жорданова форма нильпотентного оператора

Жорданова нормальная форма

б) Матрица J определена однозначно с точностью до перестановки входящих в нее жордановых клеток.

3. Определение. Вектор называется корневым вектором оператора f, отвечающим , если существует такое r, что (здесь обозначает оператор ).

Очевидно, все собственные векторы корневые.

4. Предложение. Обозначим через множество корневых векторов оператора f в L, отвечающих . Тогда — линейное подпространство в L и тогда и только тогда, когда — собственное значение для f.

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник

Источник

Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.

Материал для изучения нормальной жордановой формы матрицы и жорданова базиза. Работа содержит теоретический материал, теоремы и примеры.

Просмотр содержимого документа
«Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.»

Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.

Определения и основные понятия

Введем два основных понятия.

1.1 Жорданова клетка

Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу λ₀, называется матрица порядка k, 1≤k≤n, имеющая вид:

Также можем сказать, что на её главной диагонали стоит одно и то же число из поля P, а параллельные элементы, ближайшие к главной диагонали сверху, равны 1, все остальные элементы матрицы равны нулю.

Её характеристический многочлен (λ₀ − λ) k имеет корень λ₀ кратности k.

Таким образом, данная матрица имеет собственное значение λ₀ алгебраической кратности k. Отвечающие ему собственные векторы — это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей

Так как rangB = k −1, так что размерность собственного подпространства равна 1, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k ≥ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагонального вида. Матрица J_k(λ₀) называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению λ₀.

Жордановым блоком, отвечающим собственному значению λ₀, называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида:

Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице A(λ₀) определен неоднозначно.

1.3 Примеры жордановых блоков

Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид f(λ) = (λ₀ − λ) m и геометрическая кратность собственного значения λ₀ равна s.

Пример 1. Пусть m = 2, s = 1. Тогда

имеем одну жорданову клетку порядка 2.

Пример 2. Пусть m = 3, s = 1. Тогда

имеем одну жорданову клетку порядка 3.

Пример 3. Пусть m = 3, s = 2. Имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков 1 и 2:

Теорема о жордановой форме матрицы оператора

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид

Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную форму (она называется жордановой формой)

где A(λ_j ) — жорданов блок, соответствующий собственному значению λ_j. Указанный базис называется жордановым.

Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным числовым полем K, но все корни характеристического многочлена принадлежат полю K.

Рассмотрим примеры. Обозначаем через n размерность пространства, m_j и s_j — алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения λ_j соответственно.

Пример 1. Пусть n = 2, λ₁ ≠ λ₂. Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду:

Базис векторного пространства, в котором матрица оператора имеет вид одной сплошной ячейки, должен обладать свойством («цикличность»), которое получим на основе правила «столбцы матрицы = образы базисных векторов».

Здесь q обозначает некое, известное нам число.

Это означает, что координаты вектора e₁ в этом базисе равны (1,0,0,0).

Как нетрудно проверить, верно и обратное: если первый базисный вектор является по совместительству собственным вектором оператора с собственным числом q, то первый столбец матрицы оператора в таком базисе равен (q,0,0,0).

Теперь займемся вторым базисным вектором e₂. Его координаты равны (0,1,0,0). Умножив на столбец (0,1,0,0) нашу матрицу, мы получим в качестве результата ее второй столбец (1,q,0,0). Это означает, что

Точно так же получаются равенства

В итоге мы приходим к выводу: если матрица оператора A в некотором базисе имеет вид Жордановой клетки (ячейки) с числом q на диагонали и с единичкам над ней, то векторы базиса превращаются друг в друга под воздействием оператора B=A-qE:

В этой цепочке стрелки (слева направо) показывают, что из каждого базисного вектора получается под воздействием оператора B.

4 Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы

Пусть λ — собственное значение оператора, m и s — алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединенных векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице A′ будет соответствовать жорданов блок A(λ).

Теорема. Существует такое натуральное число q, что

т.е. все ядра с номером, большим, чем q, совпадают с ядром N_q. При этом

Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значению λ, следующим образом.

1. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестает уменьшаться.

таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 1.

таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 2.

Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро N₁ и векторы

Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле

Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m — алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем в таблицу («жорданова лестница»):

Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения.

Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.

где J_q(λ) — жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.

В следующих q столбцах матрицы A′, определенных векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка J_q(λ) так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы A′, а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы A′. На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ).

Для других собственных значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу A′ и соответствующий жорданов базис.

4.1 Пример решения задач

Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом жордановом базисе. Рассмотрим пример решения такой задачи методом построения жорданова базиса.

имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A − λI равна

Легко проверить, что

Собственные векторы находим, решив однородную систему линейных уравнений BX = O; фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например,

Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется еще один присоединенный вектор.

Дополним базис ядра N₁, т.е. набор векторов (2), до базиса ядра N₂, например, вектором

Построим жорданову лестницу:

соответствует жорданова клетка порядка 2,

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор

Обозначение

В некоторых учебниках есть поддиагональ ; то есть непосредственно под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали.

Мотивация

Комплексные матрицы

где каждый блок J _i представляет собой квадратную матрицу вида

Предполагая этот результат, мы можем вывести следующие свойства:

Пример

Пример: получение нормальной формы

В этом примере показано, как вычислить нормальную форму Жордана данной матрицы.

о котором упоминается в начале статьи.

Вычисление показывает, что уравнение P −1 AP = J действительно выполняется.

Обобщенные собственные векторы

Доказательство

В противном случае, если

Уникальность

Можно показать, что жорданова нормальная форма данной матрицы A единственна с точностью до порядка жордановых клеток.

равно удвоенному количеству жордановых блоков размера k ₁ плюс количество жордановых блоков размера k ₁ −1. Общий случай аналогичен.

Реальные матрицы

и описать умножение на в комплексной плоскости. Наддиагональные блоки представляют собой единичные матрицы 2 × 2 и, следовательно, в этом представлении размерности матрицы больше, чем у комплексной жордановой формы. Полный реальный блок Джордана дается формулой λ я <\ displaystyle \ lambda _ >

Эта вещественная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для действительной матрицы невещественные собственные векторы и обобщенные собственные векторы всегда можно выбрать для образования комплексно сопряженных пар. Взяв действительную и мнимую части (линейную комбинацию вектора и сопряженного с ним), матрица имеет такой вид относительно нового базиса.

Матрицы с записями в поле

Последствия

Можно видеть, что нормальная форма Жордана является, по сути, результатом классификации квадратных матриц, и поэтому несколько важных результатов линейной алгебры можно рассматривать как ее следствия.

Теорема о спектральном отображении

Характеристический полином

Теорема Кэли – Гамильтона

Минимальный многочлен

Инвариантные разложения подпространств

Можно также получить несколько иное разложение с помощью жордановой формы. Для заданного собственного значения λ _i размер его наибольшего соответствующего жорданова блока s _i называется индексом λ _i и обозначается ν (λ _i ). (Следовательно, степень минимального многочлена равна сумме всех индексов.) Определим подпространство Y _{i следующим} образом:

Это дает разложение

Здесь может быть интересно отметить некоторые свойства индекса ν ( λ ). В более общем смысле, для комплексного числа λ его индекс может быть определен как наименьшее неотрицательное целое число ν (λ) такое, что

Плоская (плоская) нормальная форма

Жорданова форма используется для нахождения нормальной формы матриц с точностью до сопряжения, такой что нормальные матрицы составляют алгебраическое многообразие низкой фиксированной степени в пространстве объемлющих матриц.

Множества представителей классов матричной сопряженности для жордановой нормальной формы или рациональных канонических форм в общем случае не составляют линейных или аффинных подпространств в объемных матричных пространствах.

Для алгебраически замкнутых полей она была решена Петерисом Даугулисом. Построение однозначно определенной плоской нормальной формы матрицы начинается с рассмотрения ее жордановой нормальной формы.

Матричные функции

Итерация цепочки Джордана мотивирует различные расширения к более абстрактным параметрам. Для конечных матриц получаются матричные функции; это может быть распространено на компактные операторы и голоморфное функциональное исчисление, как описано ниже.

В следующем примере показано приложение к степенной функции f ( z ) = z n :

Компактные операторы

Голоморфное функциональное исчисление

Нам потребуются следующие свойства этого функционального исчисления:

Конечномерный случай

Теорема о спектральном отображении говорит нам

имеет спектр <0>. По свойству 1 f ( T ) может быть непосредственно вычислено в жордановой форме, и, проверив, мы видим, что оператор f ( T ) e _i ( T ) является нулевой матрицей.

Поляки оператора

Точка λ называется полюсом оператора T порядка ν, если резольвентная функция R _T, определенная равенством

имеет полюс порядка ν в точке λ.

Мы покажем, что в конечномерном случае порядок собственного значения совпадает с его индексом. Результат верен и для компактных операторов.

Согласно предыдущему обсуждению функционального исчисления,

Но мы показали, что наименьшее натуральное число m такое, что

в точности индекс λ, ν (λ). Другими словами, функция R _T имеет полюс порядка ν (λ) в точке λ.

Числовой анализ

Если матрица A имеет несколько собственных значений или близка к матрице с несколькими собственными значениями, то ее жорданова нормальная форма очень чувствительна к возмущениям. Рассмотрим, например, матрицу

Если ε = 0, то нормальная форма Жордана просто

Однако при ε ≠ 0 жорданова нормальная форма имеет вид

Источник

34. Нильпотентные операторы

§ 34. Нильпотентные операторы

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

§ 34. Нильпотентные операторы

Предварительныезамечания

Данный параграф является подготовительным. В нем будет доказано существование жорданова базиса для некоторого весьма частного, но важного класса линейных операторов так называемых нильпотентных операторов. И сам этот факт, и информация, полученная в ходе его доказательства, будут весьма полезны в следующем параграфе.

§ 34. Нильпотентные операторы

Клеточно—диагональныематрицы

Всякая диагональная матрица является клеточно-диагональной матрицей, в которой все клетки имеют порядок 1.

Всякая клеточно-диагональная матрица с более чем одной диагональной клеткой является полураспавшейся.

§ 34. Нильпотентные операторы

КлеткиЖордана.Жорданованормальнаяформаматрицы

Всякая клетка Жордана и всякая клеточно-диагональная матрица являются нижнетреугольными матрицами.

Числа, стоящие на главных диагоналях различных клеток Жордана матрицы, имеющей жорданову нормальную форму, могут быть любыми (в том числе совпадающими у разных клеток).

§ 34. Нильпотентные операторы

Основнаятеорема

Например, оператор дифференцирования в пространстве F n [ x ] нильпотентен ступени n + 1, так как, очевидно, ( n + 1)-я производная любого многочлена степени 6 n равна 0, причем n + 1 наименьшее число с таким свойством.

Основным результатом данного параграфа является следующая теорема.

Основная теорема о нильпотентных операторах

Для всякого нильпотентного линейного оператора A в векторном

пространстве V существует базис этого пространства, в котором матрица

оператора A имеет жорданову нормальную форму, причем во всех ее

Для того, чтобы доказать это утверждение, нам потребуется ряд

предварительных определений и результатов.

§ 34. Нильпотентные операторы

Нильслои

Из равенства A m (v) = 0 вытекает, что

длина любого нильслоя не превосходит m.

§ 34. Нильпотентные операторы

Линейная независимость нильслоя и инвариантность порождаемого им подпространства

Основное свойство нильслоя

λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + · · · + λ s v s = 0

§ 34. Нильпотентные операторы

Жордановысистемыитаблицы

Источник