квадратичный вычет по модулю

СОДЕРЖАНИЕ

История, условности и элементарные факты

Таким образом, количество квадратичных вычетов по модулю n не может превышать n / 2 + 1 ( n четных) или ( n + 1) / 2 ( n нечетных).

Продукт двух остатков всегда является остатком.

Основной модуль

По модулю 2 каждое целое число является квадратичным вычетом.

Следуя этому соглашению, мультипликативная обратная величина остатка является остатком, а обратная величина, обратная невычету, является невычетом.

Следуя этому соглашению, по модулю нечетного простого числа имеется равное количество вычетов и невычетов.

По модулю простого числа произведение двух невычетов является остатком, а произведение невычетов и (ненулевого) остатка является невычетом.

Если p ≡ 1 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является вычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является невычетом.

Если p ≡ 3 (mod 4), отрицательный результат вычета по модулю p является невычетом, а отрицательный результат нечеткого остатка является остатком.

Модуль основной мощности

Например, mod (32) нечетные квадраты равны

1 2 ≡ 15 2 ≡ 1 3 2 ≡ 13 2 ≡ 9 5 2 ≡ 11 2 ≡ 25 7 2 ≡ 9 2 ≡ 49 ≡ 17

0 2 ≡ 8 2 ≡ 16 2 ≡ 0 2 2 ≡ 6 2 ≡ 10 2 ≡ 14 2 ≡ 4 4 2 ≡ 12 2 ≡ 16.

Таким образом, ненулевое число является остатком по модулю 8, 16 и т. Д. Тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4 k (8 n + 1).

тогда p k a является вычетом по модулю p n, если k ≥ n невычет по модулю p n, если k является вычетом по модулю p n, если k является невычетом по модулю p n, если k

Обратите внимание, что правила для степеней двойки и нечетных простых чисел разные.

Композитный модуль не является основной степенью

Основным фактом в этом случае является

По модулю составного числа произведение двух остатков является остатком. Продукт остатка и неостаточного количества может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.

Продукт остатка 3 и неостаточного остатка 5 представляет собой остаток 3, тогда как продукт остатка 4 и неостаточного остатка 2 является неостаточным остатком 2.

Кроме того, продукт двух неостаточных остатков может быть остатком, неостаточным остатком или нулем.

Продукт неостаточных 2 и 8 представляет собой остаток 1, тогда как продукт неостаточных остатков 2 и 7 представляет собой неостаточный остаток 14.

Несмотря на то, что это упрощает ситуацию, эта статья не настаивает на том, что остатки должны быть взаимно просты с модулем.

Обозначения

Гаусс использовал R и N для обозначения остаточности и неостаточности соответственно;

Распределение квадратичных вычетов

Формулы Дирихле

Дирихле показал, что если q ≡ 3 (mod 4), то

Дирихле также доказал, что для простого q 3 (mod 4)

Например, по модулю 11 четыре остатка меньше 6 (а именно 1, 3, 4 и 5), но только один невычет (2).

Любопытный факт об этих двух теоремах состоит в том, что все известные доказательства основаны на анализе; никто никогда не публиковал простых или прямых доказательств того или иного утверждения.

Закон квадратичной взаимности

Если p и q нечетные простые числа, то:

(( p является квадратичным вычетом по модулю q ) тогда и только тогда, когда ( q является квадратичным вычетом по модулю p )) тогда и только тогда, когда (хотя бы одно из p и q сравнимо с 1 по модулю 4).

Таким образом, для чисел a и нечетных простых p, которые не делят a :

Пары остатков и остатков

Тогда, если p ≡ 1 (mod 4)

Например: (остатки выделены жирным шрифтом )

Неравенство Поли – Виноградова.

это показывает, что количество квадратичных вычетов по модулю q в любом интервале длины N равно

Легко доказать, что

Монтгомери и Воан улучшили это в 1977 году, показав, что если обобщенная гипотеза Римана верна, то

Этот результат нельзя существенно улучшить, поскольку в 1918 году Шур доказал, что

и Пейли доказал в 1932 году, что

для бесконечного числа d > 0.

Наименьший квадратичный невычет

Приведенное выше неравенство Полиа – Виноградова дает O ( √ p log p ).

Наименьшие квадратичные невычеты по модулю p для нечетных простых чисел p :

Квадратичный эксцесс

Сложность нахождения квадратных корней

Теоретический способ объединения решений по модулю простых степеней для получения решений по модулю n называется китайской теоремой об остатках ; это может быть реализовано с помощью эффективного алгоритма.

Решите x 2 ≡ 6 (mod 15). x 2 ≡ 6 (mod 3) имеет одно решение, 0; x 2 ≡ 6 (mod 5) имеет два, 1 и 4. и есть два решения по модулю 15, а именно 6 и 9. Решите x 2 ≡ 4 (mod 15). x 2 ≡ 4 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 4 (mod 5) имеет два, 2 и 3. и есть четыре решения по модулю 15, а именно 2, 7, 8 и 13. Решите x 2 ≡ 7 (mod 15). x 2 ≡ 7 (mod 3) имеет два решения: 1 и 2; x 2 ≡ 7 (mod 5) не имеет решений. и решений по модулю 15 нет.

Основной или основной модуль мощности

и Лежандр нашел аналогичное решение, если n 5 (mod 8):

Композитный модуль

Если модуль n был разложен на простые степени, решение обсуждалось выше.

Число квадратичных вычетов

Формула для подсчета количества квадратов по модулю n дается Штанглом.

Приложения квадратичных вычетов

Акустика

Звуковые диффузоры были основаны на теоретико-числовых концепциях, таких как первообразные корни и квадратичные вычеты.

Теория графов

Орграфы Пэли являются направленными аналогами графов Пэли, по одному для каждого p ≡ 3 (mod 4), которые дают антисимметричные матрицы конференций.

При построении этих графов используются квадратичные вычеты.

Криптография

Проверка на первичность

Целочисленная факторизация

Таблица квадратичных вычетов

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Источник