канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Дифференциальные уравнения в частных производных¶

Дифференциальные уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия описывают большинство физических процессов. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид

Если коэффициенты a, b, c постоянные и значение D не зависит от точки, то в зависимости от знака D уравнение является полностью эллиптическим, гиперболическим или параболическим. В случае если коэффициенты не являются постоянными, для одного и того же уравнения возможны области, в которых оно является уравнением разного типа.

Эллиптические уравнения¶

Эллиптическими уравнениями являются уравнения Лапласа и Пуассона, возникающие в теории потенциала для электрического поля. Так же к уравнению этого тапа сводятся многие стационарные (установившиеся) решения параболических и гиперболических задач.

Простейший вид Эллиптического уравнения:

Такими уравнения описываются стационарное распределение температуры в процессе теплопереноса и стационарное распределение концентрации при диффузии. К уравнению Лапласа приводят и многие другие задачи, например, задача о распределении электростатического поля в однородной непроводящей среде в отсутствие электрических зарядов. В общем случае в векторной форме уравнение Пуассона имеет вид:

Параболические уравнения¶

Параболические уравнения появляются в нестационарных задачах теплопроводности, диффузии, иногда параболические задачи получаются из гиперболических уравнений (параболическое приближение в оптике) и т. д. Уравнение теплопроводности, например, имеет вид:

В первом слагаемом коэффициенты это плотность и удельная теплоемкость, во втором слгаемом – коэффициент теплопроводности, правая часть – плотность источников тепла.

Гиперболические уравнения¶

Начальные и граничные условия¶

Из курса высшей математики известно, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Это связано с появлением в процессе интегрирования констант, при любых значениях которых решение удовлетворяет исходному уравнению. Решение задач физики связано с нахождением зависимостей от координат и времени определенных физических величин, которые, безусловно, должны удовлетворять требованиям однозначности, конечности и непрерывности. Иными словами, любая задача физики предполагает поиск единственного решения (если оно вообще существует). Поэтому математическая формулировка физической задачи должна помимо основных дифференциальных уравнений, описывающих искомые функции, включать дополнительные уравнения (дифференциальные или алгебраические), описывающие искомые функции на границах рассматриваемой области в любой момент времени и во всех внутренних точках области в начальный момент времени. Эти дополнительные уравнения называют соответственно граничными и начальными условиями задачи. Условия, относящиеся к точкам пространства, называются граничными. Обычно это неизменные условия, накладываемые на значение функции или на ее производную (поток через границу) на границе рассматриваемой области. Начальные условия – условия о значениях физической величины в начальный момент времени. Только после задания обоих типов условий можно получить описание развития процесса во времени. Для ДУЧП редко решают задачи, когда условия внутри области заданы для различных моментов времени, т.к. это сильно усложняет и без того не простую процедуру поиска решения.

Источник

6. Основные типы уравнений срп. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа.

Для простейшего случая пространственной распределённости по одной координате х, изменяющейся на отрезке канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(одномерная задача), уравнение (1) записывается в виде:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(4)

где А, В, С – заданные функции могут быть равны CONST/

В зависимости от значения, дискриминанты Δ, равные (АВВ 2 ), различают уравнения:

— гиперболического типа (Δ 0),

— смешанного типа (Δ меняет знак в области допустимых изменений x и t).

Уравнения гиперболического типа

Уравнения содержат две производные функции состояния, как по t, так и по x, они описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные, звуковые и т.д.), связанные с конечной скоростью V, распространения волновых явлений.

1) канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовканонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(5)

Уравнение (5) моделирует распространение свободных колебаний (при распространении со скоростью звука канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовпульсации расхода газа в длинном трубопроводе).

При канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, уравнение (5) записывается в виде:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов— описывает вынужденные

колебания под влиянием внешнего воздействия канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

2) Уравнение гиперболического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(7)

Описывает распределение напряжения тока вдоль длинной электрической линии.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов— скорость распределения электромагнитных волн вдоль линии.

При канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение (7) сводится к волновому уравнению, при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение (7) моделирует процессы механических колебаний в среде сопротивления.

Уравнение параболического типа

Они содержат первую производную канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови вторую производную по координате t.

Описывает задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии с распространением электромагнитных волн, с движением вязкой жидкости и т.д.

Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(8)

Уравнение (8) – однородное уравнение теплопроводности, описывает температурные поля не стационарной теплопроводности, тепло массы перевода и т.д.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(9)

Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Включив в правой части уравнений (8) и (9) дополнительный член канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, получим уравнение теплопроводности в цилиндрической системе пространственных координат.

Уравнения эллиптического типа

В уравнениях этого типа отсутствует производная от канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовпо времени t и описывают стохастическое состояние ОРП.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(10)

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(11)

при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовв уравнении (10)

3) Лапласа (эллиптического типа)

При канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(12)

Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.

Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.

Источник

Канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

С помощью векторов мы ввели понятие пространства и его размерности, в частности трехмерного. Рассмотрим в нем поверхности, которые «похожи» на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхность второго порядка – геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида

в котором хотя бы один из коэффициентов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов отличен от нуля. Уравнение (2.48) называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Уравнение (2.48) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (2.48) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхностей второго порядка. Среди них выделяют пять основных классов поверхностей: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из этих поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением.

Перечисленные поверхности второго порядка относятся к так называемым нераспадающимся поверхностям второго порядка. Можно говорить о случаях вырождения – распадающихся поверхностях второго порядка, к которым относятся: пары пересекающихся плоскостей, пары мнимых пересекающихся плоскостей, пары параллельных плоскостей, пары мнимых параллельных плоскостей, пары совпадающих плоскостей.

Наша цель – указать канонические уравнения для поверхностей второго порядка и показать, как выглядят эти поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

2. Эллипсоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс (см. рис. 2.22).

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

Можно получить эллиптический параболоид симметричный относительно оси 0х или 0у, для чего нужно в уравнении (2.50) поменять между собой переменные х и z или у и z соответственно.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

5. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется двуполостным гиперболоидом (рис. 2.26) .

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | z | c и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

Примечание. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F ( x 2 + y 2 ; z )=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения 0z. Аналогично: F ( x 2 + z 2 ; y )=0 – поверхность вращения с осью вращения 0у, F ( z 2 + y 2 ; x )=0 – с осью вращения 0х

С учетом данного примечания могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси 0х или 0у.

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая, по которой скользит образующая, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность – второго порядка.

Если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой–либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Достаточно нарисовать на плоскости х0у направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси 0z. Для наглядности следует построить также одно–два сечения плоскостями, параллельными плоскости х0у. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Аналогично поступают, рассматривая направляющую в плоскости х0z или у0z.

Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образующих. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения – его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:

1) эллиптические – нормальное сечение представляет собой эллипс (рис. 2.27а), каноническое уравнение

2) круговые – нормальное сечение круг, при a = b = r уравнение

3) гиперболические – нормальное сечение гипербола (рис. 2.27б), каноническое уравнение

4) параболические – нормальное сечение парабола (рис. 2.27в), каноническое уравнение

5) общего вида – нормальное сечение кривая случайного вида.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (рис. 2.27). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Например, наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами. Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае – эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает данную линию. Данная прямая называется образующей, линия – направляющей, а точка – вершиной конической поверхности (рис. 2.28).

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, – основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника, вокруг катета как оси. При этом гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет – основание конуса.

В курсе геометрии общеобразовательной школы рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.

Если вершина конуса расположена в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат, то уравнение эллиптического конуса имеет вид:

При а = b конус становится круговым.

Примечание. По аналогии с коническими сечениями (аналогично теореме 2.1) существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x 2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x 2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x 2 – y 2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 описывает точку с координатами (0;0;0). Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Источник

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

· если канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовявляется уравнением эллиптического типа в точках канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; параболического типа в точках канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; и гиперболического типа в точках канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

2. Вычислить выражение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов);

4. Записать уравнение характеристик:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, (5)

в случае уравнения параболического типа;

· канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовберут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

· в случае уравнения параболического типа в качестве канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовберут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, в качестве канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, не выражающуюся через канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, т. е. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовберут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов,

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов,

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, (7)

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов,

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

· в случае уравнения параболического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

· в случае уравнения эллиптического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

2. Вычислим выражение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

3. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

6. Введём характеристические переменные:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Используя формулы (7), получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

3. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типоввводим как и ранее

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

а в качестве канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, пусть

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Используя формулы (7), получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

2. Вычислим выражение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

3. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Используя формулы (7), получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Или после деления на 4 (коэффициент при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, (14)

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов— новая неизвестная функция, канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов— параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовтак, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Откуда канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовПодставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, придем к уравнению

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов,

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

10. Вычислим выражение канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

11. канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов;

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

6. Введём характеристические переменные:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Используя формулы (7), получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типови канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов

Откуда канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовПодставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов, придем к уравнению

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов,

где канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типовканонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

канонические формы уравнений гиперболического параболического и эллиптического типов.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *