комплексная форма интеграла фурье

Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла

Содержание:

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований. Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(x) называется функция где К(х, ш) — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существуете собственном или несобственном смысле). §1.

Интеграл Фурье Всякая функция f(x), которая на отрезке [-f, I] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом Коэффициенты а*, и 6„ ряда (1) определяются по формулам Эйлера—Фурье: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме.

С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов а» и оп, подведем под знаки интегралов cos ^ х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является т) О) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь Если функция/(ж) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-1,1] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-1,1] и продолжит се на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 21 (рис. 1).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Положим так, что Тогда сумма в правой части (3) примет вид В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших I мало отличается от выражения которое напоминает интегральную сумму для функции переменного £ составленную для интервала (0, +оо) изменения Поэтому естественно ожидать, что при сумма (5) перейдет в интеграл Сдругой стороны, при фиксировано) из формулы (3) вытекает, что и мы получаем равенство Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.

Теорема 1:

Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, 6], то справедливо равенство При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции /(ж), значение интеграла в правой части (7) равно Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралом Фурье.

Это — интегральное преобразование функции /(г) на интервале (-оо,+оо) с ядром Используя интегральную формулу Фурье получаем Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F(£) к /(х). Иногда прямое преобразование Фурье задают так: Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой Преобразование Фурье функции /(ж) определяют также следующим образом: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения.

Тогда, в свою очередь, При этом положение множителя ^ достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1″), либо в формулу (2″).

Полагая в (4) £ = 0, найдем С = F(0). В силу (3) имеем Известно, что В частности, для ) получаем, что Пример 2 (разред кокдемсетора через сопропиление). Рассмотрим функцию 4 Для спектрам ыюй функции F(£) получаем Отсюда (рис.2). Условие абсолютной интегри-руемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как ) = cos ж, f(x) = е1, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.

Функция называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x) Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc(£). Иными словами, функции / и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями. Определение. Функция называется синус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (7) получаем, что для нечетной функции f(x) т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.

Пример 3 прамоугольный импульс:

Пусть f(t) — четная функция, определенная следующим образом: (рис. 3). Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла В силу формулы (9) имеем Рис.3 0 0 В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице. Поэтому из (12′) получим 2.2. Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье Пусть периодическая с периодом 2т функция /(х) разлагается в ряд Фурье Это равенство можно записать в виде где — амплитуда колебания с частотой п, — фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.

Пример 4:

Найти амплитудный и фазовый спектры функции 4 Находим спектральную функцию Отсюда Графики этих функций изображены на рис. 4. §3. Свойства преобразования Фурье 1. Линейность. Если и G(0 — преобразования Фурье функций /(х) и д(х) соответственно, то при любых постоянных а и р преобразованием Фурье функции a f

Если F(£) есть преобразование Фурье абсолютно

Если функция f(x) имеет глад*«е абсолютно интефируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(x), стремятся к нулю при то, интегрируя по частям нужное число раз, получим Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачуинтегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.

Нетрудно установить следующие свойства свертки: 1) линейность: 2) коммутативность: §4. Приложения преобразования Фурье 1. Пусть Р(^) — линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами, Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим ‘ Рассмотрим дифференциальное уравнение где Р — введенный выше дифференциальный оператор. Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье у (О. а функция f(x) имеет преобразование /(£)•

Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это — задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ комплексная форма интеграла фурьекомплексная форма интеграла фурье

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Комплексная форма интеграла Фурье

комплексная форма интеграла фурье комплексная форма интеграла фурье комплексная форма интеграла фурье комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

Пусть функция комплексная форма интеграла фурьеможет быть представлена интегралом Фурье (функция отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, то есть комплексная форма интеграла фурье— сходится). Запишем для этой функции в действительной форме интеграл Фурье:
комплексная форма интеграла фурье, где

комплексная форма интеграла фурье;

комплексная форма интеграла фурье

Используя формулы Эйлера (4.14) и (4.15), преобразуем подынтегральное выражение (5.5):

комплексная форма интеграла фурье

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на мнимую единицу i:

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

при комплексная форма интеграла фурье. Тогда подынтегральная функция в выражении (5.5) запишется в виде:

комплексная форма интеграла фурьеи

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

Т.е. комплексная форма интеграла фурье(5.9)

Равенство (5.9) получено при условии, что комплексная форма интеграла фурье, но можно показать, что формула (5.9) справедлива и при комплексная форма интеграла фурье.

комплексная форма интеграла фурье

То есть равенство (5.9) справедливо при всех действительных значениях u. Окончательно можно записать комплексную форму интеграла Фурье:

комплексная форма интеграла фурьепри

комплексная форма интеграла фурье(5.10)

Пример: записать интеграл Фурье в комплексной форме для функции

комплексная форма интеграла фурье( комплексная форма интеграла фурье)

комплексная форма интеграла фурье, где комплексная форма интеграла фурье

Вычислим для заданного примера коэффициент c(u):

комплексная форма интеграла фурье

Итак, интеграл Фурье в комплексной форме для заданной функции имеет следующий вид:

комплексная форма интеграла фурье

Перейдем от комплексной формы интеграла Фурье к действительной форме интеграла Фурье для этой же функции.

комплексная форма интеграла фурьекомплексная форма интеграла фурье

Сложим первое и второе равенства, тогда

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

Вычтем из первого равенства второе, тогда:

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

Тогда коэффициент b(u) соответственно равен:

комплексная форма интеграла фурье

Интеграл Фурье для данной функции в обычной, действительной форме примет вид:

комплексная форма интеграла фурье

Пример: представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье— кусочно-гладкая и кусочно-монотонная, абсолютно интегрируемая функция, так как

комплексная форма интеграла фурье

то есть данную функцию можно представить с помощью интеграла Фурье:

комплексная форма интеграла фурье, где

комплексная форма интеграла фурье

По формуле Эйлера комплексная форма интеграла фурье, в нашем случае комплексная форма интеграла фурьеменяем на комплексная форма интеграла фурье.

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

При вычислениях учитывали, что

комплексная форма интеграла фурье комплексная форма интеграла фурье

Тогда комплексная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид:

комплексная форма интеграла фурье

Перейдем к действительной форме интеграла Фурье для той же функции:

комплексная форма интеграла фурье

комплексная форма интеграла фурье

Действительная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид:

комплексная форма интеграла фурье

Приложение.

Варианты индивидуальных домашних заданий.

Вариант № 1

1. Исследовать ряд на сходимость.

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда.

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням “ x “ функцию

комплексная форма интеграла фурье, найти интервал сходимости ряда к комплексная форма интеграла фурье.

4. Разложить в ряд Фурье на интервале (0 ; π) по косинусам функцию:

комплексная форма интеграла фурье

Вариант № 2

1. Исследовать ряд на сходимость.

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда.

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить приближенно
комплексная форма интеграла фурье

учитывая 2 члена разложения подынтегральной функции. Оценить погрешность приближения.

4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам:

комплексная форма интеграла фурье0

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить с точностью до 0.001

комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам.

комплексная форма интеграла фурье

Вариант № 4

1. Исследовать ряд на сходимость.

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда.

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

комплексная форма интеграла фурье, найти интервал сходимости ряда к комплексная форма интеграла фурье.

4. Разложить в ряд Фурье функцию:

комплексная форма интеграла фурьепо синусам.

Вариант № 5

1. Исследовать ряд на сходимость.

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда.

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить с точностью до 0,001

комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить в ряд Фурье функцию:

комплексная форма интеграла фурьепо синусам.

Вариант № 6

1. Исследовать ряд на сходимость.

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда.

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

комплексная форма интеграла фурье, найти интервал сходимости ряда к комплексная форма интеграла фурье.

4. Разложить в ряд Фурье
комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам

комплексная форма интеграла фурье

Вариант №10

1. Исследовать ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить с точностью до 0.001

комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке (0; 1) по косинусам

комплексная форма интеграла фурье

Вариант № 11

1. Исследовать ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х-2) функцию

комплексная форма интеграла фурье

найти интервал сходимость к f(x)

4. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (0;2π)

комплексная форма интеграла фурье

Вариант № 12

1. Исследовать ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням X, определить интервал сходимости

комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с комплексная форма интеграла фурье, если:

комплексная форма интеграла фурье

Вариант №13

1. Исследовать ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х+1) функцию

комплексная форма интеграла фурье

найти интервал сходимость к f(x)

4. Представить функцию рядом Фурье на интервале (-π, π)

комплексная форма интеграла фурье

Вариант №14

1. Исследовать ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить с точностью до 0.001

комплексная форма интеграла фурье

4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (0, π) по синусам

комплексная форма интеграла фурье

Вариант №15

1. Исследовать ряд на сходимость числовой ряд

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию

комплексная форма интеграла фурье

найти интервал сходимости ряда к f(x).

4. Представить рядом Фурье периодическую функцию с Т=π

комплексная форма интеграла фурье

Вариант №16

1. Исследовать числовой ряд на сходимость

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда

комплексная форма интеграла фурье

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию

комплексная форма интеграла фурье

найти интервал сходимость к f(x).

4. Представить рядом Фурье функцию на интервале (-3, 3).

комплексная форма интеграла фурье

Вариант № 17

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

комплексная форма интеграла фурье

2. Найти область сходимости степенного ряда:

комплексная форма интеграла фурье

3. Вычислить с точностью до 0,001:

комплексная форма интеграла фурье

4. Представить рядом Фурье функцию: комплексная форма интеграла фурьена интервале (-1

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *