квадратичная форма неотрицательно определена если она

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

квадратичная форма неотрицательно определена если онаквадратичная форма неотрицательно определена если онаквадратичная форма неотрицательно определена если онаквадратичная форма неотрицательно определена если онаквадратичная форма неотрицательно определена если она

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Примеры.

Решение.

Ответ: положительно определенная.

Решение.

Ответ: отрицательно определенная.

4.223.$2x_4^2+x_1x_2+x_1x_3-2x_2x_3+2x_2x_4.$

Решение.

Следовательно, квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.

Ответ: общего вида.

Домашнее задание.

4.220.$x_1^2-15x_2^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3.$

4.221.$12x_1x_2-12x_1x_3+6x_2x_3-11x_1^2-6x_2^2-6x_3^2.$

Ответ: отрицательно определенная.

4.222.$9x_1^2+6x_2^2+6x_3^2+12x_1x_2-10x_1x_3-2x_2x_3.$

Ответ: положительно определенная.

4.224.$x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+8x_4^2+8x^2x_4.$

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой квадратичная форма неотрицательно определена если она

Пример:

Сумма квадратичная форма неотрицательно определена если онаявляется квадратичной формой от трех неизвестных квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при квадратичная форма неотрицательно определена если онаобозначаются через квадратичная форма неотрицательно определена если онаа коэффициенты при квадратичная форма неотрицательно определена если оначерез квадратичная форма неотрицательно определена если онапричем квадратичная форма неотрицательно определена если она„ Член квадратичная форма неотрицательно определена если оназаписывается в виде квадратичная форма неотрицательно определена если онаПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: квадратичная форма неотрицательно определена если она

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

квадратичная форма неотрицательно определена если она

квадратичная форма неотрицательно определена если она

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид квадратичная форма неотрицательно определена если она. Если квадратичная форма неотрицательно определена если она— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму квадратичная форма неотрицательно определена если онавместо X получится число квадратичная форма неотрицательно определена если она, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. квадратичная форма неотрицательно определена если онапри квадратичная форма неотрицательно определена если она. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами квадратичная форма неотрицательно определена если она,т.е.:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

квадратичная форма неотрицательно определена если она

где квадратичная форма неотрицательно определена если она-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование квадратичная форма неотрицательно определена если она— матрица-столбец новых переменных квадратичная форма неотрицательно определена если она— матрица, обратная к S.

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис квадратичная форма неотрицательно определена если онапространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. квадратичная форма неотрицательно определена если онапри квадратичная форма неотрицательно определена если она

Если квадратичная форма неотрицательно определена если онаканонический базис F(X), то выражение: квадратичная форма неотрицательно определена если онаназывается каноническим видом F(X) в базисе квадратичная форма неотрицательно определена если онагде квадратичная форма неотрицательно определена если она— новый набор неизвестных.

Теорема. Если квадратичная форма неотрицательно определена если она— разложение вектора а по каноническому базису квадратичная форма неотрицательно определена если она квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле квадратичная форма неотрицательно определена если она

Доказательство:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичная форма неотрицательно определена если онаквадратичной формы F(X) и ее канонический вид квадратичная форма неотрицательно определена если онав этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов квадратичная форма неотрицательно определена если она симметрической матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если она, является каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она, а выражение квадратичная форма неотрицательно определена если она— ее каноническим видом в базисе квадратичная форма неотрицательно определена если она,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она. Будем говорить, что матрица квадратичная форма неотрицательно определена если онаудовлетворяет условию Якоби, если определители:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что квадратичная форма неотрицательно определена если она

Обозначим через квадратичная форма неотрицательно определена если онаматрицу:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. квадратичная форма неотрицательно определена если онаИз условия квадратичная форма неотрицательно определена если онаследует, что квадратичная форма неотрицательно определена если онаи, значит, каждая система уравнений квадратичная форма неотрицательно определена если она, где квадратичная форма неотрицательно определена если онавектор диагональной системы, имеет единственное решение квадратичная форма неотрицательно определена если она. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если онаудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби квадратичная форма неотрицательно определена если она матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она, а выражение:

квадратичная форма неотрицательно определена если она ее каноническим видом в базисе квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

квадратичная форма неотрицательно определена если она

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$$ x_ <2>$$ x_ <3>$
$ x_ <1>$$ f_ <11>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ f_ <22>$$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$$ \frac<1><2>f_ <13>$$ \frac<1><2>f_ <23>$$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой квадратичная форма неотрицательно определена если онапеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

квадратичная форма неотрицательно определена если она, где:

квадратичная форма неотрицательно определена если она– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а квадратичная форма неотрицательно определена если она– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Например: квадратичная форма неотрицательно определена если она– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой квадратичная форма неотрицательно определена если онапеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных квадратичная форма неотрицательно определена если онаимеет следующий вид:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– в этом слагаемом находится произведение квадратичная форма неотрицательно определена если онаи квадратичная форма неотрицательно определена если она(квадрат);
квадратичная форма неотрицательно определена если она– здесь произведение квадратичная форма неотрицательно определена если она;
квадратичная форма неотрицательно определена если она– и здесь произведение квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: квадратичная форма неотрицательно определена если она, в котором:

квадратичная форма неотрицательно определена если она– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: квадратичная форма неотрицательно определена если она

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе квадратичная форма неотрицательно определена если она, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы квадратичная форма неотрицательно определена если онанам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

квадратичная форма неотрицательно определена если она
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит квадратичная форма неотрицательно определена если онаслагаемых с квадратами переменных и квадратичная форма неотрицательно определена если онаслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: квадратичная форма неотрицательно определена если она. Её можно записать, как произведение двух матриц:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: квадратичная форма неотрицательно определена если она, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

квадратичная форма неотрицательно определена если она, где:

квадратичная форма неотрицательно определена если она– столбец переменных;

квадратичная форма неотрицательно определена если она– его транспонированная строка;

квадратичная форма неотрицательно определена если онаматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты квадратичная форма неотрицательно определена если онапри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, квадратичная форма неотрицательно определена если она– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель квадратичная форма неотрицательно определена если онаназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если онарангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если она, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае квадратичная форма неотрицательно определена если она. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

И в самом деле:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
далее:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
квадратичная форма неотрицательно определена если она, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

квадратичная форма неотрицательно определена если она

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое квадратичная форма неотрицательно определена если онадважды содержит 1-ю переменную, поэтому квадратичная форма неотрицательно определена если она;

– из аналогичных соображений определяем квадратичная форма неотрицательно определена если онаи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Так как в слагаемое квадратичная форма неотрицательно определена если онавходят 1-я и 2-я переменная, то квадратичная форма неотрицательно определена если она(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением квадратичная форма неотрицательно определена если она(а точнее, присутствует с нулевым множителем: квадратичная форма неотрицательно определена если она), то квадратичная форма неотрицательно определена если она, и на холст отправляются два нуля: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

И, наконец, из слагаемого квадратичная форма неотрицательно определена если онаопределяем квадратичная форма неотрицательно определена если она, после чего картина завершена:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» квадратичная форма неотрицательно определена если она, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если она. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, квадратичная форма неотрицательно определена если она, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор квадратичная форма неотрицательно определена если она, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
квадратичная форма неотрицательно определена если она, значит, квадратичная форма неотрицательно определена если она

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: квадратичная форма неотрицательно определена если она, ранг равен трём, дискриминант квадратичная форма неотрицательно определена если она

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
квадратичная форма неотрицательно определена если она

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Как отмечалось в начале урока, переменные квадратичная форма неотрицательно определена если онамогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение квадратичная форма неотрицательно определена если она, например:

квадратичная форма неотрицательно определена если она
квадратичная форма неотрицательно определена если она, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору квадратичная форма неотрицательно определена если онаставится в соответствие определённое число квадратичная форма неотрицательно определена если она. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений квадратичная форма неотрицательно определена если онарассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы квадратичная форма неотрицательно определена если она– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений квадратичная форма неотрицательно определена если она).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

квадратичная форма неотрицательно определена если она– всегда, если только квадратичная форма неотрицательно определена если онаодновременно не равны нулю.

квадратичная форма неотрицательно определена если она– для любого вектора квадратичная форма неотрицательно определена если она, кроме нулевого квадратичная форма неотрицательно определена если она.

И вообще, если для любого ненулевого вектора квадратичная форма неотрицательно определена если она, квадратичная форма неотрицательно определена если она, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же квадратичная форма неотрицательно определена если она– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения квадратичная форма неотрицательно определена если она, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
квадратичная форма неотрицательно определена если онаи из уравнения квадратичная форма неотрицательно определена если онанайдём её собственные значения:

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
квадратичная форма неотрицательно определена если она, значит, форма квадратичная форма неотрицательно определена если онаопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях квадратичная форма неотрицательно определена если онаона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители квадратичная форма неотрицательно определена если онакоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: квадратичная форма неотрицательно определена если она, квадратичная форма неотрицательно определена если она, если квадратичная форма неотрицательно определена если она– чётное или квадратичная форма неотрицательно определена если она, если квадратичная форма неотрицательно определена если она– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если она:

квадратичная форма неотрицательно определена если она, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

квадратичная форма неотрицательно определена если она

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма квадратичная форма неотрицательно определена если онаопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы квадратичная форма неотрицательно определена если онаиз Примера 1:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

первый её угловой минор квадратичная форма неотрицательно определена если она, а второй квадратичная форма неотрицательно определена если она, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений квадратичная форма неотрицательно определена если она, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму квадратичная форма неотрицательно определена если онаи её матрицу из Примера 2:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
квадратичная форма неотрицательно определена если она, следовательно, форма точно не отрицательна.

квадратичная форма неотрицательно определена если она, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) квадратичная форма неотрицательно определена если она

б) квадратичная форма неотрицательно определена если она

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора квадратичная форма неотрицательно определена если она, то форма определена неотрицательно, если квадратичная форма неотрицательно определена если она– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы квадратичная форма неотрицательно определена если она, при которых квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Здесь можно привести такой «баян»:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: квадратичная форма неотрицательно определена если она, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: квадратичная форма неотрицательно определена если она.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
и ещё более тривиальный пример:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– здесь форма равна нулю при любом векторе квадратичная форма неотрицательно определена если она, где квадратичная форма неотрицательно определена если она– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если онасуществуют два главных минора 1-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
квадратичная форма неотрицательно определена если она(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» квадратичная форма неотрицательно определена если онаглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
квадратичная форма неотрицательно определена если она– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
квадратичная форма неотрицательно определена если она– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы квадратичная форма неотрицательно определена если она.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей квадратичная форма неотрицательно определена если онаопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор квадратичная форма неотрицательно определена если она-го порядка неположителен, если квадратичная форма неотрицательно определена если она– нечётное либо неотрицателен, если квадратичная форма неотрицательно определена если она– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Составим матрицу квадратичная форма неотрицательно определена если онаформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае квадратичная форма неотрицательно определена если она2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– положительны,
главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу квадратичная форма неотрицательно определена если онаформы квадратичная форма неотрицательно определена если она, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Вычислим угловые миноры:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
умножим обе его части на квадратичная форма неотрицательно определена если она, сменив у неравенства знак:
квадратичная форма неотрицательно определена если она, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Второе неравенство уже решено: квадратичная форма неотрицательно определена если она, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: квадратичная форма неотрицательно определена если она.
Таким образом, имеем совместную систему:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
из которой следует, что форма определена отрицательно при квадратичная форма неотрицательно определена если она. Например, если квадратичная форма неотрицательно определена если она:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– то при любом ненулевом векторе квадратичная форма неотрицательно определена если онаданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если квадратичная форма неотрицательно определена если она, то:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу квадратичная форма неотрицательно определена если онаформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, квадратичная форма неотрицательно определена если она, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях квадратичная форма неотрицательно определена если она.

Ответ: при квадратичная форма неотрицательно определена если онаформа определена отрицательно, при квадратичная форма неотрицательно определена если онанеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
квадратичная форма неотрицательно определена если она

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
Квадратичная форма двух переменных имеет вид квадратичная форма неотрицательно определена если она, в данном случае: квадратичная форма неотрицательно определена если она. Запишем форму в матричном виде:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Проверка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
Поскольку квадратичная форма неотрицательно определена если она, то ранг формы равен двум.

Ответ: квадратичная форма неотрицательно определена если она, квадратичная форма неотрицательно определена если она, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали квадратичная форма неотрицательно определена если она, следовательно:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Симметричные коэффициенты 1-й строки: квадратичная форма неотрицательно определена если она, таким образом:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: квадратичная форма неотрицательно определена если она, и:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

И, наконец, квадратичная форма неотрицательно определена если она

Ответ: квадратичная форма неотрицательно определена если она

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
и вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
и вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма неотрицательно определена если она

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она,
шесть главных миноров 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
четыре главных минора 3-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы квадратичная форма неотрицательно определена если онаи вычислим её угловые миноры:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. квадратичная форма неотрицательно определена если онаи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
квадратичная форма неотрицательно определена если она
квадратичная форма неотрицательно определена если она– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

квадратичная форма неотрицательно определена если она «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *