комплексная форма представления гармонических колебаний
2)Гармонические колебания (рис.2.4.).
Непериодические сигналы – это сигналы, которые описываются непериодическими функциями времени. Однако их можно рассматривать как периодические, для которых Т 
.
Примеры непериодических сигналов.
1) Сигнал типа единичная функция (ступенчатый сигнал, функция Хевисайда, рис.2.5.).
2
) Одиночный прямоугольный импульс – это сигнал, форма которого прямоугольная (рис.2.6).
3) Сигнал типа 
(дельта – функция, функция Дирака, рис. 2.7.).
0, t 0
Э
та функция обладает свойствами: 1.
;
2.
-это
соотношение называют, фильтрующее свойство дельта – функции.
Случайные сигналы – это сигналы характер изменения, которых заранее предсказать невозможно. Именно эти сигналы несут информацию о состоянии интересующего нас объекта. С математической точки зрения такие сигналы описываются методами теории вероятности или случайных процессов. Разновидностью случайных сигналов являются помехи – сигналы, которые накладываются на передаваемые сообщения и искажают его характер. По природе происхождения помехи бывают: атмосферные, индустриальные и флуктуационные.
2.2. Гармоническое колебание и способы его представления
Гармоническим называется колебание, которое описывается гармонической функцией времени: sin(t), cos(t).
Г
армоническое колебание, а также сигнал произвольной формы могут быть представлены в следующих формах:
1) временное представление сигнала;
2) комплексное представление;
3) векторное представление;
Его график – называется временной диаграммой (рис.2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются:
φ =arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ0 = arctg(b/a) – начальная фаза.
Выражение Аme j ( ωt + φ ) называют комплексом гармонической функции. Тогда учитывая, что Аcosφ = Re
Комплексную величину 
называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е j ω t – множитель вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и о начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени, при известной частоте ω, связаны взаимнооднозначно, т. е.
.
3) Векторное представление сигнала – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. Рассмотрим векторное представление следующих сигналов:
где e jωt – множитель вращения.
б) гармоническое колебание s(t) = Amcos(ωt- φ0)= Re<Àme j ωt >.
На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось.
Спектральное представление сигнала.
Операторное представление сигнала.
Два последних способа описания сигнала рассмотрим подробнее.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
3.1 Представление гармонических функция с помощью комплексных величин
Расчеты электрических цепей гармонического тока в тригонометрической форме или графически с помощью векторных диаграмм применяются на практике только в случае простых схем.
С усложнением электрических цепей, с увеличением числа контуров, источников энергии, добавлением взаимных индуктивностей и т. д. тригонометрические или графические расчеты становятся крайне затруднительными. Требуется метод, позволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраически, аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), введенный в электротехнику А. Е. Кеннеди и П. Ч. Штейнметцом в 1893 – 1894 гг. Этот метод, как и векторные диаграммы, основан на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, причем вращающиеся векторы выражаются аналитически, в комплексной форме. Алгебраически интерпретируя векторные диаграммы, этот метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.
Все последующее изложение данного курса и радиотехнических дисциплин базируется на этом методе.
Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиусом-вектором этой точки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рисунок 3.1).
Пользуясь показательной или полярной формой записи комплексного числа, имеем
(в электротехнике не пользуются обозначением 
, так как буква i обозначает ток).
Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи комплексного числа
Вектор, вращающийся в положительном направлении, т.е. против хода часовой стрелки, с угловой скоростью ω, может быть выражен следующим образом
где 
(
– комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0, рисунок 3.2). Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной гармонической функции.
Записывая комплексную функцию (3.1) в тригонометрической форме
заключаем, что гармоническая функция Acos( ω t+a) может рассматриваться как действительная часть комплексной функции (3.1), или, что то же, как проекция вращающегося век-тора на действительную ось.
Условно это записывается так:
Символ Re обозначает, что берется действительная часть комплексной функции. Например,
где 
– комплексная амплитуда.
Аналогично функция Asin( ω t+ ψ ) может быть в случае необходимости представлена как мнимая часть комплексной функции (3.1), взятая без множителя j, или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.
Условно это записывается так
где символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплексной функции. Например,
Другой способ представления гармонической функции с помощью комплексных величин основан на применении формул
Согласно (3.2) можно заключить, что функция Acos( ω t+ ψ ) равна геометрической сумме двух комплексно сопряженных векторов, имеющих модуль A/2 и вращающихся в противоположные стороны с одинаковой угловой скоростью ω.
В результате сложения таких двух векторов получается вектор, расположенный на действительной оси, т. е. для любого момента времени t получается действительная величина (рисунок 3.3, а).
Аналогично из (3.3) видно, что функция Asin(ωt+ ψ ) равна геометрической разности тех же двух вращающихся векторов, деленной на j. Разность этих векторов для любого момента времени t представляет мнимую величину (рисунок 3.3, б), и поэтому ее делят на j для получения действительной функции.
Вращение вектора в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки) связано с понятием отрицательной круговой частоты (– ω ), которое является чисто математическим понятием, вытекающим из вышеприведенных формул. Введение этого понятия в ряде случаев удобно для исследования процессов в электрических цепях. Из сравнения построения на рисунках 3.3, а и б, видно, что представление гармонических функций с помощью двух векторов, вращающихся в противоположные стороны, для функции вида Acos( ω t+ ψ ) проще, чем для функции Asin( ω t+ ψ ).
Портал ТОЭ
1.4 Комплексное представление гармонических сигналов
Во многих задачах анализа электрических цепей источники электрической энергии имеют переменное во времени напряжение (ток), изменяющееся, например, по гармоническому закону:
Гармонические колебания характеризуются также интегральными параметрами:
Физический смысл действующего значения тока: он равен такому постоянному току, который, проходя по активному сопротивлению, выделяет за время T то же количество теплоты, что и гармонический ток.
Расчёт цепи облегчается, если изобразить грамонические величины векторами на комплексной плоскости.
Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу.
Данное число можно записать в показательной форме (в полярной системе координат):
Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи:
Либо алгебраическую форму (в прямоугольных координатах):
Вектор, вращающийся в положительном направлении (против хода часовой стрелки) с угловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:
Множитель e jωt – оператор вращения. Умножение комплексной амплитуды Ȧ m на e jωt означает поворот вектора Ȧ m на угол ( ωt ) в положительном направлении (против часовой стрелки).
Комплексное действующее значение отличается от комплексной амплитуды в раз:
При равенстве начальных фаз векторы направлены в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).
Векторное представление гармонических функций, частоты которых одинаковы, облегчает операции сложения и вычитания этих функций.
Значительно упрощаются операции дифференцирования и интегрирования функций, представленных комплексными числами.
Операция дифференцирования гармонической функции заменяется умножением на jω её комплексного изображения.
Операция интегрирования гармонической функции заменяется делением на jω её комплексного изображения.
Представление гармонических колебаний в комплексном виде
Основой для комплексного представления колебаний служит формула Эйлера
(12)
где 
= 
– мнимая единица.
Поэтому гармоническое колебание описывающие по закону (12) можно записать в виде экспоненциальной форме:
, (13)
где 
– комплексная амплитуд, не изменяется с течением времени, но её введение имеет глубокий физический смысл. Она изображается постоянным вектором на диаграмме колебаний. Этот вектор даёт возможность отображать сдвиги фаз между колебаниями различных физических величин.
Введение комплексного представления колебаний и комплексных амплитуд позволяет обойтись без векторных диаграмм.
Комплексная амплитуда результирующего колебания равно сумме комплексных амплитуд слагаемых, т.е. просто сумме комплексных чисел.
Физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции 
обозначаемая Re 
:
Начальная фаза колебаний, при использовании комплексного представления колебаний принципиально важно установить знак перед экспонентом exp (± i 
).
Графическое представление гармонических колебаний
Векторные диаграммы
Колебания одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.
,
где 
— угол, который образовывается с осью и вектором А (рад 
. 
Рисунок 1- Вектор колебания: — угол, который образовывается с осью и вектором А (рад , 
— угловая скорость ( 
)
Проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Длина вектора равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.
2)Гармонические колебания (рис.2.4.).
Непериодические сигналы – это сигналы, которые описываются непериодическими функциями времени. Однако их можно рассматривать как периодические, для которых Т .
Примеры непериодических сигналов.
1) Сигнал типа единичная функция (ступенчатый сигнал, функция Хевисайда, рис.2.5.).
2) Одиночный прямоугольный импульс – это сигнал, форма которого прямоугольная (рис.2.6).
3) Сигнал типа (дельта – функция, функция Дирака, рис. 2.7.).
0, t 0
Эта функция обладает свойствами: 1.;
2.-это
соотношение называют, фильтрующее свойство дельта – функции.
Случайные сигналы – это сигналы характер изменения, которых заранее предсказать невозможно. Именно эти сигналы несут информацию о состоянии интересующего нас объекта. С математической точки зрения такие сигналы описываются методами теории вероятности или случайных процессов. Разновидностью случайных сигналов являются помехи – сигналы, которые накладываются на передаваемые сообщения и искажают его характер. По природе происхождения помехи бывают: атмосферные, индустриальные и флуктуационные.
2.2. Гармоническое колебание и способы его представления
Гармоническим называется колебание, которое описывается гармонической функцией времени: sin(t), cos(t).
Гармоническое колебание, а также сигнал произвольной формы могут быть представлены в следующих формах:
1) временное представление сигнала;
2) комплексное представление;
3) векторное представление;
Его график – называется временной диаграммой (рис.2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются:
φ =arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ0 = arctg(b/a) – начальная фаза.
Выражение Аme j ( ωt + φ ) называют комплексом гармонической функции. Тогда учитывая, что Аcosφ = Re
Комплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е j ω t – множитель вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и о начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени, при известной частоте ω, связаны взаимнооднозначно, т. е.
.
3) Векторное представление сигнала – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. Рассмотрим векторное представление следующих сигналов:
где e jωt – множитель вращения.
б) гармоническое колебание s(t) = Amcos(ωt- φ0)= Re<Àme j ωt >.
На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось.
Спектральное представление сигнала.
Операторное представление сигнала.
Два последних способа описания сигнала рассмотрим подробнее.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.