Как упростить выражение
Как упростить выражение
Упрощение выражений
Одно из самых распространенных заданий в алгебре звучит так: «Упростите выражение». Сделать это можно используя один из ниже перечисленных приемов, но чаще всего тебе потребуется их комбинация.
Приведение подобных слагаемых.
Для примера упростим такое выражение:
Подобные слагаемые я выделю разными цветами и посчитаю. Кстати, знак перед слагаемым относится к этому слагаемому.
Как видишь, больше одинаковых буквенных частей нет. Выражение упрощено.
Умножение одночленов и многочленов.
При умножении одночленов используют правила умножения степеней.
Перемножим три одночлена:
Разными цветами выделю то, что буду последовательно перемножать.
Чтобы умножить одночлен на многочлен выражение за скобками умножить на каждое слагаемое в скобках. Подробности в следующем примере.
Осталось вспомнить умножение многочлена на многочлен. При таком вот умножении надо каждое слагаемое в первых скобках умножить на каждое слагаемое во вторых скобках, результаты сложить или вычесть в зависимости от знаков слагаемых.
Вынесение общего множителя за скобки.
Разбираться будем на примере.
Дано такое выражение:
Что общего у этих двух слагаемых? Правильно, в них обоих присутствует множитель x. Он и будет являться общим множителем, который надо вынести за скобку.
Возьмем другой пример.
Ну и давайте третий пример, только уже без комментариев.
Проверить правильность вынесения общего множителя за скобки можно путем раскрытия скобок (умножением).
Разложение многочлена на множители способом группировки.
Если надо разложить многочлен на множители, то способ группировки тебе пригодится.
Сгруппировать выражения можно лишь путем вынесения общих множителей за скобку. Но сделать это нужно так, чтобы скобки в итоге получились одинаковые. Зачем? Да затем, чтобы потом эти скобки вынести за другие скобки.
На примере будет яснее)
Беру пример самый простой, чисто для понимания того, что надо делать.
В первых двух слагаемых общим множителем является переменная а: выносим ее за скобку. Во вторых двух слагаемых общим множителем является число 6. Его тоже выносим за скобки.
Видишь получились две одинаковые скобки? Теперь они являются общим множителем. Выносим их за скобку и получаем милое произведение двух скобок:
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Пусть дан квадратный трехчлен:
Чтобы разложить его на множители надо решить квадратное уравнение
Далее корни уравнения х1 и х2 подставить в следующую формулу:
Возьмем вот такой трехчлен:
Найдем корни квадратного уравнения.
Подставим их в формулу для разложения квадратного трехчлена на множители:
Что-то слишком много минусов во второй скобке. Чуть-чуть преобразуем ее:
Еще могут тебе пригодится:
— умение сокращать дроби;
А вот такие задания могут тебе встретится на экзамене.
2) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
3) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
Упрощения алгебраических выражений
Что значит упростить алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).
Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.
Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.
СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).
Правила упрощения алгебраических выражений
Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:
В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:
Приведение подобных
Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.
Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.
В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.
Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.
К примеру, приведем слагаемые:
Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.
Рассмотрим выражение с квадратной степенью:
Здесь число 3 является коэффициентом.
Разложение на множители
Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.
Сокращение дроби
В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.
Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.
Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.
Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».
Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:
a b + c d = a · d + c · b b · d ;
Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:
Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:
В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:
В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:
Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:
Здесь общий множитель равен 12. Тогда:
a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12
Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:
a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12
Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:
Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:
1 a b 2 + 1 a 2 b
Разложим знаменатели на множители:
a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b
Вычислим единые множители:
a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯
Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:
a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2
1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2
Умножение и деление дробей
Умножение и деление дробей выполняют таким образом:
a b · c d = a · c b · d ;
a b : c d = a · d b · c
Арифметические действия выполняют в следующем порядке:
Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.
Используя правило умножения и деления дробей, получим:
Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.
Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.
Попробуем упростить выражение:
Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:
Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:
Пояснения на примерах
Требуется упростить выражения:
Приведем подобные и упростим выражения:
Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:
В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.
Требуется упростить выражения:
Путем разложения на множители упростим данные выражения:
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
В первую очередь выполним разложение на множители:
Дано выражение, которое требуется упростить:
В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:
Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:
Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:
Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:
Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:
x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2
Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:
Требуется упростить выражения:
Дано выражение, которое требуется упростить:
При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:
a во второй степени;
x в третьей степени;
b в третьей степени;
y в четвертой степени.
В результате получим:
Нужно упростить выражение:
Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.
Выглядит этот алгоритм таким образом:
Как упростить выражение
Хочешь узнать, что такое ДОСАДА?
Это когда на ЕГЭ ты увидишь, что знаешь, как решить неравенство, но не сможешь его упростить.
И «проедешь мимо кассы».
Чтобы этого не случилось, нужно освоить преобразование алгебраических выражений.
Приведение подобных, разложение на множители, сокращение, сложение и вычитание, деление и умножение дробей – вот это вот всё…
Кстати, от 30 до 40% ошибок на ЕГЭ – это ошибки именно в подобных простых вещах.
Отнесись к ним серьезно!
Как упростить алгебраическое выражение — коротко о главном
Базовые операции упрощения
Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.
ВАЖНО: сокращать можно только множители!
Сложение и вычитание дробей:
Умножение и деление дробей:
Как упростить выражение — подробно
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.
Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа −1.
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Освежи эти темы, если подзабыл.
Вспомнил? А сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них – это…
Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.
Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.
Например, в сумме \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подобные слагаемые – это \( \displaystyle 2ab\) и \( \displaystyle 3ab\).
Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.
Например, буква \( \displaystyle a\) – это стул. Тогда чему равно выражение \( \displaystyle 2a+3a\)?
Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, \( \displaystyle 5\) стульев: \( \displaystyle 2a+3a=5a\).
А теперь попробуй такое выражение: \( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.
Например, \( \displaystyle a\) – это (как обычно) стул, а \( \displaystyle b\) – это стол.
\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стула\( \displaystyle+3\)стола\( \displaystyle-\)стул\( \displaystyle+8\)столов\( \displaystyle +7\)стульев\( \displaystyle=8\)стульев\( \displaystyle +11\)столов\( \displaystyle=8a+11b\)
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.
Итак, правило приведения подобных:
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Потренируйтесь приводить подобные на следующих примерах:
Примеры.
Ответы:
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.
После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.
Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.
Для этого реши несколько примеров (разложить на множители).
Примеры
Ответы:
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Сокращение дроби
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим (или умножаем) на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
Примеры
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Сокращать можно только множители.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить \( \displaystyle \frac<<
Некоторые делают так: \( \displaystyle \frac<<
Еще пример: сократить \( \displaystyle \frac<<
«Самые умные» сделают так:
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: \( \left( x+y \right)\) – это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: \( \frac
\( \displaystyle \frac
Можно и сразу поделить на \( ac\):
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров.
Примеры:
Решения:
1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать \( <
Первым действием должно быть разложение на множители:
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю
Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
3) \( \displaystyle 3\frac<4><7>-1\frac<2><3>\)
Ответы:
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
Теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Примеры:
Ответы:
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
Пример: \( \displaystyle \frac<1><12>+\frac<1><30>\).
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
\( \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3\);
\( \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\).
\( \displaystyle 12=\underline<2>\cdot 2\cdot \underline<\underline<3>>\);
\( \displaystyle 30=\underline<2>\cdot \underline<\underline<3>>\cdot 5\).
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
\( \displaystyle \underline<\text<2>>\cdot \underline<\underline<\text<3>>>\cdot \text<2>\cdot \text<5>=60\) – это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
Итак, по порядку (и полезная хитрость!):
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
А вот и полезная хитрость:
Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
\( \displaystyle x\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle b\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle y\) в степени \( \displaystyle 4\).
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из \( \displaystyle x\) единицу, то ты очень и очень неправ!
Давай вспомним основное свойство дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить \( \displaystyle x\), чтобы получить \( \displaystyle x+1\)?
Вот на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) и домножай. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, \( \displaystyle x\) – это элементарный множитель. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – тоже. А вот \( \displaystyle <
Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц.
Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов.
Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов.
А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.
Что скажешь насчет выражения \( \displaystyle <
Нет, поскольку его можно разложить на множители: \( \displaystyle <
(О разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Решим несколько примеров
Пример №1:
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель \( \displaystyle \left( x-1 \right)\). Он пойдет в общий знаменатель в степени \( \displaystyle 2\) (помнишь, почему?).
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Пример №2
Прежже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:
\( \displaystyle <
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Пример №3
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки \( \displaystyle x\); во втором – разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) и \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так похожи… И правда:
\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Пример № 4
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Пример №5
Пример №6
Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:
Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: \( \displaystyle <<\left( x+2 \right)>^<2>>=<
А \( \displaystyle <
Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложении разности кубов:
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Что делать, если дробей аж три штуки?
Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:
Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общий знаменатель выписываем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
9) \( \displaystyle 2-\frac<1><<^<2>>-1>-\frac
Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?
Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл).
И нет ничего проще, чем разделить число на \( \displaystyle 1\). При этом само число не изменится, но превратится в дробь:
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Умножение и деление дробей
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Первым делом вычисляется степень.
Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой:
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое!
Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.
Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение \( \displaystyle \left( \frac
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Теперь покажу весть процесс:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
Разберем 4 примера
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Вебинар: Выделение полного квадрата
Выделение полного квадрата — самый главный навык, относящийся к формулам сокращенного умножения.
Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.
В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык.
Берите тетрадку, ручку и смотрите видео. Алексей разберет 8 примеров! Слушайте условие, ставьте на паузу, решайте и потом сравнивайте с тем, как решил Алексей.
Кстати, само видео — это отрывок из вебинара, целиком посвященного формулам сокращенного умножения (решено 119 задач). Его можно посмотреть чуть ниже.
Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач
Зачем нужны формулы сокращенного умножения и где они применяются.
Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.
А в 18 задаче без них вообще нечего делать.
Цель этого видео в том, чтобы вы тему «Формулы сокращенного умножения» закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ. Для этого вы вместе с репетитором Алексеем Шевчуком решите 119 задач.
Какие формулы сокращенного умножения вы научитесь применять, посмотрев это видео? Да все… 🙂
Как упростить алгебраическое выражение
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Необходимые знания и умения
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.
Несколько наглядных примеров:
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку: множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус — меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель. Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
Когда выражение или его часть находится под корнем, первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак. Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение — попытаться разложить его на множители, часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
Единственное условие для такого упрощения — одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам. И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Применим формулу суммы квадратов и получим:
Сокращаем и получаем:
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Сокращенное умножение: правила, формулы
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Урок 23 Бесплатно Упрощение выражений
Нам уже известно, что одну и ту же информацию можно представить в различных формах: в словесной форме и в символьной.
Кроме того, в словесной форме одну и ту же информацию можно произнести или записать по-разному.
Рассмотрим поясняющий пример.
Прочитаем внимательно следующие три предложения:
1. «Лида- сестра Марины».
2. «Марина- сестра Лиды».
3. «Лида с Мариной сестры».
Заметим следующее: сказаны и записаны данные утверждения по-разному, однако имеют один и тот же смысл.
Рассмотрим еще одно утверждение.
«Девочка Наташа и девочка Света учатся в одном классе.»
Попробуем записать данное предложение короче и проще, сохранив при этом его смысл.
Объединим два словосочетания «девочка Наташа» и «девочка Света» в одно.
Запишем «девочки Наташа и Света».
В результате получим такую фразу: «Девочки Наташа и Света учатся в одном классе».
В целом смысл предложения остался прежним, а предложение стало короче.
Наташа и Света- имена женского рода, и так ясно, что Наташа и Света девочки.
Уберем из предложения слово «девочки» и посмотрим, что получится.
«Наташа и Света учатся в одном классе».
Предложение заметно сократилось, а смысл исходного утверждения сохранился.
Фразу «учатся в одном классе» можно заменить одним словом «одноклассницы».
В таком случае получаем следующее предложение: «Наташа и Света- одноклассницы».
С помощью некоторых преобразований у нас получилось сократить и упростить исходное предложение.
Другими словами, нам удалось заменить исходное предложение эквивалентным ему, сохранив при это его смысл.
Аналогичная ситуация складывается с высказываниями, записанными с помощью математического языка.
Математическое утверждение, записанное в символьной форме, с помощью некоторых преобразований, можно из сложного и громоздкого превратить в простое и короткое.
Сегодня на уроке мы выясним, что значит упростить математическое выражение.
Вспомним, что такое числовое и буквенное выражение.
Познакомимся с различными методами преобразования арифметических и алгебраических выражений.
Разберем большое количество примеров, помогающих понять и усвоить материал по данной теме.
Упрощение выражения. Тождественные преобразования
Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.
Выражение не может представлять собой случайный набор математических символов и знаков.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.
Числовые выражения еще по-другому называют арифметическими выражениями.
Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, входящих в выражение, называют значением этого числового выражения.
В таком случае, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.
Числовое выражение всегда имеет одно верное решение.
Решить арифметическое выражение- значит найти его значение, которое превращает это выражение в верное равенство.
В буквенных выражениях, наряду с числами, знаками математических операций и другими специальными математическими символами содержатся еще и буквы- переменные.
Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.
Буквенные выражения часто называют алгебраическими выражениями.
Алгебраические выражения должны быть составлены в соответствии со всеми математическими правилами и по тому же принципу, что и числовые выражения.
Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.
Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.
Вычисления в алгебраических выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численные значения.
Найти значение алгебраического выражения- значит найти значение выражения при заданном значении переменной.
Значение переменной, при котором алгебраическое выражение обращается в верное равенство, называют допустимым значением этой переменной.
Простые арифметические и алгебраические выражения вам уже хорошо знакомы, значения таких выражений находили не раз, выполняя в определенной последовательности математические операции.
Однако, часто можно встретить выражения, которые имеют сложный и громоздкий вид, значение, которых сложно найти, используя только правила выполнения математических операций.
Чтобы привести математическое выражение к виду, удобному для дальнейшего решения, используют различные тождественные преобразования.
Тождественным преобразованием называют замену одного выражения на другое, тождественно равное исходному.
Часто в словосочетании «тождественные преобразования выражения» слово «тождественные» опускают и произносят просто «преобразования выражения».
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Основные способы упрощения выражений
Упростить выражение- значит найти эквивалентное ему выражение, которое будет короче (содержащее минимум знаков, символов, математических операций) и проще для вычислений и дальнейших преобразований.
После упрощения выражения значение этого выражения остается прежним.
Упрощение выражений выполняется на основе свойств математических операций над числами, не зависимо от того арифметическое это выражение или алгебраическое.
Изученные нами раннее свойства сложения, вычитания, умножения, деления позволяют преобразовывать и упрощать математические выражения.
Рассмотрим основные методы упрощения математических выражений.
1. Метод группировки
Сочетательное и переместительное свойства сложения и умножения часто используют для преобразования выражений.
Удобно использовать переместительное и сочетательное свойства, группируя числа, объединяя их по определенному признаку, чтобы в результате они давали круглые числа или легко считались.
Группировка слагаемых подразумевает объединение в группы нескольких слагаемых.
Группировка множителей- это объединение нескольких множителей в группы.
Упростим числовое выражение 242 + 183 +58 + 17.
Для упрощения данного выражения воспользуемся переместительным и сочетательным свойством сложения.
Сгруппируем числа 242 и 58 и числа 183 и 17.
Упростим числовое выражение 12 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 1.
Воспользуемся переместительным свойством умножения.
Сгруппируем числа 12 и 5 и числа 9 и 1.
Рассмотрим пример упрощения буквенного выражения.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Важно помнить, что буквенное выражение (алгебраическое выражение) всегда содержит хотя бы одну букву.
Буквенные выражения так же могут содержать несколько одинаковых букв или состоять из разных букв.
Число, стоящее перед переменными, называют числовым коэффициентом выражения.
Коэффициент обычно пишут перед буквенным множителем.
Если нет коэффициента перед буквой или произведением букв, то считается, что он равен единице.
Так как любое число, умноженное на единицу (или единицы на любое число), равняется самому себе.
Например, а ∙ b ∙ c = 1 ∙ а ∙ b ∙ c.
Выражение может состоять только из букв.
Разные буквы имеют различное значение.
А если в выражении встречается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и тоже значение.
Чтобы не путаться, можно для каждой буквы образно представить свой предмет.
Например, рассмотрим выражение 7x— 4y + y.
Представим, что x— это мороженное, y-это конфеты.
В результате получим: 7 мороженных минус 4 конфеты и плюс еще 1 конфета.
Невозможно из мороженного вычесть конфеты, однако конфеты с конфетами сложить можно.
4 конфеты + 1 конфета = 5 конфет.
Чтобы сложить слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, необходимо сложить коэффициенты и результат умножить на буквенную часть.
В итоге для нашего выражения получим следующее.
4y и y имеют одинаковую буквенную часть- это переменная y, следовательно,
4y + y = (4 + 1)y = 5y.
Запишем тождественное равенство.
7x— 4y + y = 7x— (4y + y) = 7x— 5y
Числа, которые имеют одинаковую буквенную часть, можно складывать и вычитать.
Упростим выражение 2а ∙ 4b ∙ 3c.
Сначала выполним перестановку множителей в исходном выражении, объединяя множители в одну группу
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители.
2а ∙ 4b ∙ 3c = (2 ∙ 4 ∙ 3) ∙ (а ∙ b ∙ c) = 24 ∙ а ∙ b ∙ c
В полученном выражении число 24, стоящее перед буквенной частью a, b, c— это числовой коэффициент выражения.
Часто математические выражения содержат скобки.
Скобки имеют особое значение в выражении, например, указывают очередность арифметических операций.
Порой удобно избавиться от скобок и перейти к тождественно равному выражению без скобок, нежели производить в них вычисления.
2. Упрощение выражений со скобками (раскрытие скобок).
Перейти от выражения со скобками к выражению без скобок- это значит раскрыть (опустить) скобки.
Правило раскрытия скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания.
Чтобы умножить сумму нескольких чисел на число, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.
(a + b) c = ac + bc
Неважно с какой стороны располагается число с.
Таким образом, умножая число на сумму чисел, необходимо это число умножить на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить.
c (a + b) = ac + bc
Распределительное свойство умножения относительно вычитания выполняется аналогичным образом, соблюдая некоторые нюансы.
Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
(a — b) c = c (a — b) = ac — bc
Рассмотрим поясняющие примеры.
Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а + 3b).
Умножим каждое слагаемое на число 4.
Число 4— это общий множитель для каждого слагаемого, находящегося в скобке.
В нашем выражении- это общий множитель для слагаемых 2а и 3b.
Обычно, раскрывая скобки, промежуточные вычисления записывают в виде цепочки равенств.
4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b
Умножим первое слагаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.
Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.
Сложим полученные произведения 8а и 12b.
В результате получаем следующее тождественное преобразование.
4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b = 8а + 12b
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В скобках может быть любое количество слагаемых.
Например, 10 ∙ (2a + 4b + b).
Упростим выражение 10 ∙ (2a + 4b + b).
Можно сначала сгруппировать слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть (в нашем выражении это 4b и b), затем раскрыть скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения.
Умножим каждое слагаемое, находящееся в скобке,на их общий множитель, равный 10.
Затем сложим полученные произведения.
10 ∙ (2a + 4 b + b ) = 10 ∙ (2a + 5 b ) = 10 ∙ 2а + 10 ∙ 5b = 20а + 50b.
Второй вариант упрощения выражения 10 ∙ (2a + 4b + b) заключается в следующем:
Первым делом, раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения, умножим все три слагаемых 2a, 4b, b на их общий множитель, число 10.
Для этого коэффициенты каждого слагаемого умножить на общий множитель 10
10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40b + 10b
Затем сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью (в нашем случае это 40b и 10b) и найдем их сумму.
В результате получаем следующее равенство:
10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40 b + 10 b = 20a + 50b
В первом и во втором варианте тождественные преобразования привели к одному результату 20a + 50b, в полученном выражение отсутствуют скобки, количество арифметических операций уменьшилось
Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания.
Умножим уменьшаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.
Таким же образом поступим и с вычитаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.
Затем из первого полученного произведения вычтем второе.
В результате получим следующее равенство:
Рассмотрим правила раскрытия скобок при делении.
Распределительное свойство деления справедливо только в том случае, если скобки стоят в делимом
(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c
Например, раскроем скобки в выражении (20а + 30b) ÷ 5.
Разделим каждое слагаемое на число 5.
(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5
Разделим первое слагаемое 20а на 5, для этого необходимо коэффициент 20 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 4а.
Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 30b, для этого необходимо коэффициент 30 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 6b.
Сложим полученные частные 4а и 6b.
В результате получаем следующее тождественное преобразование.
(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5 = 4а + 6b
Однако, если скобки расположены в делителе, т.е. число делят на сумму чисел, то необходимо выполнить действия в скобках (если это возможно), и только потом делимое число разделить на результат, полученный в скобках.
3. Вынесение общего множителя за скобки.
Выражения (a + b) c и ac + bc согласно распределительному свойству умножения имеют одно и то же значение, т.е. распределительный закон умножения можно применять в обратную сторону- выносить общий множитель за скобки.
a c + b c = (a + b) c = c (a + b)
Неважно с какой стороны расположен общий множитель.
Необходимо иметь ввиду, что общим множителем может быть не только число, но и буква или несколько букв, а порой, даже целое выражение.
Рассмотрим несколько примеров.
Упростим выражение 7а + 7b.
Произведения 7а и 7b имеют общий множитель число 7.
Вынесем общий множитель за скобки, исходное выражение примет вид 7 (а + b).
Мы по сути получили произведение общего множителя и выражения в скобках, записанного без общего множителя.
Общий вид решения будет выглядеть так:
7а + 7b = 7 (а + b).
В данном выражении 3х и 2х имеют в своей записи множитель х— это их общий множитель.
Вынесем общий множитель (переменную х) за скобку.
Решением в общем виде будет выглядеть так:
Упростим выражение 8х + 2у.
Слагаемые 8х и 2у имеют общий множитель 2, так как 8 представляет собой произведение двух чисел 4 ∙ 2, т.е. исходное выражение можно записать следующим образом:
4 ∙ 2 ∙ х + 2 у.
Вынесем общий множитель (число 2) за скобку, получим
4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).
Решение в общем виде будет записываться так:
8х + 2у = 4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).
За скобки можно выносить даже целое выражение.
Упростим выражение 4аb + 2b.
Так как 4 = 2 ∙ 2, то 4аb и 2b имеют общий множитель 2.
Кроме того, данные слагаемые имеют одинаковую букву- это буква b, следовательно, 4аb и 2b имеют общий множитель в виде произведения 2b.
Исходное выражение запишем так:
2 ∙ 2а b + 2 b
Вынесем общий множитель 2 b за скобку.
4аb + 2b = 2 ∙ 2а b + 2 b = 2 b (2а + 1).
Проверим верно ли мы упростили выражение.
Выполним обратное действие, раскроем скобки.
Известно, при умножении любого числа на единицу (или единицы на число) получится само это число.
В результате получится равенство
2b ∙ (2а + 1) = 2 b ∙ 2а + 2 b ∙ 1 = 2 ∙ 2 ∙ a ∙ b + 2b = 4аb + 2b.
В итоге получили выражение 4аb + 2b, которое требовалось упростить.
Упрощение математических выражений часто используют при решении уравнений и текстовых задач, решаемых с помощью уравнений.
Найдем значение у, при котором данное уравнение превратится в верное равенство.
Первым делом упростим левую часть равенства.
12у и 3у имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 12 и 3 и результат умножим на их буквенную часть).
12у + 3у = 15у
Исходное равенство тогда примет следующий вид:
В этом уравнении уменьшаемое представлено не просто числом, а буквенным выражением 15у.
Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (15у), необходимо к разности (28) прибавить вычитаемое (2).
15у = 28 + 2
15у = 30
Неизвестное у в данном уравнении является множителем.
Чтобы найти неизвестный множитель (у), нужно произведение (30) разделить на известный множитель (15).
у = 30 ÷ 15
у = 2
Выполним проверку найденного корня.
28 = 28
Значение левой и правой части равенства одинаково, значит корень уравнения найден верно.
Ответ: у = 2.
Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:
15у = 28 + 2
15у = 30
у = 30 ÷ 15
у = 2
28 = 28
Значит корень уравнения найден верно.
Ответ: у = 2.
Рассмотрим пример текстовой задач, которую можно решить с помощью уравнения.
В двух корзинах было 9 килограммов ягод.
В первой корзине в 2 раза больше ягод, чем во второй.
Сколько килограммов ягод было в каждой корзине?
Пусть х (кг) ягод было в первой корзине.
По условию во второй корзине было ягод в 2 раза больше, тогда
2х (кг) ягод было во второй корзине.
Зная, что в двух корзинах было 9 (кг) ягод, составим уравнение.
х + 2х = 9
Упростим левую часть равенства.
х и 2х имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 1 и 2 и результат умножим на их буквенную часть.)
1х + 2х = 3х
Исходное равенство тогда примет следующий вид:
3х = 9
Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель (х).
Чтобы найти неизвестный множитель (х), нужно произведение (9) разделить на известный множитель (3).
х = 9 ÷ 3
х = 3 (кг) ягод было в первой корзинке.
2х = 2 ∙ 3 = 6 (кг) ягод во второй корзинке.
Проверим найденные значения.
Сложим полученное количество ягод в первой и во второй корзинке.
3 кг + 6 кг = 9 (кг) было в двух корзинах.
Решение задачи найдено верно.
Ответ: 3 (кг), 6 (кг).
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Общие сведения
Принцип решения любой математической задачи основан на получении оптимального ответа, который в дальнейшем возможно будет применить для других целей (доказательства теорем, тождеств, получения промежуточных величин). Оптимизация результата состоит из операций, имеющих собственный приоритет. Последний соответствует порядковому номеру элемента в списке:
В первом случае компоненты выражения группируются посредством скобок. В математике принято использовать только круглые, т. е. «()». Однако допускаются квадратные «[]», но некоторые начинающие математики иногда группируют элементы выражения при помощи фигурных скобок «<>». Это делать не рекомендуется, поскольку последние обозначают в дисциплинах с физико-математическим уклоном общее решение.
Иногда новички не знают, что возведение в степень и извлечение корня являются двумя эквивалентными операциями. Это утверждение легко доказывается. Например, квадратный корень из 36 эквивалентен 6. Знак радикала можно заменить степенью, имеющей вид обыкновенной или десятичной дроби, т. е. (36)^(½)=√36=6.
Произведение не всегда обладает высшим приоритетом, чем деление. Для удобства вычислений можно сначала разделить, а затем умножить. Например, требуется найти значение выражения «3*81:9». Его можно решить, основываясь на приоритетах или удобстве вычислений (оптимизации). Для сравнения расчетов нужно решить равенство двумя способами:
При решении получены одинаковые результаты. Следует отметить, что простой метод — второй. Операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Упростить выражение — означает, что необходимо преобразовать его из сложной формы представления в простую. Иными словами, операция называется оптимизацией результата.
Оптимизация выражений применяется при решении уравнений (равенств с неизвестными величинами) любой сложности и доказательства теорем. Это базовые знания, необходимые для упрощения выражений в 5 классе.
Базовые знания
Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:
По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.
Приведение подобных элементов
Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:
В первом случае нужно привести пример тождества следующего вида: 2+5t+4+5t^2+2t-4t^2. Чтобы его упростить, необходимо сгруппировать подобные компоненты, т. е. (2+4)+(5t+2t)+(5t^2-4t^2). Далее следует сложить компоненты между собой, т. е. 6+7t+t^2.
Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2+(-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.
Раскрытие скобок
Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:
В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5+4-1+7». Для доказательства следует решить его двумя способами:
Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.
Работа со степенями
В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:
Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.
Оптимизация обыкновенных дробей
В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.
Сокращенное умножение
Для решения задач очень часто применяются формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях тождества «собираются» в них или, наоборот, для сокращения нужно расписать элементы по множителям (правая часть равенства). Соотношения имеют следующий вид:
Cледует отметить, что в некоторых случаях к формуле сокращенного умножения тождество следует «подвести», воспользовавшись свойством отнимания и прибавления одного и того же значения. Например, необходимо из некоторого выражения (2t^2-60) выделить одну из формул. Это делается следующим образом:
Иногда в более сложных выражениях приходится применять несколько соотношений. Если тождество является дробью, обязательно следует проверить условие неравенства знаменателя нулевой величине. Для этой цели следует решить соответствующее уравнение, вычислив его корни. Последние должны привести к пустому множеству, т. к. на 0 делить нельзя. Вот именно их и необходимо исключить, записав условие, т. е. t!=-9.
Таким образом, для грамотной оптимизации математических выражений необходимо пользоваться рекомендациями специалистов, правилами и методиками, поскольку их несоблюдение могут существенно повлиять на результаты вычислений.
Упрощение выражений
Содержание
В математическом мире существует большое количество выражений, которых трудно решить без упрощения. На этом уроке мы объясним, для чего нужно упрощение выражений, правила упрощения и решение примеров и уравнений с помощью упрощения. Также потренируемся применять распределительное свойство умножения.
Для чего нужно упрощать выражения?
Упрощение математических примеров используется для того, чтобы быстрее и правильнее решить задание.
Давайте рассмотрим пример, и не забывайте, что для этого нам понадобятся знания правил умножения, вычитания и сложения:
Сейчас мы видим, что выражение значительно изменилось. При этом ответ будет точно таким же, как и в первом случае. Такой вид выражения легче и быстрее решать. Кроме того, это помогает избежать ошибок при вычислении. Итак, как же правильно следует применять правила упрощения выражений и как решать уравнения с их помощью?
Правила упрощения
Существует всего два правила по упрощению выражений с умножением. Их называют распределительными свойствами умножения относительно сложения и вычитания. Давайте их разберем:
Для того чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число первое и второе слагаемое, а затем сложить получившиеся произведения.
Если нам нужно умножить разность на число, то следует умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого произведения вычесть второе.
Решение уравнений с применением упрощения выражений
Правила упрощения выражений работают и в обратную сторону, то есть позволяют вынести разность или сумму в скобки, а число, на которое нужно умножить — за скобки. Именно поэтому их используют для решения уравнений. Разберем на примере:
Благодаря данному упрощению мы сможем до конца решить наше уравнение:
Упростить выражение
Что значит упростить выражение
Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.
Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.
При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.
Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.
В чем смысл таких действий
Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.
Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.
Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.
Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?
Приведем наглядный пример
Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=⅔ и b=⅓, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=⅔+⅓=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!
Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.
Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.
Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.
Как упростить подкоренное выражение
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Количество просмотров этой статьи: 118 890.
Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.
способы упрощения выражений 7 класс алгебра
Упрощение выражений
Одно из самых распространенных заданий в алгебре звучит так: «Упростите выражение». Сделать это можно используя один из ниже перечисленных приемов, но чаще всего тебе потребуется их комбинация.
Приведение подобных слагаемых.
Для примера упростим такое выражение:
Подобные слагаемые я выделю разными цветами и посчитаю. Кстати, знак перед слагаемым относится к этому слагаемому.
Как видишь, больше одинаковых буквенных частей нет. Выражение упрощено.
Умножение одночленов и многочленов.
При умножении одночленов используют правила умножения степеней.
Перемножим три одночлена:
Разными цветами выделю то, что буду последовательно перемножать.
Чтобы умножить одночлен на многочлен выражение за скобками умножить на каждое слагаемое в скобках. Подробности в следующем примере.
Осталось вспомнить умножение многочлена на многочлен. При таком вот умножении надо каждое слагаемое в первых скобках умножить на каждое слагаемое во вторых скобках, результаты сложить или вычесть в зависимости от знаков слагаемых.
Вынесение общего множителя за скобки.
Разбираться будем на примере.
Дано такое выражение:
Что общего у этих двух слагаемых? Правильно, в них обоих присутствует множитель x. Он и будет являться общим множителем, который надо вынести за скобку.
Возьмем другой пример.
Ну и давайте третий пример, только уже без комментариев.
Проверить правильность вынесения общего множителя за скобки можно путем раскрытия скобок (умножением).
Разложение многочлена на множители способом группировки.
Если надо разложить многочлен на множители, то способ группировки тебе пригодится.
Сгруппировать выражения можно лишь путем вынесения общих множителей за скобку. Но сделать это нужно так, чтобы скобки в итоге получились одинаковые. Зачем? Да затем, чтобы потом эти скобки вынести за другие скобки.
На примере будет яснее)
Беру пример самый простой, чисто для понимания того, что надо делать.
В первых двух слагаемых общим множителем является переменная а: выносим ее за скобку. Во вторых двух слагаемых общим множителем является число 6. Его тоже выносим за скобки.
Видишь получились две одинаковые скобки? Теперь они являются общим множителем. Выносим их за скобку и получаем милое произведение двух скобок:
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Пусть дан квадратный трехчлен:
Чтобы разложить его на множители надо решить квадратное уравнение
Далее корни уравнения х1 и х2 подставить в следующую формулу:
Возьмем вот такой трехчлен:
Найдем корни квадратного уравнения.
Подставим их в формулу для разложения квадратного трехчлена на множители:
Что-то слишком много минусов во второй скобке. Чуть-чуть преобразуем ее:
Еще могут тебе пригодится:
— умение сокращать дроби;
А вот такие задания могут тебе встретится на экзамене.
2) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
3) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
Как упростить алгебраическое выражение
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Необходимые знания и умения
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.
Несколько наглядных примеров:
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку: множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус — меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель. Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
Когда выражение или его часть находится под корнем, первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак. Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение — попытаться разложить его на множители, часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
Единственное условие для такого упрощения — одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам. И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Упрощение выражений
Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.
В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.
Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.
Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.
Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.
Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению « (a + b) · с и (a − b) · c », мы получаем выражение, не содержащее скобки.
В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель « c » — перед скобками или после.
Раскроем скобки в выражениях.
Вынесение общего множителя за скобки
Поменяем местами правую и левую часть равенства:
В таких случаях говорят, что из « ac + bc » вынесен общий множитель « с » за скобки.
Примеры вынесения общего множителя за скобки.
Как упростить выражение (ЕГЭ 2022)
Хочешь узнать, что такое ДОСАДА?
Это когда на ЕГЭ ты увидишь, что знаешь, как решить неравенство, но не сможешь его упростить.
И «проедешь мимо кассы».
Чтобы этого не случилось, нужно освоить преобразование алгебраических выражений.
Приведение подобных, разложение на множители, сокращение, сложение и вычитание, деление и умножение дробей – вот это вот всё…
Кстати, от 30 до 40% ошибок на ЕГЭ – это ошибки именно в подобных простых вещах.
Отнесись к ним серьезно!
Как упростить алгебраическое выражение — коротко о главном
Базовые операции упрощения
Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.
ВАЖНО: сокращать можно только множители!
Сложение и вычитание дробей:
Умножение и деление дробей:
Как упростить выражение — подробно
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.
Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа −1.
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Освежи эти темы, если подзабыл.
Вспомнил? А сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них – это…
Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.
Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.
Например, в сумме \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подобные слагаемые – это \( \displaystyle 2ab\) и \( \displaystyle 3ab\).
Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.
Например, буква \( \displaystyle a\) – это стул. Тогда чему равно выражение \( \displaystyle 2a+3a\)?
Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, \( \displaystyle 5\) стульев: \( \displaystyle 2a+3a=5a\).
А теперь попробуй такое выражение: \( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.
Например, \( \displaystyle a\) – это (как обычно) стул, а \( \displaystyle b\) – это стол.
\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стула\( \displaystyle+3\)стола\( \displaystyle-\)стул\( \displaystyle+8\)столов\( \displaystyle +7\)стульев\( \displaystyle=8\)стульев\( \displaystyle +11\)столов\( \displaystyle=8a+11b\)
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.
Итак, правило приведения подобных:
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Потренируйтесь приводить подобные на следующих примерах:
Примеры.
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.
После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.
Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.
Для этого реши несколько примеров (разложить на множители).
Примеры
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Сокращение дроби
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим (или умножаем) на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
Примеры
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Сокращать можно только множители.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить \( \displaystyle \frac ^ >+2x+3> ^ >+2x-3>\).
Некоторые делают так: \( \displaystyle \frac ^ >+2x+3> ^ >+2x-3>=-1\), что абсолютно неверно.
Еще пример: сократить \( \displaystyle \frac ^ >+xy+1> ^ >+xy+1>\).
«Самые умные» сделают так:
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: \( \left( x+y \right)\) – это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: \( \frac \).
Можно и сразу поделить на \( ac\):
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров.
Примеры:
Решения:
1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать \( ^ >\) и \( x\)? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:
Первым действием должно быть разложение на множители:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю
Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
Теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Примеры:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
Пример: \( \displaystyle \frac +\frac \).
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
\( \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3\);
\( \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\).
\( \displaystyle 12=\underline \cdot 2\cdot \underline >\);
\( \displaystyle 30=\underline \cdot \underline >\cdot 5\).
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
\( \displaystyle \underline >\cdot \underline >>\cdot \text \cdot \text =60\) – это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
Итак, по порядку (и полезная хитрость!):
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
А вот и полезная хитрость:
Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
\( \displaystyle x\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle b\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle y\) в степени \( \displaystyle 4\).
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из \( \displaystyle x\) единицу, то ты очень и очень неправ!
Давай вспомним основное свойство дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить \( \displaystyle x\), чтобы получить \( \displaystyle x+1\)?
Вот на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) и домножай. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, \( \displaystyle x\) – это элементарный множитель. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – тоже. А вот \( \displaystyle ^ >\) – нет: он раскладывается на множители \( \displaystyle ^ >=x\cdot x\).
Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц.
Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов.
Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов.
А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.
Что скажешь насчет выражения \( \displaystyle ^ >-1\)? Оно элементарное?
Нет, поскольку его можно разложить на множители: \( \displaystyle ^ >-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\)
(О разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Решим несколько примеров
Пример №1:
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель \( \displaystyle \left( x-1 \right)\). Он пойдет в общий знаменатель в степени \( \displaystyle 2\) (помнишь, почему?).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №2
Прежже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:
\( \displaystyle ^ >-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\);
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №3
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки \( \displaystyle x\); во втором – разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) и \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так похожи… И правда:
\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример № 4
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №5
Пример №6
Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:
Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: \( \displaystyle ^ >= ^ >+4x+4\).
А \( \displaystyle ^ >+2x+4= ^ >+2\cdot x+ ^ >\) – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение.
Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложении разности кубов:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Что делать, если дробей аж три штуки?
Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:
Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общий знаменатель выписываем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
9) \( \displaystyle 2-\frac >-1>-\frac \).
Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?
Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл).
И нет ничего проще, чем разделить число на \( \displaystyle 1\). При этом само число не изменится, но превратится в дробь:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Умножение и деление дробей
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Первым делом вычисляется степень.
Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой:
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое!
Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.
Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Теперь покажу весть процесс:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
Разберем 4 примера
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Вебинар: Выделение полного квадрата
Выделение полного квадрата — самый главный навык, относящийся к формулам сокращенного умножения.
Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.
В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык.
Берите тетрадку, ручку и смотрите видео. Алексей разберет 8 примеров! Слушайте условие, ставьте на паузу, решайте и потом сравнивайте с тем, как решил Алексей.
Кстати, само видео — это отрывок из вебинара, целиком посвященного формулам сокращенного умножения (решено 119 задач). Его можно посмотреть чуть ниже.
Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач
Зачем нужны формулы сокращенного умножения и где они применяются.
Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.
А в 18 задаче без них вообще нечего делать.
Цель этого видео в том, чтобы вы тему «Формулы сокращенного умножения» закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ. Для этого вы вместе с репетитором Алексеем Шевчуком решите 119 задач.
Какие формулы сокращенного умножения вы научитесь применять, посмотрев это видео? Да все… 🙂