комплексные числа различные формы представления чисел

Комплексные числа различные формы представления чисел

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа различные формы представления чисел называются комплексно сопряженными.

комплексные числа различные формы представления чисел

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа различные формы представления чисел , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа различные формы представления чисел можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа различные формы представления чисел ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа различные формы представления чисел в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа различные формы представления чисел

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа различные формы представления чисел

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа различные формы представления чисел на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа различные формы представления чисел

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа различные формы представления чисел

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа различные формы представления чисел

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа различные формы представления чисел

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа различные формы представления чисел

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа различные формы представления чисел

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа различные формы представления чисел называются комплексно сопряженными.

комплексные числа различные формы представления чисел

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа различные формы представления чисел , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа различные формы представления чисел можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа различные формы представления чисел ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа различные формы представления чисел в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа различные формы представления чисел

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа различные формы представления чисел

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа различные формы представления чисел на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа различные формы представления чисел

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа различные формы представления чисел

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа различные формы представления чисел

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа различные формы представления чисел

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа различные формы представления чисел

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Формы записи комплексных чисел

Вы будете перенаправлены на Автор24

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=\sqrt <2>-\sqrt <3>\cdot i; 2) z=\sqrt <3>\cdot (1+3i).\]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:

\[z=\sqrt <3>\cdot (1+3i)=\sqrt <3>\cdot 1+\sqrt <3>\cdot 3i=\sqrt <3>+3\sqrt <3>\cdot i\]

Готовые работы на аналогичную тему

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) r=2,\varphi =\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<3\pi > <2>.\]

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

Подставим полученные значения и получим:

Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) r=3,\varphi =2\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<\pi > <6>.\]

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

\[1) z=4+0\cdot i; 2) z=\sqrt <2>+\sqrt <2>\cdot i.\]

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac<0> <4>=arctg0=0.\]

Подставим полученные значения и получим:

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

Подставим полученные значения и получим:

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac<1> <\sqrt<2>> \cdot (\cos \frac<\pi > <4>+i\sin \frac<\pi > <4>).\]

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

Источник

Комплексные числа

комплексные числа различные формы представления чиселАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексные числа различные формы представления чиселСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа различные формы представления чиселКомплексно сопряженные числа
комплексные числа различные формы представления чиселМодуль комплексного числа
комплексные числа различные формы представления чиселДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа различные формы представления чиселИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексные числа различные формы представления чиселАргумент комплексного числа
комплексные числа различные формы представления чиселТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексные числа различные формы представления чиселФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексные числа различные формы представления чиселУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексные числа различные формы представления чиселИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексные числа различные формы представления чисел

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексные числа различные формы представления чисел

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексные числа различные формы представления чисел

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексные числа различные формы представления чисел

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексные числа различные формы представления чисел

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексные числа различные формы представления чисел

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексные числа различные формы представления чисел

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел(3)
комплексные числа различные формы представления чисел(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
Положительная
мнимая
полуось
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
Второй
квадрант
комплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чиселкомплексные числа различные формы представления чисел
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексные числа различные формы представления чисел
Главное
значение
аргументакомплексные числа различные формы представления чиселАргументкомплексные числа различные формы представления чиселПримерыкомплексные числа различные формы представления чиселГлавное
значение
аргументакомплексные числа различные формы представления чиселАргументкомплексные числа различные формы представления чиселПримерыкомплексные числа различные формы представления чиселГлавное
значение
аргументакомплексные числа различные формы представления чиселАргументкомплексные числа различные формы представления чиселПримерыкомплексные числа различные формы представления чисел

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа различные формы представления чисел

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексные числа различные формы представления чисели комплексные числа различные формы представления чиселзаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексные числа различные формы представления чисел

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексные числа различные формы представления чисел— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

следствием которых являются равенства

комплексные числа различные формы представления чисел(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексные числа различные формы представления чисел(10)

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

то по формуле (10) получаем:

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

комплексные числа различные формы представления чисел

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *