квадратичный вычет по модулю

СОДЕРЖАНИЕ

История, условности и элементарные факты

Таким образом, количество квадратичных вычетов по модулю n не может превышать n / 2 + 1 ( n четных) или ( n + 1) / 2 ( n нечетных).

Продукт двух остатков всегда является остатком.

Основной модуль

По модулю 2 каждое целое число является квадратичным вычетом.

Следуя этому соглашению, мультипликативная обратная величина остатка является остатком, а обратная величина, обратная невычету, является невычетом.

Следуя этому соглашению, по модулю нечетного простого числа имеется равное количество вычетов и невычетов.

По модулю простого числа произведение двух невычетов является остатком, а произведение невычетов и (ненулевого) остатка является невычетом.

Если p ≡ 1 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является вычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является невычетом.

Если p ≡ 3 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является невычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является остатком.

Модуль основной мощности

Например, mod (32) нечетные квадраты равны

1 2 ≡ 15 2 ≡ 1 3 2 ≡ 13 2 ≡ 9 5 2 ≡ 11 2 ≡ 25 7 2 ≡ 9 2 ≡ 49 ≡ 17

0 2 ≡ 8 2 ≡ 16 2 ≡ 0 2 2 ≡ 6 2 ≡ 10 2 ≡ 14 2 ≡ 4 4 2 ≡ 12 2 ≡ 16.

Таким образом, ненулевое число является остатком по модулю 8, 16 и т. Д. Тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4 k (8 n + 1).

тогда p k a является вычетом по модулю p n, если kn невычет по модулю p n, если k является вычетом по модулю p n, если k является невычетом по модулю p n, если k

Обратите внимание, что правила для степеней двойки и нечетных простых чисел разные.

Композитный модуль не является основной степенью

Основным фактом в этом случае является

По модулю составного числа произведение двух остатков является остатком. Продукт остатка и неостаточного количества может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.

Продукт остатка 3 и неостаточного остатка 5 представляет собой остаток 3, тогда как продукт остатка 4 и неостаточного остатка 2 является неостаточным остатком 2.

Кроме того, продукт двух неостаточных остатков может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.

Продукт неостаточных 2 и 8 представляет собой остаток 1, тогда как продукт неостаточных остатков 2 и 7 представляет собой неостаточный остаток 14.

Несмотря на то, что это упрощает ситуацию, эта статья не настаивает на том, что остатки должны быть взаимно просты с модулем.

Обозначения

Гаусс использовал R и N для обозначения остаточности и неостаточности соответственно;

Распределение квадратичных вычетов

Формулы Дирихле

Дирихле показал, что если q ≡ 3 (mod 4), то

Дирихле также доказал, что для простого q 3 (mod 4)

Например, по модулю 11 четыре остатка меньше 6 (а именно 1, 3, 4 и 5), но только один невычет (2).

Любопытный факт об этих двух теоремах состоит в том, что все известные доказательства основаны на анализе; никто никогда не публиковал простых или прямых доказательств того или иного утверждения.

Закон квадратичной взаимности

Если p и q нечетные простые числа, то:

(( p является квадратичным вычетом по модулю q ) тогда и только тогда, когда ( q является квадратичным вычетом по модулю p )) тогда и только тогда, когда (хотя бы одно из p и q сравнимо с 1 по модулю 4).

Таким образом, для чисел a и нечетных простых p, которые не делят a :

аa является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когдааa является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда
1(каждое простое число p )−1p ≡ 1 (mod 4)
2p ≡ 1, 7 (mod 8)−2p ≡ 1, 3 (mod 8)
3p ≡ 1, 11 (mod 12)−3p ≡ 1 (mod 3)
4(каждое простое число p )−4p ≡ 1 (mod 4)
5p ≡ 1, 4 (mod 5)−5p ≡ 1, 3, 7, 9 (мод 20)
6p ≡ 1, 5, 19, 23 (мод 24)−6p ≡ 1, 5, 7, 11 (мод 24)
7p ≡ 1, 3, 9, 19, 25, 27 (мод 28)−7p ≡ 1, 2, 4 (мод 7)
8p ≡ 1, 7 (mod 8)−8p ≡ 1, 3 (mod 8)
9(каждое простое число p )−9p ≡ 1 (mod 4)
10p ≡ 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 (мод 40)−10p ≡ 1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37 (мод 40)
11p ≡ 1, 5, 7, 9, 19, 25, 35, 37, 39, 43 (мод 44)−11p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (мод 11)
12p ≡ 1, 11 (mod 12)−12p ≡ 1 (mod 3)

Пары остатков и остатков

Тогда, если p ≡ 1 (mod 4)

Например: (остатки выделены жирным шрифтом )

Неравенство Поли – Виноградова.

это показывает, что количество квадратичных вычетов по модулю q в любом интервале длины N равно

Легко доказать, что

Монтгомери и Воан улучшили это в 1977 году, показав, что если обобщенная гипотеза Римана верна, то

Этот результат нельзя существенно улучшить, поскольку в 1918 году Шур доказал, что

и Пейли доказал в 1932 году, что

для бесконечного числа d > 0.

Наименьший квадратичный невычет

Приведенное выше неравенство Полиа – Виноградова дает O ( √ p log p ).

Наименьшие квадратичные невычеты по модулю p для нечетных простых чисел p :

Квадратичный эксцесс

Сложность нахождения квадратных корней

Теоретический способ объединения решений по модулю простых степеней для получения решений по модулю n называется китайской теоремой об остатках ; это может быть реализовано с помощью эффективного алгоритма.

Решите x 2 ≡ 6 (mod 15). x 2 ≡ 6 (mod 3) имеет одно решение, 0; x 2 ≡ 6 (mod 5) имеет два, 1 и 4. и есть два решения по модулю 15, а именно 6 и 9. Решите x 2 ≡ 4 (mod 15). x 2 ≡ 4 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 4 (mod 5) имеет два, 2 и 3. и есть четыре решения по модулю 15, а именно 2, 7, 8 и 13. Решите x 2 ≡ 7 (mod 15). x 2 ≡ 7 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 7 (mod 5) не имеет решений. и решений по модулю 15 нет.

Основной или основной модуль мощности

и Лежандр нашел аналогичное решение, если n 5 (mod 8):

Композитный модуль

Если модуль n был разложен на простые степени, решение обсуждалось выше.

Число квадратичных вычетов

Формула для подсчета количества квадратов по модулю n дается Штанглом.

Приложения квадратичных вычетов

Акустика

Звуковые диффузоры были основаны на теоретико-числовых концепциях, таких как первообразные корни и квадратичные вычеты.

Теория графов

Орграфы Пэли являются направленными аналогами графов Пэли, по одному для каждого p ≡ 3 (mod 4), которые дают антисимметричные матрицы конференций.

При построении этих графов используются квадратичные вычеты.

Криптография

Проверка на первичность

Целочисленная факторизация

Таблица квадратичных вычетов

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *