Как вычислить несобственный интеграл

Несобственные интегралы. Примеры решений

К изучению несобственных интегралов лучше приступать в последнюю очередь в ходе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Читатель данного урока должен быть хорошо подкован в неопределенных интегралах, определенных интегралах, уметь находить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Кроме того, потребуются знания простейших пределов и графиков элементарных функций. По логике изложения материала эта статья является продолжением урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус 🙂

Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применяется эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

Несобственный интеграл расходится.
“

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

“

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего), либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать, так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела.

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором я уже рассказал в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на .

“

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:

Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению слева. По оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально!).

Для разнообразия я решу этот интеграл сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.

Добавка обозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке мы приближаемся по оси слева.

Разбираемся, почему дробь (это лучше делать устно или на черновике).
Подставляем под корень предельное значение :
и тогда

Окончательно:

Несобственный интеграл расходится.

Будьте очень внимательны в знаках. Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но и – это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.

И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения несобственных интегралов.

Решения и ответы:

Пример 4: Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на .

Пример 5: Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на .

Несобственный интеграл расходится.

Пример 7: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Несобственный интеграл расходится.

Примечание: с пределом выражения можно разобраться следующим образом: вместо подставляем :

Пример 8: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Примечание: Разбираемся в пределе выражения . Если , то (см. график логарифмической функции!), тогда: . Именно эти соображения и помечаются как

Пример 10: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Пример 11: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Несобственный интеграл расходится

Примечание: Разбираемся в пределе выражения . Если , то , и тогда . Будьте очень внимательны в знаках!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник

Несобственные интегралы

Определение несобственных интегралов.

Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно поставить вопрос о распространении понятия интеграла на случай бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.

Интеграл на бесконечном промежутке.

Рассмотрим функцию \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\). Эта функция непрерывна на отрезке \([0,\xi]\) при любом \(\xi \geq 0\), и поэтому существует интеграл \(J(\xi) = \displaystyle\int\limits_0^ <\xi>\frac<1+x^<2>> = \operatorname \xi\), откуда следует, что \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow \infty>J(\xi) = \frac<\pi><2>\). В этом случае пишут \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>\), а символ \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\) называют несобственным интегралом от функции \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\) на бесконечном промежутке \([0, +\infty)\).

Число \(\displaystyle\frac<\pi><2>\) — можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \displaystyle\frac<1><1+x^<2>>,\ x \geq 0\), и координатными осями (рис. 38.1).

Рис. 38.1

Рассмотрим несобственный интеграл на бесконечном промежутке от функции \(f\).

Пусть функция \(f(x)\) определена при \(x \geq a\), где \(a\) — заданное число, и интегрируема на отрезке \([a,\xi]\) при любом \(\xi \geq a\). Тогда символ \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) будем называть несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \([0, +\infty)\). Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) сходится и равен \(A\), а функцию \(f\) называют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке \([a, +\infty)\). Таким образом, сходящийся несобственный интеграл от функции \(f\) на промежутке \([a, +\infty)\) определяется равенством
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow +\infty\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) расходится.

Сходимость интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^ <+\infty>f(x)\ dx\), где \(c\) — любое число из промежутка \((a, +\infty)\), так как
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx.\nonumber
$$

Показать, что интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_<-\infty>^0 xe^<-x^<2>>\ dx\) сходится, и вычислить этот интеграл.

Показать, что интеграл \(J = \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>\frac<1+x+x^<2>>\) сходится, и вычислить этот интеграл.

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac>.\label
$$

Интеграл на конечном промежутке.

Рис. 38.2

Обратимся к несобственному интегралу на конечном промежутке.

Пусть функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \([a, b)\), интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл от функции \(f(x)\) на промежутке \([a, b)\) равен \(A\). Его обозначают символом \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

В случае существования конечного предела \eqref несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют сходящимся, в противном случае — расходящимся; символ \(\int\limits_a^b f(x)\ dx\) употребляют как в случае сходимости, так и в случае расходимости интеграла.

Аналогично, если функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \((a, b]\), интегрируема на отрезке \([\xi, b]\) при любом \(\xi \in (a, b]\), то символ \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \((a, b]\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл сходится и равен \(A\), то есть
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow a+0\), то несобственный интеграл называют расходящимся.

Определение \eqref несобственного интеграла на конечном промежутке \([a, b)\) является содержательным лишь в случае, когда функция \(f\) неограничена на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\). В самом деле, если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\) и ограничена на \([a, b)\), то, доопределив эту функцию в точке \(b\), получим функцию, которая интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\). При этом интеграл от доопределенной функции равен пределу \eqref и не зависит от значения функции в точке \(b\).

Поэтому в дальнейшем, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что функция \(f\) является неограниченной на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\), а точку \(b\) будем называть иногда особой точкой подынтегральной функции \(f\) или интеграла \eqref.

Аналогично, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что \(a\) — особая точка функции \(f\), то есть предполагать, что функция \(f\) неограничена на интервале \((a, a+\delta)\) при любом \(\delta > 0\).

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_0^1 \frac>.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Обозначим \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_<\xi>^ <1>\frac>\), тогда
$$
F(\xi) = \left\<\begin
\frac<1><1-\alpha>(1-\xi^<1-\alpha>),\ \mbox<если>\ \alpha \neq 1 \\
-\ln \xi,\ \mbox<если>\ \alpha = 1.
\end \right.\nonumber
$$
Поэтому при \(\alpha Замечание 3.

Сходимость несобственного интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\ dx\) при любом \(c \in (a, b)\), так как \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx\).

Другие типы несобственных интегралов.

Если функция \(f\) определена на конечном интервале \((a, b)\), интегрируема по Риману на отрезке \([\xi, \eta]\) при любых \(\xi,\ \eta\) таких, что \(a

Свойства и вычисление несобственных интегралов.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) предполагая, что:

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ \mbox<если>\ b \neq +\infty,\nonumber
$$
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\ \mbox<если>\ b = +\infty.\nonumber
$$

Линейность интеграла.

Если сходятся несобственные интегралы от функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на промежутке \([a, b)\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится интеграл от функции \(\lambda f(x)+\mu g(x)\) на том же промежутке и выполняется равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\label
$$

\(\circ\) Для любого \(\xi \in [a, b)\) в силу свойств интеграла Римана справедливо равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\nonumber
$$
правая часть которого имеет по условию конечный предел при \(\xi \rightarrow b-0\), откуда следует существование предела при \(\xi \rightarrow b-0\) в левой части и справедливость формулы \eqref. \(\bullet\)

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\) и если \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\), то несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится тогда и только тогда, когда существует конечный
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = F(b-0),\label
$$
причем
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = F(b-0)-F(a).\label
$$

\(\circ\) Так как функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\), то справедлива формула Ньютона-Лейбница
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = F(\xi)-F(a),\nonumber
$$
откуда, переходя к пределу при \(\xi \rightarrow b-0\) и используя соотношение \eqref, получаем формулу \eqref, которую называют формулой Ньютона Лейбница для несобственного интеграла.
Правую часть формулы \eqref часто записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^\), если \(b \neq +\infty\). Если \(b = +\infty\), то правую часть формулы \eqref записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^<+\infty>\). \(\bullet\)

Интегрирование по частям.

Пусть функции \(u(x)\), \(v(x)\) определены на промежутке \([a, b)\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, \xi]\) для любого \(\xi \in (a, b)\). Если существует конечный предел
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>[u(\xi)v(\xi)] = u(b-0)v(b-0) = uv|_<\xi = b-0>,\label
$$
и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) сходится, то и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходится и справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^b uv’\ dx = uv|_^-\int\limits_a^b vu’\ dx.\label
$$

\(\circ\)Так как функции \(u'(x)\), \(v'(x)\) непрерывны на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in (a, b)\), то справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^ <\xi>uv’\ dx = u(\xi)v(\xi)-u(a)v(a)-\int\limits_a^ <\xi>vu’\ dx.\label
$$
Правая часть равенства \eqref по условию имеет при \(\xi \rightarrow b-0\) конечный предел, равный правой части формулы \eqref. Следовательно, существует конечный предел и в левой части \eqref, то есть сходится интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\), и при этом справедлива формула \eqref.

Отметим, что при наличии конечного предела \eqref несобственные интегралы \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходятся или расходятся одновременно. \(\bullet\)

Вычислить несобственный интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>xe^<-x>\ dx\).

Замена переменного.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\), а функция \(x = \varphi(t)\) непрерывно дифференцируема на промежутке \([\alpha, \beta)\), строго возрастает и удовлетворяет условиям \(\displaystyle\varphi(\alpha) = a,\ \lim_\varphi(t) = b\), то справедлива формула замены переменного
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
при условии, что хотя бы один из интегралов в \eqref сходится.

\(\circ\) Пусть \(\tau \in [\alpha, \beta),\ \varphi(\tau) = \xi\). Тогда \(\varphi(\tau) \rightarrow b\) при \(\tau \rightarrow \beta-0\). Применяя формулу замены переменного для интеграла Римана, получаем
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\tau>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
Так как функция \(x = \varphi(t)\) строго возрастает и непрерывна на \([\alpha, \beta)\), то обратная функция строго возрастает и непрерывна на \([a, b)\). Поэтому если существует конечный предел при \(\tau \rightarrow \beta-0\) правой части равенства \eqref, то существует конечный предел при \(\xi \rightarrow b\) в левой части (и наоборот), и при этом справедлива формула \eqref. \(\bullet\)

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(x^<2>+1)^<3/2>>\).

\(\vartriangle\) Положим \(x = \operatorname t\), где \(0 Пример 8.

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1><(x^<4>+1)>\ dx\).

\(\vartriangle\) Преобразуем интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(1+1/x^<2>)dx><(x-1/x)^<2>+2>\ dx\) и положим \(\displaystyle x-\frac<1> = t\); тогда
$$
J = \int\limits_<-\infty>^<+\infty>\frac