канонический вид матрицы квадратичной формы

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$$ x_ <2>$$ x_ <3>$
$ x_ <1>$$ f_ <11>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ f_ <22>$$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$$ \frac<1><2>f_ <13>$$ \frac<1><2>f_ <23>$$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой канонический вид матрицы квадратичной формы

Пример:

Сумма канонический вид матрицы квадратичной формыявляется квадратичной формой от трех неизвестных канонический вид матрицы квадратичной формы.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при канонический вид матрицы квадратичной формыобозначаются через канонический вид матрицы квадратичной формыа коэффициенты при канонический вид матрицы квадратичной формычерез канонический вид матрицы квадратичной формыпричем канонический вид матрицы квадратичной формы„ Член канонический вид матрицы квадратичной формызаписывается в виде канонический вид матрицы квадратичной формыПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: канонический вид матрицы квадратичной формы

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

канонический вид матрицы квадратичной формы

канонический вид матрицы квадратичной формы

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид канонический вид матрицы квадратичной формы. Если канонический вид матрицы квадратичной формы— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму канонический вид матрицы квадратичной формывместо X получится число канонический вид матрицы квадратичной формы, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе канонический вид матрицы квадратичной формы.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. канонический вид матрицы квадратичной формыпри канонический вид матрицы квадратичной формы. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами канонический вид матрицы квадратичной формы,т.е.:

канонический вид матрицы квадратичной формы

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

канонический вид матрицы квадратичной формы

где канонический вид матрицы квадратичной формы-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование канонический вид матрицы квадратичной формы— матрица-столбец новых переменных канонический вид матрицы квадратичной формы— матрица, обратная к S.

канонический вид матрицы квадратичной формы

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

канонический вид матрицы квадратичной формы

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис канонический вид матрицы квадратичной формыпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формы, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. канонический вид матрицы квадратичной формыпри канонический вид матрицы квадратичной формы

Если канонический вид матрицы квадратичной формыканонический базис F(X), то выражение: канонический вид матрицы квадратичной формыназывается каноническим видом F(X) в базисе канонический вид матрицы квадратичной формыгде канонический вид матрицы квадратичной формы— новый набор неизвестных.

Теорема. Если канонический вид матрицы квадратичной формы— разложение вектора а по каноническому базису канонический вид матрицы квадратичной формы квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле канонический вид матрицы квадратичной формы

Доказательство:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис канонический вид матрицы квадратичной формыквадратичной формы F(X) и ее канонический вид канонический вид матрицы квадратичной формыв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов канонический вид матрицы квадратичной формы симметрической матрицы канонический вид матрицы квадратичной формы, является каноническим базисом квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формы, а выражение канонический вид матрицы квадратичной формы— ее каноническим видом в базисе канонический вид матрицы квадратичной формы,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формы. Будем говорить, что матрица канонический вид матрицы квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, если определители:

канонический вид матрицы квадратичной формы

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что канонический вид матрицы квадратичной формы

Обозначим через канонический вид матрицы квадратичной формыматрицу:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. канонический вид матрицы квадратичной формыИз условия канонический вид матрицы квадратичной формыследует, что канонический вид матрицы квадратичной формыи, значит, каждая система уравнений канонический вид матрицы квадратичной формы, где канонический вид матрицы квадратичной формывектор диагональной системы, имеет единственное решение канонический вид матрицы квадратичной формы. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби канонический вид матрицы квадратичной формы матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы канонический вид матрицы квадратичной формы, а выражение:

канонический вид матрицы квадратичной формы ее каноническим видом в базисе канонический вид матрицы квадратичной формы.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

канонический вид матрицы квадратичной формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой канонический вид матрицы квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

канонический вид матрицы квадратичной формы, где:

канонический вид матрицы квадратичной формы– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а канонический вид матрицы квадратичной формы– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы канонический вид матрицы квадратичной формы.

Например: канонический вид матрицы квадратичной формы– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой канонический вид матрицы квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных канонический вид матрицы квадратичной формыимеет следующий вид:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
канонический вид матрицы квадратичной формы– в этом слагаемом находится произведение канонический вид матрицы квадратичной формыи канонический вид матрицы квадратичной формы(квадрат);
канонический вид матрицы квадратичной формы– здесь произведение канонический вид матрицы квадратичной формы;
канонический вид матрицы квадратичной формы– и здесь произведение канонический вид матрицы квадратичной формы.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: канонический вид матрицы квадратичной формы, в котором:

канонический вид матрицы квадратичной формы– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: канонический вид матрицы квадратичной формы

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе канонический вид матрицы квадратичной формы, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы канонический вид матрицы квадратичной формынам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

канонический вид матрицы квадратичной формы

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

канонический вид матрицы квадратичной формы

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

канонический вид матрицы квадратичной формы
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит канонический вид матрицы квадратичной формыслагаемых с квадратами переменных и канонический вид матрицы квадратичной формыслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: канонический вид матрицы квадратичной формы. Её можно записать, как произведение двух матриц:

канонический вид матрицы квадратичной формы

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: канонический вид матрицы квадратичной формы, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: канонический вид матрицы квадратичной формы.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

канонический вид матрицы квадратичной формы, где:

канонический вид матрицы квадратичной формы– столбец переменных;

канонический вид матрицы квадратичной формы– его транспонированная строка;

канонический вид матрицы квадратичной формыматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты канонический вид матрицы квадратичной формыпри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, канонический вид матрицы квадратичной формы– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель канонический вид матрицы квадратичной формыназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы канонический вид матрицы квадратичной формырангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы канонический вид матрицы квадратичной формы, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае канонический вид матрицы квадратичной формы. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

канонический вид матрицы квадратичной формы

И в самом деле:
канонический вид матрицы квадратичной формы
далее:
канонический вид матрицы квадратичной формы
канонический вид матрицы квадратичной формы, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

канонический вид матрицы квадратичной формы

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

канонический вид матрицы квадратичной формы

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое канонический вид матрицы квадратичной формыдважды содержит 1-ю переменную, поэтому канонический вид матрицы квадратичной формы;

– из аналогичных соображений определяем канонический вид матрицы квадратичной формыи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: канонический вид матрицы квадратичной формы.

Так как в слагаемое канонический вид матрицы квадратичной формывходят 1-я и 2-я переменная, то канонический вид матрицы квадратичной формы(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: канонический вид матрицы квадратичной формы.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением канонический вид матрицы квадратичной формы(а точнее, присутствует с нулевым множителем: канонический вид матрицы квадратичной формы), то канонический вид матрицы квадратичной формы, и на холст отправляются два нуля: канонический вид матрицы квадратичной формы.

И, наконец, из слагаемого канонический вид матрицы квадратичной формыопределяем канонический вид матрицы квадратичной формы, после чего картина завершена:
канонический вид матрицы квадратичной формы– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» канонический вид матрицы квадратичной формы, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы канонический вид матрицы квадратичной формы. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, канонический вид матрицы квадратичной формы, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор канонический вид матрицы квадратичной формы, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
канонический вид матрицы квадратичной формы, значит, канонический вид матрицы квадратичной формы

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: канонический вид матрицы квадратичной формы, ранг равен трём, дискриминант канонический вид матрицы квадратичной формы

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
канонический вид матрицы квадратичной формы

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме канонический вид матрицы квадратичной формы.

Как отмечалось в начале урока, переменные канонический вид матрицы квадратичной формымогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение канонический вид матрицы квадратичной формы, например:

канонический вид матрицы квадратичной формы
канонический вид матрицы квадратичной формы, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору канонический вид матрицы квадратичной формыставится в соответствие определённое число канонический вид матрицы квадратичной формы. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений канонический вид матрицы квадратичной формырассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы канонический вид матрицы квадратичной формы– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений канонический вид матрицы квадратичной формы).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

канонический вид матрицы квадратичной формы– всегда, если только канонический вид матрицы квадратичной формыодновременно не равны нулю.

канонический вид матрицы квадратичной формы– для любого вектора канонический вид матрицы квадратичной формы, кроме нулевого канонический вид матрицы квадратичной формы.

И вообще, если для любого ненулевого вектора канонический вид матрицы квадратичной формы, канонический вид матрицы квадратичной формы, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же канонический вид матрицы квадратичной формы– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения канонический вид матрицы квадратичной формы, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
канонический вид матрицы квадратичной формыи из уравнения канонический вид матрицы квадратичной формынайдём её собственные значения:

канонический вид матрицы квадратичной формы

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
канонический вид матрицы квадратичной формы
канонический вид матрицы квадратичной формы, значит, форма канонический вид матрицы квадратичной формыопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях канонический вид матрицы квадратичной формыона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители канонический вид матрицы квадратичной формыкоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
канонический вид матрицы квадратичной формы
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: канонический вид матрицы квадратичной формы.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: канонический вид матрицы квадратичной формы, канонический вид матрицы квадратичной формы, если канонический вид матрицы квадратичной формы– чётное или канонический вид матрицы квадратичной формы, если канонический вид матрицы квадратичной формы– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы канонический вид матрицы квадратичной формы:

канонический вид матрицы квадратичной формы, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

канонический вид матрицы квадратичной формы

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма канонический вид матрицы квадратичной формыопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы канонический вид матрицы квадратичной формыиз Примера 1:
канонический вид матрицы квадратичной формы

первый её угловой минор канонический вид матрицы квадратичной формы, а второй канонический вид матрицы квадратичной формы, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений канонический вид матрицы квадратичной формы, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму канонический вид матрицы квадратичной формыи её матрицу из Примера 2:
канонический вид матрицы квадратичной формы

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
канонический вид матрицы квадратичной формы, следовательно, форма точно не отрицательна.

канонический вид матрицы квадратичной формы, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) канонический вид матрицы квадратичной формы

б) канонический вид матрицы квадратичной формы

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора канонический вид матрицы квадратичной формы, то форма определена неотрицательно, если канонический вид матрицы квадратичной формы– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы канонический вид матрицы квадратичной формы, при которых канонический вид матрицы квадратичной формы.

Здесь можно привести такой «баян»:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: канонический вид матрицы квадратичной формы, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: канонический вид матрицы квадратичной формы.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
канонический вид матрицы квадратичной формы
и ещё более тривиальный пример:
канонический вид матрицы квадратичной формы– здесь форма равна нулю при любом векторе канонический вид матрицы квадратичной формы, где канонический вид матрицы квадратичной формы– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы канонический вид матрицы квадратичной формысуществуют два главных минора 1-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
канонический вид матрицы квадратичной формы(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» канонический вид матрицы квадратичной формыглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
канонический вид матрицы квадратичной формы– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
канонический вид матрицы квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
канонический вид матрицы квадратичной формы– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы канонический вид матрицы квадратичной формы.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей канонический вид матрицы квадратичной формыопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор канонический вид матрицы квадратичной формы-го порядка неположителен, если канонический вид матрицы квадратичной формы– нечётное либо неотрицателен, если канонический вид матрицы квадратичной формы– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Составим матрицу канонический вид матрицы квадратичной формыформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
канонический вид матрицы квадратичной формы

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае канонический вид матрицы квадратичной формы2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– положительны,
главный минор 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу канонический вид матрицы квадратичной формыформы канонический вид матрицы квадратичной формы, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
канонический вид матрицы квадратичной формы

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Вычислим угловые миноры:
канонический вид матрицы квадратичной формы
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
канонический вид матрицы квадратичной формы

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
канонический вид матрицы квадратичной формы
умножим обе его части на канонический вид матрицы квадратичной формы, сменив у неравенства знак:
канонический вид матрицы квадратичной формы, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Второе неравенство уже решено: канонический вид матрицы квадратичной формы, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: канонический вид матрицы квадратичной формы.
Таким образом, имеем совместную систему:
канонический вид матрицы квадратичной формы
из которой следует, что форма определена отрицательно при канонический вид матрицы квадратичной формы. Например, если канонический вид матрицы квадратичной формы:
канонический вид матрицы квадратичной формы– то при любом ненулевом векторе канонический вид матрицы квадратичной формыданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если канонический вид матрицы квадратичной формы, то:
канонический вид матрицы квадратичной формы
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу канонический вид матрицы квадратичной формыформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
канонический вид матрицы квадратичной формы
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, канонический вид матрицы квадратичной формы, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях канонический вид матрицы квадратичной формы.

Ответ: при канонический вид матрицы квадратичной формыформа определена отрицательно, при канонический вид матрицы квадратичной формынеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
канонический вид матрицы квадратичной формы

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
канонический вид матрицы квадратичной формы
Квадратичная форма двух переменных имеет вид канонический вид матрицы квадратичной формы, в данном случае: канонический вид матрицы квадратичной формы. Запишем форму в матричном виде:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Проверка:
канонический вид матрицы квадратичной формы
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
канонический вид матрицы квадратичной формы
Поскольку канонический вид матрицы квадратичной формы, то ранг формы равен двум.

Ответ: канонический вид матрицы квадратичной формы, канонический вид матрицы квадратичной формы, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали канонический вид матрицы квадратичной формы, следовательно:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Симметричные коэффициенты 1-й строки: канонический вид матрицы квадратичной формы, таким образом:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: канонический вид матрицы квадратичной формы, и:
канонический вид матрицы квадратичной формы

И, наконец, канонический вид матрицы квадратичной формы

Ответ: канонический вид матрицы квадратичной формы

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
канонический вид матрицы квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
канонический вид матрицы квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
канонический вид матрицы квадратичной формы

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы,
шесть главных миноров 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы
четыре главных минора 3-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы канонический вид матрицы квадратичной формыи вычислим её угловые миноры:
канонический вид матрицы квадратичной формы
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. канонический вид матрицы квадратичной формыи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
канонический вид матрицы квадратичной формы
канонический вид матрицы квадратичной формы– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

канонический вид матрицы квадратичной формы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *