законы электрических цепей в операторной форме

Законы электротехники в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме законы электрических цепей в операторной форме законы электрических цепей в операторной форме законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравне­ний: uR(t) = iR – для резистора; законы электрических цепей в операторной форме— для катушки индуктивности; законы электрических цепей в операторной форме— для конденсатора.

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения: законы электрических цепей в операторной форме— для резистора; законы электрических цепей в операторной форме— для катушки индуктивности; законы электрических цепей в операторной форме для конденсатора.

Операторным уравнениям будут соответствовать новые схемные представления элементов в операторной форме (см. табл.).

Здесь R, pL,1/pC – операторные сопротивления соответственно рези­стора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p)любого участка схемыможно получить из его комплексного сопротивления Z(jw), заме­нив в выражении множитель jw на оператор p.

Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. На­правления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника L i(0)и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.

Электричес-кая схемаДифференциаль-ные урав­ненияОператорные уравненияОператорная схема
законы электрических цепей в операторной формеuI(p) U(p)
uU(p)
uU(p)

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 134 соответствует операторная схема, представленная на рис. 135.

законы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной форме

Для электрической схемы рис. 134 справедливо дифференциальное урав­не­ние, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

законы электрических цепей в операторной форме.

Для операторной схемы рис. 135 справедливо аналогичное уравнение, но в опе­раторной форме:

законы электрических цепей в операторной форме, откуда следует:

законы электрических цепей в операторной форме,

где законы электрических цепей в операторной форме– операторное сопротивление всей схемы, законы электрических цепей в операторной форме— сумма всех источников ЭДС контура, в том числе и внутренних.

законы электрических цепей в операторной форме

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линей­ных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для слож­ных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому ме­тоду для электрических схем.

Источник

Законы электрических цепей в операторной форме

Сущность операторного метода заключается в том, что функции законы электрических цепей в операторной формевещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция законы электрических цепей в операторной формекомплексной переменной законы электрических цепей в операторной форме, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение законы электрических цепей в операторной формезаданной функции законы электрических цепей в операторной формеопределяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

законы электрических цепей в операторной форме.(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

законы электрических цепей в операторной формеили законы электрических цепей в операторной форме

Следует отметить, что если оригинал законы электрических цепей в операторной формеувеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля законы электрических цепей в операторной форме. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал законы электрических цепей в операторной формеИзображение законы электрических цепей в операторной форме
Aзаконы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной формезаконы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной формезаконы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной формезаконы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной формезаконы электрических цепей в операторной форме
законы электрических цепей в операторной формезаконы электрических цепей в операторной форме

Некоторые свойства изображений

законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме.

С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

законы электрических цепей в операторной форме.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если законы электрических цепей в операторной форме, то законы электрических цепей в операторной форме, где законы электрических цепей в операторной форме— начальное значение функции законы электрических цепей в операторной форме.

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

законы электрических цепей в операторной форме

или при нулевых начальных условиях

законы электрических цепей в операторной форме.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

законы электрических цепей в операторной форме.

Аналогично для интеграла: если законы электрических цепей в операторной форме, то законы электрических цепей в операторной форме.

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме

или при нулевых начальных условиях

законы электрических цепей в операторной форме,

откуда операторное сопротивление конденсатора

законы электрических цепей в операторной форме.

Закон Ома в операторной форме

Пусть имеем некоторую ветвь законы электрических цепей в операторной форме(см. рис. 1), выделенную из некоторой

законы электрических цепей в операторной форме

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

законы электрических цепей в операторной форме.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме,(2)

где законы электрических цепей в операторной форме— операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление законы электрических цепей в операторной формесоответствует комплексному сопротивлению законы электрических цепей в операторной формеветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на законы электрических цепей в операторной форме.

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

законы электрических цепей в операторной форме

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

законы электрических цепей в операторной форме.

Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

законы электрических цепей в операторной форме.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме

В первом случае в соответствии с законом Ома законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

Во втором случае, т.е. при законы электрических цепей в операторной форме, для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

законы электрических цепей в операторной форме

откуда законы электрических цепей в операторной форме; законы электрических цепей в операторной формеи законы электрических цепей в операторной форме.

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

законы электрических цепей в операторной форме,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

законы электрических цепей в операторной форме.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

законы электрических цепей в операторной форме

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

законы электрических цепей в операторной форме.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

законы электрических цепей в операторной форме,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение законы электрических цепей в операторной формеискомой переменной определяется отношением двух полиномов

законы электрических цепей в операторной форме,

где законы электрических цепей в операторной форме.

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

законы электрических цепей в операторной форме,(3)

где законы электрических цепей в операторной форме— к-й корень уравнения законы электрических цепей в операторной форме.

Для определения коэффициентов законы электрических цепей в операторной формеумножим левую и правую части соотношения (3) на ( законы электрических цепей в операторной форме):

законы электрических цепей в операторной форме.

При законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме.

Рассматривая полученную неопределенность типа законы электрических цепей в операторной формепо правилу Лопиталя, запишем

законы электрических цепей в операторной форме.

законы электрических цепей в операторной форме.

Поскольку отношение законы электрических цепей в операторной формеесть постоянный коэффициент, то учитывая, что законы электрических цепей в операторной форме, окончательно получаем

законы электрических цепей в операторной форме.(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения законы электрических цепей в операторной формеравен нулю, т.е. законы электрических цепей в операторной форме, то уравнение (4) сводится к виду

законы электрических цепей в операторной форме.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального законы электрических цепей в операторной формеи конечного законы электрических цепей в операторной формезначений оригинала можно использовать предельные соотношения

законы электрических цепей в операторной форме

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

законы электрических цепей в операторной форме

Ответ: законы электрических цепей в операторной форме.

Ответ: законы электрических цепей в операторной форме.

Источник

№64 Законы электротехники в операторной форме.

Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравнений:

законы электрических цепей в операторной форме

для котушки индуктивности:

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения:

законы электрических цепей в операторной форме

для котушки индуктивности:

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).

Здесь R, pL, 1/pC – операторные сопротивления соответственно резистора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p) любого участка схемы можно получить из его комплексного сопротивления Z(jω), заменив в выражении множитель jω на оператор p.

Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. Направления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника Li(0) и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.

законы электрических цепей в операторной форме

Для электрической схемы рис. 64.1 справедливо дифференциальное уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

законы электрических цепей в операторной форме законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

Для операторной схемы рис. 64.2 справедливо аналогичное уравнение, но в операторной форме:

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

законы электрических цепей в операторной форме

операторное сопротивление всей схемы,

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

законы электрических цепей в операторной форме

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *