует только в том случае, если она неособа, т. Е. Определитель не должен быть равен 0.
Используя определитель и сопряженный, мы можем легко найти обратную квадратную матрицу, используя формулу ниже,

Обратное используется для поиска решения системы линейных уравнений.

Ниже приведена реализация для нахождения сопряженной и обратной матрицы.

// C ++ программа для поиска сопряженной и обратной матрицы
#include

using namespace std;

// Функция для получения кофактора A [p] [q] в temp [] []. n является текущим
// размерность A [] []

void getCofactor( int A[N][N], int temp[N][N], int p, int q, int n)

// Цикл для каждого элемента матрицы

for ( int row = 0; row

for ( int col = 0; col

// Копирование во временную матрицу только тех элементов

// которые не находятся в данной строке и столбце

// Строка заполнена, поэтому увеличиваем индекс строки и

// сбросить индекс col

/ * Рекурсивная функция для нахождения определителя матрицы.

int determinant( int A[N][N], int n)

int D = 0; // Инициализировать результат

// Базовый случай: если матрица содержит один элемент

int temp[N][N]; // Для хранения кофакторов

int sign = 1; // Сохранить множитель знака

// Итерация для каждого элемента первой строки

// Получение кофактора A [0] [f]

getCofactor(A, temp, 0, f, n);

// условия должны быть добавлены с альтернативным знаком

// Функция для присоединения A [N] [N] в adj [N] [N].

void adjoint( int A[N][N], int adj[N][N])

// temp используется для хранения кофакторов A [] []

int sign = 1, temp[N][N];

// Получить кофактор A [i] [j]

getCofactor(A, temp, i, j, N);

// знак adj [j] [i] положительный, если сумма строки

// и индексы столбцов четные.

// Меняем строки и столбцы, чтобы получить

// транспонировать матрицу кофактора

adj[j][i] = (sign)*(determinant(temp, N-1));

// Функция для вычисления и сохранения обратного, возвращает false, если
// матрица единственного числа

bool inverse( int A[N][N], float inverse[N][N])

// Найти определитель A [] []

int det = determinant(A, N);

cout «Singular matrix, can’t find its inverse» ;

// Находим обратное, используя формулу «обратный (A) = adj (A) / det (A)»

inverse[i][j] = adj[i][j]/ float (det);

// Универсальная функция для отображения матрицы. Мы используем его для отображения
// как смежные, так и обратные. примыкает целочисленная матрица и обратная
// это число с плавающей точкой

Источник

Учебное пособие Допущено Федеральным агентством по образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2006

Главная > Документ

П1. Некоторые сведения из теории матриц

Матрицы необходимы при использовании модели динамики системы в виде переменных состояния, для исследования многомерных систем. Матрица представляет таблицу из m строк и n столбцов:

.

П1.1. Основные типы матриц

.

2. Матрица-строка (1×n) :

.

.

.

П1.2. Специальные типы матриц

или a ij = a ji (i,j=1,2,…,n).

Элементы, находящиеся на главной диагонали кососимметрической матрицы, равны нулю, т.е. a ij =0 ( i =1,…, n ).

П1.3. Операции над матрицами

П1.3.1. Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковой размерности. При сложении матриц одноименные элементы слагаемых матриц складываются.

Пример П1.3.1.1. Вычислить сумму указанных матриц.

.

Свойства сложения матриц. Сложение матриц коммутативно и ассоциативно.

Вычитание матриц осуществляется аналогично сложению, но с учетом знака «минус».

Пример П1.3.1.2. Вычислить разность указанных матриц.

.

П1.3.2. Умножение матриц

.

Пример П1.3.2.1. Вычислить произведения указанных матриц:

;

.

Умножение на скаляр.

При умножении на скалярную величину каждый элемент матрицы умножается на него.

Умножение на диагональную матрицу.

Умножение транспонированных матриц (транспонирование произведения матриц).

Умножение на единичную матрицу.

Умножение как слева, так и справа на единичную матрицу не изменяет исходную матрицу, т.е.

.

П1.3.3. Дифференцирование матриц

.

Производная от суммы двух матриц равна сумме производных от этих матриц:

.

Производная от произведения матриц:

.

При этом должен сохраняться первоначальный порядок следования сомножителей произведения.

.

П1.3.4. Интегрирование матриц

Интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интегралов от элементов исходной матрицы. Следовательно,

.

.

Пример П1.3.4. Найти .

.

П1.4. Определители

Определители существуют для квадратных матриц.

В общем случае используется разложение Лапласа определителя n порядка по элементам строки (столбца) на сумму n определителей (n-1) порядка.

П1.4.1. Свойства определителей

Определитель равен единице, если матрица А – единичная.

Определитель равен нулю, либо если все элементы матрицы равны нулю, либо все элементы строки (или столбца) равны нулю, или равны между собой или пропорциональны элементы произвольных двух строк (или двух столбцов).

Величина определителя остается неизменной по модулю при перестановке местами его строк (или столбцов).

Знак определителя изменяется на противоположный при замени местами его двух строк (или столбцов).

Значение определителя не изменяется, если к какой-либо его строке (или столбцу) прибавить умноженные на k соответствующие элементы другой строки (или столбца).

П1.5. Миноры и алгебраические дополнения

Разложение определителя по Лапласу можно представить:

П1.6. Присоединенная матрица

Присоединенная матрица образуется из алгебраических дополнений исходной матрицы А с последующим ее транспонированием:

.

П1.7. Обратная матрица

Обратная матрица находится как частное от деления присоединенной матрицы Adj ( A ) на определитель |A|:

.

П1.8. Произведение определителей

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

.

П1.9. Производная от определителя

Производная от определителя по одному из элементов равна алгебраическому дополнению этого элемента:

П1.10. Произведение обратных матриц

Матрица, обратная произведению матриц, равна произведению матриц, обратных матрицам-сомножителям, взятому в обратном порядке. Рассмотрим произведение двух матриц:

П1.11. Производная от обратной матрицы

.

Это выражение можно получить, рассматривая

и далее, раскрывая, получим:

,

П1.12. Некоторые специальные обратные матрицы

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Возврат к основному тексту

П2. Некоторые сведения из теории графов

П2.1. Спортивные состязания

Это можно изобразить при помощи такой геометрической схемы. Каждую команду представим точкой или маленьким кружочком и соединим отрезком те пары точек, которые соответствуют командам, уже игравшим друг с другом. Тогда для данного списка проведенных игр получим схему, изображенную на рис. П2.1.

Из рис. П2.1 видно, что точки пересечения некоторых ребер графа могут не являться его вершинами; это происходит потому, что наш граф изображен на плоскости.

Возможно, удобнее было бы представлять себе его ребра нитями, проходящими друг над другом в пространстве; во всяком случае, при изображении на плоскости вершины графа во избежание путаницы должны отмечаться достаточно отчетливо (например, кружочками).

1. Начертите граф игр, сыгранных к середине сезона вашими футбольными или волейбольными командами.

2. Дайте полный список проведенных игр, соответствующий графу рис. П2.2.

3. Сколько ребер и сколько вершин имеют графы рис. 1 и 2?

П2.2. Нуль-граф и полный граф

Можно также отдельно начертить граф, соответствующий пока еще не сыгранным, будущим играм. Для графа G при этом получится граф, изображенный на рис. П2.6.

1. Начертите дополнение графа, изображенного на рис. П2.2.

П2.3. Изоморфные графы

Заметим, что граф G (рис. П2.1) можно изображать по-разному.

Во-первых, совсем не обязательно изображать его ребра прямолинейными. Можно провести любые линии, соединяющие те же самые вершины, что и раньше, так что граф G можно представить в виде, изображенном на рис. П2.7.

Во-вторых, можно произвольно располагать вершины на плоскости. Например, вершины графа G можно расположить так, как показано на рис. П2.8.

Согласно этому определению, три графа на рис. П2.1, П2.7 и П2.8 изоморфны (т. е. имеют одно и то же строение), хотя они и выглядят по-разному. (Термин «изоморфный» часто используется в математике; он состоит из греческих слов ιζωσ ( isos )— равный, одинаковый и μορφε ( morph ē ) — вид, форма).

Нередко приходится решать вопрос о том, являются ли два данных графа изоморфными. Иногда сразу ясно, что это не так. Например, графы, изображенные на рис. П2.9, не могут быть изоморфными, потому что они имеют неодинаковое число вершин.

Не могут быть изоморфными и графы рис. П2.10, так как у них неодинаковое число ребер.

Однако для того, чтобы показать, что не изоморфны графы, изображенные на рис. П2.11, требуется уже несколько более тонкое рассуждение.

Так, можно заметить, что на первом графе имеется последовательность из восьми смежных ребер (т. е. ребер, попарно имеющих общую вершину):

возвращающаяся к исходной вершине, в то время как на втором графе такой последовательности нет. Значит, как бы ни были обозначены вершины второго графа, невозможно для каждой пары соединенных ребром вершин одного графа указать во втором соответствующую пару вершин, тоже соединенных ребром. (Докажите это!)

Если сразу не видно, как доказать, что два графа не изоморфны, то вопрос об их изоморфности может оказаться довольно трудным.

В качестве примера рассмотрим два графа, изображенных на рис. П2.12; эти графы на самом деле изоморфны.

1. Покажите, что графы, изображенные на рис. П2.1, П2.2, П2.6, не изоморфны между собой.

2. Укажите еще одну причину, в силу которой два графа рис. П2.11 не могут быть изоморфными.

3. Обозначьте вершины двух графов рис. П2.12 так, чтобы изоморфность этих графов стала очевидной.

П2.4. Плоские графы

Впрочем, современная техника изменила многие наши представления, и, чтобы не отстать от современных требований, необходимо признать, что и карта дорог в настоящее время уже не всегда представляется плоским графом. К сети дорог теперь часто добавляются линии, проходящие на разных уровнях (дорожные развязки), так что в месте пересечения двух дорог пассажир не может перейти с одной линии на другую (рис. П2.14).

Иными словами, ребра графа такой карты пересекаются в точках, которые нельзя считать вершинами графа.

Планарным называется граф, изоморфный плоскому графу. Иначе говоря, граф планарный, если существует возможность получения плоской укладки такого графа.

1. Нарисуйте плоский граф, отвечающий сети дорог некоторой окрестности того места, где вы живете.

2. Сделайте то же самое, используя план вашего или другого города.

П2.5. Одна задача о плоских графах

Рассмотрим теперь два примера применения графов для решения задач. В обоих случаях дело сводится к тому, чтобы выяснить, можно ли некоторый граф изобразить на плоскости так, чтобы его ребра не имели лишних точек пересечения. В качестве первого примера рассмотрим одну очень старую головоломку («Задача о трех домах и трех колодцах»).

Теорема Жордана о кривых. Пусть К — непрерывная замкнутая линия на плоскости (она может быть многоугольником, окружностью, эллипсом или какой-либо кривой гораздо более сложного вида).

Вы чувствуете, вероятно, что утверждение теоремы Жордана совершенно очевидно; интуитивные геометрические представления убеждают вас в ее справедливости. Однако доказать эту теорему совсем не просто; основная трудность заключается в точном определении понятия «кривой». Мы опустим здесь это определение, так же как и доказательство теоремы Жордана. Вы можете принять эту теорему за очевидный факт.

Пусть, наконец, на линии К имеется шесть точек, расположенных в порядке

(рис. П2.18). Тогда три соединяющие их кривые

Это рассуждение непосредственно применимо к нашей задаче о трех враждующих соседях и их колодцах. Предположим, что граф рис. П2.15 плоский. Начертив непересекающиеся ребра

этого графа, мы получим на плоскости замкнутую кривую. Но тогда, как мы только что объяснили, ребра

уже нельзя будет провести так, чтобы они не пересекались. Этот пример, иллюстрирующий понятие графа, вряд ли покажется вам особенно важным. Однако никогда не следует пренебрегать подобными головоломками. Нередко они оказывались теми зернами, из которых впоследствии вырастают большие математические теории. Можно напомнить также, что обилие символов и формул не всегда служит признаком глубины математической идеи.

Укажем еще одно приложение плоских графов к важной задаче практики. В дополнение к перечисленным выше представлениям графа укажем еще, что его можно рассматривать как схему электрической сети, где ребрами служат провода, соединяющие различные пункты. Один из наиболее эффективных способов массового производства стандартных электрических схем для радио- и телевизионных приемников состоит в том, что схема наносится печатным способом в виде металлической фольги на бумажную или пластмассовую основу. Однако для того, чтобы это было осуществимо, граф рассматриваемой сети проводов должен иметь плоское представление; ведь пересечение двух ребер привело бы к короткому замыканию в системе.

Каждый из четырех соседей соединил свой дом с тремя другими домами при помощи непересекающихся дорожек. Пятый человек построил свой дом поблизости.

1. Докажите, что соединить его дом непересекающимися дорожками со всеми остальными домами невозможно.

2. Покажите, что с тремя домами соединить его дом можно.

П2.6. Число ребер графа

Когда мы ввели понятие графа как своего рода списка уже проведенных игр, мы предполагали, что каждые две команды играют друг с другом, самое большее, по одному разу. Может, однако, случиться, что каждые две команды играют между собой и по нескольку игр, как это бывает, например, в футболе. Мы можем отразить это на графе, соединяя соответствующие пары вершин несколькими ребрами (рис. П2.19). В этом случае говорят, что граф имеет кратные ребра.

В каждой неизолированной вершине А некоторого графа G имеется одно или несколько ребер, для которых А служит концом; все эти ребра называются

Довольно часто приходится находить число ребер графа. Их можно, конечно, пересчитать непосредственно, но проще сосчитать число ребер в каждой вершине отдельно и сложить все эти числа. При этом каждое ребро будет сосчитано дважды — соответственно двум вершинам, которые оно соединяет, поэтому общее число ребер графа будет равно половине этой суммы. Так, например, число ребер графа рис. П2.1 равно

½[ р (А)+ р (В)+р (С)+ р (В)+ р(Е)+ р (Р) ] = 9,

что можно проверить и непосредственно.

Чтобы сформулировать соответствующий результат в общем виде, предположим, что некоторый граф G имеет n вершин

степени которых соответственно равны

N =1/2[ р(А 1 )+р(А 2 )+ … +р(А n ) ]. (1)

Из этой формулы видно, что для любого графа сумма степеней всех его вершин

(2)

является числом четным, поскольку она равна удвоенному числу ребер.

Эта сумма четна, так как число ее нечетных слагаемых равно четырем. Вообще, для того чтобы узнать, будет ли сумма целых чисел четной или нечетной, мы можем не рассматривать четные слагаемые; сумма будет четной или нечетной в зависимости от четности или нечетности числа ее нечетных слагаемых. А так как сумма (2) всегда является четной, мы приходим к следующему результату.

Теорема 1. Число нечетных вершин любого графа четно.

Это утверждение справедливо и в случае, когда граф вовсе не содержит нечетных вершин, так как 0 является числом четным.

Бывают графы, у которых степени всех вершин одинаковы:

Такой граф называется однородным графом степени r ; в силу формулы (1) число его ребер равно

где n — число вершин этого графа. Граф, изображенный на рис. П2.21 является однородным, его степень равна трем; граф, изображенный на рис. П2.22 также однородный, и его степень равна четырем.

1. Проверьте формулу (1) для графов рис. П2.2 и П2.6.

2. Проверьте, что на каждом из этих графов число нечетных вершин четно.

П2.7. Формула Эйлера.

Формула Эйлера связывает число вершин и ребер плоского графа с числом его граней. Гранью называется область плоскости, ограниченная ребрами плоского графа, не содержащая внутри себя ни ребер, ни вершин. Итак, формула Эйлера:

где n – число вершин, m – число ребер графа, f – число граней графа.

Исходя из этой формулы, был сформулирован ряд следствий:

Следствие 1. В любом простом планарном графе существует вершина, степень которой не больше пяти.

Следствие 2. Каждый планарный граф G с n ≥4 вершинами имеет, по крайней мере, четыре вершины со степенями, не превышающими 5.

Приведенные следствия определяют зависимость планарности графа от числа его вершин и ребер и задают границы интервала по числу ребер, при попадании в который необходимо проводить дополнительные исследования, чтобы получить достоверный ответ на вопрос, планарный ли исследуемый граф.

1. Модели и их свойства ……………………………………………………. 5

Основные понятия и определения ……………………………………..5

Вопросы для самостоятельной проработки к разделу 1.1…………………. 6

Целенаправленность моделей ………………………………………..…7

Вопросы для самостоятельной проработки к разделу 1.2…………………..8

Источник