законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах
Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме
Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R
.
.
Отсюда 
, где
— удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет
Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля в нем.
Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна
Если ток постоянный, то 
иA = I U t.
Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома 
получим
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
Здесь 
— плотность тока,
, и учитывая, чтоj = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилиндров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.
Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.
Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.
Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.
Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:
— электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;
— движение электронов подчиняется законам классической механики;
— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристалли-ческой решетки;
— силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;
— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.
Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.
На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение 
и к концу свободного пробега он достигнет скорости
, а средняя скорость =vmax/2.
.
Подставляя в формулу для j, получим
,
т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что
то j = γ E.
Удельная проводимость γ
T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление 
повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию
Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон испытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в единице объема за единицу времени выделится количество тепла
.
Таким образом, 
— выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Ома и Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной форме.
Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R
.
.
Отсюда 
, где 
— удельная проводимость проводника. Таким образом, выражение закона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет
j = γ E.
Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля в нем.
Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна
Если ток постоянный, то
и
Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома 
получим
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
Здесь 
— плотность тока, 
, и учитывая, что j = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Магнитное поле.
Магнитное поле – это особая форма материи, которая создается магнитами, проводниками с током (движущимися заряженными частицами) и которую можно обнаружить по взаимодействию магнитов, проводников с током (движущихся заряженных частиц).
Вектор магнитной индукции(В)— это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается В). Пробный контур, помещенный в магнитное поле, испытывает со стороны магнитного поля действие вращающего момента сил М.
Бесконечно длинный ток величины I создает на расстоянии r от себя магнитное поле:
Мы бы никогда не знали о магнитном поле, если бы оно себя не проявляло. Определить наличие поля можно стрелкой компаса. Стрелка компаса будет только сигнализатором наличия поля. Для получения количественных величин стрелка непригодна. В качестве измерителя поля можно использовать вращающуюся рамку.
Амплитуда напряжения на токосъемных кольцах равна
N – число витков в рамке;
Ф – магнитный поток Вб;
ω – угловая частота вращения равная 2π f
По замеренному напряжению можно рассчитать магнитный поток, измеряемый в веберах (Вб). Магнитный поток и есть величина, характеризующая поле. Зная магнитный поток, можно рассчитать напряжение, которое мы можем получить в генераторе. На практике чаще пользуются понятием плотности магнитного потока, т.е. потоком, проходящим сквозь площадку площадью 1 квадратный метр. Плотность магнитного потока называется магнитной индукцией.
Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл).
Причиной возникновения магнитного потока является электрический ток. Магнитная индукция на расстоянии r от прямолинейного проводника равна:
По центру витка с током радиуса r магнитная индукция будет равна
Этой характеристикой магнитного потока – индукцией и можно было бы ограничиться при изучении магнетизма. Но традиционно преподается, что электрический ток порождает напряженность магнитного поля, а уж та в свою очередь порождает индукцию.
Напряженность магнитного поля измеряется в А/м.
Для прямолинейного провода с током
Для витка с током напряженность в центре витка равна
Это те же самые формулы, которые приведены выше для индукции. Различаются они лишь магнитной постоянной μ0.
Индукция в вакууме или воздухе равна
Закон Джоуля-Ленца в дифференцированной и интегральной форме
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:
Если ток постоянный, то:
и
Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома 
получим:
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
Здесь 
— плотность тока, 
, и учитывая, что j = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилиндров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.
Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.
Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.
Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.
Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.
Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:
— электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;
— движение электронов подчиняется законам классической механики;
— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристаллической решетки;
— силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;
— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.
Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.
На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: 
и к концу свободного пробега он достигнет скорости:
, а средняя скорость
Подставляя в формулу для получим:
.
Подставляя в формулу для j, получим:
,
т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:
то
j= γ E.
Удельная проводимость γ
T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление 
повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию
Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон испытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в единице объема за единицу времени выделится количество тепла
.
Таким образом, 
— выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электронной теории
Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально абсолютной температуре
.
Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную теплопроводность через атомарные постоянные металла, объясняет зависимость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.
Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опытом.
1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:
,
, но 
,
т.е. ∼ 
.
Следовательно, по теории ρ ∼ 
, тогда как на практике
,
т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени температуры Т.
Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах. Однако при достаточно низких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, которое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, существует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).
Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводимости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается практически до нуля (рис. 96). В сверхпроводниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется закон Ома.
2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Согласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью 
. Добавляя эту теплоемкость к теплоемкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков. Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различаются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках квантовой теории металлов.
В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределения энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Дирака.
Энергия электронов в металлах слабо зависит от температуры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не сказывается на теплоемкости.
Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соударениях. При низких температурах взаимодействие между электронами начинает играть решающую роль. Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потенциала решетки.
И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.