законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно про­порциональна сопротивлению R

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Отсюда законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, гдезаконы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженно­сти электрического поля в нем.

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

Если ток постоянный, то законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахиA = I U t.

Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахполучим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахзаконы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

Здесь законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— плотность тока,законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, и учитывая, чтоj = γE, получим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристалли-ческой решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахи к концу свободного про­бега он достигнет скоростизаконы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, а средняя скорость =vmax/2.

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Подставляя в формулу для j, получим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахто j = γ E.

Удельная проводимость γ

T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахпо­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Таким образом, законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахзаконы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Источник

Закон Ома и Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной форме.

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно про­порциональна сопротивлению R

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Отсюда законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, где законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— удельная проводимость проводника. Таким образом, выражение закона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

j = γ E.

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженно­сти электрического поля в нем.

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна

Если ток постоянный, то

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахи

Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахполучим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

Здесь законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— плотность тока, законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, и учитывая, что j = γE, получим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Магнитное поле.

Магнитное поле – это особая форма материи, которая создается магнитами, проводниками с током (движущимися заряженными частицами) и которую можно обнаружить по взаимодействию магнитов, проводников с током (движущихся заряженных частиц).

Вектор магнитной индукции(В)— это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается В). Пробный контур, помещенный в магнитное поле, испытывает со стороны магнитного поля действие вращающего момента сил М.

Бесконечно длинный ток величины I создает на расстоянии r от себя магнитное поле:

Мы бы никогда не знали о магнитном поле, если бы оно себя не проявляло. Определить наличие поля можно стрелкой компаса. Стрелка компаса будет только сигнализатором наличия поля. Для получения количественных величин стрелка непригодна. В качестве измерителя поля можно использовать вращающуюся рамку.

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Амплитуда напряжения на токосъемных кольцах равна

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

N – число витков в рамке;

Ф – магнитный поток Вб;

ω – угловая частота вращения равная 2π f

По замеренному напряжению можно рассчитать магнитный поток, измеряемый в веберах (Вб). Магнитный поток и есть величина, характеризующая поле. Зная магнитный поток, можно рассчитать напряжение, которое мы можем получить в генераторе. На практике чаще пользуются понятием плотности магнитного потока, т.е. потоком, проходящим сквозь площадку площадью 1 квадратный метр. Плотность магнитного потока называется магнитной индукцией.

Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл).

Причиной возникновения магнитного потока является электрический ток. Магнитная индукция на расстоянии r от прямолинейного проводника равна:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

По центру витка с током радиуса r магнитная индукция будет равна

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахзаконы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Этой характеристикой магнитного потока – индукцией и можно было бы ограничиться при изучении магнетизма. Но традиционно преподается, что электрический ток порождает напряженность магнитного поля, а уж та в свою очередь порождает индукцию.

Напряженность магнитного поля измеряется в А/м.

Для прямолинейного провода с током

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Для витка с током напряженность в центре витка равна

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Это те же самые формулы, которые приведены выше для индукции. Различаются они лишь магнитной постоянной μ0.

Индукция в вакууме или воздухе равна

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Источник

Закон Джоуля-Ленца в дифференцированной и интегральной форме

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:

Если ток постоянный, то:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахи

Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахполучим:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

Здесь законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— плотность тока, законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, и учитывая, что j = γE, получим

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.

Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристаллической решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахи к концу свободного про­бега он достигнет скорости:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, а средняя скорость

Подставляя в формулу для получим:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Подставляя в формулу для j, получим:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахто

j= γ E.

Удельная проводимость γ

T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формахпо­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Таким образом, законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах— выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электрон­ной теории

Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально аб­солютной температуре

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную тепло­проводность через атомарные постоянные металла, объясняет зави­симость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.

Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опы­том.

1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, но законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

т.е. ∼ законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Следовательно, по теории ρ ∼ законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах, тогда как на практике

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах,

т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени тем­пературы Т.

Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах. Однако при достаточно низ­ких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, кото­рое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, су­ществует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).

Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводи­мости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается прак­тически до нуля (рис. 96). В сверхпро­водниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется за­кон Ома.

законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах

2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Со­гласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью законы ома и джоуля ленца в интегральной и дифференциальной формах. Добавляя эту теплоемкость к тепло­емкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков. Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различа­ются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках кванто­вой теории металлов.

В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределе­ния энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Ди­рака.

Энергия электронов в металлах слабо зависит от темпера­туры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не ска­зывается на теплоемкости.

Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соуда­рениях. При низких температурах взаимодействие между электро­нами начинает играть решающую роль. Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потен­циала решетки.

И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *