каноничный вид квадратичной формы

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$$ x_ <2>$$ x_ <3>$
$ x_ <1>$$ f_ <11>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ f_ <22>$$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$$ \frac<1><2>f_ <13>$$ \frac<1><2>f_ <23>$$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой каноничный вид квадратичной формы

Пример:

Сумма каноничный вид квадратичной формыявляется квадратичной формой от трех неизвестных каноничный вид квадратичной формы.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при каноничный вид квадратичной формыобозначаются через каноничный вид квадратичной формыа коэффициенты при каноничный вид квадратичной формычерез каноничный вид квадратичной формыпричем каноничный вид квадратичной формы„ Член каноничный вид квадратичной формызаписывается в виде каноничный вид квадратичной формыПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: каноничный вид квадратичной формы

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

каноничный вид квадратичной формы

каноничный вид квадратичной формы

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид каноничный вид квадратичной формы. Если каноничный вид квадратичной формы— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму каноничный вид квадратичной формывместо X получится число каноничный вид квадратичной формы, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе каноничный вид квадратичной формы.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. каноничный вид квадратичной формыпри каноничный вид квадратичной формы. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами каноничный вид квадратичной формы,т.е.:

каноничный вид квадратичной формы

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

каноничный вид квадратичной формы

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

каноничный вид квадратичной формы

где каноничный вид квадратичной формы-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование каноничный вид квадратичной формы— матрица-столбец новых переменных каноничный вид квадратичной формы— матрица, обратная к S.

каноничный вид квадратичной формы

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

каноничный вид квадратичной формы

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис каноничный вид квадратичной формыпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы каноничный вид квадратичной формы, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. каноничный вид квадратичной формыпри каноничный вид квадратичной формы

Если каноничный вид квадратичной формыканонический базис F(X), то выражение: каноничный вид квадратичной формыназывается каноническим видом F(X) в базисе каноничный вид квадратичной формыгде каноничный вид квадратичной формы— новый набор неизвестных.

Теорема. Если каноничный вид квадратичной формы— разложение вектора а по каноническому базису каноничный вид квадратичной формы квадратичной формы каноничный вид квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле каноничный вид квадратичной формы

Доказательство:

каноничный вид квадратичной формы

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис каноничный вид квадратичной формыквадратичной формы F(X) и ее канонический вид каноничный вид квадратичной формыв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов каноничный вид квадратичной формы симметрической матрицы каноничный вид квадратичной формы, является каноническим базисом квадратичной формы каноничный вид квадратичной формы, а выражение каноничный вид квадратичной формы— ее каноническим видом в базисе каноничный вид квадратичной формы,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы каноничный вид квадратичной формы. Будем говорить, что матрица каноничный вид квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, если определители:

каноничный вид квадратичной формы

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что каноничный вид квадратичной формы

Обозначим через каноничный вид квадратичной формыматрицу:

каноничный вид квадратичной формы

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. каноничный вид квадратичной формыИз условия каноничный вид квадратичной формыследует, что каноничный вид квадратичной формыи, значит, каждая система уравнений каноничный вид квадратичной формы, где каноничный вид квадратичной формывектор диагональной системы, имеет единственное решение каноничный вид квадратичной формы. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы каноничный вид квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби каноничный вид квадратичной формы матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы каноничный вид квадратичной формы, а выражение:

каноничный вид квадратичной формы ее каноническим видом в базисе каноничный вид квадратичной формы.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

каноничный вид квадратичной формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой каноничный вид квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

каноничный вид квадратичной формы, где:

каноничный вид квадратичной формы– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а каноничный вид квадратичной формы– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы каноничный вид квадратичной формы.

Например: каноничный вид квадратичной формы– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой каноничный вид квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных каноничный вид квадратичной формыимеет следующий вид:

каноничный вид квадратичной формы

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
каноничный вид квадратичной формы– в этом слагаемом находится произведение каноничный вид квадратичной формыи каноничный вид квадратичной формы(квадрат);
каноничный вид квадратичной формы– здесь произведение каноничный вид квадратичной формы;
каноничный вид квадратичной формы– и здесь произведение каноничный вид квадратичной формы.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: каноничный вид квадратичной формы, в котором:

каноничный вид квадратичной формы– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: каноничный вид квадратичной формы

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе каноничный вид квадратичной формы, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы каноничный вид квадратичной формынам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

каноничный вид квадратичной формы

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

каноничный вид квадратичной формы

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

каноничный вид квадратичной формы
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит каноничный вид квадратичной формыслагаемых с квадратами переменных и каноничный вид квадратичной формыслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: каноничный вид квадратичной формы. Её можно записать, как произведение двух матриц:

каноничный вид квадратичной формы

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: каноничный вид квадратичной формы, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: каноничный вид квадратичной формы.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
каноничный вид квадратичной формы

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

каноничный вид квадратичной формы, где:

каноничный вид квадратичной формы– столбец переменных;

каноничный вид квадратичной формы– его транспонированная строка;

каноничный вид квадратичной формыматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты каноничный вид квадратичной формыпри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, каноничный вид квадратичной формы– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель каноничный вид квадратичной формыназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы каноничный вид квадратичной формырангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы каноничный вид квадратичной формы, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае каноничный вид квадратичной формы. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

каноничный вид квадратичной формы

И в самом деле:
каноничный вид квадратичной формы
далее:
каноничный вид квадратичной формы
каноничный вид квадратичной формы, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

каноничный вид квадратичной формы

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

каноничный вид квадратичной формы

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое каноничный вид квадратичной формыдважды содержит 1-ю переменную, поэтому каноничный вид квадратичной формы;

– из аналогичных соображений определяем каноничный вид квадратичной формыи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: каноничный вид квадратичной формы.

Так как в слагаемое каноничный вид квадратичной формывходят 1-я и 2-я переменная, то каноничный вид квадратичной формы(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: каноничный вид квадратичной формы.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением каноничный вид квадратичной формы(а точнее, присутствует с нулевым множителем: каноничный вид квадратичной формы), то каноничный вид квадратичной формы, и на холст отправляются два нуля: каноничный вид квадратичной формы.

И, наконец, из слагаемого каноничный вид квадратичной формыопределяем каноничный вид квадратичной формы, после чего картина завершена:
каноничный вид квадратичной формы– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» каноничный вид квадратичной формы, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
каноничный вид квадратичной формы

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы каноничный вид квадратичной формы. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, каноничный вид квадратичной формы, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор каноничный вид квадратичной формы, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
каноничный вид квадратичной формы, значит, каноничный вид квадратичной формы

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: каноничный вид квадратичной формы, ранг равен трём, дискриминант каноничный вид квадратичной формы

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
каноничный вид квадратичной формы

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме каноничный вид квадратичной формы.

Как отмечалось в начале урока, переменные каноничный вид квадратичной формымогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение каноничный вид квадратичной формы, например:

каноничный вид квадратичной формы
каноничный вид квадратичной формы, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору каноничный вид квадратичной формыставится в соответствие определённое число каноничный вид квадратичной формы. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений каноничный вид квадратичной формырассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы каноничный вид квадратичной формы– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений каноничный вид квадратичной формы).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

каноничный вид квадратичной формы

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

каноничный вид квадратичной формы– всегда, если только каноничный вид квадратичной формыодновременно не равны нулю.

каноничный вид квадратичной формы– для любого вектора каноничный вид квадратичной формы, кроме нулевого каноничный вид квадратичной формы.

И вообще, если для любого ненулевого вектора каноничный вид квадратичной формы, каноничный вид квадратичной формы, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же каноничный вид квадратичной формы– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения каноничный вид квадратичной формы, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
каноничный вид квадратичной формыи из уравнения каноничный вид квадратичной формынайдём её собственные значения:

каноничный вид квадратичной формы

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
каноничный вид квадратичной формы
каноничный вид квадратичной формы, значит, форма каноничный вид квадратичной формыопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях каноничный вид квадратичной формыона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители каноничный вид квадратичной формыкоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
каноничный вид квадратичной формы
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: каноничный вид квадратичной формы.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: каноничный вид квадратичной формы, каноничный вид квадратичной формы, если каноничный вид квадратичной формы– чётное или каноничный вид квадратичной формы, если каноничный вид квадратичной формы– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы каноничный вид квадратичной формы:

каноничный вид квадратичной формы, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

каноничный вид квадратичной формы

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма каноничный вид квадратичной формыопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы каноничный вид квадратичной формыиз Примера 1:
каноничный вид квадратичной формы

первый её угловой минор каноничный вид квадратичной формы, а второй каноничный вид квадратичной формы, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений каноничный вид квадратичной формы, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму каноничный вид квадратичной формыи её матрицу из Примера 2:
каноничный вид квадратичной формы

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
каноничный вид квадратичной формы, следовательно, форма точно не отрицательна.

каноничный вид квадратичной формы, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) каноничный вид квадратичной формы

б) каноничный вид квадратичной формы

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора каноничный вид квадратичной формы, то форма определена неотрицательно, если каноничный вид квадратичной формы– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы каноничный вид квадратичной формы, при которых каноничный вид квадратичной формы.

Здесь можно привести такой «баян»:
каноничный вид квадратичной формы

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: каноничный вид квадратичной формы, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: каноничный вид квадратичной формы.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
каноничный вид квадратичной формы
и ещё более тривиальный пример:
каноничный вид квадратичной формы– здесь форма равна нулю при любом векторе каноничный вид квадратичной формы, где каноничный вид квадратичной формы– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы каноничный вид квадратичной формысуществуют два главных минора 1-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
каноничный вид квадратичной формы(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» каноничный вид квадратичной формыглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
каноничный вид квадратичной формы– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
каноничный вид квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
каноничный вид квадратичной формы– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы каноничный вид квадратичной формы.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей каноничный вид квадратичной формыопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор каноничный вид квадратичной формы-го порядка неположителен, если каноничный вид квадратичной формы– нечётное либо неотрицателен, если каноничный вид квадратичной формы– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
каноничный вид квадратичной формы

Составим матрицу каноничный вид квадратичной формыформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
каноничный вид квадратичной формы

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае каноничный вид квадратичной формы2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу каноничный вид квадратичной формыформы каноничный вид квадратичной формы, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноничный вид квадратичной формы

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
каноничный вид квадратичной формы

Вычислим угловые миноры:
каноничный вид квадратичной формы
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
каноничный вид квадратичной формы

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноничный вид квадратичной формы

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
каноничный вид квадратичной формы
умножим обе его части на каноничный вид квадратичной формы, сменив у неравенства знак:
каноничный вид квадратичной формы, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноничный вид квадратичной формы

Второе неравенство уже решено: каноничный вид квадратичной формы, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: каноничный вид квадратичной формы.
Таким образом, имеем совместную систему:
каноничный вид квадратичной формы
из которой следует, что форма определена отрицательно при каноничный вид квадратичной формы. Например, если каноничный вид квадратичной формы:
каноничный вид квадратичной формы– то при любом ненулевом векторе каноничный вид квадратичной формыданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если каноничный вид квадратичной формы, то:
каноничный вид квадратичной формы
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу каноничный вид квадратичной формыформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
каноничный вид квадратичной формы– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
каноничный вид квадратичной формы
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
каноничный вид квадратичной формы

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, каноничный вид квадратичной формы, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях каноничный вид квадратичной формы.

Ответ: при каноничный вид квадратичной формыформа определена отрицательно, при каноничный вид квадратичной формынеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноничный вид квадратичной формы

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
каноничный вид квадратичной формы
Квадратичная форма двух переменных имеет вид каноничный вид квадратичной формы, в данном случае: каноничный вид квадратичной формы. Запишем форму в матричном виде:
каноничный вид квадратичной формы

Проверка:
каноничный вид квадратичной формы
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
каноничный вид квадратичной формы
Поскольку каноничный вид квадратичной формы, то ранг формы равен двум.

Ответ: каноничный вид квадратичной формы, каноничный вид квадратичной формы, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали каноничный вид квадратичной формы, следовательно:
каноничный вид квадратичной формы

Симметричные коэффициенты 1-й строки: каноничный вид квадратичной формы, таким образом:
каноничный вид квадратичной формы

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: каноничный вид квадратичной формы, и:
каноничный вид квадратичной формы

И, наконец, каноничный вид квадратичной формы

Ответ: каноничный вид квадратичной формы

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
каноничный вид квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноничный вид квадратичной формы

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
каноничный вид квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноничный вид квадратичной формы

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы,
шесть главных миноров 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы
четыре главных минора 3-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы каноничный вид квадратичной формыи вычислим её угловые миноры:
каноничный вид квадратичной формы
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. каноничный вид квадратичной формыи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
каноничный вид квадратичной формы
каноничный вид квадратичной формы– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

каноничный вид квадратичной формы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *