закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Источник

Закон электромагнитной индукции

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Магнитный поток

Прежде, чем разобраться с тем, что такое электромагнитная индукция, нужно определить такую сущность, как магнитный поток.

Представьте, что вы взяли обруч в руки и вышли на улицу в ливень. Чем сильнее ливень, тем больше через этот обруч пройдет воды — поток воды больше.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Если обруч расположен горизонтально, то через него пройдет много воды. А если начать его поворачивать — уже меньше, потому что он расположен не под прямым углом к вертикали.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Теперь давайте поставим обруч вертикально — ни одной капли не пройдет сквозь него (если ветер не подует, конечно).

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Магнитный поток по сути своей — это тот же самый поток воды через обруч, только считаем мы величину прошедшего через площадь магнитного поля, а не дождя.

Магнитным потоком через площадь ​S​ контура называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции ​B​, площади поверхности ​S​, пронизываемой данным потоком, и косинуса угла ​α​ между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Магнитный поток

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Ф — магнитный поток [Вб]

B — магнитная индукция [Тл]

S — площадь пронизываемой поверхности [м^2]

n — вектор нормали (перпендикуляр к поверхности) [-]

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла ​α магнитный поток может быть положительным (α 90°). Если α = 90°, то магнитный поток равен 0. Это зависит от величины косинуса угла.

Изменить магнитный поток можно меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура, магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция — явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем.

Майкл Фарадей провел ряд опытов, которые помогли открыть явление электромагнитной индукции.

Опыт раз. На одну непроводящую основу намотали две катушки: витки первой катушки были расположены между витками второй. Витки одной катушки были замкнуты на гальванометр, а второй — подключены к источнику тока.

При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.

Опыт два. Первую катушку подключили к источнику тока, а вторую — к гальванометру. При этом вторая катушка перемещалась относительно первой. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.

Опыт три. Катушка замкнута на гальванометр, а магнит движется вдвигается (выдвигается) относительно катушки

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Вот, что показали эти опыты:

Почему возникает индукционный ток?

Ток в цепи может существовать, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура равна ЭДС.

Значит, при изменении числа магнитных линий через поверхность, ограниченную контуром, в нем появляется ЭДС, которую называют ЭДС индукции.

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) звучит так:

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Математически его можно описать формулой:

Закон Фарадея

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Ɛi — ЭДС индукции [В]

ΔФ/Δt — скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

Знак «–» в формуле позволяет учесть направление индукционного тока. Индукционный ток в замкнутом контуре всегда направлен так, чтобы магнитный поток поля, созданного этим током сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля, которые вызвали появление индукционного тока.

Если контур состоит из ​N витков (то есть он — катушка), то ЭДС индукции будет вычисляться следующим образом.

Закон Фарадея для контура из N витков

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Ɛi — ЭДС индукции [В]

ΔФ/Δt — скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

N — количество витков [-]

Сила индукционного тока в замкнутом проводящем контуре с сопротивлением ​R​:

Закон Ома для проводящего контура

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Ɛi — ЭДС индукции [В]

I — сила индукционного тока [А]

R — сопротивление контура [Ом]

Если проводник длиной l будет двигаться со скоростью ​v​ в постоянном однородном магнитном поле с индукцией ​B​ ЭДС электромагнитной индукции равна:

ЭДС индукции для движущегося проводника

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Ɛi — ЭДС индукции [В]

B — магнитная индукция [Тл]

v — скорость проводника [м/с]

l — длина проводника [м]

Возникновение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Количество теплоты в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам:

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной:

Правило Ленца

Чтобы определить направление индукционного тока, нужно воспользоваться правилом Ленца.

Академически это правило звучит следующим образом: индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Давайте попробуем чуть проще: катушка в данном случае — это недовольная бабуля. Забирают у нее магнитный поток — она недовольна и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток хочет обратно отобрать.

Дают ей магнитный поток, забирай, мол, пользуйся, а она такая — «Да зачем сдался мне ваш магнитный поток!» и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток выгоняет.

Источник

Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

1. Явление электромагнитной индукции

2. ЭДС индукции в движущемся проводнике

3. ЭДС индукции в неподвижном проводнике

4. Самоиндукция. Индуктивность

5. Взаимная индукция

6. Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде

7. Работа по перемагничиванию ферромагнетика

8. Теория Максвелла

8.1. Первое уравнение Максвелла

8.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

8.3. Теорема Остроградского-Гаусса. Третье и четвёртое уравнения Максвелла

8.4. Полная система уравнений Максвелла

8.5. Частные случаи: стационарное поле; поле в свободном пространстве

1. Явление электромагнитной индукции

При перемещении проводника в магнитном поле под действием силы Ампера (рис.16.1) совершается работа (см. предыдущую лекцию)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.1)

Эта работа совершается за счёт энергии источника. Полная работа источника равна

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

и по закону сохранения энергии расходуется и на перемещение проводника (16.1), и на нагрев проводников. Выделяющаяся теплота по закону Джоуля-Ленца равна

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

где R – полное сопротивление цепи; тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Последнее выражение представляет собой закон Ома для полной цепи, причём в числителе, кроме ЭДС источника, появилось ещё одно слагаемое, которое естественно интерпретируется тоже как ЭДС. Это – ЭДС индукции:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.2)

Получен закон Фарадея: ЭДС индукции в замкнутом контуре равна по величине и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на этот контур.

Знак «минус» в (16.2) является следствием закона сохранения энергии: если бы минуса не было, появившийся из-за ЭДС индукции дополнительный ток (индукционный ток закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла) провоцировал бы дальнейшее изменение магнитного потока, что вело бы опять же к увеличению индукционного тока и так до бесконечности, а такого быть не может – энергия для возросшего до бесконечности тока тоже требовалась бы бесконечная. Отсюда – правило Ленца: собственное магнитное поле индукционного тока препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего индукционный ток.

Закон Фарадея (16.2) здесь получен для одного частного случая (деформации контура), но он универсален: ЭДС индукции можно вычислять по (16.2) независимо от того, каким способом изменяется магнитный поток закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла:

1) можно деформировать контур (изменяем площадь);

2) перемещать контур (изменяем ориентацию контура в пространстве – угол закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла);

3) изменять индукцию поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

2. ЭДС индукции в движущемся проводнике можно объяснить возникновением силы Лоренца.

Пусть проводник длиной закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелладвижется в плоскости, перпендикулярной индукции поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, и скорость закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелланаправлена под углом закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллак проводнику (рис.16.2).

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Электроны проводника движутся вместе с проводником, и на них действует сила Лоренца

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

что эквивалентно действию поля сторонних сил с напряжённостью закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Под действием силы Лоренца электроны проводника перемещаются вдоль проводника (вверх на рис.15.2). Между точками (1) и (2) на концах проводника возникает разность потенциалов.

ЭДС (в данном случае – ЭДС индукции) по определению равна

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.3)

То же самое можно получить по закону Фарадея (16.2). Площадь, заметённая проводником в процессе движения, равна

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

пересечённый магнитный поток

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

ЭДС индукции по (16.2)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

3. ЭДС индукции в неподвижном проводнике

ЭДС индукции, возникающую в неподвижном проводнике при изменении индукции магнитного поля, объяснить силой Лоренца нельзя. Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное поле порождает в пространстве электрическое поле закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, которое и является причиной возникновения индукционного тока. Поле закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелланеэлектростатического происхождения.

Если закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, то возникает поле закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. По аналогии с предыдущим случаем для любого замкнутого контура L, мысленно выделенного в пространстве:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– изменение магнитного потока через поверхность, натянутую на контур L (рис.15.3).

По определению магнитного потока

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Операции дифференцирования по времени и интегрирования по пространству независимы друг от друга, поэтому их можно поменять местами; при этом производная будет частной (по времени):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Как видно, циркуляция вектора закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаотлична от нуля, то есть это поле вихревое, непотенциальное.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.4)

Циркуляция напряжённости вихревого электрического поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, порождённого изменяющимся магнитным полем закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, по произвольному замкнутому контуру равна по величине и противоположна по знаку потоку производной индукции магнитного поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллачерез поверхность, натянутую на этот контур.

4. Самоиндукция. Индуктивность

Контур с током I создаёт в окружающем пространстве магнитное поле, индукция которого пропорциональна силе тока: закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла(рис.16.4).

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Магнитный поток через поверхность, натянутую на контур, пропорционален индукции (по определению потока закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Введём коэффициент пропорциональности между током в контуре и магнитным потоком – индуктивность контура L:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.5)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.5а)

Индуктивность контура численно равна магнитному потоку, пронизывающему контур, если сила тока в контуре равна 1 А.

Для катушки с N витками нужно учитывать суммарный магнитный поток сквозь все витки, то есть полное потокосцепление

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.6)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.5б)

Индуктивность контура зависит от формы контура, его размеров и магнитных свойств среды. Размерность

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Пример: индуктивность длинного соленоида.

Индукция поля длинного соленоида

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

где n – плотность намотки (число витков на единицу длины):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.7)

Магнитный поток через сечение соленоида

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.8)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.8а)

Поскольку закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– объём соленоида, то

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.8б)

Самоиндукция. Если в контуре изменяется сила тока, то пропорционально будет меняться и магнитный поток, что приведёт в возникновению ЭДС индукции в контуре (закон Фарадея). Это – явление самоиндукции. Самоиндукция – возникновение ЭДС индукции в контуре при изменении силы тока в нём.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Будем считать коэффициент самоиндукции L постоянным, тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.9)

При замыкании или размыкании цепи токи резко меняются. Если индуктивность контура велика, то из-за возникновения ЭДС самоиндукции индукционный ток может быть много больше тока, на который рассчитана нагрузка:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Такие токи называются экстратоками замыкания или размыкания. Именно возникновение таких токов объясняет, почему лампочки чаще перегорают в момент включения или выключения.

5. Взаимная индукция

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Рассмотрим два контура L1 и L2 с токами I1 и I2 соответственно, расположенные не слишком далеко друг от друга так, чтобы линии индукции B1 поля, созданного током I1 первого контура, пронизывали второй контур (рис.16.5).

Магнитный поток закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллачерез второй контур пропорционален индукции B1 поля, созданного первым током, а индукция B1 пропорциональна току I1:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Введём коэффициент пропорциональности – коэффициент взаимной индукции двух контуров:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.10)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.10а)

И наоборот, если ток I2 во втором контуре создаёт поле с индукцией B2, то магнитный поток закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, пронизывающий первый контур, пропорционален току I2:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.11)

Можно показать, что коэффициент пропорциональности в (16.10) и (16.11) один и тот же:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размеров обоих контуров, из взаимного расположения и магнитных свойств окружающей среды. Как и коэффициент самоиндукции, он измеряется в генри:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Пример: рассмотрим две катушки на общем ферромагнитном сердечнике (рис.16.6).

Число витков первой катушки равно N1, второй – N2; длина сердечника (тороида) по средней линии равна l, площадь сечения тороида – S. Линии индукции B1 магнитного поля, созданного током первой катушки, пронизывают все витки второй катушки, причём

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла;

магнитный поток через сечение сердечника

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла;

полное потокосцепление (суммарный поток через все N2 витков второй катушки) для второй катушки

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла;

а коэффициент взаимной индукции катушек

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.13)

Заметим, что закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелладля случая, когда поток, созданный одной катушкой, полностью проходит сквозь все витки второй катушки.

Если изменяется сила тока I1 в первом контуре, то по закону Фарадея и по (16.10) ЭДС индукции во втором контуре равна:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.12)

Симметрично, при изменении тока во втором контуре ЭДС индукции в первом будет равна:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.12а)

Явление взаимной индукции – это возникновение ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом контуре.

6. Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаПри замыкании ключа К (рис.16.7) в цепи начинает течь ток и спустя некоторое время устанавливается его постоянное значение I, а в катушке – стационарное магнитное поле B. Будем считать, что сопротивление проводов и источника пренебрежимо мало (R=0), тогда по закону сохранения энергии работа источника идёт только на создание магнитного поля в соленоиде:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла(16.14)

По второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

ЭДС здесь две: ЭДС источника закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаи ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Работа источника тока:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Отсюда энергия магнитного поля катушки

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.15)

По определению (16.5) закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.16)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.17)

Если у катушки больше одного витка, нужно заменить поток закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллана полное потокосцепление закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.16а)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.17б)

Эта энергия локализована в пространстве, где создано магнитное поле. Рассчитаем объёмную плотность энергии, считая поле однородным. По определению, объёмная плотность энергии – это энергия единицы объёма:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.18)

Тогда из (16.15) и (16.8б):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Здесь в первых скобках – индукция поля соленоида; во вторых – напряжённость:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.19)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.20)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.21)

Поскольку закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, можно записать по-другому:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.22)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.23)

7. Работа по перемагничиванию ферромагнетика

Работу по перемагничиванию ферромагнетика можно получить как произведение силы тока на изменение магнитного потока (точнее, полного потокосцепления в катушке):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.1)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Из (16.20) заменим закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, тогда работа по перемагничиванию при изменении индукции на dB равна:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Работа в расчёте на единицу объёма:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.24)

Она равна площади заштрихованной на графике (16.8) полоски. Работа по перемагничиванию единицы объёма ферромагнетика за один цикл равна площади петли гистерезиса, то есть интегралу:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.25)

Чем уже петля гистерезиса (меньше коэрцитивная сила HC), тем меньше потери на перемагничивание; поэтому для изготовления сердечников электромагнитов применяют магнитомягкие ферромагнетики.

8. Теория Максвелла

Теория Максвелла для электромагнитного поля – это обобщение теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока и закона электромагнитной индукции Фарадея. Теория решает задачу электродинамики: найти характеристики электрического и магнитного полей системы зарядов и токов.

8.1. Первое уравнение Максвелла

По теореме о циркуляции вектора напряжённости закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаэлектроСТАТИЧЕСКОГО поля (то есть поля, созданного неподвижными зарядами):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

По (16.4) циркуляция вектора напряжённости закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаполя, созданного изменяющимся магнитным полем:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаПоверхность S натянута на контур L (рис.16.9). Сложим почленно эти два уравнения:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– напряжённость суммарного (полного) электрического поля. Тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (I)

Это – первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Его смысл: электрические поля создаются как электрическими зарядами, так и изменяющимся магнитным полем.

Дифференциальную форму первого уравнения Максвелла можно получить, если воспользоваться математической теоремой Стокса: для любого векторного поля (в том числе поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.26)

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– ротор векторного поля; своего рода оператор векторного дифференцирования. Ротор проще всего записать в виде определителя:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.27)

Таким образом, например, проекция ротора на ось OX равна:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Операция ротор – из той же серии, что и градиент:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла;

Градиент конструирует из скалярного поля векторное, а ротор – из векторного снова векторное.

Градиент характеризует быстроту изменения величины (например, потенциала закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла) в пространстве. Смысл ротора (ротор – значит «вихрь»): если поле вихревое (непотенциальное), то его ротор отличен от нуля. Ротор показывает вихревой характер поля.

Из сравнения (16.26) и (I):

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (I)

Это – первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

8.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

Изменяющееся во времени магнитное поле порождает возникновение вихревого электрического поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– это одно из предположений Максвелла. Второе предположение симметрично: изменяющееся во времени электрическое поле порождает возникновение магнитного поля. Это удобно описывать с помощью токов смещения. Рассмотрим протекание переменного тока через конденсатор (рис.16.9).

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаВнутри конденсатора реально никаких токов нет; а есть изменяющееся во времени электрическое поле – за счёт изменяющегося заряда обкладок конденсатора. Но предположим, что внутри конденсатора течёт ток смещения закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. Он должен быть равен току проводимости в подводящих проводах; таким образом ток будет непрерывным. Тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Здесь закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– поверхностная плотность заряда. В лекции 12 было показано, что вектор электрического смещения вблизи проводника равен поверхностной плотности заряда:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Здесь производная – частная, поскольку D зависит в общем случае ещё и от координат, а производная – по времени. Тогда плотность тока смещения равна:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.28)

Особенности тока смещения:

1) Течёт в вакууме, где нет реальных заряженных частиц – переносчиков тока.

2) При протекании тока смещения не выделяется теплота Джоуля-Ленца.

3) Единственное положительное свойство (и назначение!) тока смещениясоздавать магнитное поле.

Название «ток смещения» – из определения (16.28) через вектор электрического смещения закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Получим некоторые полезные соотношения для плотности тока смещения. Из лекции 12:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– вектор поляризации диэлектрика, тогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

Первое слагаемое закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллавозникает в веществе при его поляризации и оправдывает термин «ток смещения»: в переменном электрическом поле происходит смещение поляризационных зарядов. Второе слагаемое закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаесть и в вакууме, где никаких заряженных частиц нет.

Итак, в общем случае магнитные поля создаются токами проводимости и токами смещения. В законе полного тока (см. предыдущую лекцию)

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

заменим плотность тока проводимости на суммарную плотность тока проводимости и смещения:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллатогда

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (II)

где S – поверхность, натянутая на контур L (рис.16.11).

Уравнение (II) – второе уравнение Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.

Воспользовавшись теоремой Стокса (16.26) для напряжённости магнитного поля:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла,

получим второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (II)

Его смысл: магнитные поля создаются как токами проводимости (плотность тока проводимости – закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла), так и изменяющимися во времени электрическими полями – закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла.

8.3. Теорема Остроградского-Гаусса. Третье и четвёртое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорему Остроградского-Гаусса (см. лекцию 12) для любых полей, в том числе и нестационарных:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (III)

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– объёмная плотность заряда. Интегрирование производится по объёму V, ограниченному замкнутой поверхностью S (рис.16.12).

Смысл теоремы: поток вектора электрического смещения закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллачерез произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охваченных этой поверхностью. Иначе говоря, источником электрического поля являются электрические заряды.

По математической теореме Гаусса:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, (16.29)

где закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– дивергенция векторного поля. Она равна по определению:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (16.30)

Дивергенция завершает коллекцию операций дифференцирования по координатам векторных и скалярных полей: градиент из скаляра конструирует вектор ( закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– вектор), ротор из вектора снова даёт вектор, а дивергенция вектор превращает в скаляр ( закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла– скаляр!). Сравнивая (16.30) и (III), получим третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (III)

В лекции 14 сформулирована теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (IV)

Это – четвёртое уравнение Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.

Аналогично в дифференциальной форме:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. (IV)

Смысл этого уравнения: магнитных зарядов нет.

8.4. Полная система уравнений Максвелла

Полная система уравнений Максвелла включает, кроме приведённых четырёх основных, ещё три так называемых материальных. Эти три связывают характеристики полей со свойствами среды и друг с другом и включают, в частности, закон Ома в дифференциальной форме. Вот полная система в интегральной и в дифференциальной формах:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

8.5. Частные случаи: стационарное поле; поле в свободном пространстве

Если поля стационарные, все производные равны нулю:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Поля – магнитное и электрическое – разделяются. Их характеристики не связаны друг с другом.

Второй частный случай – поля в свободном пространстве, где нет ни зарядов, ни токов проводимости:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллазакон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Рассмотрим систему двух первых уравнений Максвелла для свободного пространства:

закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллаили закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла

Изменение магнитного поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллапорождает поле электрическое закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла, тоже в общем случае изменяющееся во времени; а изменения поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвеллапорождают снова возникновение магнитного поля закон электромагнитной индукции в интегральной форме уравнений максвелла. Поля – электрическое и магнитное – распространяются, превращаясь друг в друга. Это – электромагнитная волна, распространяющаяся в свободном пространстве, в отрыве от первоначально породивших её зарядов и токов.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *