законы ома и кирхгофа в комплексной форме
Законы ома и кирхгофа в комплексной форме
Задача анализа установившегося режима в ЭЦ синусоидального тока
Среди режимов работы ЭЦ различают установившиеся и переходные режимы. Установившиеся режимы имеют место в результате сколь угодно длительного воздействия источников энергии в ЭЦ. В ЭЦ с источниками постоянного напряжения и тока токи ветвей и напряжения на них неизменны во времени. В ЭЦ с источниками периодических напряжений и токов (синусоидальных и несинусоидальных) токи в ветвях и напряжения на них являются периодическими функциями времени.
Решение задачи анализа установившегося режима в ЭЦ с источниками синусоидального напряжения и тока во временной области сводится к отысканию частного решения системы дифференциальных уравнений, записанных по законам Кирхгофа для контуров и узлов ЭЦ. Но такой расчет для цепей с числом независимых контуров более двух связан с громоздкими выкладками, вызванными тем, что искомые начальные фазы токов находятся под знаком тригонометрических функций.
Комплексные амплитуды и комплексы
При расчете этим методом всякой синусоидальной функции времени
A m Sin ( w t+ y ) ставится в соответствие комплексное число вида
Во многих случаях пользуются понятием комплекса синусоидальной величины
т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы.
Существует взаимно-однозначное соответствие между комплексной амплитудой и синусоидальной функцией времени. Например, мгновен-ныму значению напряжения u=25Sin(314t-30 o )B соответствует комплекс-ная амплитуда 
B и вектор на комплексной плоскости (рис.3.2).
Примечание. Естественно, что масштабные коэффициенты при построении векторов тока и напряжения на комплексной плоскости могут быть разными.
Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
Отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах двухполюсника к комплексной амплитуде тока, протекающего через эти зажимы, называется комплексным сопротивлением пассивного двухпо-люсника
Ом.
Модуль комплексного сопротивления, равный отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока называется полным сопротивлением двухполюсника, т.е.
Аргументом комплексного сопротивления является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двуполюсника, т.е.
Представляя комплексное сопротивление, как комплексное число, в алгебраической форме, получим
Z=z Cos j +j z Sin j = 
(Ом)
Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексного сопротивления.
Величина обратная комплексному сопротивлению называется комплексной проводимостью
Сим
Модуль комплексной проводимости, равный отношению амплитуды тока к амплитуде напряжения называется полной проводимостью двухполюсника, т.е.
Аргументом комплексной проводимости является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двуполюсника, взятый со знаком (-)
Представляя комплексную проводимость, как комплексное число, в алгебраической форме, получим
Вещественная и мнимая части комплексной проводимости двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексной проводимости.
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима
или 
.
Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.
Пример 1. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e j30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15 o ) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухпо-люсника.
Находя комплексную амплитуду тока 
=3е j15 и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения
=3е j15 ґ 40e j30 =120 е j45 В.
Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (31 4 t + 45 o ), B.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме : Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.
.
Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельсво позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями-векторными диаграммами.
Пример 2 В узле ЭЦ сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).
Решение. На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим
Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.
Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i 1 = 101 Sin( 100t-74 o ), А.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме- в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом
.
Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u 1 = 10 Sin( 100t-45 o ) B, u 2 = 25 Sin( 100t+30 o )B, u 3 = 5 Sin( 100t+60 o )B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.
Переходя к комплексам, получим 
, где
.
=
=30.75+j9.75= 
@ 32.3e j18 в.
Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б ) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e= 32.3 Sin( 100t+18 o ), В.
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Выражениязакона Ома в комплексной форме имеют вид
(4.14)
Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов, имеющий вид
,
в комплексной форме записываются в виде
,
т.е. алгебраическая сумма комплексных токов ветвей в любом узле ЭЦ равна нулю.
, (4.16)
т.е. алгебраическая сумма комплексных напряжений в любом замкнутом контуре ЭЦ равна алгебраической сумме комплексных ЭДС в том же контуре.
Вывод: законы Ома и Кирхгофа, записанные в комплексной форме, имеют такой же вид, что и для цепей постоянного тока. Поэтому для расчета цепей синусоидального тока символическим методом применимы все методы расчета резистивных цепей, если в них произвести замены
Расчет ЭЦ символическим методом производится в следующем порядке:
1) от заданных гармонических воздействий переходят к комплексным изображениям;
2) с помощью любого известного метода расчета определяют комплексные токи и напряжения (реакция цепи);
3) от комплексных изображений токов и напряжений переходят к их мгновенным значениям.
 |
Пример: Составить уравнения по МКТ и МУН для схемы рис. 4.3.
;
;
Метод контурных токов (МКТ)
I. 
II. 
Метод узловых напряжений (МУН)
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Законы Кирхгофа и закон Ома в комплексной форме. Комплексное и полное сопротивление и проводимость
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима
Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.
Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40ej30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.
Находя комплексную амплитуду тока и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения
Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45o), B.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.
Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельство позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями — векторными диаграммами.
. В узле электрической цепи сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).
Мгновенные значения токов i 2 и i 3 определяются выражениями i2= 100 Sin( 100t-45o) и i3= 50 Sin( 100t+30o). Требуется определить ток i1, пользуясь методом комплексных амплитуд.
На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим
Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.
Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i1= 101 Sin(100t-74o), А.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме — в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом:
. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u1= 10 Sin( 100t-45o) B, u2= 25 Sin( 100t+30o)B, u3= 5 Sin( 100t+60o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e = u1+ u2+ u3.
Переходя к комплексам, получим
Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e = 32.3 Sin(100t+18o), В.
Метод комплексных амплитуд.
Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных радиотехнических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.
Суть метода заключается в следующем:
1) Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.
2) Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.
После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:
— импедансы трактуются как обычные сопротивления;
— комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения.
Таким образом, мы избавились от реактивности
элементов и
зависимости от времени
сигналов. Эти факторы, затрудняющие математические операции при описании схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.
Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.
Данный метод применяется для расчёта разветвлённых цепей переменного тока, содержащих реактивные сопротивления (конденсаторы и индуктивности). Сопротивления
этих элементов записываются через комплексные числа.
Сопротивление конденсатора будет равно: Zc=j/ωC,
сопротивление индуктивности: ZL=jωL,
где j – мнимая единица вместо i, так как через i обозначается ток,
ω – циклическая частота, которая равна 2πν,
C и L – соответственно ёмкость и индуктивность.
Источник напряжения с учётом фазы обозначается как Uejφ, где U – действующее напряжение, φ – фаза данного источника.
Если дан источник тока с определённой фазой, то из этой фазы вычитается π/2, чтобы получить фазу данного источника по косинусу, а затем через получившуюся фазу по косинусу данный источник записывается аналогично источнику напряжения: Iejφ.
Если последовательно резистору включён конденсатор, то их общее сопротивление записывается, как R-jZc, если индуктивность, то общее сопротивление равно R+jZL.
сумма токов во всех ветвях, сходящихся в данном узле равна нулю; в
торое правило Кирхгофа:
сумма падений напряжений на всех сопротивлениях равна сумме всех ЭДС в данном контуре) или по методу узловых потенциалов:
1) Закон Ома для участка цепи содержащего ЭДС:
φ1 – узел, от которого течёт ток;
φ2– узел, к которому течёт ток;
V1 – источник, включённый по направлению тока;
V2– источник, включённый противоположно направлению тока;
R1 – сопротивление ветви.
2) Закон сохранения заряд
Далее решая эту систему, получим комплексные значения токов в ветвях. Чтобы получить значения токов, которые будут показывать амперметры, нужно просто взять модули этих комплексных токов.
Пример:
Рассчитаем методом комплексных амплитуд с помощью правил Кирхгофа данную цепь.
Закон Ома в символической форме.
Рисунок 1 — Треугольники сопротивления для активно-емкостной и активно-индуктивной нагрузок
Законы Кирхгофа в символической форме.
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Полностью аналогично формулируется первый закон Кирхгофа для комплексных действующих значений токов: алгебраическая сумма комплексных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю или, другими словами – сумма комплексных действующих значений токов, направленных к узлу, равна сумме комплексных действующих значений токов, направленных от узла.
Законы Кирхгофа в символической форме являются основой анализа электрических цепей синусоидального тока.
Надежность и диагностика электрооборудования
Основные понятия и определения надежности и диагностики электрооборудования.
Основным направлениями изучения теории надежности судового электрооборудования являются безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость ЭЭС и ее элементов.
Составной частью теории надежности есть эксплуатационная надежность элементов судовой электроэнергетической системы чаще всего проявляющаяся как чисто практическая, ибо для ее решения не требуется ни новых теорий, ни новых знаний. Профессиональные знания, четкое и пунктуальное выполнение требований нормативных документов, правил, инструкций по эксплуатации, отличная организация труда, использование высококачественных материалов, выполнение всех необходимых требований, систематический контроль за состоянием технического средства вот элементы, которые обеспечивают высокую эксплуатационную надежность.
Для судовой электроэнергетической системы в целом всего этого оказывается уже недостаточно, так как для объективного ответа на ряд вопросов, выдвигаемых практикой проектирования и эксплуатации, крайне нужны и новые знания, и новые теории, и новые математические модели.
К основным задачам теории надежности судового электрооборудования следует отнести:
· обоснование надежности при выборе структуры, организации функционирования электроэнергетической ЭЭС и ее элементов;
· определение безотказности функционирования СЭЭС, судовой электростанции и их элементов;
· определение надежности производства и распределения электрической энергии на судне;
· определение надежности необходимых связей между основными элементами ЭЭС;
· оценка надежности судового электрооборудования, электронных, электрических средств автоматики, систем автоматизации управления производственными процессами на судне.
· выбор и обоснование расположение, характеристик коммутационных и защитных аппаратов с учетом их надежности;
· определение степени резервирования отдельных элементов ЭЭС;
· оценка ремонтопригодности ЭЭС и ее элементов;
· оценка восстанавливаемости ЭЭС и ее элементов;
· оценка сохраняемости ЭЭС и ее элементов
· определение оптимальных сроков ремонтов электрооборудования, профилактики и т. д.
Решение этих важных задач может возникать на любой стадии жизненного цикла электрооборудования – в период проектирования, производства, эксплуатации или хранении.
Принципиально новым моментом современного развития проблемы надежности судовой электроэнергетической системы является количественный подход к ее решению в отличие от чисто качественной оценки надежности, осуществлявшейся ранее.
Таким образом, для решения вышеперечисленных задач необходимо знать основные количественные характеристики надежности, владеть математическим аппаратом, методами, методиками их определения. Именно этим вопросам и посвящена дисциплина надежность и диагностика судового электрооборудования.
Основные понятия теории надежности устанавливаются путем описания соотношений между ними. Эффективность — более общее и широкое понятие, включающее в себя и надежность, но, как всякое общее понятие, оно несколько расплывчатое и неконкретное.
Под эффективностью системы будем понимать совокупность свойств, определяющих степень приспособленности системы к выполнению поставленных задач. В некоторых работах указанная совокупность свойств названа термином качество.
Эффективность всякой технической системы определяется в основном эффективностью выполнения системой определенных задач (с учетом внешней обстановки и способа применения) и эффективностью использования вкладываемых в нее средств (материальных, людских, финансовых и пр.).
Эффективность выполнения системой определенных задач характеризуется в первую очередь надежностью и живучестью системы.
Под надежностью будем понимать способность системы сохранять свойства, необходимые для выполнения заданного назначения, при нормальных (повседневных) условиях ее эксплуатации в течение требуемого промежутка времени.
Под живучестью будем понимать способность системы сохранять свойства, необходимые для выполнения заданного назначения, при наличии воздействий (взрывов, пожаров, затоплений и пр.), не предусмотренных условиями нормальной эксплуатации.
Надежность системы обеспечивается, в свою очередь, еще более конкретными свойствами этой системы, а именно безотказностью, ремонтопригодностью и долговечностью
Под безотказностью понимается способность системы сохранять работоспособность (т. е. не иметь отказов) в течение определенного времени при нормальных условиях эксплуатации.
Под ремонтопригодностью (восстанавливаемостью) понимается приспособленность системы к предупреждению, обнаружению и устранению отказов.
Под долговечностью — способность системы к длительной эксплуатации при необходимом техническом обслуживании, в которое могут входить и различные виды ремонтов.
Схемы замещения электрических цепей и их параметры. Законы Кирхгофа их применение для расчёта установившегося режима линейных резистивных электрических цепей. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима
Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.
Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40ej30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.
Находя комплексную амплитуду тока и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения
Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45o), B.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.
Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельство позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями — векторными диаграммами.
. В узле электрической цепи сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).
Мгновенные значения токов i 2 и i 3 определяются выражениями i2= 100 Sin( 100t-45o) и i3= 50 Sin( 100t+30o). Требуется определить ток i1, пользуясь методом комплексных амплитуд.
На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим
Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.
Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i1= 101 Sin(100t-74o), А.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме — в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом:
. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u1= 10 Sin( 100t-45o) B, u2= 25 Sin( 100t+30o)B, u3= 5 Sin( 100t+60o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e = u1+ u2+ u3.
Переходя к комплексам, получим
Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e = 32.3 Sin(100t+18o), В.
Метод комплексных амплитуд.
Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных радиотехнических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.
Суть метода заключается в следующем:
1) Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.
2) Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.
После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:
— импедансы трактуются как обычные сопротивления;
— комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения.
Таким образом, мы избавились от реактивности
элементов и
зависимости от времени
сигналов. Эти факторы, затрудняющие математические операции при описании схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.
Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.
Данный метод применяется для расчёта разветвлённых цепей переменного тока, содержащих реактивные сопротивления (конденсаторы и индуктивности). Сопротивления
этих элементов записываются через комплексные числа.
Сопротивление конденсатора будет равно: Zc=j/ωC,
сопротивление индуктивности: ZL=jωL,
где j – мнимая единица вместо i, так как через i обозначается ток,
ω – циклическая частота, которая равна 2πν,
C и L – соответственно ёмкость и индуктивность.
Источник напряжения с учётом фазы обозначается как Uejφ, где U – действующее напряжение, φ – фаза данного источника.
Если дан источник тока с определённой фазой, то из этой фазы вычитается π/2, чтобы получить фазу данного источника по косинусу, а затем через получившуюся фазу по косинусу данный источник записывается аналогично источнику напряжения: Iejφ.
Если последовательно резистору включён конденсатор, то их общее сопротивление записывается, как R-jZc, если индуктивность, то общее сопротивление равно R+jZL.
сумма токов во всех ветвях, сходящихся в данном узле равна нулю; в
торое правило Кирхгофа:
сумма падений напряжений на всех сопротивлениях равна сумме всех ЭДС в данном контуре) или по методу узловых потенциалов:
1) Закон Ома для участка цепи содержащего ЭДС:
φ1 – узел, от которого течёт ток;
φ2– узел, к которому течёт ток;
V1 – источник, включённый по направлению тока;
V2– источник, включённый противоположно направлению тока;
R1 – сопротивление ветви.
2) Закон сохранения заряд
Далее решая эту систему, получим комплексные значения токов в ветвях. Чтобы получить значения токов, которые будут показывать амперметры, нужно просто взять модули этих комплексных токов.
Пример:
Рассчитаем методом комплексных амплитуд с помощью правил Кирхгофа данную цепь.
Законы Кирхгофа и закон Ома в комплексной форме. Комплексное и полное сопротивление и проводимость
Рассмотрим произвольный контур электрической цепи (рис. 1.6).
Рис. 1.6 – Контур электрической цепи
Согласно второму закону Кирхгофа выполняется равенство:
Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:
то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд напряжений на элементах цепи, образующих контур, равна нулю. Это и составляет суть второго закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется совпадением или несовпадением направления напряжения с выбранным направлением обхода контура.
Аналогичным образом рассмотрим произвольный узел электрической цепи (рис. 1.7).
Рис. 1.7 – Узел электрической цепи
Согласно первому закону Кирхгофа выполняется равенство:
Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:
то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Это и составляет суть первого закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется направлением соответствующего тока ветви: знак «+» соответствует притекающим к узлу токам, а знак «-» — оттекающим от узла токам.
Преобразуем аналогичным образом компонентные соотношения для сопротивления, индуктивности и емкости:
Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данные равенства в виде:
Поскольку операции взятия вещественной части, умножения на константу, дифференцирования и интегрирования являются линейными, то они являются перестановочными и данные равенства можно переписать в виде:
Данные выражения отражают суть закона Ома в комплексной форме: комплексная амплитуда напряжения на данном участке электрической цепи равна произведению комплексной амплитуды тока, протекающего по данному участку, и комплексного сопротивления данного участка.
Таким образом, комплексные сопротивления резистивного, индуктивного и емкостного элементов равны:
При последовательном соединении элементов электрической цепи через них протекает один и тот же ток, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда тока. С другой стороны, напряжение на концах такого участка складывается из напряжений на отдельных элементах, а, значит, складываются и комплексные сопротивления этих элементов.
Величина, обратная комплексному сопротивлению, носит название комплексной проводимости. Очевидно, что при параллельном соединении элементов электрической цепи напряжение на их зажимах одинаково, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда напряжения. С другой стороны, ток, притекающий к такому соединению, складывается из токов, протекающих по каждому из соединенных элементов, а, значит, складываются и комплексные проводимости этих элементов.
Комплексные проводимости резистивного, индуктивного и емкостного элементов определяются выражениями:
Введенные комплексные сопротивление и проводимость имеют определенный физический смысл. Так модуль комплексного сопротивления некоторого участка электрической цепи, который носит название полного сопротивления этого участка, определяет соотношение между амплитудой напряжения на данном участке и тока, протекающего по нему. Аргумент комплексного сопротивления определяет сдвиг фаз между напряжением на данном участке и током, протекающим по нему.
Рассмотрим примеры расчета линейных электрических цепей в рамках метода комплексных амплитуд.
ПРИМЕР 1
Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении и индуктивности для следующей электрической цепи:
Анализируемую цепь можно рассматривать в качестве двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных сопротивления и индуктивности, к которому присоединен источник ЭДС.
Комплексное входное сопротивление этого двухполюсника равно:
По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:
где — аргумент комплексного входного сопротивления,
ПРИМЕР 2
Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении и емкости для следующей электрической цепи:
Цепь представляет собой двухполюсник, состоящий из последовательно соединенных сопротивления и емкости, к которому присоединен источник ЭДС.
Комплексное входное сопротивление этого двухполюсника равно:
По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:
где — аргумент комплексного входного сопротивления,
ПРИМЕР 3
Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении, индуктивности и емкости для следующей электрической цепи:
Находим комплексное входное сопротивление:
где – реактивная составляющая комплексного входного сопротивления.
По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:
где — аргумент комплексного входного сопротивления,
Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор…
Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам…
Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? — задался я вопросом…
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала…
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: