комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1. также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму. Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений комплексные числа перевод в тригонометрическую формуили комплексные числа перевод в тригонометрическую форму. Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Ответ. комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Ответ. комплексные числа перевод в тригонометрическую форму, где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или

Пример 4. Умножить комплексные числа комплексные числа перевод в тригонометрическую формуи комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Решение. Воспользуемся формулой (5):

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Ответ. комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Отсюда следует, что комплексные числа перевод в тригонометрическую формуили

Далее комплексные числа перевод в тригонометрическую форму, или

Пример 5. Делить комплексные числа комплексные числа перевод в тригонометрическую формуи комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Решение. Воспользуемся формулой (8):

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Ответ. комплексные числа перевод в тригонометрическую форму.

Источник

Конвертер величин

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Калькулятор преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Этот калькулятор может преобразовывать комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую (полярную) и наоборот.

Пример 1: Преобразовать импеданс в Z = 5 + j2 Ω из алгебраической формы в полярную.

Преобразование из полярной в алгебраическую

Для преобразования выберите радианы или градусы, введите радиус и угол и нажмите кнопку Преобразовать.

Преобразование из алгебраической формы в полярную

Для преобразования введите действительную и мнимую части и нажмите кнопку Преобразовать.

Определения и формулы

При изучении колебательных процессов в электротехнике и электронике рассматривают источники гармонических сигналов и реактивные нагрузки. При этом для решения сложных уравнений приходится пользоваться не только вещественными, но и комплексными числами. Комплексные числа позволяют выполнять математические операции с комплексными амплитудами и их удобно применять для анализа цепей с синусоидальными токами и напряжениями. С помощью комплексных чисел можно выполнять арифметические действия с величинами, имеющими амплитуду и фазовый угол, а синусоидальные напряжения и другие параметры цепей переменного тока точно характеризуются амплитудой и фазовым углом. Подробнее о таких расчетах — в нашихКалькуляторах по электротехнике, радиотехнике и электронике and Электротехнических конвертерах.

Комплексное число z можно выразить в форме z = x + jy, где x и y — вещественные числа и j — мнимая единица, определяемая формулой j² = –1. В комплексном числе x + jy, величина x называется вещественной частью, а величина y называется мнимой частью. В электротехнике для обозначения мнимой единицы используется буква j, так как буквой i принято обозначать мгновенное значение тока. В математике вместо j обычно используют букву i.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Комплексные числа визуально представляются в виде вектора на комплексной плоскости, которая является модифицированной прямоугольной системой координат. В ней на горизонтальной оси Re изображается вещественная часть комплексного числа, а на вертикальной оси Im — его мнимая часть. Любое комплексное число можно представить в виде смещения на горизонтальной оси (вещественная часть) и смещения на вертикальной оси (мнимая часть).

Комплексное число можно также представить на комплексной плоскости в полярной системе координат. Полярное представление состоит из вектора с абсолютной величиной r и угловым положением φ относительно горизонтальной оси 0° и выражается как

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

В электротехнике и электронике для описания изменяющегося во времени гармонического сигнала используется векторное представление в комплексной форме в полярных координатах, называемое также комплексной амплитудой и фазором (от англ. phase vector — фазовый вектор). Длина вектора представляет амплитуду синусоидальной функции, а угол φ представляет угловое положение вектора. Положительные углы измеряются от начальной оси 0° в направлении против часовой стрелки, а отрицательные углы — по часовой стрелке. Особенно популярен этот метод в учебниках по теоретическим основам электротехники и основам теории цепей на английском языке. В этом их отличие от соответствующих учебников на русском языке, где используется иной подход к анализу. Причем, в отличие от учебников на русском языке, в англоязычной литературе принято обозначение комплексных чисел в полярной системе координат с углом: z = x + jy = re jφ = r∠φ.

Поскольку представление комплексного числа в полярных координатах основано на прямоугольном треугольнике, для определения амплитуды и фазового угла комплексного числа можно воспользоваться теоремой Пифагора, как описано ниже.

Для преобразования из прямоугольных координат x, y в полярные координаты r, φ, используйте следующие формулы:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Если эти формулы используются для электротехнических расчетов (см. Калькулятор мощности переменного тока and Калькулятор мощности трехфазного тока), то x всегда положительно, а y положительно для индуктивной нагрузки (ток отстает от напряжения) и отрицательно для емкостной нагрузки (ток опережает напряжение). В этом случае для емкостных нагрузок углы должны получаться отрицательными в диапазоне –90°≤φ≤0 и их не корректируют, как описано в приведенных выше формулах (то есть, не добавляют 360°).

Преобразование из полярных координат r, φ в прямоугольные coordinates x, y, выполняется по формулам:

Источник

Комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа перевод в тригонометрическую форму называются комплексно сопряженными.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа перевод в тригонометрическую форму , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа перевод в тригонометрическую форму можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа перевод в тригонометрическую форму ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа перевод в тригонометрическую форму в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа перевод в тригонометрическую форму на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа

комплексные числа перевод в тригонометрическую формуАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуКомплексно сопряженные числа
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуМодуль комплексного числа
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуАргумент комплексного числа
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексные числа перевод в тригонометрическую формуИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму(3)
комплексные числа перевод в тригонометрическую форму(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
Положительная
мнимая
полуось
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
Второй
квадрант
комплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую формукомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексные числа перевод в тригонометрическую форму
Главное
значение
аргументакомплексные числа перевод в тригонометрическую формуАргументкомплексные числа перевод в тригонометрическую формуПримерыкомплексные числа перевод в тригонометрическую формуГлавное
значение
аргументакомплексные числа перевод в тригонометрическую формуАргументкомплексные числа перевод в тригонометрическую формуПримерыкомплексные числа перевод в тригонометрическую формуГлавное
значение
аргументакомплексные числа перевод в тригонометрическую формуАргументкомплексные числа перевод в тригонометрическую формуПримерыкомплексные числа перевод в тригонометрическую форму

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексные числа перевод в тригонометрическую формуи комплексные числа перевод в тригонометрическую формузаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексные числа перевод в тригонометрическую форму— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

следствием которых являются равенства

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму(10)

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

то по формуле (10) получаем:

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

комплексные числа перевод в тригонометрическую форму

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *