Что такое система счисления
Что такое система счисления
Про системы счисления
Что же это, чёрт возьми, такое, как работают нули-единицы, и кто и зачем это вообще придумал.
Начинаю серию статей с простым объяснением всяких фундаментальных вещей с иллюстрациями. Школьнику, которого учитель информатики заставляет переводить числа туда-сюда, а он вообще не врубается, что происходит. Дизайнеру, который не знает, что значит цвет #FFDD00. Тем, кто всё знает, но не против ещё раз укрепить модель.
В статье всё замаскировано под исторические события. Это фикция, я не знаю историю, поэтому придумал свою, чтобы было проще рассказывать.
Жил-был древний человек.
И были у него овцы.
И решил он однажды посчитать, сколько у него овец. Но считать ещё не умел.
Древний человек придумал оставлять засечки на камне. Одна засечка — одна овца. Когда рождается овца, человек рисовал засечку, когда умирала — стирал.
И жил так прекрасно древний человек, пока не поумнел и не решил узнать что-нибудь об окружающем его мире. И захотел он посчитать количество звёзд на небе — тем же способом.
Это, конечно, такой естественный отбор был. Человек должен с копьём на кабана охотиться, а не звёзды считать.
Потом были древние римляне. Их было много, поэтому, очевидно, были те, кто поумнее, и все остальные. Последние охотились на кабана с копьём, а умные считали добычу и столкнулись с той же проблемой, что и древний человек.
И они подумали: «а давайте нарисуем ещё больше разных закорючек, и они будут кратко обозначать большие числа».
И придумали, что эти закорючки будут такими:
V = IIIII,
X = VV,
L = XXXXX,
C = LL,
D = CCCCC,
M = DD.
Ещё они придумали хитрые правила, чтобы, например, вместо VIIII писать IX, но для простоты повествования мы про эти правила забудем.
И смогли римляне посчитать, что средняя продолжительность жизни — лет L, а звёзд на небе видно примерно MMD. Им этого хватало.
Но время шло, и человечеству понадобилось записывать всё большие числа. Латинского алфавита, чтобы придумать ещё больше обозначений, не хватило бы, да и не очень это было удобно.
И нашёлся один умный человек, который придумал такую сложную и непонятную систему, что я не удивлюсь, если его за это потом сожгли.
Заметьте, что во всех предыдущих способах записи закорючки (цифры), стоящие рядом, просто складываются. Если древний человек написал II, это значит «I засечка и ещё I засечка». Если римлянин написал VII, это значит буквально IIIII + I + I, то есть IIIIIII.
Умный человек (горе ему) придумал вот что:
Пусть у нас будет сколько-то закорючек, например, X (здесь и дальше X — римская цифра, а не «неизвестное»). Позвал знакомого араба, сказал ему: «придумай мне X закорючек». Араб почесал репу и нарисовал: 0123456789.
Пусть 0 означает «ничего», а каждая следующая цифра сама по себе означает число, больше предыдущего на 1.
А дальше вообще отвал башки.
Пусть чем раньше в числе стоит цифра, тем большую «значимость» она имеет. Если цифра стоит в конце, она значит ровно столько, сколько написано. Если она на втором месте с конца, её собственное значение умножается на X. Если на третьем месте, то умножается на X и ещё раз на X, и так далее.
Например, если написано 456, то это значит не 4 + 5 + 6, а
4 * X * X + 5 * X + 6.
И понял умный человек, что цифра X ему больше особо и не нужна, потому что X — это 1 * X + 0, а значит записывается в новой системе как «10».
Ещё раз хочу обратить ваше внимание, насколько это неочевидная система — почему нужно ещё умножать цифры на что-то? почему нельзя просто, чтобы 4 значило 4? почему 4 в числе 456 обозначает 400? Но мы с вами выросли на этой системе, поэтому принимаем её за данность.
Таким образом, запись 456 означает 4 * 10 * 10 + 5 * 10 + 6. Какой-то другой умный человек придумал степени, и стало можно вместо 10 * 10 писать 10 ^ 2, вместо 10 * 10 * 10 писать 10 ^ 3 и так далее.
Немного терминологии, чтобы привязать знания к реальности.
Система счисления — это способ записывать количество какими-то чёрточками. Способ подсчёта овец древним человеком — система счисления. Запись чисел с помощью V, X и M римлянами — система счисления. Новый и прогрессивный способ, придуманный умным человеком, — тоже.
Непозиционная система счисления — та, где от положения цифры её значение не меняется. Древний человек придумал именно такую систему — I всегда значит I.
Позиционная система счисления — та, где, наоборот, положение цифры влияет на её значение. Такую систему изобрёл умный человек. Например, в числе 456 цифра 4 означает 400, а в числе 546 — всего 40.
Основание системы счисления — общее количество закорючек (цифр) в ней. Умный человек придумал систему счисления с основанием X (в этой системе, в свою очередь, X записывается как 10).
Разряд — положение цифры в числе.
Что будет, если изменить основание системы счисления, например, на 2?
В целом, то же самое, только: — цифры остались всего две — можем придумать любые, но для удобства обычно берут символы из нашей системы счисления. Например, у нас будут цифры 0 и 1. — возводить в степень мы будем уже не 10, а 2.
Переведём число 1010 из системы счисления с основанием 2 (то есть, из двоичной системы счисления) в нашу, десятичную. Чтобы не было путаницы, основание системы счисления обычно записывают после числа в нижнем регистре.
Пронумеруем разряды справа налево, начиная с нуля.
1010 = 0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 0 * 2^2 + 1 * 2^3 = 0 + 2 + 0 + 8 = 10.
Выходит, 1010 в двоичной системе счисления обозначает такое же количество, какое 10 — в нашей, десятичной.
Двоичная система удобна, потому что в ней достаточно иметь всего две возможные позиции в каждом из разрядов — «ток течёт» или «ток не течёт», «палец загнут» или «палец выпрямлен».
Например, загибая пальцы рук, можно посчитать от 00000 00000 до 11111 11111, если принять левый мизинец за старший разряд, а правый мизинец — за младший, нулевой. Получается, в переводе на десятичную систему счисления на пальцах можно посчитать от нуля до 1023.
Первое, на что я хочу обратить внимание, — основание системы счисления в этой же системе всегда записывается как «10». В двоичной системе счисления число 2 записывается как «10», потому что 1 * 2 + 0 = 2. В шестнадцатеричной системе счисления число 16 записывается как «10», потому что 1 * 16 + 0 = 16. Ну вы поняли.
В связи с этим есть мем:
Инопланетянин говорит, что камней «10», потому что использует систему счисления с основанием 4 по-нашему. В его системе счисления наше «4» записывается как раз как «10». А что такое «4», инопланетянин вообще не знает, потому что у него цифры 0, 1, 2 и 3.
Кстати, про шестнадцатеричную систему счисления. Десять привычных нам цифр уже есть, а где ещё шесть взять? Да давайте просто возьмём ещё шесть букв. После 9 идёт A, потом B, потом C, D, E, F, и только потом — 10. Получается, что последние цифробуквы шестнадцатеричной системы счисления переводятся в десятичную так:
И последнее на сегодня — для дизайнеров. Что означает запись #FFDD00 для цвета? Наверняка вы знаете, что каждый пиксель на экране состоит из трёх лампочек — красного, зелёного и синего цвета, а все остальные цвета получаются смешиванием этих трёх в разной пропорции.
Каждая из лампочек может светить с условной яркостью от 0 до 255. #FFDD00 — это три числа: FF, DD и 00, где каждое число обозначает яркость каждой лампочки.
FF = 15 * 16 + 15 = 255.
DD = 13 * 16 + 13 = 221.
00 = 0.
Получается, красная лампочка включена на все 255, зелёная на 221, а синяя полностью выключена.
#FFFFFF — все лампочки горят на максимум и дают белый цвет. #000000 — все выключены, чёрный цвет.
Следующая статья будет (наверное) про то, что такое, чёрт возьми, электричество, сила тока, чем она отличается от напряжения, что такое заряд, сопротивление и потенциал.
Основы систем счисления
Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.
Введение
Система счисления — это способ записи (представления) чисел.
Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.
Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.
Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.
Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
Непозиционные системы
Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.
Единичная система счисления
Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.
Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система
Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:
Вавилонская шестидесятеричная система
В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32: 
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92: 
Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа: 
Теперь число 3632 следует записывать, как:
Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система
Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.
Позиционные системы счисления
Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.
Десятичная система счисления
Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.
Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 50310.
Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.
Двоичная система счисления
Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.
Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.
Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510.
Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?
Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 1011002. В восьмеричной — это 101 100 = 548, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С16. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.
Восьмеричная система счисления
8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.
Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная
Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.
Однородные позиционные системы счисления
Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.
Смешанные системы счисления
К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”
Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева
Перевод из одной системы счисления в другую
Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.
Преобразование в десятичную систему счисления
Пример: 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510
Преобразование из десятичной системы счисления в другие
Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 1510 = 178.
Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
В качестве примера возьмем число 10012: 10012 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 118
Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.
Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную
Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.
Для примера рассмотрим число 458: 45 = (100) (101) = 1001012
Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.
Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную
Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.
Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую
Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.
Пример: 1001,012 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,28
Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.
Для примера переведем 10,62510 в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,62510 = (1010), (101) = 1010,1012
Cистемы счисления — история, виды, отличия
Со школы люди хорошо знакомы с римскими и арабскими цифрами и привыкли к обозначению чисел с их помощью. Однако такие системы счета образовались не сразу, и мало кто знает, что они были не единственными в истории человечества. С появлением электроники, системы счисления и вовсе преобразовались; подстроились под нужны людей, раскрыв многогранность подходов к применению чисел.
Немного истории
Что такое система счисления?
Например, в римской системе узловыми считаются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. И, чтобы составить алгоритмическое число 121, необходимо вспомнить правила записи римских чисел. Так, чтобы получить 121, требуется составить следующее выражение:
100 + 10 + 10 + 1 = M + X + X +I = MXXI
Виды систем счисления
Унарная. Это самая простая система счисления, так как ее алфавит состоит всего из одного символа — единицы. Поэтому она и называется унарной или единичной.
В Древние времена именно ее использовали люди при отображении количества предметов палочками, камушками и зарубками. Длина записи числа при этом была напрямую связана с его величиной.
Непозиционные. Непозиционные системы счисления основаны на том, что условный вес цифры не связан с ее положением в записи числа.
Примерами таких систем являются древнегреческая, древнеримская и древнеегипетская. В них значение разряда может состоять из нескольких цифр, которые, стоящие в разных местах, имеют разный вес для числа в целом.
Чем позиционная система отличается от непозиционной?
Если рассмотреть одно и то же число в двух этих системах, то можно увидеть, как меняется его вес в зависимости от места цифры в его записи.
Например, цифры 1 и 5 в десятичной системе счисления для римской будут иметь следующий вид: I и V. Но записав их в одном и том же порядке мы получим различные числа для разных видов счисления:
Соответственно, для непозиционной системы счисления положение цифры в записи не имеет значения, а учитываются только правила построения чисел.
Системы счисления в информатике
В информатике принято выделять четыре основных системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Связано это, в первую очередь, с их использованием в различных отраслях программирования.
Так, восьмеричная система требуется для перевода в двоичные числа на цифровых устройствах и в компьютерной документации. Позднее ей на смену пришла шестнадцатеричная, которую используют для записи символов Юникода. Однако восьмеричный код до сих пор применяется в системе Linux. Наиболее же распространенной системой является двоичная, которая используется в программировании практически всех ЭВМ.
Системы счисления
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления —
количество различных цифр, используемых в этой системе.
отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
По определению веса разряда
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Что такое система счисления
Электронные облака
Лекции
Рабочие материалы
Тесты по темам
Template tips
Задачи
Логика вычислительной техники и программирования
Лекция «Системы счисления»
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.
Классификация систем счисления
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления
Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).
Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.
Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.
Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:
| I | V | X | L | С | D | М |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).
Правила записи чисел в римской системе счисления:
Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.
Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:
Алфавит и основание системы счисления
Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например:
Десятичная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>
Двоичная система: <0, 1>
Восьмеричная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7>
Шестнадцатеричная система:
Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.
Развёрнутая форма представления числа
Системы счисления, используемые в вычислительной технике
Несмотря на то, что исторически человек привык работать в десятичной системе счисления, с технической точки зрения она крайне неудобна, так как в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Тем не менее, такие схемы существуют в некоторых видах микрокалькуляторов.
Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы, являющиеся основой конструкции большинства узлов ЭВМ, и тем надежнее они работают.
Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления это – двойка. Именно поэтому двоичная система счисления используется в вычислительной технике, а двоичные наборы приняты за средство кодирования информации. В компьютере имеются только два устойчивых состояния работы микросхем, связанных с прохождением электрического тока через данное устройство (1) или его отсутствием (0). Говоря точнее, (1) кодирует высокое напряжение в схеме компьютера, а (0) – низкое напряжение.
Если вспомнить, что двоичная система счисления обладает самыми маленькими размерами таблиц сложения и умножения, то можно догадаться, что этот факт должен сильно радовать конструкторов ЭВМ, поскольку обработка сигнала в этом случае будет также самой простой. Таким образом, двоичная система счисления, с точки зрения организации работы ЭВМ, является наилучшей.
Мы уже говорили о преимуществах двоичной системы счисления с технической точки зрения организации работы компьютера. Зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной, в которой человек привык работать? Чтобы ответить на него, возьмем любое число в десятичной системе счисления, например 255, и переведем его в другие системы счисления с основаниями, кратными двойке:
Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи то есть, тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют так же запись чисел в 8-и 16-ричных системах счисления. Поскольку их основания кратны двойке, они органично связаны с двоичной системой счисления и преобразуются в эту систему наиболее быстро и просто (по сути они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие системы счисления представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.
Решение задач
1. Какое число записано с помощью римских цифр: CLVI
Решение: Зная обозначения, запишем: С – 100; L – 50; V – 5; I – 1
Решение: Пользуемся формулой:
a1 = 3; a2 = B; a3 = F; a4 = A
Следовательно: 3ВFA16 = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*16 0
Ответ: 3ВFA16 = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*160
3. Запишите в свёрнутой форме число 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0
Решение: Пользуемся формулой:
a1 = 1; a2 = 4; a3 = 7
Следовательно: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 1478
Ответ: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 1478
Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную
Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую
Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую
Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q=2 n
Решение задач
1. Переведём в 10-ую с.с. число: 0,1235
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:
Найдём сумму ряда: 0,2 + 0,08 + 0,024 = 0,30410
Ответ: 0,1235 = 0,30410
2. Переведём число 12610 в 8-ую с.с. и число 18010 в 16-ую с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода целых чисел из 10-ой с.с. в любую другую:
Во втором примере процесс можно продолжать бесконечно. В этом случае деление продолжаем до тех пор, пока не получим нужную точность представления. Записываем числа сверху вниз.
Ответ: 0,6562510 = 0,А816; 0,910 = 1,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.
4. Переведём число 124,2610 в шестнадцатеричную с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода произвольных чисел:
Переводим целую и дробную часть:
Записываем полученные числа справа налево (в целой части) и сверху вниз (в дробной части).
Ответ: 124,2610 = 7С,428А16
5. Переведём число: 11001010011010101112 в шестнадцатеричную систему счисления
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из 2-ой с.с в с.с. с основанием 2 n :
Информатика
План урока:
Развиваясь, древний человек стал испытывать потребность в способах выражения количества. Подсчет убитых животных, количество врагов или соседей – причин становилось все больше. Сначала люди использовали только понятия «один», «много». После стали использовать понятие «пара», чтобы обозначить два предмета, это намного облегчило жизнь.
Постепенно перешли к использованию подручных средств – пальцев на руках и ногах, зарубок на коре дерева, кости животного или узелков на канате. Именно такие примитивные «счетные машины» позволили через тысячи лет узнать, что предки умели не просто считать, но даже умудрялись фиксировать результаты подсчета.
Кроме зарубок и узелков появилась потребность в символах, выражающих большее количество чего-либо, чем «один». Тогда были придуманы первые знаки для выражения больших значений. Так, египтяне, использовали знаки для цифр 1, 5, 10. Число 324 в их системе выглядело так:
А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.
Системы счисления – виды, особенности
Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.
Все существующие системы делят на 2 группы:
Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.
К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).
Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.
8 – VIII или IIX
Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.
Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.
Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.
Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.
Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).
Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?
Непозиционные СС, их особенности
Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).
Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.
Римская СС
В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.
Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:
Таблица римских цифр
Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.
Основные позиционные СС, правила перевода
Двоичная система счисления
Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.
Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.
Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:
0 111 0100 11002
Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток 2 +7*10 1 +9*10 0 = 57910.
Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.
А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.
Альтернативный способ преобразования для гуманитариев
Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:
Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579
Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.
Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).
Пример: Перевести 5798 из десятичной в восьмеричную систему счисления:
Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:
11038 = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 57910
Альтернативный вариант таблицы степеней
Шестнадцатеричная СС
Это целочисленная система с основанием 16 (символы шестнадцатеричной системы счисления 0-9 и буквы A – F). Используется в реализации компьютерного программирования и документации на низком уровне, так как 8-битный байт, для записи которого удобно использовать 2 цифры из шестнадцатеричной системы.
Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.
Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.
Алгоритм преобразования чисел в 16СС
Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.
В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).
Арифметика для 2СС
Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:
Особенности арифметики СС с разными основами:
Примеры арифметических операций:
Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:
Сложение в 8-ой СС в 16СС
С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.
Сложение для разных СС на примере 15 и 6:
Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.
Рассмотрим сумму 438 и 5616. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:
Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:
Умножение в 8-ой СС
Сравнение систем
СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.
Сравнительная таблица разных систем счисления:
Перевод числа 75 в разные системы:
Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:
Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.
Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 10010000112
001 001 000 011
Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:
Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.
Сравнительный перевод дробей в СС
Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:
Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.
Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:
Таблицы истинности
При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.
Основные логические операции
Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.
Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:
Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.
Так выражаются условия для всех логических операций.
Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
Другие же числа записываются, например, как:
XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.
В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде
СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.
Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «. укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.
Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
Позиционные системы счисления.
Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·p n +an – 1·p n –1 + a1·p1 + a0·p0, где an. a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,
103510=1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;
10102 = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10.
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.
Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 2 9 = 512, а 2 10 = 1024, что больше начального числа. Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 2 9 = 55. Остаток сравнивается с числом 2 8 = 256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 2 7 = 128 > 55, то и он будет нулевым.
Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 2 5 = 32 4 = 16 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0
При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.
Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.
Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007.
| Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА | ||||||||
| 2-ная | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| 16-ная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2-ная | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16-ная | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| Таблица 2. ДВОИЧНО-ВОСЬМЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА | ||||||||
| 2-ная | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| 8-ная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.»
Сравнение десятичной системы исчисления с иными позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам раскрыть удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, обеспечившие развитие компьютерной техники.
Системы счисления. Основные понятия.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные.
Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не
зависит от позиции (разряда).
Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости
от её места в строке, соответствует только 1 предмет.
Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.
Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.
Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению
50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)
одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,
(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может
отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в
числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции
Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда
меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.
Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в
последовательности цифр, которые изображают число.
Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
множество позиционных систем.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Что такое система счисления
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
— цифры числа, записанного в данной системе счисления;
Пример. Число 
запишется в форме многочлена следующим образом:
Виды систем счисления
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
Системы счисления
Основные понятия
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
Перевод в десятичную систему счисления
По определению веса разряда
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Примеры:
Перевод из десятичной системы счисления
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Примеры:
Системы счисления с кратными основаниями
При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.
Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.
Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )
Арифметика
Сложение
| • | • | • | • | (перенос) | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
| • | • | (перенос) | |||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| 4 | 4 | 3 | 5 | ||
| 4 | 0 | 7 | 1 | 6 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
| • | (перенос) | ||||
| A | 3 | 9 | 1 | ||
| 8 | 5 | 3 | 4 | ||
| 1 | 2 | 8 | C | 5 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
Вычитание
| • | • | • | (перенос) | |||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
| • | • | • | (перенос) | ||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| 4 | 4 | 3 | 5 | ||
| 2 | 7 | 6 | 2 | 4 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
| • | • | (перенос) | |||
| A | 3 | 9 | 1 | ||
| 8 | 5 | 3 | 4 | ||
| 1 | E | 3 | D | ||
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
1. Системы счисления
Основные понятия
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
Перевод в десятичную систему счисления
По определению веса разряда
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Примеры:
Перевод из десятичной системы счисления
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Примеры:
Системы счисления с кратными основаниями
При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.
Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.
Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )
Системы исчисления
Память человека удивительная штука, несмотря на все архивы, исторические записи и сводки нам свойственно забывать все — даже имена великих изобретателей. Не один историк не сможет ответить на вопрос, кто был открывателем колеса или гончарного круга. Также никто не сможет вспомнить, кто первый задал вопрос, который мы используем каждый день: «Сколько?», придумав тем самым первую систему исчисления.
Введение
Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.
С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.
Основные положения
Для того чтобы разобраться что такое системы исчисления ниже приведены главные понятия, которые вам предстоит понять и запомнить. Без них вы просто не сможете двигаться дальше. Итак…
Число – абстрактная мера измерения количества чего-либо.
Цифры — знаки, с помощью которых мы представляем число.
Системой исчисления – называется совокупность правил записи чисел, с помощью набора цифровых знаков.
Теперь я попробую объяснить смысл этого определения для чайников. У вас есть набор символов – необязательно это могут быть числа, которые с помощью неких приемов и правил представляются как «цифровой код».
Алфавит (он же код) – набор знаков, используемых для записи числа.
Числовой разряд – место «позиция» знака (цифры) в числе.
После того как вы разобрались в том, что здесь написано можно перейти к следующему пункту.
Классификация
Системы исчисления можно разделить на три вида – позиционные, непозиционные и смешанные.
Позиционные
Примеры позиционных систем счислений и их использование в математике и информатике:
Непозиционные
Примеры непозиционных нумераций
Смешанные
Этот материал в школьную программу не входит и его достаточно сложно объяснить школьникам, но я все-таки попробую. В смешанной системе исчисления числа с основанием P можно представить числами с основанием Q. Также здесь должно выполняться неравенство Q
Что такое основание
После того как мы разобрали классификацию, можно рассказать про такое понятие как основание.
Основание – количество знаков, которые используются для отображения символов в данной системе счисления.
В математике и информатике записывается так:
Читается как «Двадцать пять по основанию десять» и значит то, что в данном алфавите имеется десять знаков для записи числа. Данное определение используется только в позиционных системах исчисления. Запись с нижним индексом используется для удобства, при работе с числами нескольких видов.
Заключение
На этом всё, теперь вы знакомы с таки понятием как система исчисления в информатике. Знаете, какие они бывают (позиционные и непозиционные), на какие группы делятся, ознакомлены с основными положениями и знаете что такое основание. После освоения этого материала можете смело приступать к другим темам – таким как перевод из одной системы в другую и выполнение арифметических операций. А также, в этом разделе, вы найдете несколько интересных статей. Например, про то, как представляется память в персональном компьютере или историю непозиционных чисел.
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
§ 1.1. Системы счисления
Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление
Ключевые слова:
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.
Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система
Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записиСвёрнутной формой записи числа называется его представление в виде 1 ± an-1an-2…a1a0,a-1…a-m. 1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.
Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
1.1.2. Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).
Разделим аn-1 • 2 n-1 + аn-2 • 2 n-2 + … + а0 • 2 0 на 2. Частное будет равно аn-1 • 2 n-2 + … + а1, а остаток будет равен а0.
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1.
Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.
Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
1.1.3. Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 10638 = 1 • 8 3 + 0 • 8 2 + 6 • 8 1 + 3 • 8 0 = 56310.
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3AF16 означает:
Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 2010.
В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.
В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей.
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
1.1.7. «Компьютерные» системы счисления
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления»» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.
Самое главное о системе счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Вопросы и задания
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?
10. Верны ли следующие равенства? а) 334 = 217;
б) 338 = 214.
11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14х = 910;
б) 2002х = 13010.