квадратичная форма матрицы это

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой квадратичная форма матрицы это

Пример:

Сумма квадратичная форма матрицы этоявляется квадратичной формой от трех неизвестных квадратичная форма матрицы это.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при квадратичная форма матрицы этообозначаются через квадратичная форма матрицы этоа коэффициенты при квадратичная форма матрицы эточерез квадратичная форма матрицы этопричем квадратичная форма матрицы это„ Член квадратичная форма матрицы этозаписывается в виде квадратичная форма матрицы этоПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: квадратичная форма матрицы это

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

квадратичная форма матрицы это

квадратичная форма матрицы это

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид квадратичная форма матрицы это. Если квадратичная форма матрицы это— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму квадратичная форма матрицы этовместо X получится число квадратичная форма матрицы это, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе квадратичная форма матрицы это.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. квадратичная форма матрицы этопри квадратичная форма матрицы это. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами квадратичная форма матрицы это,т.е.:

квадратичная форма матрицы это

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

квадратичная форма матрицы это

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

квадратичная форма матрицы это

где квадратичная форма матрицы это-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование квадратичная форма матрицы это— матрица-столбец новых переменных квадратичная форма матрицы это— матрица, обратная к S.

квадратичная форма матрицы это

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

квадратичная форма матрицы это

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис квадратичная форма матрицы этопространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма матрицы это, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. квадратичная форма матрицы этопри квадратичная форма матрицы это

Если квадратичная форма матрицы этоканонический базис F(X), то выражение: квадратичная форма матрицы этоназывается каноническим видом F(X) в базисе квадратичная форма матрицы этогде квадратичная форма матрицы это— новый набор неизвестных.

Теорема. Если квадратичная форма матрицы это— разложение вектора а по каноническому базису квадратичная форма матрицы это квадратичной формы квадратичная форма матрицы это то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле квадратичная форма матрицы это

Доказательство:

квадратичная форма матрицы это

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичная форма матрицы этоквадратичной формы F(X) и ее канонический вид квадратичная форма матрицы этов этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов квадратичная форма матрицы это симметрической матрицы квадратичная форма матрицы это, является каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма матрицы это, а выражение квадратичная форма матрицы это— ее каноническим видом в базисе квадратичная форма матрицы это,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы квадратичная форма матрицы это. Будем говорить, что матрица квадратичная форма матрицы этоудовлетворяет условию Якоби, если определители:

квадратичная форма матрицы это

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что квадратичная форма матрицы это

Обозначим через квадратичная форма матрицы этоматрицу:

квадратичная форма матрицы это

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. квадратичная форма матрицы этоИз условия квадратичная форма матрицы этоследует, что квадратичная форма матрицы этои, значит, каждая система уравнений квадратичная форма матрицы это, где квадратичная форма матрицы этовектор диагональной системы, имеет единственное решение квадратичная форма матрицы это. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы квадратичная форма матрицы этоудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби квадратичная форма матрицы это матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма матрицы это, а выражение:

квадратичная форма матрицы это ее каноническим видом в базисе квадратичная форма матрицы это.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

квадратичная форма матрицы это

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой квадратичная форма матрицы этопеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

квадратичная форма матрицы это, где:

квадратичная форма матрицы это– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а квадратичная форма матрицы это– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы квадратичная форма матрицы это.

Например: квадратичная форма матрицы это– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой квадратичная форма матрицы этопеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных квадратичная форма матрицы этоимеет следующий вид:

квадратичная форма матрицы это

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
квадратичная форма матрицы это– в этом слагаемом находится произведение квадратичная форма матрицы этои квадратичная форма матрицы это(квадрат);
квадратичная форма матрицы это– здесь произведение квадратичная форма матрицы это;
квадратичная форма матрицы это– и здесь произведение квадратичная форма матрицы это.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: квадратичная форма матрицы это, в котором:

квадратичная форма матрицы это– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: квадратичная форма матрицы это

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе квадратичная форма матрицы это, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы квадратичная форма матрицы этонам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

квадратичная форма матрицы это

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

квадратичная форма матрицы это

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

квадратичная форма матрицы это
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит квадратичная форма матрицы этослагаемых с квадратами переменных и квадратичная форма матрицы этослагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: квадратичная форма матрицы это. Её можно записать, как произведение двух матриц:

квадратичная форма матрицы это

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: квадратичная форма матрицы это, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: квадратичная форма матрицы это.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
квадратичная форма матрицы это

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

квадратичная форма матрицы это, где:

квадратичная форма матрицы это– столбец переменных;

квадратичная форма матрицы это– его транспонированная строка;

квадратичная форма матрицы этоматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты квадратичная форма матрицы этопри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, квадратичная форма матрицы это– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель квадратичная форма матрицы этоназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы квадратичная форма матрицы эторангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы квадратичная форма матрицы это, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае квадратичная форма матрицы это. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

квадратичная форма матрицы это

И в самом деле:
квадратичная форма матрицы это
далее:
квадратичная форма матрицы это
квадратичная форма матрицы это, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

квадратичная форма матрицы это

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

квадратичная форма матрицы это

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое квадратичная форма матрицы этодважды содержит 1-ю переменную, поэтому квадратичная форма матрицы это;

– из аналогичных соображений определяем квадратичная форма матрицы этои сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: квадратичная форма матрицы это.

Так как в слагаемое квадратичная форма матрицы этовходят 1-я и 2-я переменная, то квадратичная форма матрицы это(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: квадратичная форма матрицы это.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением квадратичная форма матрицы это(а точнее, присутствует с нулевым множителем: квадратичная форма матрицы это), то квадратичная форма матрицы это, и на холст отправляются два нуля: квадратичная форма матрицы это.

И, наконец, из слагаемого квадратичная форма матрицы этоопределяем квадратичная форма матрицы это, после чего картина завершена:
квадратичная форма матрицы это– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» квадратичная форма матрицы это, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
квадратичная форма матрицы это

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы квадратичная форма матрицы это. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, квадратичная форма матрицы это, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор квадратичная форма матрицы это, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
квадратичная форма матрицы это, значит, квадратичная форма матрицы это

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: квадратичная форма матрицы это, ранг равен трём, дискриминант квадратичная форма матрицы это

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
квадратичная форма матрицы это

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме квадратичная форма матрицы это.

Как отмечалось в начале урока, переменные квадратичная форма матрицы этомогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение квадратичная форма матрицы это, например:

квадратичная форма матрицы это
квадратичная форма матрицы это, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору квадратичная форма матрицы этоставится в соответствие определённое число квадратичная форма матрицы это. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений квадратичная форма матрицы эторассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы квадратичная форма матрицы это– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений квадратичная форма матрицы это).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

квадратичная форма матрицы это

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

квадратичная форма матрицы это– всегда, если только квадратичная форма матрицы этоодновременно не равны нулю.

квадратичная форма матрицы это– для любого вектора квадратичная форма матрицы это, кроме нулевого квадратичная форма матрицы это.

И вообще, если для любого ненулевого вектора квадратичная форма матрицы это, квадратичная форма матрицы это, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же квадратичная форма матрицы это– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения квадратичная форма матрицы это, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
квадратичная форма матрицы этои из уравнения квадратичная форма матрицы этонайдём её собственные значения:

квадратичная форма матрицы это

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
квадратичная форма матрицы это
квадратичная форма матрицы это, значит, форма квадратичная форма матрицы этоопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях квадратичная форма матрицы этоона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители квадратичная форма матрицы этокоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
квадратичная форма матрицы это
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: квадратичная форма матрицы это.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: квадратичная форма матрицы это, квадратичная форма матрицы это, если квадратичная форма матрицы это– чётное или квадратичная форма матрицы это, если квадратичная форма матрицы это– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы квадратичная форма матрицы это:

квадратичная форма матрицы это, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

квадратичная форма матрицы это

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма квадратичная форма матрицы этоопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы квадратичная форма матрицы этоиз Примера 1:
квадратичная форма матрицы это

первый её угловой минор квадратичная форма матрицы это, а второй квадратичная форма матрицы это, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений квадратичная форма матрицы это, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму квадратичная форма матрицы этои её матрицу из Примера 2:
квадратичная форма матрицы это

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
квадратичная форма матрицы это, следовательно, форма точно не отрицательна.

квадратичная форма матрицы это, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) квадратичная форма матрицы это

б) квадратичная форма матрицы это

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора квадратичная форма матрицы это, то форма определена неотрицательно, если квадратичная форма матрицы это– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы квадратичная форма матрицы это, при которых квадратичная форма матрицы это.

Здесь можно привести такой «баян»:
квадратичная форма матрицы это

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: квадратичная форма матрицы это, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: квадратичная форма матрицы это.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
квадратичная форма матрицы это
и ещё более тривиальный пример:
квадратичная форма матрицы это– здесь форма равна нулю при любом векторе квадратичная форма матрицы это, где квадратичная форма матрицы это– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы квадратичная форма матрицы этосуществуют два главных минора 1-го порядка:
квадратичная форма матрицы это(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
квадратичная форма матрицы это(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» квадратичная форма матрицы этоглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
квадратичная форма матрицы это– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
квадратичная форма матрицы это– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
квадратичная форма матрицы это– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы квадратичная форма матрицы это.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей квадратичная форма матрицы этоопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор квадратичная форма матрицы это-го порядка неположителен, если квадратичная форма матрицы это– нечётное либо неотрицателен, если квадратичная форма матрицы это– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
квадратичная форма матрицы это

Составим матрицу квадратичная форма матрицы этоформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
квадратичная форма матрицы это

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае квадратичная форма матрицы это2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– положительны,
главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу квадратичная форма матрицы этоформы квадратичная форма матрицы это, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
квадратичная форма матрицы это

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
квадратичная форма матрицы это

Вычислим угловые миноры:
квадратичная форма матрицы это
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
квадратичная форма матрицы это

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
квадратичная форма матрицы это

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
квадратичная форма матрицы это
умножим обе его части на квадратичная форма матрицы это, сменив у неравенства знак:
квадратичная форма матрицы это, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
квадратичная форма матрицы это

Второе неравенство уже решено: квадратичная форма матрицы это, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: квадратичная форма матрицы это.
Таким образом, имеем совместную систему:
квадратичная форма матрицы это
из которой следует, что форма определена отрицательно при квадратичная форма матрицы это. Например, если квадратичная форма матрицы это:
квадратичная форма матрицы это– то при любом ненулевом векторе квадратичная форма матрицы этоданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если квадратичная форма матрицы это, то:
квадратичная форма матрицы это
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу квадратичная форма матрицы этоформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
квадратичная форма матрицы это– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
квадратичная форма матрицы это
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
квадратичная форма матрицы это

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, квадратичная форма матрицы это, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях квадратичная форма матрицы это.

Ответ: при квадратичная форма матрицы этоформа определена отрицательно, при квадратичная форма матрицы этонеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
квадратичная форма матрицы это

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
квадратичная форма матрицы это
Квадратичная форма двух переменных имеет вид квадратичная форма матрицы это, в данном случае: квадратичная форма матрицы это. Запишем форму в матричном виде:
квадратичная форма матрицы это

Проверка:
квадратичная форма матрицы это
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
квадратичная форма матрицы это
Поскольку квадратичная форма матрицы это, то ранг формы равен двум.

Ответ: квадратичная форма матрицы это, квадратичная форма матрицы это, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали квадратичная форма матрицы это, следовательно:
квадратичная форма матрицы это

Симметричные коэффициенты 1-й строки: квадратичная форма матрицы это, таким образом:
квадратичная форма матрицы это

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: квадратичная форма матрицы это, и:
квадратичная форма матрицы это

И, наконец, квадратичная форма матрицы это

Ответ: квадратичная форма матрицы это

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
квадратичная форма матрицы это
и вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма матрицы это

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
квадратичная форма матрицы это
и вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма матрицы это

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
квадратичная форма матрицы это,
шесть главных миноров 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это
четыре главных минора 3-го порядка:
квадратичная форма матрицы это
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы квадратичная форма матрицы этои вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма матрицы это
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. квадратичная форма матрицы этои остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма матрицы это.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
квадратичная форма матрицы это
квадратичная форма матрицы это– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

квадратичная форма матрицы это «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *