каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Пример:

Сумма каноническое представление положительно определенной квадратичной формыявляется квадратичной формой от трех неизвестных каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при каноническое представление положительно определенной квадратичной формыобозначаются через каноническое представление положительно определенной квадратичной формыа коэффициенты при каноническое представление положительно определенной квадратичной формычерез каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпричем каноническое представление положительно определенной квадратичной формы„ Член каноническое представление положительно определенной квадратичной формызаписывается в виде каноническое представление положительно определенной квадратичной формыПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму каноническое представление положительно определенной квадратичной формывместо X получится число каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпри каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами каноническое представление положительно определенной квадратичной формы,т.е.:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

где каноническое представление положительно определенной квадратичной формы-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— матрица-столбец новых переменных каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— матрица, обратная к S.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпри каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Если каноническое представление положительно определенной квадратичной формыканонический базис F(X), то выражение: каноническое представление положительно определенной квадратичной формыназывается каноническим видом F(X) в базисе каноническое представление положительно определенной квадратичной формыгде каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— новый набор неизвестных.

Теорема. Если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— разложение вектора а по каноническому базису каноническое представление положительно определенной квадратичной формы квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Доказательство:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис каноническое представление положительно определенной квадратичной формыквадратичной формы F(X) и ее канонический вид каноническое представление положительно определенной квадратичной формыв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов каноническое представление положительно определенной квадратичной формы симметрической матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, является каноническим базисом квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, а выражение каноническое представление положительно определенной квадратичной формы— ее каноническим видом в базисе каноническое представление положительно определенной квадратичной формы,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Будем говорить, что матрица каноническое представление положительно определенной квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, если определители:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Обозначим через каноническое представление положительно определенной квадратичной формыматрицу:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. каноническое представление положительно определенной квадратичной формыИз условия каноническое представление положительно определенной квадратичной формыследует, что каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи, значит, каждая система уравнений каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, где каноническое представление положительно определенной квадратичной формывектор диагональной системы, имеет единственное решение каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби каноническое представление положительно определенной квадратичной формы матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, а выражение:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы ее каноническим видом в базисе каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$$ x_ <2>$$ x_ <3>$
$ x_ <1>$$ f_ <11>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ f_ <22>$$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$$ \frac<1><2>f_ <13>$$ \frac<1><2>f_ <23>$$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, где:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Например: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных каноническое представление положительно определенной квадратичной формыимеет следующий вид:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– в этом слагаемом находится произведение каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи каноническое представление положительно определенной квадратичной формы(квадрат);
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– здесь произведение каноническое представление положительно определенной квадратичной формы;
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– и здесь произведение каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, в котором:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы каноническое представление положительно определенной квадратичной формынам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит каноническое представление положительно определенной квадратичной формыслагаемых с квадратами переменных и каноническое представление положительно определенной квадратичной формыслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Её можно записать, как произведение двух матриц:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, где:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– столбец переменных;

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– его транспонированная строка;

каноническое представление положительно определенной квадратичной формыматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты каноническое представление положительно определенной квадратичной формыпри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель каноническое представление положительно определенной квадратичной формыназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формырангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

И в самом деле:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
далее:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое каноническое представление положительно определенной квадратичной формыдважды содержит 1-ю переменную, поэтому каноническое представление положительно определенной квадратичной формы;

– из аналогичных соображений определяем каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Так как в слагаемое каноническое представление положительно определенной квадратичной формывходят 1-я и 2-я переменная, то каноническое представление положительно определенной квадратичной формы(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением каноническое представление положительно определенной квадратичной формы(а точнее, присутствует с нулевым множителем: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы), то каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и на холст отправляются два нуля: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

И, наконец, из слагаемого каноническое представление положительно определенной квадратичной формыопределяем каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, после чего картина завершена:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, значит, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, ранг равен трём, дискриминант каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Как отмечалось в начале урока, переменные каноническое представление положительно определенной квадратичной формымогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, например:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору каноническое представление положительно определенной квадратичной формыставится в соответствие определённое число каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений каноническое представление положительно определенной квадратичной формырассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений каноническое представление положительно определенной квадратичной формы).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– всегда, если только каноническое представление положительно определенной квадратичной формыодновременно не равны нулю.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– для любого вектора каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, кроме нулевого каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

И вообще, если для любого ненулевого вектора каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи из уравнения каноническое представление положительно определенной квадратичной формынайдём её собственные значения:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, значит, форма каноническое представление положительно определенной квадратичной формыопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях каноническое представление положительно определенной квадратичной формыона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители каноническое представление положительно определенной квадратичной формыкоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– чётное или каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы:

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма каноническое представление положительно определенной квадратичной формыопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формыиз Примера 1:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

первый её угловой минор каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, а второй каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи её матрицу из Примера 2:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, следовательно, форма точно не отрицательна.

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

б) каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то форма определена неотрицательно, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, при которых каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Здесь можно привести такой «баян»:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
и ещё более тривиальный пример:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– здесь форма равна нулю при любом векторе каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, где каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формысуществуют два главных минора 1-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» каноническое представление положительно определенной квадратичной формыглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей каноническое представление положительно определенной квадратичной формыопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор каноническое представление положительно определенной квадратичной формы-го порядка неположителен, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– нечётное либо неотрицателен, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Составим матрицу каноническое представление положительно определенной квадратичной формыформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае каноническое представление положительно определенной квадратичной формы2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу каноническое представление положительно определенной квадратичной формыформы каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Вычислим угловые миноры:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
умножим обе его части на каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, сменив у неравенства знак:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Второе неравенство уже решено: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.
Таким образом, имеем совместную систему:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
из которой следует, что форма определена отрицательно при каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Например, если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– то при любом ненулевом векторе каноническое представление положительно определенной квадратичной формыданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу каноническое представление положительно определенной квадратичной формыформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.

Ответ: при каноническое представление положительно определенной квадратичной формыформа определена отрицательно, при каноническое представление положительно определенной квадратичной формынеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
Квадратичная форма двух переменных имеет вид каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, в данном случае: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Запишем форму в матричном виде:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Проверка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
Поскольку каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, то ранг формы равен двум.

Ответ: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, следовательно:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Симметричные коэффициенты 1-й строки: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, таким образом:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы, и:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

И, наконец, каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Ответ: каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы,
шесть главных миноров 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
четыре главных минора 3-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи вычислим её угловые миноры:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. каноническое представление положительно определенной квадратичной формыи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы
каноническое представление положительно определенной квадратичной формы– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

каноническое представление положительно определенной квадратичной формы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *