квадратичный вычет по модулю
СОДЕРЖАНИЕ
История, условности и элементарные факты
Таким образом, количество квадратичных вычетов по модулю n не может превышать n / 2 + 1 ( n четных) или ( n + 1) / 2 ( n нечетных).
Продукт двух остатков всегда является остатком.
Основной модуль
По модулю 2 каждое целое число является квадратичным вычетом.
Следуя этому соглашению, мультипликативная обратная величина остатка является остатком, а обратная величина, обратная невычету, является невычетом.
Следуя этому соглашению, по модулю нечетного простого числа имеется равное количество вычетов и невычетов.
По модулю простого числа произведение двух невычетов является остатком, а произведение невычетов и (ненулевого) остатка является невычетом.
Если p ≡ 1 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является вычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является невычетом.
Если p ≡ 3 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является невычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является остатком.
Модуль основной мощности
Например, mod (32) нечетные квадраты равны
1 2 ≡ 15 2 ≡ 1 3 2 ≡ 13 2 ≡ 9 5 2 ≡ 11 2 ≡ 25 7 2 ≡ 9 2 ≡ 49 ≡ 17
0 2 ≡ 8 2 ≡ 16 2 ≡ 0 2 2 ≡ 6 2 ≡ 10 2 ≡ 14 2 ≡ 4 4 2 ≡ 12 2 ≡ 16.
Таким образом, ненулевое число является остатком по модулю 8, 16 и т. Д. Тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4 k (8 n + 1).
тогда p k a является вычетом по модулю p n, если k ≥ n невычет по модулю p n, если k является вычетом по модулю p n, если k является невычетом по модулю p n, если k
Обратите внимание, что правила для степеней двойки и нечетных простых чисел разные.
Композитный модуль не является основной степенью
Основным фактом в этом случае является
По модулю составного числа произведение двух остатков является остатком. Продукт остатка и неостаточного количества может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.
Продукт остатка 3 и неостаточного остатка 5 представляет собой остаток 3, тогда как продукт остатка 4 и неостаточного остатка 2 является неостаточным остатком 2.
Кроме того, продукт двух неостаточных остатков может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.
Продукт неостаточных 2 и 8 представляет собой остаток 1, тогда как продукт неостаточных остатков 2 и 7 представляет собой неостаточный остаток 14.
Несмотря на то, что это упрощает ситуацию, эта статья не настаивает на том, что остатки должны быть взаимно просты с модулем.
Обозначения
Гаусс использовал R и N для обозначения остаточности и неостаточности соответственно;
Распределение квадратичных вычетов
Формулы Дирихле
Дирихле показал, что если q ≡ 3 (mod 4), то
Дирихле также доказал, что для простого q 3 (mod 4)
Например, по модулю 11 четыре остатка меньше 6 (а именно 1, 3, 4 и 5), но только один невычет (2).
Любопытный факт об этих двух теоремах состоит в том, что все известные доказательства основаны на анализе; никто никогда не публиковал простых или прямых доказательств того или иного утверждения.
Закон квадратичной взаимности
Если p и q нечетные простые числа, то:
(( p является квадратичным вычетом по модулю q ) тогда и только тогда, когда ( q является квадратичным вычетом по модулю p )) тогда и только тогда, когда (хотя бы одно из p и q сравнимо с 1 по модулю 4).
Таким образом, для чисел a и нечетных простых p, которые не делят a :
а | a является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда | а | a является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда |
---|---|---|---|
1 | (каждое простое число p ) | −1 | p ≡ 1 (mod 4) |
2 | p ≡ 1, 7 (mod 8) | −2 | p ≡ 1, 3 (mod 8) |
3 | p ≡ 1, 11 (mod 12) | −3 | p ≡ 1 (mod 3) |
4 | (каждое простое число p ) | −4 | p ≡ 1 (mod 4) |
5 | p ≡ 1, 4 (mod 5) | −5 | p ≡ 1, 3, 7, 9 (мод 20) |
6 | p ≡ 1, 5, 19, 23 (мод 24) | −6 | p ≡ 1, 5, 7, 11 (мод 24) |
7 | p ≡ 1, 3, 9, 19, 25, 27 (мод 28) | −7 | p ≡ 1, 2, 4 (мод 7) |
8 | p ≡ 1, 7 (mod 8) | −8 | p ≡ 1, 3 (mod 8) |
9 | (каждое простое число p ) | −9 | p ≡ 1 (mod 4) |
10 | p ≡ 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 (мод 40) | −10 | p ≡ 1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37 (мод 40) |
11 | p ≡ 1, 5, 7, 9, 19, 25, 35, 37, 39, 43 (мод 44) | −11 | p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (мод 11) |
12 | p ≡ 1, 11 (mod 12) | −12 | p ≡ 1 (mod 3) |
Пары остатков и остатков
Тогда, если p ≡ 1 (mod 4)
Например: (остатки выделены жирным шрифтом )
Неравенство Поли – Виноградова.
это показывает, что количество квадратичных вычетов по модулю q в любом интервале длины N равно
Легко доказать, что
Монтгомери и Воан улучшили это в 1977 году, показав, что если обобщенная гипотеза Римана верна, то
Этот результат нельзя существенно улучшить, поскольку в 1918 году Шур доказал, что
и Пейли доказал в 1932 году, что
для бесконечного числа d > 0.
Наименьший квадратичный невычет
Приведенное выше неравенство Полиа – Виноградова дает O ( √ p log p ).
Наименьшие квадратичные невычеты по модулю p для нечетных простых чисел p :
Квадратичный эксцесс
Сложность нахождения квадратных корней
Теоретический способ объединения решений по модулю простых степеней для получения решений по модулю n называется китайской теоремой об остатках ; это может быть реализовано с помощью эффективного алгоритма.
Решите x 2 ≡ 6 (mod 15). x 2 ≡ 6 (mod 3) имеет одно решение, 0; x 2 ≡ 6 (mod 5) имеет два, 1 и 4. и есть два решения по модулю 15, а именно 6 и 9. Решите x 2 ≡ 4 (mod 15). x 2 ≡ 4 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 4 (mod 5) имеет два, 2 и 3. и есть четыре решения по модулю 15, а именно 2, 7, 8 и 13. Решите x 2 ≡ 7 (mod 15). x 2 ≡ 7 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 7 (mod 5) не имеет решений. и решений по модулю 15 нет.
Основной или основной модуль мощности
и Лежандр нашел аналогичное решение, если n 5 (mod 8):
Композитный модуль
Если модуль n был разложен на простые степени, решение обсуждалось выше.
Число квадратичных вычетов
Формула для подсчета количества квадратов по модулю n дается Штанглом.
Приложения квадратичных вычетов
Акустика
Звуковые диффузоры были основаны на теоретико-числовых концепциях, таких как первообразные корни и квадратичные вычеты.
Теория графов
Орграфы Пэли являются направленными аналогами графов Пэли, по одному для каждого p ≡ 3 (mod 4), которые дают антисимметричные матрицы конференций.
При построении этих графов используются квадратичные вычеты.