каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Переход к канонической форме ЗЛП

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (bi ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
Xбаз = (0, 0; b1, …, bm), f(Xбаз) = c0

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны bi ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.
Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2).
Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.
Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.
Система ограничений (3) этой задачи состоит из четырех неравенств. Введя дополнительные переменные y1≥ 0, y2≥ 0, y3≥ 0, y4 ≥ 0, можно перейти к системе ограничений: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Эти дополнительные переменные y i имеют абсолютно ясный экономический смысл, а именно означают величину неиспользованного времени работы (простоя машины i-го вида).
Например, если бы машины первого вида работали все 18 ч, то x + y = 18, следовательно, y 1 = 0. Но мы допускаем возможность неполного использования времени работы первой машины x + y y = 6, мы можем из системы ограничений (3.9) сделать вывод, что y1 = y2 = y3 = 0, а y4 = 12 – 6 = 6. Т. е. машины первого, второго, третьего вида используют свое рабочее время полностью. А вот четвертая машина загружена лишь наполовину, 6 часов, и при заданном оптимальном плане простаивает. Возможно, после таких выводов руководителю предприятия захочется загрузить ее другой работой, сдать в аренду на это время и т.д.
Итак, введением дополнительных переменных мы можем любое ограничение типа неравенства привести к уравнению.

Рассмотрим задачу о смеси. Система ограничений имеет вид: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает
Неравенства были обращены в сторону «больше», поэтому вводя дополнительные переменные y 1, y 2, y 3≥ 0, их необходимо вычесть из левой части, чтобы уравнять ее с правой. Получим систему ограничений в канонической форме: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает
Переменные yi также будут иметь экономический смысл. Если вы вспомните практическое содержание задачи, то переменная y 1 будет означать количество излишнего вещества А в смеси, y 2 –количество излишков вещества В в смеси, y3 – излишки С в смеси.
Задача нахождения максимального значения целевой функции может быть сведена к нахождению минимума для функции –F ввиду очевидности утверждения max F = –min (– F ). Посмотрите на рисунок: если в какой-то точке x= x0 функция y= F(x) достигает своего максимума, то функция y= –F(x), симметричная ей относительно оси OX, в этой же точке x0 достигнет минимума, причем Fmax = – (–Fmin) при x = x0.

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Источник

Формы записи задачи линейного программирования

Задача линейного программирования записывается в различных формах. В одних задачах ограничения имеют вид равенств, в других случаях − в виде неравенств. Многие практические задачи сводятся к смешанным условиям, где часть ограничений неравенства, другие − равенства. Не во всех задачах требуется неотрицательность всех переменных. Такое разнообразие в формах записи требует разработки специальных методов для решения конкретных задач и затрудняет исследование общих особенностей линейного программирования и создания общих методов решения. Следовательно более удобно рассматривать способ сведения любой задачи линейного программирования к наиболее простой для исследования форме.

Каноническая форма задачи линейного программирования оказывается наиболее удобной при построении вычислительных алгоритмов. Для решения таких задач применяют симплекс метод.

Рассмотрим задачи линейного программирования записанные в различных формах.

Задача линейного программирования в форме

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает(1)

называется общей задачей линейного программирования.

Задача линейного программирования в форме

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает(2)

называется канонической задачей линейного программирования.

Задача линейного программирования в форме

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает(3)
каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает(3′)

называется основной задачей линейного программирования или сопряженной канонической задачей линейного программирования.

Задача линейного программирования в форме

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает(4)

называется стандартной задачей линейного программирования.

Для приведения задачи линейного программирования к каноничнскому виду (2), нужно преобразовать неравенства в равенства добавлением в каждое неравенство дополнительного неотрицательного переменного. Если в ограничениях задачи линейного программирования есть переменные, на которых не налагается ограничения в виде неотрицательности, то это можно исправить заменив каждое такое каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетпеременное на

Источник

Содержание:

Исследование различных процессов, в том числе и экономических, обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих процессах выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.д.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «математическое программирование» или математические методы исследования операций.

Математическое программирование включает в себя такие разделы математики, как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же относят и стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.

Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.д.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы:

Переменными задачи называются величины каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, и экстремум которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования и в общем виде может быть записана следующим образом:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции задачи и соответствующие ему переменные X = (каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает). при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений и условиям неотрицательности.

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любойX = (каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает). удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений.

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Задача линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Каноническая задача линейного программирования в координатной форме записи имеет вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Используя знак суммирования эту задачу можно записать следующим образом:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

В данном случае введены векторы:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Каноническая задача линейного программирования в матричной форме записи имеет вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые в матричной форме записи имеют вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако, при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формулируются системы неравенств, поэтому возникает необходимость перехода от системы неравенств к системе уравнений. Это может быть сделано следующим образом. К левой части линейного неравенства:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетприбавляется величина каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаеттакая, что переводит неравенство в равенство каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, где: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Неотрицательная переменная каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетназывается дополнительной переменной.

Основания для возможности такого преобразования дает следующая теорема.

Теорема. Каждому решению каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает неравенства каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает соответствует единственное решение каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает уравнения: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети неравенства каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает и, наоборот, каждому решению каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает уравнения:каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает и неравенства каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает соответствует единственное решение каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает неравенства: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Доказательство. Пусть каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает— решение неравенстваканоническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает. Тогда:каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Если в уравнение каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетвместо переменных подставить значения каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, получится:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Таким образом, решение каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетудовлетворяет уравнению: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети неравенству каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает.

Доказана первая часть теоремы.

Пусть каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетудовлетворяет уравнению каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети неравенству каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, т.е. каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает. Отбрасывая в левой части равенства неотрицательную величину каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, получим:каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

т.е. каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетудовлетворяет неравенству: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетчто и требовалось доказать.

Если в левую часть неравенств системы ограничений вида каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Полученная таким образом система уравнений-ограничений, вместе с условиями неотрицательности переменных, т.е. каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети целевой функцией является канонической формой записи задачи линейного программирования.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значения.

Иногда возникает также необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций при оптимальных решениях отличаются только знаком.

Множества допустимых решений

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Выпуклой линейной комбинацией произвольных точек каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетЕвклидова пространства каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетназывается сумма каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает— произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Геометрически это означает, что если множеству с любыми двумя его произвольными точками полностью принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки, то оно будет выпуклым. Например, выпуклыми множествами являются прямолинейный отрезок, прямая, круг, шар, куб, полуплоскость, полупространство и др.

Точка множества называется граничной, если любая окрестность этой точки сколь угодно малого размера содержит точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Граничные точки множества образуют его границу. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Ограниченным называется множество, если существует шар с радиусом конечной длины и центром в любой точке множества, содержащий полностью в себе данное множество. В противном случае множество будет неограниченным.

Пересечение двух или более выпуклых множеств будет выпуклым множеством, так как оно отвечает определению выпуклого множества.

Точка выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек этого множества.

Выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, а замкнутое выпуклое ограниченное множество в трехмерном пространстве, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником.

Теорема. Любая тонка многоугольника является выпуклой линейной комбинацией его угловых точек.

Теорема. Область допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Уравнение целевой функции при фиксированных значениях самой функции является уравнением прямой линии (плоскости, гиперплоскости и т.д.). Прямая, уравнение которой получено из целевой функции при равенстве ее постоянной величине, называется линией уровня.

Линия уровня, имеющая общие точки с областью допустимых решений и расположенная так, что область допустимых решений находится целиком в одной из полуплоскостей, называется опорной прямой.

Теорема. Значения целевой функции в точках линии уровня увеличиваются, если линию уровня перемещать параллельно начальному положению в направлении нормали и убывают при перемещении в противоположном направлении.

Теорема. Целевая функция задачи линейного программирования достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений; причем, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, она также достигает экстремума в любой выпуклой комбинации этих точек.

Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Положительным координатам допустимых решений ставятся в соответствие векторы условий. Эти системы векторов зависимы, так как число входящих в них векторов больше размерности векторов.

Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое решение каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетлинейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может превосходить ранга r системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений).

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно m, то такое решение называется невырожденным, в противном случае, если число отличных от нуля координат опорного решения меньше т, такое решение называется вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав которой входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Теорема. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений.

Теорема. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением.

Пример:

Графический метод решения задачи линейной оптимизации рассмотрим на примере задачи производственного планирования при n = 2.

Предприятие изготавливает изделия двух видов А и В. Для производства изделий оно располагает сырьевыми ресурсами трех видов С, D и Е в объемах 600, 480 и 240 единиц соответственно. Нормы расхода ресурсов на единицу продукции каждого вида известны и представлены в табл. 14.1

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Построим математическую модель задачи, для чего обозначим каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает— объемы производства изделий А и В соответственно.

Тогда прибыль предприятия от реализации каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетизделий А и каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетизделий В составит:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Ограничения по ресурсам будут иметь вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Естественно, объемы производства должны быть неотрицательными каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Решение сформулированной задами найдем, используя геометрическую интерпретацию. Определим сначала многоугольник решений, для чего систему ограничений неравенств запишем в виде уравнений и пронумеруем их:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Каждое из записанных уравнений представляет собой прямую на плоскости, причем 4-я и 5-я прямые являются координатными осями.

Чтобы построить первую прямую, найдем точки ее пересечения с осями координат: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаета при каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает.

Далее нас интересует, по какую сторону от прямой будет находиться полуплоскость, соответствующая первому неравенству. Чтобы определить искомую полуплоскость, возьмем точку O(0,0) подставив ее координаты в неравенство, видим, что оно удовлетворяется. Так как точка O(0,0) лежит левее первой прямой, то и полуплоскость будет находиться левее прямой

Аналогично построены 2-я и 3-я прямые и найдены полуплоскости, соответствующие 2-му и 3-му неравенству. Точки, удовлетворяющие ограничениям каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, находятся в первом квадранте. Множество точек, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно, является ОДР системы ограничений. Такой областью на графике (рис. 14.1) является многоугольник ОАВС.

Любая точка многоугольника решений удовлетворяет системе ограничений задачи и, следовательно, является ее решением. Это говорит о том, что эта задача линейной оптимизации имеет множество допустимых решений, т.е. моговариантпа. Нам же необходимо найти решение, обеспечивающее максимальную прибыль.

Чтобы найти эту точку, приравняем функцию к нулю и построим соответствующую ей прямую. Вектор-градиент прямой функции

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетимеет координаты каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Изобразим вектор на графике и построим прямую функции перпендикулярно вектору на рис. 14.1. Перемещая прямую функции параллельно самой себе в направлении вектора, видим, что последней точкой многоугольника решений, которую пересечет прямая функции, является угловая точка В. Следовательно, в точке В функция достигает максимального значения. Координаты точки В находим, решая систему уравнений, прямые которых пересекаются в данной точке.

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Решив эту систему, получаем, что каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Следовательно, если предприятие изготовит изделия в найденных объемах, то получит максимальную прибыль, равную:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом таков:

В зависимости от вида области допустимых решений и целевой функции задача может иметь единственное решение, бесконечное множество решений или не иметь ни одного оптимального решения. каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

На рис. 14.3 показан случай, когда прямая функции параллельна отрезку АВ, принадлежащему ОДР. Максимум функции Z достигается в точке А и в точке В, а, следовательно, и в любой точке отрезка АВ, т.к. эти точки могут быть выражены в виде линейной комбинации угловых точек А и В.

На рисунке 14.4 изображен случай, когда система ограничений образует неограниченное сверху множество. Функция Z в данном случае стремится к бесконечности, так как прямую функции можно передвигать в направлении вектора градиента как угодно далеко, а на рисунке 14.5 представлен случай несовместной системы ограничений.

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Основные понятия симплексного метода решения задачи линейного программирования.

Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж.Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций). Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению проводятся на основе применения рассмотренного выше метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме, в которой должна быть предварительно записана исходная задача линейного программирования; направление перехода от одного опорного решения к другому выбирается при этом на основе критерия оптимальности (целевой функции) исходной задачи.

Симплекс-метод основан на следующих свойствах задачи линейного программирования:

Рассмотрим две разновидности симплексного метода: симплекс-метод с естественным базисом и симплекс-метод с искусственным базисом (или М-метод).

Симплекс-метод с естественным базисом

Для применения этого метода задача линейного программирования должна быть сформулирована в канонической форме, причем матрица системы уравнений должна содержать единичную подматрицу размерностью mхm. В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение).

Для определенности предположим, что первые m векторов матрицы системы составляют единичную матрицу. Тогда очевиден первоначальный опорный план: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия оптимальности, переход к другому опорному плану — с помощью преобразований Жордана-Гаусса и с использованием критерия оптимальности.

Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т.д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получаются оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.

Признак оптимальности заключается в следующих двух теоремах.

Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

то можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:

Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетто полученный план является оптимальным.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор Ак, давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности: каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает, который дает минимальное положительное отношение:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Строка каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетназывается направляющей, столбец каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаети элемент каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетнаправляющими (последний называют также разрешающим элементом).

Элементы вводимой строки, соответствующей направляющей строке, в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

а элементы любой другой i-й строки пересчитываются по формулам:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Значения базисных переменных нового опорного плана (показатели графы «план») рассчитываются по формулам:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Если наименьшее значение Q достигается для нескольких базисных векторов, то чтобы исключить возможность зацикливания (повторения базиса), можно применить следующий способ.

Вычисляются частные, полученные от деления всех элементов строк, давших одинаковое минимальное значение Q на свои направляющие элементы. Полученные частные сопоставляются по столбцам слева направо, при этом учитываются и нулевые, и отрицательные значения. В процессе просмотра отбрасываются строки, в которых имеются большие отношения, и из базиса выводится вектор, соответствующий строке, в которой раньше обнаружится меньшее частное.

Симплексный метод с искусственным базисом (М-метод)

Симплексный метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанной в канонической форме.

В процессе решения M-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение М-задачи содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная задача также неразрешима.

Путем преобразований число вводимых переменных, составляющих искусственный базис, может быть уменьшено до одной.

Теория двойственности

Любой задаче линейного программирования можно сопоставить сопряженную или двойственную ей задачу. Причем, совместное исследование этих задач дает, как правило, значительно больше информации, чем исследование каждой из них в отдельности.

Любую задачу линейного программирования можно записать в виде:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Первоначальная задача называется исходной или прямой.

Модель двойственной задачи имеет вид:

каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагает

Переменные двойственной задачи каноническая стандартная форма записи целевой функции задачи линейного программирования предполагаетназывают объективно обусловленными оценками или двойственными оценками.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *