Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.
Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂
Для начала вспомним общую теорию:
Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
На самом же деле факториал нуля вполне вычислим! Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.
Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)
На выходе получаем ряд чисел количество которых меньше на 1:
50 110 194 (110 — 50) (194 — 110)
В результате мы получаем факториал числа четыре.
Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)
Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)
Нулевой факториал — это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, равный единице. В общем, факториал числа — это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения справа от факториала (четыре) используется восклицательный знак.
Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все умножается нулем равно нулю?
Определение факториала утверждает, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.
Определение нулевого факториала
Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что по определению должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным). Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал — это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но все же сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован : оно не может. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Перестановки и факториалы
Перестановка — это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок набора <1, 2, 3>, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
Рассматривая факториал таким образом, давайте посмотрим еще пара примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: могут быть расположены как a, b или как b, a. Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, так как элемент 1 в наборе <1>может быть упорядочен только одним способом.
Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.
Формулы и другие проверки
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 — хорошая идея.
Комбинация — это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор <1, 2, 3>, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Независимо от того, как мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией из трех элементов, взятых по три за один раз и увидим, что 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), и если мы обработаем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.
Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, указанные выше, наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что при построении новых идей и определений они остаются согласованными с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.
Как это часто бывает, школьный преподаватель, объясняя новую тему, некоторые факты предоставляет как данность, требующую не объяснения, а запоминания. Так было и с факториалом нуля.
Что такое факториал? Факториал — это произведение всех натуральных чисел от единицы до того числа, факториал которого требуется определить. В общем случае факториал числа n будет равен:,
Так, например, для числа 5 факториал будет выглядеть так:
Для числа 4 факториал можно посчитать как факториал пяти, делённый на пять:
Для числа 3 — как факториал четырёх, делённый на 4:
Для 2 — как факториал трёх, делённый на 3:
Для 1 — как факториал двух, делённый на 2:
Продолжение этого логического ряда для нуля даёт факториал единицы, делённый на единицу или просто единицу:
Можно объяснить этот факт немного по-другому. Факториал — это количество возможных перестановок или комбинаций. Например, три предмета можно комбинировать шестью способами:
Два предмета — двумя способами:
Один предмет — одним способом:
А ноль предметов? Ноль предметов можно переставить одним единственным способом — никак!
Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.
кто может объяснить почему факториал нуля равен единице? есть ли у этого математическое объяснение или это просто дело определения?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.12.2010 23:45.
Переиначивая слова папы Джо о Горьковской «Девушке и смерти», скажу: «Эта штука посильнее «Фауста» Гете. Дурь побеждает смысл».
Редактировалось 1 раз(а). Последний 02.12.2010 18:44.
В предыдущем своем ответе я допустил грубую ошибку. На самом деле Г(n+1)=(exp(1)*ГаммаРасп(1;n+1;1;0))^-1, откуда однозначно получается, что факториал нуля равен единице:
Цитата yosuf В предыдущем своем ответе я допустил грубую ошибку. На самом деле Г(n+1)=(exp(1)*ГаммаРасп(1;n+1;1;0))^-1, откуда однозначно получается, что факториал нуля равен единице:
Повторяю, никто и ничего не может в математике так просто «положить», что «Факториал нуля положили равным нулю, потому что это удобно и ничему не противоречит». Факт 0!=1 однозначно вытекает из свойств Гамма-функции Эйлера! В противном случае никто не смог-бы ничего «принять» или «положить»!
Редактировалось 2 раз(а). Последний 11.12.2010 09:30.
Для натурального числа N функция Факториал(N) обозначается как N! и определяется, как произведение всех последовательных натуральных чисел, не превосходящих N:
В комбинаторике для единообразия написания некоторых формул (например, числа сочетаний) удобно определить факториал для нуля:
Дальнейшее обобщение понятия факториала связано с Гамма-функцией Эйлера.
Для натуральных чисел выполняется равенство Г(N + 1) = N!
Сама же Гамма-функция определена не только для действительных, но и для комплексных чисел. Аналитически записывается в виде достаточно простого (по форме) несобственного интеграла.
Как уже правильно было отмечено, дпущение 0!=1, принято наукой по так наываемому соглашению. Категория правил по соглашению, резко выделяется среди прочих ҡонвенциональных правил тем, что они не соотвествуют математической логике, и противоречат основным правилам операций.
Мера принятия 0!=1 вынужденная, для ҡомбинаторики, г-ф Эйлера и прочих прикладных и не очень вещей в математике. Положение усугублено тем, что половина науки, в том числе и вся наша, вполне обосновано не признаёт ноль натуральным числом. Но в факториал он таки попал))
По правилам же операции, из тех, которые не нарушают матлогику, ноль факториал не имеет смысла, поскольку ноль – не натуральңое число, затем – функция перестаёт работать из-за правила умножения на ноль, т.е. в случае включения ноля в умножение, вместо единицы, всегда ноль.
Таким образом, кроме частных случаев в комбинаторике и ещё кое-где, обсуждаемое правило избыточно. Да и там, где оно играет хоть какүю-то роль, его применение весьма спорно, мягко говоря.
У ДВУХ математических действий дифференцирования: по частному и по полному дифференциалам
должны быть и ДВА обратных действия интегрирования: с константой интегрирования и без константы!
В современной версии высшей математики мысленным аналогом данного математического объекта считают топологический объект: «пустое множество». В Википедии есть статья «Основания математики» в которой авторы пытаются дать понять, что такое «математика» как один из методов познания действительного мира.
В этой статье перечисляются различные фамилии, среди которых один раз упоминается Рене Декарт.
Читаем три выдержки из Википедии и обращаем внимание на слова, выделенные мною красными линиями:
Тогда, применяя рекуррентное отношение: n! = (n-1)!·n при n = 0 получаем 0! = (-1)!·0.
То есть, 0! = 0. Или иначе: 1 = 0.
Теперь посмотрим на результат применения формулы интегрирования по частям в этом случае:
Термин «факториал» ввел в математику в 1800 году французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст. В математике факториалом называют произведение всех натуральных чисел, включая указанное. Обозначают факториал восклицательным знаком, написанным после числа.
Официальную версию вхождения факториала в математику я тревожить не стал, поскольку и сам прекрасно догадываюсь, как же было на самом деле. А дело было так…
Завершив все выкладки по теории и практике факториальных исчислений, Арбогаст понес свое творение на суд Святой Математической Инквизиции. Функции надзора за математиками от имени Святой Математической Инквизиции в данной местности выполняли Святые Ученые Немощи. Ответственность на них лежала огромная, работы было не початый край, точнее, делать было вообще нечего, поэтому Святые Ученые Немощи самозабвенно ковырялись в носу. За этим занятием Их и застал Арбогаст.
Оформленная по всем правилам бюрократического искусства, папка с теорией факториалов легла пред светлы очи Святых Ученых Немощей. Немощи вынули палец из недоковырянной ноздри, брезгливо поморщились и начали этим же пальцем листать папку, проверяя её соответствие «Закону об оформлении бумаг, подаваемых на рассмотрение Святой Математической Инквизиции». Явного повода отказать Арбогасту в рассмотрении его бумаг, к огромному сожалению Святых Ученых Немощей, не нашлось. Досада поморщила Их официальное лицо, тем временем руководящая рука уже доставала бланк Официальной Челобитной, Книгу Регистрации Посетителей, Книгу Регистрации Входящих Документов, Книгу Регистрации Уходящих Посетителей и прочие сокровища Ответственной Руководящей Должности.
Тщательно сверив всё, написанное рукой Арбогана, с «Толковым словарем для бестолковых Бюрократов. Правила написания Слов и Букв» (сей шедевр прятался от глаз посетителей под грифом «Для служебного пользования»), Святые Ученые Немощи изрекли:
— Ваши материалы будут рассмотрены в установленный Законом срок.
Руководящий палец погрузился в ту же ноздрю, продолжая прерванную работу, что должно было означать конец аудиенции.
По прошествии положенного по закону времени, Аргобан снова стоял перед Святыми Учеными Немощами. Немощи недовольно поморщились, почесали свой затылок, питаясь вспомнить о чем идет речь, потом достали папку с факториалом и углубились в изучение. Ответ нужно было дать сегодня, поскольку отведенное на бюрократическую волокиту время уже закончилось. Немощи поерзали задом, проверяя, достаточно ли крепко держится под ними Руководящее Кресло. Руководящее Кресло предательски скрипнуло.
– А известно ли уважаемому Аргобану, что ноль является натуральным числом? – изрекли Немощи, облегченно вздохнув, – Все ваши факториалы по определению будут равняться нулю.
Напомню читателям, что дело происходило на диком западе, где и сегодня ноль считается натуральным числом.
– Но ваша работа очень интересна и будет действительно жаль, если она останется никому не известной – продолжали Немощи – Я бы мог посодействовать публикации вашей работы, если вы добавите меня в соавторы.
Это очень распространенный в науке прием, при помощи которого бездари карабкаются по служебной лестнице. Предложение нисколько не удивило Аргобана, и он ответил:
– Я сочту за великую честь быть в соавторах такого выдающегося ученого, как вы. Но как же быть с нулем?
– Как ученый, я не вижу особых проблем, – от принятого предложения Немощи начали излучать самодовольство и величие, – В Святом Математическом Писании сказано, что любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. Но в этом Писании нет ни слова о факториале нуля. Я приложу к вашей работе свое прошение к Святой Математической Инквизиции о внесении изменений в текст Святого Математического Писания. Пусть допишут, что факториал нуля равен единице.
На том и порешили. Аргобан тут же вписал в свою работу соавтора. Святые Ученые Немощи нашкалябали прошение. Все это творение немедленно было отправлено на рассмотрение вышестоящего научного начальства.
Вышестоящее научное начальство прекрасно знало все правила бюрократических игр. Имя Аргобана никто не трогал, а вот имя своего подчиненного каждый вышестоящий начальник сошкрябывал и вписывал себя, любимого, на место соавтора. В итоге дошкрябались до того, что в соавторах Аргобана оказалась дырка.
С тех самых пор в Святом Математическом Писании присутствует шедевр научной мысли: Евангелие от Правил Умножения гласит, что ноль, умноженный на единицу, будет равен нулю
Евангелие от Факториала утверждает, что ноль, умноженный на единицу, равен единице
Тогда по логике n! = 1 * 2 * 3 * 4… (n-3) * (n-2) * (n-1) * n
Если вы внимательно посмотрите на эти следы, откроется закономерность. Давайте продолжим, пока он не даст правильных результатов:
4!/4 = 3!
3!/3 = 2!
2!/2 = 1!
1!/1 = 0!
Или 0! = 1
К такому результату можно прийти, просто подставив 1 вместо «n» в (i), чтобы получить:
1! = 1*(1-1)!
1 = 1*0!
Или 0! = 1
Однако это объяснение ничего не говорит нам о том, почему факториалы отрицательных чисел не могут существовать. Давайте снова обратимся к нашему шаблону, чтобы выяснить, почему.
2!/2 = 1!
1!/1 = 0!
0! / 0 =… эээ
Договоренности
Еще в XII веке было известно, что есть п! способы устроить п количество разных предметов. Этот акт расположения объектов известен как перестановка. Позвольте привести простой пример, чтобы объяснить, почему существуют п! способы устроить п объекты.
Таким образом, когда значение «n» равно нулю, вопрос сводится к тому, какими различными способами можно расположить нуль количество объектов? Одно, конечно! Есть только одна перестановка или один способ расположить ничего потому что устраивать нечего. ЧТО? Честно говоря, это относится к разделу философии, хотя и является одним из отвратительных или фальшивых понятий, о которых толкуют первокурсники после прочтения цитат Ницше на Pinterest.
Общая формула для определения количества способов размещения «k» объектов среди «n» мест:
Принимая во внимание, что для определения количества способов выбрать или объединить «k» объектов из «n» объектов:
Это позволяет нам, скажем, определить количество способов, которыми можно выбрать два шара из мешка, содержащего пять шаров разного цвета.Поскольку порядок выбранных шаров не важен, мы ссылаемся на вторую формулу для вычисления соответствующих комбинаций.
А что, если значения «n» и «k» абсолютно одинаковы? Подставим эти значения и узнаем. Заметим, что факториал нуля получается в знаменателе.
Но как визуально осмыслить этот математический расчет в рамках нашего примера? Расчет, по сути, является решением вопроса, который задает вопрос: каким разным количеством способов мы можем выбрать три шара из мешка, в котором всего три шара? Ну конечно одно! Выбор их в любом порядке ничего не изменит! Приравняйте вычисление к единице, и факториал нуля окажется * барабанная дробь * …… единица!
Подсчет конечных нулей факториала числа в любой системе счисления
Как я могу посчитать количество конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления?
Давайте рассмотрим случай, когда мы находимся в 10-й системе счисления, а затем посмотрим, как мы можем обобщить это в универсальное решение. Нам дано число N и для его факториала нужно найти количество конечных нулей. Решение будет довольно простым — сумма:
Её мы можем обобщить в такую формулу:
Почему 5? Это просто. Конечный ноль получается только тогда, когда в составе факториала число имеет 10. Таким образом, посчитав количество десяток в факториале, мы узнаем количество конечных нулей.
Почему в примере выше мы делим на 5? Потому что 10 может быть получено умножением 5 на 2. Поэтому полное решение будет иметь две формулы:
Но, рассуждая логически, мы знаем, что первая сумма будет меньше, поэтому нам нужно посчитать только её (подробнее можно почитать тут).
Решение нашей проблемы
Для подсчёта конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления я составил алгоритм, приведенный ниже:
Но двойка встречалась дважды при разложении 12-и, поэтому конечный результат мы делим на 2 и округляем до меньшего целого. В результате получаем 1.
Проделываем тоже самое с 3:
Таким образом, мы получили два частных от делений числа N на простые множители числа системы счисления. Они оба равны 1, поэтому меньшее нам выбирать не приходится и мы просто даем ответ — 1.
Рассмотрим еще один пример.
Пусть число N = 16, система счисления B = 16. Факториал 16! = 20922789888000, а 20922789888000 в 16-ой системе — 130777758000. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет три ноля. При разложении 16 на простые множители, получим 2, 2, 2, 2. Здесь у нас только одно уникальное число, поэтому пункт 2 выполняется только один раз:
При разложении у нас было четыре двойки, поэтому сумму делений делим на 4 с округлением до меньшего целого:
Термин «факториал» ввел в математику в 1800 году французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст. В математике факториалом называют произведение всех натуральных чисел, включая указанное. Обозначают факториал восклицательным знаком, написанным после числа.
Официальную версию вхождения факториала в математику я тревожить не стал, поскольку и сам прекрасно догадываюсь, как же было на самом деле. А дело было так…
Завершив все выкладки по теории и практике факториальных исчислений, Арбогаст понес свое творение на суд Святой Математической Инквизиции. Функции надзора за математиками от имени Святой Математической Инквизиции в данной местности выполняли Святые Ученые Немощи. Ответственность на них лежала огромная, работы было не початый край, точнее, делать было вообще нечего, поэтому Святые Ученые Немощи самозабвенно ковырялись в носу. За этим занятием Их и застал Арбогаст.
Оформленная по всем правилам бюрократического искусства, папка с теорией факториалов легла пред светлы очи Святых Ученых Немощей. Немощи вынули палец из недоковырянной ноздри, брезгливо поморщились и начали этим же пальцем листать папку, проверяя её соответствие «Закону об оформлении бумаг, подаваемых на рассмотрение Святой Математической Инквизиции». Явного повода отказать Арбогасту в рассмотрении его бумаг, к огромному сожалению Святых Ученых Немощей, не нашлось. Досада поморщила Их официальное лицо, тем временем руководящая рука уже доставала бланк Официальной Челобитной, Книгу Регистрации Посетителей, Книгу Регистрации Входящих Документов, Книгу Регистрации Уходящих Посетителей и прочие сокровища Ответственной Руководящей Должности.
Тщательно сверив всё, написанное рукой Арбогана, с «Толковым словарем для бестолковых Бюрократов. Правила написания Слов и Букв» (сей шедевр прятался от глаз посетителей под грифом «Для служебного пользования»), Святые Ученые Немощи изрекли:
— Ваши материалы будут рассмотрены в установленный Законом срок.
Руководящий палец погрузился в ту же ноздрю, продолжая прерванную работу, что должно было означать конец аудиенции.
По прошествии положенного по закону времени, Аргобан снова стоял перед Святыми Учеными Немощами. Немощи недовольно поморщились, почесали свой затылок, питаясь вспомнить о чем идет речь, потом достали папку с факториалом и углубились в изучение. Ответ нужно было дать сегодня, поскольку отведенное на бюрократическую волокиту время уже закончилось. Немощи поерзали задом, проверяя, достаточно ли крепко держится под ними Руководящее Кресло. Руководящее Кресло предательски скрипнуло.
– А известно ли уважаемому Аргобану, что ноль является натуральным числом? – изрекли Немощи, облегченно вздохнув, – Все ваши факториалы по определению будут равняться нулю.
Напомню читателям, что дело происходило на диком западе, где и сегодня ноль считается натуральным числом.
– Но ваша работа очень интересна и будет действительно жаль, если она останется никому не известной – продолжали Немощи – Я бы мог посодействовать публикации вашей работы, если вы добавите меня в соавторы.
Это очень распространенный в науке прием, при помощи которого бездари карабкаются по служебной лестнице. Предложение нисколько не удивило Аргобана, и он ответил:
– Я сочту за великую честь быть в соавторах такого выдающегося ученого, как вы. Но как же быть с нулем?
– Как ученый, я не вижу особых проблем, – от принятого предложения Немощи начали излучать самодовольство и величие, – В Святом Математическом Писании сказано, что любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. Но в этом Писании нет ни слова о факториале нуля. Я приложу к вашей работе свое прошение к Святой Математической Инквизиции о внесении изменений в текст Святого Математического Писания. Пусть допишут, что факториал нуля равен единице.
На том и порешили. Аргобан тут же вписал в свою работу соавтора. Святые Ученые Немощи нашкалябали прошение. Все это творение немедленно было отправлено на рассмотрение вышестоящего научного начальства.
Вышестоящее научное начальство прекрасно знало все правила бюрократических игр. Имя Аргобана никто не трогал, а вот имя своего подчиненного каждый вышестоящий начальник сошкрябывал и вписывал себя, любимого, на место соавтора. В итоге дошкрябались до того, что в соавторах Аргобана оказалась дырка.
С тех самых пор в Святом Математическом Писании присутствует шедевр научной мысли: Евангелие от Правил Умножения гласит, что ноль, умноженный на единицу, будет равен нулю
Евангелие от Факториала утверждает, что ноль, умноженный на единицу, равен единице
Как уже правильно было отмечено, дпущение 0!=1, принято наукой по так наываемому соглашению.
Категория правил по соглашению, резко выделяется среди прочих ҡонвенциональных правил тем, что они не соотвествуют математической логике, и противоречат основным правилам операций.
Мера принятия 0!=1 вынужденная, для ҡомбинаторики, г-ф Эйлера и прочих прикладных и не очень вещей в математике. Положение усугублено тем, что половина науки, в том числе и вся наша, вполне обосновано не признаёт ноль натуральным числом. Но в факториал он таки попал))
По правилам же операции, из тех, которые не нарушают матлогику, ноль факториал не имеет смысла, поскольку ноль – не натуральңое число, затем – функция перестаёт работать из-за правила умножения на ноль, т.е. в случае включения ноля в умножение, вместо единицы, всегда ноль.
Таким образом, кроме частных случаев в комбинаторике и ещё кое-где, обсуждаемое правило избыточно. Да и там, где оно играет хоть какүю-то роль, его применение весьма спорно, мягко говоря.
факториал, в математике произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных данному положительному целому числу и обозначаемое этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал семь записывается как 7!, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Факториал ноль определяется как равный 1.
Как факториалы используются в реальной жизни? Это очень полезно, когда мы пытаемся подсчитайте, сколько существует различных заказов на вещи или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого.
Похожие страницы:Блог
Какие есть 3 вида налогов?
Как найти среднюю точку между двумя точками?
Как вы делаете кадровые прогнозы?
Как найти начальную скорость, зная только время?
В каком классе вы изучаете факториалы? ИКЛ | факториалы | 7th класс математика
Чем полезны факториалы?
Это очень полезно, когда мы пытаемся подсчитать, сколько разных порядков существует для вещей или сколько разных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого действия.
Как сокращаются факториалы? Сравните факториалы в числителе и знаменателе. Расширьте больший факториал так, чтобы он включал меньшие в последовательности. Сократите общие делители между числителем и знаменателем. Упростите дальше, умножив или разделив оставшиеся выражения.
Всегда ли факториалы четны?
Факториал любого числа, кроме 1 и 0, всегда четно.
Как вычислить вероятность с помощью факториала?
Как учить факториалы?
Как решить 6 факториалов?
Как решить 7 факториалов?
Почему мы используем факториалы в вероятности? Факториалы важны, потому что нет! это количество способов перечислить — по порядку — набор из n объектов, которые различимы. Из-за этого он также появляется в других аранжировках — например, в количестве способов выбрать k элементов из набора n (в порядке или иначе).
Как вычислить факториалы на научном калькуляторе?
Как Python вычисляет факториал?
Использование встроенной функции
Может ли факториал быть нечетным?
Термин нечетный факториал иногда используется для двойной факториал нечетного номер.
Для чего используются факториалы в математике?
Факториал — это операция умножения любого натурального числа на все натуральные числа, которые меньше его, что дает нам математическое определение n! … Наконец, факториал используется для вопросы, которые просят вас выяснить, сколькими способами вы можете расположить или заказать определенное количество вещей.
Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:
100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1
Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.
387 000 х 12 900 = 5 027 131 727
Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:
10 х 10 = 100 7 х 20 = 140 30 х 400 = 12 000
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует. Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:
2 х 5 = 10 5 х 8 = 40 6 х 15 = 90 8 х 125 = 1000
Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.
Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».
В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.
8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5) = (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) = 10 х 10 х 10 = 1000
Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.
Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:
692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,
692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).
Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?
Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.
В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?
Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:
Факториал – это быстрорастущая функция, и начиная с определенного n значения достаточно велики. Поэтому в математических вычислениях удобнее пользоваться приближенными значениями для больших чисел.
Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.
Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂
Для начала вспомним общую теорию:
Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
На самом же деле факториал нуля вполне вычислим! Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.
Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)
На выходе получаем ряд чисел количество которых меньше на 1:
50 110 194 (110 — 50) (194 — 110)
В результате мы получаем факториал числа четыре.
Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)
Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)
Она является расширением понятия факториала на все числа, включая комплексные. Её основное свойство: Г(z+1)=zГ(z), откуда следует, что для целочисленных z(=n) выполняется Г(n+1)=n!Г(1). А Г(1) легко считается и равно 1.
Так вот, из последней формулы следует, что 0!=Г(0+1)/Г(1)=1.
Начинать все с нуля, это если хочешь изменить свою жизнь, хочешь забыть прошлые обиды, страдания и жить, радоваться с любимым человеком. Но также начать все с нуля это перелистнуть лист, стереть прошлое и жить будущим.
Решение этой задачи подбором считается неправильным. Решить ее можно с помощью х, но мы проходим такие задачи в 4-м классе, и дети еще не знакомы с задачами на х.
Решаем следующим образом:
Первое число составляет одну часть, второе в десять раз больше. Их сумма равно 715.
Краткая запись к задаче:
(здесь надо добавить объединяющую скобку и 715)
Из условия ясно, что 715 состоит из 11 частей.
Таким образом, 715:11=65
Соответственно, одно число 65, а другое 65*10=650
Это чисто мнимые числа.
На плоскости такие числа располагаются на оси ординат, в экспоненциальной форме представляются произведением вещественного числа на exp(i*pi/2).
Результат 0:0 встречается в футболе достаточно часто. Значительно чаще, чем, например, в хоккее и, тем более, в гандболе или баскетболе, где такой исход, практически, невозможен.
Ну а если в цифрах. В прошлом чемпионате России, например, команды сыграли «всухую» 24 раза, проведя, в общей сложности, 240 встреч. Получается, что со счетом 0:0 закончился каждый десятый матч. В чемпионате России 2014/2015 сыграно, на сегодняшний день, 48 матчей, из них 3 со счетом 0:0. Но до окончания турнира еще далеко.
Какой-то закономерности в таком результате нет, год на год не приходится, но, примерно, 8-12% встреч обходятся без забитых мячей.
Объясните почему многие говорят что ноль в нулевой степени равняется единице.
Чисто формально 0° есть неопределённость, которую можно раскрыть только если задаться функцией, которая приводит к именно такому случаю. И функцию можно выбирать достаточно произвольным образом. Ну вот такую, например. И раскрытие этой неопределённости как предела функции при х→0 даёт 1.
Попытаюсь кратко ответить на этот, заданный в утвердительной форме, вопрос. Более полный ответ о том, почему 0^0=1, если соберусь с силами, постараюсь дать в одном из похожих вопросов.
Для степени с показателем 0 основание степени не имеет значения, так как произведение нулевого числа сомножителей не зависит от этих сомножителей, которых попросту нет (число которых равно 0; другими словами последовательность которых пустая, то есть имеющая нулевую длину, или, ещё раз другими словами, индексируемая элементами пустого множества). Поэтому любое число, возведенное в нулевую степень будет равно одному и тому же значению (этому же значению по той же самой причине будет равен, например, факториал нуля 0!). Можно сказать, что в записи степени с показателем 0 основание степени не несёт никакого смысла и лишь является местодержателем, вместо которого, например, можно было бы оставить пустой квадратик, для сохранения общего вида записи.
Разобьём какую-нибудь конечную числовую последовательность на две подпоследовательност и. Достаточно очевидно, что произведение элементов исходной последовательности равно произведению двух произведений элементов подпоследовательност ей. Если одна из подпоследовательност ей совпадает со всей последовательностью, а вторая в таком случае является пустой, то становится ясно, что произведение элементов пустой последовательности равно нейтральному элементу относительно умножения — числу 1:
Зачастую значение 0^0 избегают явно определять «де-юре» по той причине, что функция x^y двух аргументов: основания x и показателя степени y — имеет разрыв в точке (x,y)=(0,0). Но это неубедительная причина: наличие разрыва в точке не противоречит тому, что значение функции в этой точке определено. При этом де-факто равенство 0^0=1 негласно признают, например, при записи степенных рядов или многочленов, как сумм степеней переменной, начиная с 0-й, помноженных на некоторые коэффициенты, особо не выделяя случай равенства переменной нулю. Также плодотворным оказывается признание равенства 0^0=1 в комбинаторике.
Кратко замечу в этом ответе, что упомянутый разрыв совсем небольшой: при стремлении (x,y) к (0,0) x^y стремится к 1 по всем направлениям кроме двух противоположных. Пресловутая неопределённость «0^0» является лишь символической записью, в которой «0» в показателе степени — не число 0, а бесконечно малая величина, то есть переменная стремящаяся к 0. И осмелюсь предположить, что эта неопределённость раскрывается во что-то отличное от 1 лишь в нарочно составленных учебных заданиях.
Насколько велик факториал 52? 52! является приблизительно 8.0658e67. Чтобы получить точное представление, просмотрите факториальную таблицу или попробуйте калькулятор «новой школы», который понимает длинные целые числа.
Похожие страницы:Блог
Какие есть 3 вида налогов?
Как найти среднюю точку между двумя точками?
Как вы делаете кадровые прогнозы?
Как найти начальную скорость, зная только время?
Как посчитать факториал 100? 0
Во-вторых, как решить 6 факториала?
Как решить 3 факториалов?
тогда можно ли умножать факториалы? Факториалы, обозначаемые a. … Вы также можете умножить факториалы вручную. Самый простой способ сделать это — вычислить каждый факториал по отдельности, а затем перемножить их произведения вместе. Вы также можете использовать определенные правила факториалов для извлечения общих множителей, что может упростить процесс умножения.
Сколько стоит 8.06 е67? способами, которыми мы можем составить колоду карт. 52! чертовски большое число, равное 8.06e+67. 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000 68 XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, если быть точным. Это XNUMX-значный номер.
Что такое факториал 1?
Это по-прежнему считается способом организации, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Как решить 200 факториалов?
200/5 + 200/25 + 200/125 = 40 + 8 +1.6
49 что является ответом.
Что такое факториал числа 9? Ответ: Факториал числа 9 равен 362,880.
Чему равна сумма факториала 100?
Программа выводит 93326215443944102188325606108575267240944254854960571509166910400407995064242937148632694030450512898042989296944474898258737204311236641477561877016501813248 и говорит, что сумма его цифр равна 666.
Как решить 5 факториалов?
Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5!= 120.
Как делать факториалы на TI 84?
Чему равно произведение 2 факториалов? единственный известный факториал, который является произведением двух факториалов: 10!=6!
Кто изобрел факториал?
Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.
Каковы шансы перемешать колоду по порядку?
Каждая тасовка карт уникальна? Хотя вполне возможно, что две колоды карт могли быть перетасованы в одном и том же порядке, шансы на то, что это произошло, на самом деле ничтожны, и да, очень вероятно, что каждая правильно перетасованная колода действительно является уникальной вариацией этих 52 карт. … Цель полная правильная перетасовка почти наверняка уникальна каждый раз.
Сколько нулей в факториале 52?
; то есть за 1 следуют 68 нулей. Описание 52! около восемьдесят.
Чему равен факториал меньше 100? Приблизительное значение 100! является 9.3326215443944E + 157. Количество завершающих нулей в 100! равно 24. Количество цифр в факториале 100 равно 158.
so факториал отрицательного числа невозможен. Факториалы действительных отрицательных целых чисел имеют мнимую часть, равную нулю, таким образом, являются действительными числами. Точно так же факториалы мнимых чисел являются комплексными числами.
Следовательно, существует ли 1 факториал? Факториал определен только для натуральных чисел и нуля. Так что по определению (-1)!не существует.
Почему существуют факториалы? Это очень полезно, когда мы пытаемся подсчитайте, сколько существует различных заказов на вещи или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого.
Похожие страницы:Блог
Какие есть 3 вида налогов?
Как найти среднюю точку между двумя точками?
Как вы делаете кадровые прогнозы?
Как найти начальную скорость, зная только время?
Дополнительно Как решить 7 факториала?
Как решить 6 факториалов?
Для чего используются факториалы в реальной жизни?
Это очень полезно, когда мы пытаясь подсчитать, сколько различных порядков существует для вещей или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого действия.
Всегда ли факториалы четны? Факториал каждого числа больше единицы будет содержать по крайней мере одно кратное двум, поэтому все остальные факториалы четны.
Для чего используются факториалы? Обычно используется Факториальные функции для расчета комбинаций и перестановок. Благодаря Факториалу вы также можете рассчитывать вероятности.
Кто изобрел факториал?
Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.
Как быстро вычислить факториал?
Можно ли разложить факториалы?
Как решить 5 факториалов?
Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5!= 120.
Как быстро решать факториалы?
Как решить 5 факториалов? Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5!= 120.
В какой математике используются факториалы? Факториальную функцию можно найти в различных областях математики, в том числе алгебра, математический анализ и комбинаторика. Начиная с 1200-х годов для подсчета перестановок использовались факториалы. Обозначение факториала (n!) было введено в начале 1800-х годов французским математиком Кристианом Крампом.
Может ли факториал быть нечетным?
Термин нечетный факториал иногда используется для двойной факториал нечетного номер.
Как решить 3 факториалов?
Какие факториалы нечетны?
Факториал натурального числа n — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n. … включает только нечетные целые числа а для четного целого числа n произведение, определяющее n!! включает только четные целые числа. Например, 7!!
Для чего используется Сигма? Простая сумма
Символ Σ (сигма) обычно используется для обозначают сумму нескольких членов. Этот символ обычно сопровождается индексом, который варьируется, чтобы охватить все термины, которые необходимо учитывать в сумме.
Число «Пи» рассчитано с рекордной точностью на «бюджетном» компьютере
27.08.2021 22:26
Книги по математике и экономике в добрые руки!
06.03.2022 17:45
кто может объяснить почему факториал нуля равен единице? есть ли у этого математическое объяснение или это просто дело определения?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.12.2010 23:45.
Переиначивая слова папы Джо о Горьковской «Девушке и смерти», скажу: «Эта штука посильнее «Фауста» Гете. Дурь побеждает смысл».
Редактировалось 1 раз(а). Последний 02.12.2010 18:44.
В предыдущем своем ответе я допустил грубую ошибку. На самом деле Г(n+1)=(exp(1)*ГаммаРасп(1;n+1;1;0))^-1, откуда однозначно получается, что факториал нуля равен единице:
Цитата yosuf В предыдущем своем ответе я допустил грубую ошибку. На самом деле Г(n+1)=(exp(1)*ГаммаРасп(1;n+1;1;0))^-1, откуда однозначно получается, что факториал нуля равен единице:
Повторяю, никто и ничего не может в математике так просто «положить», что «Факториал нуля положили равным нулю, потому что это удобно и ничему не противоречит». Факт 0!=1 однозначно вытекает из свойств Гамма-функции Эйлера! В противном случае никто не смог-бы ничего «принять» или «положить»!
Редактировалось 2 раз(а). Последний 11.12.2010 09:30.
Избранные члены факториала последовательность (последовательность A000142 в OEIS ); значения, указанные в экспоненциальном представлении, округляются до отображаемой точности
п
п!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
9
362 880
10
3 628 800
11
39 916 800
12
479 001 600
13
6 227 020 800
14
87 178 291 200
15
1 307 674 368 000
16
20 922 789 888 000
17
355 687 428 096 000
18
6 402 373 705 728 000
19
121 645 100 408 832 000
20
2 432 902 008 176 640 000
25
1.551 121 004 × 10 25
50
3.041 409 320 × 10 64
70
1.197 857 167 × 10 100
100
9.332 621 544 × 10 157
450
1.733 368 733 × 10 1 000
1 000
4.023 872 601 × 10 2 567
3 249
6.412 337 688 × 10 10 000
10 000
2.846 259 681 × 10 35 659
25 206
1.205 703 438 × 10 100 000
100 000
2.824 229 408 × 10 456 573
205 023
2.503 898 932 × 10 1 000 004
1 000 000
8.263 931 688 × 10 5 565 708
10 100
10 10 101.998 109 775 4820
Значение 0! равно 1, согласно соглашению для пустой продукт. [1]
Содержание
История
Факториалы использовались индийскими учеными для подсчета перестановок, по крайней мере, еще в 12 веке. [2] В 1677 г. Фабиан Стедман описал факториалы применительно к изменить звонок, музыкальное искусство с участием многих настроенных колоколов. [3] После описания рекурсивного подхода Стедман дает формулировку факториала (используя язык оригинала):
В обозначение п! был введен французским математиком Кристиан Крамп в 1808 г. [5]
Определение
Факториальная функция определяется произведением
Факториал нуля
У этого определения есть несколько причин:
Приложения
Хотя факториальная функция уходит корнями в комбинаторика формулы, включающие факториалы, встречаются во многих областях математики.
Скорость роста и приближения для больших п
Большинство приближений для п! основаны на приближении его натуральный логарифм
что дает нам оценку
Следовательно пер п! ∼ п пер п (видеть Большой О обозначение ). Этот результат играет ключевую роль при анализе вычислительная сложность из алгоритмы сортировки (видеть сортировка сравнения ). С пределов пер п! Выведено выше, мы получаем, что
Для больших п мы получаем лучшую оценку для числа п! с помощью Приближение Стирлинга:
Фактически это происходит из асимптотического ряда для логарифма, и п факториал находится между этим и следующим приближением:
Вычисление
Если эффективность не важна, вычисление факториалов тривиально с алгоритмической точки зрения: последовательное умножение переменной, инициализированной до 1, на целые числа вплоть до п (если есть) вычислит п! при условии, что результат подходит для переменной. В функциональные языки, рекурсивное определение часто реализуется непосредственно для иллюстрации рекурсивных функций.
Асимптотически наилучшая эффективность достигается вычислением п! от его простой факторизации. Как задокументировано Питер Борвейн, факторизация на простые множители позволяет п! быть вычисленным во времени О (п(бревно п журнал журнал п) 2 ) при условии, что быстрое алгоритм умножения используется (например, Алгоритм Шёнхаге – Штрассена ). [15] Питер Лушни представляет исходный код и тесты для нескольких эффективных факторных алгоритмов с использованием или без использования первичное сито. [16]
Теория чисел
Более сильный результат Теорема Вильсона, в котором говорится, что
если и только если п простое. [17] [18]
Формула Лежандра дает кратность простого числа п происходит при простой факторизации п! в качестве
или, что то же самое,
Серия обратных
Хотя сумма этого ряда иррациональный номер, можно умножить факториалы на положительные целые числа, чтобы получить сходящийся ряд с рациональной суммой:
Факториал нецелых значений
Гамма и пи-функции
Помимо неотрицательных целых чисел, факториал также может быть определен для нецелочисленных значений, но для этого требуются более продвинутые инструменты от математический анализ.
Эйлера исходная формула для гамма-функции была
Карл Фридрих Гаусс использовал обозначение Π (z) для обозначения той же функции, но со сдвигом аргумента на 1, так что это согласуется с факториалом для неотрицательных целых чисел. Этот функция пи определяется
В дополнение к этому функция пи удовлетворяет той же повторяемости, что и факториалы, но для каждого комплексного значения z где это определено
Это уже не рекуррентное отношение, а функциональное уравнение. Что касается гамма-функции, это
Значения этих функций при полуцелое число Значения поэтому определяются одним из них:
Однако существуют сложные функции, которые, вероятно, более просты в смысле теории аналитических функций и которые интерполируют факториальные значения. Например, Гамма-функция Адамара (Адамар 1894 ), которая, в отличие от гамма-функции, является вся функция. [21]
Эйлер также разработал аппроксимацию сходящегося произведения для нецелочисленных факториалов, которая, как можно видеть, эквивалентна формуле для гамма-функции выше:
Однако эта формула не обеспечивает практических средств вычисления функции пи или гамма-функции, поскольку скорость ее сходимости мала.
Применение гамма-функции
Факториал в комплексной плоскости
Представление через гамма-функцию позволяет оценивать факториал комплексного аргумента. Эквилинии амплитуды и фазы факториала показаны на рисунке. Позволять
Тонкие линии показывают промежуточные уровни постоянного модуля и постоянной фазы. На полюсах каждого отрицательного целого числа фаза и амплитуда не определены. Равновесные линии плотны в окрестности особенностей вдоль отрицательных целых значений аргумента.
Первые коэффициенты этого разложения равны
куда γ это Константа Эйлера – Маскерони и ζ это Дзета-функция Римана. Системы компьютерной алгебры Такие как SageMath может породить множество членов этого расширения.
Аппроксимации факториала
При больших значениях аргумента факториал может быть аппроксимирован интегралом от функция дигаммы, с использованием непрерывная дробь представление. Такой подход обусловлен Т. Дж. Стилтьес (1894). [ нужна цитата ] Письмо z! = еп(z) куда п(z) является
Стилтьес дал непрерывную дробь для п(z) :
п ( z ) = а 0 z + а 1 z + а 2 z + а 3 z + ⋱ < displaystyle p (z) = < cfrac > > >> >) >>>>>>>>
Первые несколько коэффициентов ап находятся [22]
Нерасширяемость до отрицательных целых чисел
Соотношение п! = п × (п − 1)! позволяет вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для меньшего целого числа. Отношение можно инвертировать, чтобы можно было вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для большего целого числа:
Однако эта рекурсия не позволяет нам вычислить факториал отрицательного целого числа; использование формулы для вычисления (-1)! потребуется деление ненулевого значения на ноль, и, таким образом, не дает нам вычислить факториал для каждого отрицательного целого числа. Точно так же гамма-функция не определен для нуля или отрицательных целых чисел, хотя он определен для всех других комплексных чисел.
Факториальные продукты и функции
Есть несколько других целочисленных последовательностей, похожих на факториал, которые используются в математике:
Двойной факториал
Последовательность двойных факториалов для п = 1, 3, 5, 7. начинается как
Двойная факториальная запись может использоваться для упрощения выражения некоторых тригонометрические интегралы, [25] предоставить выражение для значений гамма-функция при полуцелочисленных аргументах и объеме гиперсферы, [26] и решить многие счет задач в комбинаторике включая подсчет бинарные деревья с маркированными листьями и идеальное соответствие в полные графики. [24] [27]
Многофакторность
Первобытный
Сверхфакторный
Нил Слоан и Саймон Плафф определил сверхфакторный в Энциклопедии целочисленных последовательностей (Academic Press, 1995), чтобы быть продуктом первого п факториалы. Итак, суперфакториал 4 равен
Эквивалентно суперфакториал дается формулой
2-суперфакториалы п находятся
Сверхфакторный
В своей книге 1995 года Ключи к бесконечности, Клиффорд Пиковер определил другую функцию п$ что он назвал сверхфакториальным. Это определяется
Эта последовательность суперфакториалов начинается
Эту операцию также можно выразить как тетрация
Гиперфакториальный
Иногда гиперфакториальный из п Считается. Написано как ЧАС(п) и определяется
Избранные члены факториала последовательность (последовательность A000142 в OEIS ); значения, указанные в экспоненциальном представлении, округляются до отображаемой точности
п
п!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
9
362 880
10
3 628 800
11
39 916 800
12
479 001 600
13
6 227 020 800
14
87 178 291 200
15
1 307 674 368 000
16
20 922 789 888 000
17
355 687 428 096 000
18
6 402 373 705 728 000
19
121 645 100 408 832 000
20
2 432 902 008 176 640 000
25
1.551 121 004 × 10 25
50
3.041 409 320 × 10 64
70
1.197 857 167 × 10 100
100
9.332 621 544 × 10 157
450
1.733 368 733 × 10 1 000
1 000
4.023 872 601 × 10 2 567
3 249
6.412 337 688 × 10 10 000
10 000
2.846 259 681 × 10 35 659
25 206
1.205 703 438 × 10 100 000
100 000
2.824 229 408 × 10 456 573
205 023
2.503 898 932 × 10 1 000 004
1 000 000
8.263 931 688 × 10 5 565 708
10 100
10 10 101.998 109 775 4820
Значение 0! равно 1, согласно соглашению для пустой продукт. [1]
Содержание
История
Факториалы использовались индийскими учеными для подсчета перестановок, по крайней мере, еще в 12 веке. [2] В 1677 г. Фабиан Стедман описал факториалы применительно к изменить звонок, музыкальное искусство с участием многих настроенных колоколов. [3] После описания рекурсивного подхода Стедман дает формулировку факториала (используя язык оригинала):
В обозначение п! был введен французским математиком Кристиан Крамп в 1808 г. [5]
Определение
Факториальная функция определяется произведением
Факториал нуля
У этого определения есть несколько причин:
Приложения
Хотя факториальная функция уходит корнями в комбинаторика формулы, включающие факториалы, встречаются во многих областях математики.
Скорость роста и приближения для больших п
Большинство приближений для п! основаны на приближении его натуральный логарифм
что дает нам оценку
Следовательно пер п! ∼ п пер п (видеть Большой О обозначение ). Этот результат играет ключевую роль при анализе вычислительная сложность из алгоритмы сортировки (видеть сортировка сравнения ). С пределов пер п! Выведено выше, мы получаем, что
Для больших п мы получаем лучшую оценку для числа п! с помощью Приближение Стирлинга:
Фактически это происходит из асимптотического ряда для логарифма, и п факториал находится между этим и следующим приближением:
Вычисление
Если эффективность не важна, вычисление факториалов тривиально с алгоритмической точки зрения: последовательное умножение переменной, инициализированной до 1, на целые числа вплоть до п (если есть) вычислит п! при условии, что результат подходит для переменной. В функциональные языки, рекурсивное определение часто реализуется непосредственно для иллюстрации рекурсивных функций.
Асимптотически наилучшая эффективность достигается вычислением п! от его простой факторизации. Как задокументировано Питер Борвейн, факторизация на простые множители позволяет п! быть вычисленным во времени О (п(бревно п журнал журнал п) 2 ) при условии, что быстрое алгоритм умножения используется (например, Алгоритм Шёнхаге – Штрассена ). [15] Питер Лушни представляет исходный код и тесты для нескольких эффективных факторных алгоритмов с использованием или без использования первичное сито. [16]
Теория чисел
Более сильный результат Теорема Вильсона, в котором говорится, что
если и только если п простое. [17] [18]
Формула Лежандра дает кратность простого числа п происходит при простой факторизации п! в качестве
или, что то же самое,
Серия обратных
Хотя сумма этого ряда иррациональный номер, можно умножить факториалы на положительные целые числа, чтобы получить сходящийся ряд с рациональной суммой:
Факториал нецелых значений
Гамма и пи-функции
Помимо неотрицательных целых чисел, факториал также может быть определен для нецелочисленных значений, но для этого требуются более продвинутые инструменты от математический анализ.
Эйлера исходная формула для гамма-функции была
Карл Фридрих Гаусс использовал обозначение Π (z) для обозначения той же функции, но со сдвигом аргумента на 1, так что это согласуется с факториалом для неотрицательных целых чисел. Этот функция пи определяется
В дополнение к этому функция пи удовлетворяет той же повторяемости, что и факториалы, но для каждого комплексного значения z где это определено
Это уже не рекуррентное отношение, а функциональное уравнение. Что касается гамма-функции, это
Значения этих функций при полуцелое число Значения поэтому определяются одним из них:
Однако существуют сложные функции, которые, вероятно, более просты в смысле теории аналитических функций и которые интерполируют факториальные значения. Например, Гамма-функция Адамара (Адамар 1894 ), которая, в отличие от гамма-функции, является вся функция. [21]
Эйлер также разработал аппроксимацию сходящегося произведения для нецелочисленных факториалов, которая, как можно видеть, эквивалентна формуле для гамма-функции выше:
Однако эта формула не обеспечивает практических средств вычисления функции пи или гамма-функции, поскольку скорость ее сходимости мала.
Применение гамма-функции
Факториал в комплексной плоскости
Представление через гамма-функцию позволяет оценивать факториал комплексного аргумента. Эквилинии амплитуды и фазы факториала показаны на рисунке. Позволять
Тонкие линии показывают промежуточные уровни постоянного модуля и постоянной фазы. На полюсах каждого отрицательного целого числа фаза и амплитуда не определены. Равновесные линии плотны в окрестности особенностей вдоль отрицательных целых значений аргумента.
Первые коэффициенты этого разложения равны
куда γ это Константа Эйлера – Маскерони и ζ это Дзета-функция Римана. Системы компьютерной алгебры Такие как SageMath может породить множество членов этого расширения.
Аппроксимации факториала
При больших значениях аргумента факториал может быть аппроксимирован интегралом от функция дигаммы, с использованием непрерывная дробь представление. Такой подход обусловлен Т. Дж. Стилтьес (1894). [ нужна цитата ] Письмо z! = еп(z) куда п(z) является
Стилтьес дал непрерывную дробь для п(z) :
п ( z ) = а 0 z + а 1 z + а 2 z + а 3 z + ⋱ < displaystyle p (z) = < cfrac > > >> >) >>>>>>>>
Первые несколько коэффициентов ап находятся [22]
Нерасширяемость до отрицательных целых чисел
Соотношение п! = п × (п − 1)! позволяет вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для меньшего целого числа. Отношение можно инвертировать, чтобы можно было вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для большего целого числа:
Однако эта рекурсия не позволяет нам вычислить факториал отрицательного целого числа; использование формулы для вычисления (-1)! потребуется деление ненулевого значения на ноль, и, таким образом, не дает нам вычислить факториал для каждого отрицательного целого числа. Точно так же гамма-функция не определен для нуля или отрицательных целых чисел, хотя он определен для всех других комплексных чисел.
Факториальные продукты и функции
Есть несколько других целочисленных последовательностей, похожих на факториал, которые используются в математике:
Двойной факториал
Последовательность двойных факториалов для п = 1, 3, 5, 7. начинается как
Двойная факториальная запись может использоваться для упрощения выражения некоторых тригонометрические интегралы, [25] предоставить выражение для значений гамма-функция при полуцелочисленных аргументах и объеме гиперсферы, [26] и решить многие счет задач в комбинаторике включая подсчет бинарные деревья с маркированными листьями и идеальное соответствие в полные графики. [24] [27]
Многофакторность
Первобытный
Сверхфакторный
Нил Слоан и Саймон Плафф определил сверхфакторный в Энциклопедии целочисленных последовательностей (Academic Press, 1995), чтобы быть продуктом первого п факториалы. Итак, суперфакториал 4 равен
Эквивалентно суперфакториал дается формулой
2-суперфакториалы п находятся
Сверхфакторный
В своей книге 1995 года Ключи к бесконечности, Клиффорд Пиковер определил другую функцию п$ что он назвал сверхфакториальным. Это определяется
Эта последовательность суперфакториалов начинается
Эту операцию также можно выразить как тетрация
Гиперфакториальный
Иногда гиперфакториальный из п Считается. Написано как ЧАС(п) и определяется
Термин «факториал» (фр. factorielle) впервые ввёл Луи Франсуа Антуан Арбогаст (Louis Francois Antoine Arbogast) в 1800 году.
Современное название factorial происходит от английского слова factor – «множитель».
В 1808 году Кристиан Крамп (Christian Kramp) предложил общепринятое теперь обозначение n! для факториала. Однако в начале своей работы по этой теме Крамп вместо термина «факториал» использовал термин faculty – «факультет».
До середины прошлого столетия термин «ФАКТОРИАЛ n» по определению означал произведение всех натуральных чисел от единицы до данного числа включительно [1]:
Так продолжалось до тех пор, пока в математике не начали использоваться одновременно ДВА НАТУРАЛЬНЫХ РЯДА: первый – от Бога, второй – от группы «чистых» (от реалий Природы) математиков, известных под псевдонимом Николя Бурбаки [2].
ФАКТОРИАЛ А-ЛЯ НИКОЛЯ
Классическое определение факториала борцами за математическую «строгость» было отвергнуто, как ошибочное, по трём причинам [3]:
В результате, вместо якобы ошибочной классики Бурбаки ввели «строгое» определение факториала:
с помощью которого, по меткому замечанию академика В. И. Арнольда, «ни одного факториала невозможно ни определить, ни понять, ни вычислить» [3].
Из сопоставления бурбакистского и классического определений факториала легко увидеть главную причину, по которой классическое определение было отвергнуто и предано забвению в трудах бурбакистов.
Так, если в классическом определении факториала устранить указанные бурбакистами «ошибки», добавив 1! = 1, то тогда становится предельно понятно, что любой бурбакистский факториал (кроме двух первых) всегда будет равен нулю, потому что бурбакистский «натуральный» ряд начинается с нуля, а факториал (по определению) представляет собой произведение ВСЕХ членов натурального ряда от начального до заданного:
ФАКТОРИАЛ В НАШИ ДНИ
Несмотря на самозахоронение бурбакистами самих себя в 1968 году, факториал их, по-прежнему, жив, причём не только на Западе, но и в России, где, как известно, натуральный ряд начинается с единицы [4]. Разумеется, такая живучесть иноземных заблуждений в местных условиях не просто странна, но и необъяснима в принципе. Однако у части (чистых) математиков, наверное, свои принципы, своя логика и свой здравый смысл.
Справедливости ради, надо отметить, что у большинства из них здравый смысл находится всё же в здравом состоянии. По крайней мере, это можно наглядно продемонстрировать на примере безупречных определений факториала, например в [5, 6]:
А вот другой пример, от которого веет прахом бурбакизма [7]:
Ещё шире распространено дважды некорректное определение факториала [8, 9]:
1. Бурбакизм умер, но факториал его живёт.
2. Надо помогать школьникам преодолевать последствия «натурализма» бурбакистов.
3. В частности, надо объяснять, что в природе (фр. nature) отсутствует нуль, потому что нуль – это условный символ для обозначения отсутствия чего-либо. Следовательно, нуль имеет не природное (ненатуральное, искусственное) происхождение, а выражение 0! = 1 противоречит понятию натурального числа, определению факториала и здравому смыслу.
1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Гостехиздат, 1948. – 556 с. 2. Александр Котлин. Натуральные числа. – http://www.proza.ru/2015/08/18/1526 3. Арнольд В. И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. – 2002. – Том 72, № 3, с. 245-250. – http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM 4. Натуральный ряд: Значение слова в Большой Советской Энциклопедии. – http://bse.sci-lib.com/article080391.html 5. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики. В трёх томах. // Том 1. Элементарная алгебра и анализ / Авт. Г. Вебер. – Одесса: Матезис, 1906. – 640 с. – 6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с. 7. Факториал: Школьная математика. – http://math-prosto.ru/?page=pages/factorial/factorial.php 8. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с. 9. Online Encyclopaedia of Mathematics. / Edited by Michiel Hazewinkel. – Springer-Verlag. – https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Factorial
10 сентября 2015 года ________ * Александр Котлин. Ноль равен гиперединице. – http://www.proza.ru/2015/04/02/85
P.S. Абсурдность натурального нуля и основанного на нём факториала от Бурбаки доказана автором этой статьи математически строго в более поздней публикации: см. «Натуральный ноль равен единице» – http://www.proza.ru/2019/08/11/1306
Ноль в степени ноль является неопределенным выражением. Это выражение может быть равно чему угодно в зависимости от скорости направления предельного перехода к нулю.
Однако, некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 0^0=1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты и другие.
Дискуссия по поводу определения продолжается, по крайней мере, с начала XIX века и ДО СИХ ПОР. В начале 19-го века математики считали, что 0^0=1, но в 1821 году Коши причислил 0^0 к неопределённостям, таким, как, например, 0/0.
Сайт MathWorld считает, что 0^0 считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение 0^0=1 позволяет в некоторых случаях упростить запись некоторых формул. В России Большая российская энциклопедия, Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники однозначно характеризуют 0^0 как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).
Интересно, что в компьютерных языках программирования, при использовании функции возведения в целую степень, 0^0 всегда дает результат равный 1. Но такой же результат будет не только для нуля, но и для NaN и для бесконечность. То есть, это чисто так устроена функция возведения в целую степень. А вот функция возведения в нецелую степень уже дает результат NaN, то есть неопределенность. А в тех языках программирования, где нет разделения функции возведения в степень на функцию для целого и вещественного показателя, там всё по разному. Например, в C++ выдает единицу.
Факториал числа n равен произведению чисел от 1 до n. Ноль в конце произведения появляется в результате перемножения 2 и 5. Но поскольку при разложении на простые множители числа n! двоек больше чем пятерок, то количество нулей в конце n! равно количеству пятерок в разложении n! на простые множители. Это число равно
+ + + …
Суммирование происходит до тех пор, пока очередное слагаемое не станет равным 0.
Найдем количество нулей, которыми заканчивается 100!
+ + + … = 20 + 4 = 24
Третье слагаемое уже равно нулю, так как 100 5 3 = 125.
Факториалы свойства: Факториал ℹ️ определение, формула, обозначение, основные свойства и функции, таблица, алгоритмы нахождения, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор
Факториал — это… Что такое Факториал?
Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).
Свойства
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества <A,B,C,D> из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.
Связь с гамма-функцией
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.
Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при
Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как
Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).
Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени
где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого
Другие свойства
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,
Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть
Субфакториал
Ссылки
См. также
Примечания
Факториал натурального числа n: как вычислить, формула
n! = 1 * 2 * 3 * 4 … * n
0! = 1
Формула для определения факториала
Примеры:
Рекуррентная формула факториала
Примеры:
5! = 5*(5-1)! = 5×4! = 5×24 = 120
7! = 7*(7-1)! = 7×6! = 5×720 = 5040
Формула Стирлинга
Используется для приблизительного нахождения факториала.
С комбинаторными задачами ежедневно сталкивается каждый из нас. Когда утром мы принимаем решение, как одеться, мы комбинируем те или иные виды одежды. Когда готовим салат, мы комбинируем ингредиенты. От того, какая комбинация продуктов выбрана, зависит результат – вкусно или невкусно. Правда, вопросами вкуса занимается уже не математика, а кулинария, но тем не менее.) Когда, играем «в слова», составляя маленькие словечки из одного длинного, мы комбинируем буквы. Когда открываем кодовый замок или набираем номер телефона, то комбинируем цифры.) Завуч школы составляет расписания уроков, комбинируя предметы. Футбольные команды на Чемпионате Мира или Европы распределяют по группам, образуя комбинации. И так далее.)
Комбинаторные задачи люди решали ещё в глубокой древности (магические квадраты, шахматы), а настоящий расцвет комбинаторики пришёлся на VI–VII века, во время широкого распространения азартных игр (карты, игральные кости), когда игрокам приходилось продумывать различные ходы и тем самым фактически также решать комбинаторные задачи.) Вместе с комбинаторикой в это же время зародился и другой раздел математики – теория вероятностей. Эти два раздела – очень близкие родственники и идут рука об руку.) И при изучении теории вероятностей мы не раз будем сталкиваться с задачами комбинаторики.
И начнём мы изучение комбинаторики с такого краеугольного понятия, как факториал.
Что такое факториал?
Красивое слово «факториал», но многих пугает и ставит в тупик. А зря. В настоящем уроке мы разберёмся и хорошенько поработаем с этим несложным понятием.) Это слово происходит от латинского «factorialis», что означает «умножающий». И неспроста: в основе вычисления любого факториала стоит обыкновенное умножение.)) Итак, что же такое факториал.
Возьмём какое-нибудь натуральное числоn. Совершенно произвольное: хотим 2, хотим 10, — какое угодно, лишь бы натуральное.) Так вот, факториал натурального числаn– это произведение всех натуральных чисел от1 до n включительно. Обозначается вот так: n! То есть,
Чтобы не расписывать каждый раз это длинное произведение, просто придумали краткое обозначение. 🙂 Читается немного непривычно: «эн факториал» (а не наоборот «факториал эн», как может показаться).
Улавливаете идею?)) Отлично! Тогда считаем примеры:
Ответы (в беспорядке): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.
Всё получилось? Прекрасно! Считать факториалы и решать простейшие примеры с ними уже умеем. Идём дальше. 🙂
Свойства факториала
Рассмотрим не очень понятное с точки зрения определения факториала выражение 0! Так уж в математике договорились, что
Да-да! Такое вот интересное равенство. Что от единицы, что от нуля факториал один и тот же – единичка.)) Пока примем это равенство за догму, а вот почему это именно так, будет ясно чуть позже, на примерах.))
Следующие два очень похожих свойства:
Доказываются они элементарно. Прямо по смыслу факториала.)
Эти две формулки позволяют, во-первых, легко считать факториал текущего натурального числа через факториал предыдущего числа. Или следующего через текущий.) Такие формулы в математике называются рекуррентными.
Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами. Типа таких.
Как действовать будем? Последовательно перемножать все натуральные числа от 1 до 1999 и от 1 до 2000? Это одуреешь! А вот по свойствам пример решается буквально в одну строчку:
Или такое задание. Упростить:
Снова работаем прямо по свойствам:
Зачем нужны факториалы и откуда они появились? Ну, зачем нужны – вопрос философский. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает.)) На самом деле приложений у факториала великое множество. Это и бином Ньютона, и теория вероятностей, и ряды, и формула Тейлора, и даже знаменитое число e, которое представляет собой вот такую интересную бесконечную сумму:
Чем больше задаётся n, тем большее число слагаемых в сумме и тем ближе будет эта сумма к числу e. А в пределе при она станет равна в точности числу e. 🙂 Но об этом удивительном числе мы поговорим в соответствующей теме. А здесь у нас – факториалы и комбинаторика.)
Откуда же они взялись? Они взялись как раз из комбинаторики, с изучения наборов элементов.) Простейшим таким набором является перестановка без повторений. С неё и начнём. 🙂
Перестановка без повторений
Пусть в нашем распоряжении имеются два различных объекта. Или элемента. Совершенно любые. Два яблока (красное и зелёное), две конфеты (шоколадная и карамель), две книги, две цифры, две буквы – всего чего угодно. Лишь бы они были различными.) Назовём их A и B соответственно.
Что можно с ними делать? Если это конфеты, то их, конечно, можно съесть.)) Мы же пока потерпим и будем их располагать в различном порядке.
Каждое такое расположение называется перестановкой без повторений. Почему «без повторений»? Потому, что все элементы, участвующие в перестановке, различны. Это мы пока что для простоты так решили. Есть ещё перестановка с повторениями, где некоторые элементы могут быть одинаковыми. Но такие перестановки чуть сложнее. О них – позже.)
Итак, если рассматривается два различных элемента, то возможны такие варианты:
AB,BA.
Всего два варианта, т.е. две перестановки. Негусто.)
А теперь добавим к нашему набору ещё один элемент C. В этом случае перестановок станет уже шесть:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
Идём дальше. Добавляем ещё один элемент D.
Перестановки из четырёх элементов будем строить так. Сначала на первое место поставим элемент A. При этом оставшиеся три элемента можно переставить, как нам уже известно, шестью способами:
Значит, число перестановок с первым элементом A равно 6.
Итак, подытожим: перестановкой из nэлементов называется любой упорядоченный набор из этих nэлементов.
Слово «упорядоченный» здесь является ключевым: каждая перестановка различается только порядком элементов, а сами элементы в наборе остаются прежними.
Осталось только выяснить, чему равно количество таких перестановок из любого числа элементов: мы ведь не мазохисты, чтобы каждый раз выписывать все различные варианты и их подсчитывать. 🙂 Для 4-х элементов мы получили 24 перестановки – это уже довольно много для наглядного восприятия. А если элементов 10? Или 100? Хорошо бы сконструировать формулу, которая одним махом подсчитывала бы число всех таких перестановок для любого числа элементов. И такая формула есть! Сейчас мы её выведем.) Но для начала сформулируем одно очень важное во всей комбинаторике вспомогательное правило, называемое правилом произведения.
Правило произведения: если в наборе имеется nразличных вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть mразличных вариантов выбора второго элемента, то всего можно составить n·mразличных пар из этих элементов.
А теперь, пусть теперь имеется набор из n различных элементов
Теперь представим, что первый элемент у нас выбран (n способами, как мы помним). Сколько невыбранных элементов осталось в наборе? Правильно, n-1. 🙂 Это значит, что второй элемент можно выбрать уже только n-1 способами. Третий — n-2 способами (т.к. 2 элемента уже выбраны). И так далее, k-й элемент можно выбрать n-(k-1) способами, предпоследний – двумя способами, а последний элемент – только одним способом, так как все остальные элементы так или иначе уже выбраны. 🙂
Что ж, теперь конструируем формулу.
Итак, число способов выбрать первый элемент из набора равно n. На каждый из этих n способов приходится по n-1 способу выбрать второй. Это значит, что общее число способов выбрать 1-й и 2-й элементы, в соответствии с правилом произведения, будет равно n(n-1). Далее, на каждый из них, в свою очередь, приходится по n-2 способа выбрать третий элемент. Значит, три элемента можно выбрать уже n(n-1)(n-2) способами. И так далее:
4 элемента — способами,
k элементов способами,
n элементов способами.
Значит, nэлементов можно выбрать (или в нашем случае расположить) способами.
Число таких способов обозначается так: Pn. Читается: «пэ из эн». От французского «Permutation — перестановка». В переводе на русский означает: «перестановка изnэлементов».
Ну, конечно! Факториал, собственной персоной. 🙂 Теперь можно кратко записать:
Значит, число всех возможных перестановок изnразличных элементов равноn!.
В этом и состоит основной практический смысл факториала.))
Теперь мы с лёгкостью можем ответить на многие вопросы, связанные с комбинациями и перестановками.)
Сколькими способами можно разместить на полке 7 разных книг?
P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040 способами.)
Сколькими способами можно составить расписание (на один день) из 6 разных предметов?
P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720 способами.
Сколькими способами можно расставить в колонну 12 человек?
На тему перестановок есть одна очень известная задача-шутка:
Однажды 8 приятелей зашли в ресторан, в котором стоял большой круглый стол, и долго спорили между собой, как им лучше сесть вокруг этого стола. Спорили-спорили, пока, наконец, хозяин ресторана не предложил им сделку: «Что же вы спорите-то? Голодным всё равно никто из вас не останется 🙂 Сядьте для начала хоть как-нибудь! Хорошенько запомните сегодняшнюю рассадку. Затем приходите завтра и садитесь уже по-другому. На следующий день приходите и садитесь опять по-новому! И так далее… Как только вы переберёте все возможные варианты рассадки и настанет черёд сесть снова так, как сегодня, — то так уж и быть, обещаю вас кормить в своём ресторане бесплатно!» Кто останется в выигрыше – хозяин или посетители? 🙂
Что ж, считаем число всех возможных вариантов рассадки. В нашем случае это число перестановок из 8 элементов:
P8 = 8! = 40320 способов.
Пусть в году у нас 365 дней (високосные для простоты учитывать не будем). Значит, даже с учётом этого допущения, число лет, которое потребуется, чтобы перепробовать все возможные способы посадки, составит:
Более 110 лет! То есть, даже если наших героев в колясках привезут в ресторан их мамы прямо из роддома, то получить свои бесплатные обеды они смогут только в возрасте очень преклонных долгожителей. Если, конечно, все восемь доживут до такого возраста.))
Всё потому, что факториал – ооочень быстро возрастающая функция! Смотрите сами:
Кстати сказать, как с точки зрения перестановок выглядят равенства и 1! = 1? А вот как: из пустого набора (0 элементов) мы можем составить только одну перестановку – пустой набор. 🙂 Так же, как и из набора, состоящего всего из одного элемента, мы тоже можем составить лишь одну перестановку – сам же этот элемент.
Всё понятно с перестановками? Отлично, тогда делаем задания.)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить
а) из цифр 1, 2, 3, 4
б) из цифр 0, 5, 6, 7?
Подсказка к пункту б): число не может начинаться с цифры 0!
Задание 4
Слова и фразы с переставленными буквами называются анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова «гипотенуза»?
Задание 5
Сколько пятизначных чисел, делящихся на 4, можно составить, меняя местами цифры в числе 61135?
Подсказка: вспомнить признак делимости на 4 (по двум последним цифрам)!
Ну как, всё получилось! Поздравляю! Уровень 1 пройден, переходим на следующий. Называется «Размещения без повторений.«
Двойной факториал — это… Что такое Двойной факториал?
Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
.
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.
Свойства
Комбинаторное определение
В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества <A,B,C,D> можно линейно упорядочить 4!=24 способами:
Связь с гамма-функцией
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).
Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени
,
где произведение берется по всем простым числам.
Другие свойства
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,
По определению полагают 0!! = 1.
Убывающий факториал
Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение
Убывающий факториал дает число размещений из n по k.
Возрастающий факториал
Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал
Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,
Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)
Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с
Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть
где для n > 0 и .
Субфакториал
Субфакториалопределяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.
Ссылки
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.
Формулы для факториалов
Факториал
Формулы для факториалов — это формулы определения конкретных значений факториала.
Под факториалом числа понимается результат произведения всех натуральных неотрицательных чисел, начиная с единицы и до основания факториала.
Термин факториал числа – это математический оператор, но применяется в самых разных научных дисциплинах, таких как комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.
Рисунок 1. Факториал. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Формула вычисления
Для вычисления факториала конкретного числового выражения, надо найти произведение чисел, начиная от единицы, и заканчивая заданным числом. Исходя из этого, операцию нахождения факториала, возможно определить так:
Главные факториальные особенности:
Выражение под номером два определяется термином рекурсия, а сам факториал выступает как элементарная рекурсивная функция. Рекурсивная функция находит широкое распространение в теории алгоритмов и при создании программных приложений для компьютеров, так как большинство алгоритмических структур и программных процедур обладают рекурсивным наполнением.
Готовые работы на аналогичную тему
Вычислить факториал многоразрядных чисел возможно путём применения формулы Стирлинга, дающей, правда, не точный результат, хотя погрешность достаточно мала. Эту формулу можно представить следующим образом:
Используется ещё и такое определение формулы Стирлинга:
$n! ≈ √(2 • π • n) • (n/e)^n$.
M – кратный факториал является разновидностью двойного факториала для всех положительных чисел m:
факториал — Викисловарь
Морфологические и синтаксические свойства[править]
падеж
ед. ч.
мн. ч.
Им.
факториа́л
факториа́лы
Р.
факториа́ла
факториа́лов
Д.
факториа́лу
факториа́лам
В.
факториа́л
факториа́лы
Тв.
факториа́лом
факториа́лами
Пр.
факториа́ле
факториа́лах
Существительное, неодушевлённое, мужской род, 2-е склонение (тип склонения 1a по классификации А. А. Зализняка).
Произношение[править]
Семантические свойства[править]
Значение[править]
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]
Родственные слова[править]
Этимология[править]
Происходит от англ. factorial (с 1816 г.), из factor «делающий, производящий; создатель, виновник», из facere «делать, производить» (восходит к праиндоевр. *dhe- «девать, делать»)
Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]
Перевод[править]
Библиография[править]
Морфологические и синтаксические свойства[править]
Произношение[править]
Семантические свойства[править]
Значение[править]
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]
Родственные слова[править]
Этимология[править]
Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]
Библиография[править]
Морфологические и синтаксические свойства[править]
Произношение[править]
Семантические свойства[править]
Значение[править]
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]
Родственные слова[править]
Этимология[править]
Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]
Библиография[править]
Морфологические и синтаксические свойства[править]
Произношение[править]
Семантические свойства[править]
Значение[править]
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]
Родственные слова[править]
Этимология[править]
Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]
Библиография[править]
Субфакториал — это… Что такое Субфакториал?
Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.
В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (т. н. Задача о письмах).
Явная формула
Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:
Другие формулы
Таблица значений
последовательность A000166 в OEIS
Свойства
Факториалы
(для различных причин, 0! определяется равным 1, не 0. Запомните это сейчас: 0! = 1.)
Многие (большинство?) Калькуляторов может оценить факториалы для вас. Например, команда факториала доступно в меню «вероятность» на одном из моих калькуляторов:
Ищите «!» кнопку или обратитесь к руководству пользователя.
12! = 1234 … О, черт с этим. Где мой калькулятор …?
Когда начинаешь делать комбинации, перестановки и вероятность, вы будете упрощать выражения, которые имеют факториалы в числителях и знаменателях.Например:
Я могу сделать это в своем калькуляторе:
Я также могу работать с определение факториала:
В любом случае 6! 4! = 30
Обратите внимание, как я смог отмените кучу цифр в предыдущей задаче.Это потому что того, как определяются факториалы, и это свойство может упростить вашу работу много.
Обратите внимание, как я сократил то, что я должен был написать, оставив пробел («многоточие» или тройной период) посередине.Этот процесс отмены и пропуска станет удобным позже. (как в исчислении, где вы будете часто использовать эту технику), особенно когда вы имеете дело с выражениями, которые ваш калькулятор не может обработать. Например:
Мой калькулятор не может оценить это для меня, поскольку я имею дело с переменными, а не числами.Больной придется упростить это вручную. Для этого я выпишу факториалы, используя достаточное количество факторов, чтобы получить то, что можно компенсировать. Мышление вернуться к «числам» задачи со словами, последовательные целые числа разделены на одну единицу, поэтому множители в произведении ( n + 2)! имеют вид:
Вернувшись перечень факторов до « n 1 «, я создал список факторов, которые можно свести на нет:
Обратите внимание на то, как я обращался что отмена.Я достаточно расширил факториальные выражения, чтобы смог увидеть, где я могу отменить повторяющиеся факторы. Хотя у меня было понятия не имею, что n может быть, я все еще могу отменить. Сохраните эту технику в своем мозгу, потому что даже если он вам сейчас не нужен, вам почти наверняка понадобится это позже.
Для информации о поиске количество нулей в конце факториала (например, «Сколько нулей находятся в конце 23! после умножения? »), посмотрите на эту заметку.
Верх | Вернуться к индексу
Цитируйте эту статью как:
факториалов, перестановок и комбинаций | Ресурсы Wyzant
Факториалы
0! — частный случай факториала.
Это особенное, потому что нет положительных чисел меньше нуля, и мы определили факториал как произведение чисел от n до 1. Мы говорим, что 0! = 1, заявив что произведение без чисел равно 1. Рассуждения и математика, лежащие в основе этого сложно и выходит за рамки этой страницы, поэтому давайте просто примем 0! как равный к 1.
Это математически верно и позволяет нам переопределить n! следующим образом:
Вышеупомянутое позволяет нам манипулировать факториалами и разбивать их, что полезно в комбинациях и перестановках.
Полезные факториальные свойства
Важно помнить два последних свойства. Факториальный знак НЕ распределяет через сложение и вычитание.
Перестановки и комбинации
И перестановки, и комбинации в математике относятся к различным способам организации заданный набор переменных.Перестановки не строги, когда дело доходит до порядка вещей, пока есть Комбинации.
Например; учитывая буквы abc
Перестановки перечислены ниже.
В группах по 1 получаем
В группах по 2 человека получаем
В группах по 3 человека получаем
Из вышесказанного вы должны увидеть, что Комбинации предназначены для определения того, сколько способов вы можете комбинировать различные элементы данного объекта.
Обозначения для комбинаций даны как
что означает количество комбинаций из n элементов, занимающих r элементов при время
означает найти количество способов, которыми можно объединить 3 элемента, принимая 2 за раз, и из в предыдущем примере мы видели, что это 3.
Другой пример, иллюстрирующий это, выглядит следующим образом:
Даны четыре буквы abcd найти
Комбинации также обычно обозначают как
и рассматриваемый в приведенном выше примере можно было бы задать как
Поэтому важно помнить, что
Теперь, когда мы увидели, что такое комбинации, давайте перейдем к соотнесению факториалов и комбинации.
Комбинированная функция может быть определена с использованием факториалов следующим образом:
Мы можем доказать, что это правда, на предыдущем примере;
это тот же ответ, который мы получили раньше.
Вернемся к перестановкам, которые мы определили выше и также видели пример. Перестановки обозначаются следующими
что означает количество перестановок n элементов, взятых r элементов на время.
Например; учитывая 3 буквы abc найти
Помните, что повторение разрешено в перестановках, в отличие от комбинаций;
что означает, что есть 6 способов, другими словами
Функция перестановки также может использовать факториалы:
Мы можем доказать сказанное выше на предыдущем примере.
Это тот же ответ, что и раньше.
Если вы внимательно посмотрите на формулы для комбинаций и перестановок, вы сможет увидеть, что эти два значения могут быть выражены друг относительно друга, т. е.
из вышеизложенного можно вывести следующие отношения:
Сказанное выше можно доказать, подставив формулу для перестановок в уравнение
Что, как мы уже видели, является формулой комбинаций.
Примеры факториалов, перестановок и комбинаций
Пример 1
Оцените следующее без использования калькулятора
Мы видели, что относительно большое число (например, 10 в этом примере) может быть разбито вниз в продукт факториалов, т.е.
Мы можем использовать приведенное выше, чтобы оценить выражение как
С 7! появляется как в числителе, так и в знаменателе, мы можем перейти к отмене это из
Пример 2
Мы уже определили комбинацию обозначений выше как:
Следовательно, мы можем просто подставить в приведенную выше формулу
Числитель и знаменатель равны, поэтому мы можем просто сократить их как
Пример 3
Оцените следующее выражение
Обозначения выше не должны быть такими уж незнакомыми, если вы просмотрели страницу всю эту страницу.Мы видели это
Отсюда следует, что
Как и в предыдущем примере, мы можем просто подставить и решить
но верно и следующее
и мы можем быстро увидеть, что
И поэтому мы можем заменить вышеприведенное, чтобы упростить вычисления
Вычеркивая равные члены в числителе и знаменателе, получаем
Пример 4
Обозначения, использованные выше, являются обозначениями перестановок и означают следующее:
Таким образом, мы можем подставить переменную, чтобы получить:
3! отменяется, чтобы оставить следующее выражение
Викторина по факториалам, перестановкам и комбинациям
Приведенный выше вопрос спрашивает, сколькими способами вы можете выбрать 5 вещей из 20, который, по сути, спрашивает, сколько комбинаций из 5 вещей вы можете выбрать из пул из 20 вещей т.е.
2.Если вы подбросите монету 10 раз, возможны 1024 (или 2 10 ) возможных исходов. У скольких из этих исходов есть 6 хвостов?
Когда вы подбрасываете монету один раз, есть два возможных исхода; голова или хвост. Если вы подбрасываете монету более одного раза, выходы появляются в комбинациях орлов и решки: например: если вы дважды подбросите монету, вы получите; 2 головы, или 2 хвоста, или голова и хвост, или хвост и голова.Другими словами, мы ищем для комбинаций! Поэтому вопрос задает
Этот вопрос действительно прост, уловка состоит в том, чтобы игнорировать вводящий в заблуждение выбор словосочетания.Этот вопрос касается перестановок, поскольку нас попросили расположите буквы без какого-либо порядка.
Все, что нам нужно сделать, это подсчитать количество букв в слове «КОМБИНАЦИИ».
Этот вопрос аналогичен приведенному выше, нам все еще задают перестановки (расположение) букв слова «КОМБИНАЦИИ». Единственная разница здесь заключается в том, что нас спросили, чтобы первые 3 буквы всех различных перестановок должен быть «ЗАПРЕТ».
Так как же нам с этим справиться?
Решение состоит в том, чтобы вычесть количество букв, положение которых постоянное, и затем переставьте оставшиеся буквы:
Поэтому количество различных способов расстановки букв в «КОМБИНАЦИЯХ» с BAN в качестве первой буквы:
для факториала в Python
Факторинг и факториалы | Потерянное письмо Гёделя и P = NP
Вычисление факториальной функции fast breaks factoring
Точное соотношение между ними таково: вы можете спросить, почему, а нет? Здесь есть интересная история, но я не тот, кто ее рассказывает, так что нам придется просто принять ее.См. Подробности у наших друзей в Википедии.
Так что же такое формула дублирования и почему она связана с факторингом? Я объясню. Формула такая: для всего комплекса
Обоснование того, что это называется «Формулой дублирования», состоит в том, что левая часть — это почти «дублирование». За исключением формулы, у двух вхождений гамма-функции одно и то же значение. Отсюда и название «Формула дублирования». Однако две гамма-функции оцениваются с немного разными значениями: одна at и одна at.Эта небольшая разница, на мой взгляд, не является точным дублированием: возможно, ее следует называть «формулой почти дублирования». Думаю, это имя не было бы таким крутым и захватывающим.
для некоторой константы и некоторого полинома от, то факторизация будет простой. Остальная часть этого поста — объяснение того, почему это правда.
Факторинг с факториалами
Одно из любопытных свойств — народная теорема об арифметической сложности.Скажем, функция имеет арифметическую сложность при условии, что есть арифметическая схема, выполняющая пошаговые вычисления. Как обычно, арифметическая схема начинается с переменных и значения, затем на каждом шаге она выполняет одну из основных арифметических операций с парой предыдущих значений. Ответ — это, конечно, последнее вычисленное значение.
Одно из основных предположений современной криптографии состоит в том, что факторизация целых чисел сложна. Для криптографии обычно требуется менее общее предположение: предположим, что для случайных простых чисел в диапазоне.Тогда его сложно найти и из только что предоставленного достаточно большого размера. Обратите внимание, что часто на простые числа накладываются дополнительные ограничения, но они не влияют на наше обсуждение.
Под «жестким» мы можем понимать, что не существует алгоритма с полиномиальным временем или даже что нет схемы с полиномиальным размером. Это предположение связано с множеством проблем. Во-первых, проблема факторинга заключается в том, что он вряд ли будет NP-полным. Во-вторых, лучшие алгоритмы факторинга — «субэкспоненциальные».Например, приблизительное время работы сита числового поля:
где находится о. (В показателе степени есть несколько меньших членов, но это главный член.) Таким образом, если бы факторинг был NP-трудным, это имело бы ужасные последствия для теории сложности. В другом посте я расскажу о допущении факторинга. А пока я просто замечу, что на конференции несколько лет назад Ави Виджерсон говорил об использовании факторингового допущения, а Майкл Рабин говорил о возможностях того, что факторинг может быть простым.
Я, как и многие другие, нахожу эту проблему чрезвычайно интересной. В этом посте я хочу указать на старую, но интересную связь между факторингом и факториалами. В следующих статьях я расскажу о лучших текущих подходах к факторингу и возможности улучшения методов в будущем. А пока мы сосредоточимся на связи с факториальной функцией. Вот народная теорема:
Теорема 1Если можно вычислить с помощью прямолинейного арифметического вычисления по шагам, то факторизация имеет схемы полиномиального размера.
Мы сформулировали теорему как неоднородный результат. Если вам нужна равномерная оценка, вам нужно сделать более сильное предположение, что арифметическая схема для однородна.
Доказательство этой народной теоремы простое. Предположим, вы хотите разложить на множители какое-то ненулевое число, которое является составным. Для любого числа определите число как. (Как обычно, это наибольший общий делитель (НОД) и.) Мы утверждаем, что он обладает следующим ключевым свойством: либо или, либо является собственным делителем.Это следует непосредственно из определения gcd.
Теперь мы будем использовать эту функцию и двоичный поиск, чтобы получить правильный коэффициент. Когда у нас есть такой фактор, мы можем получить все факторы, снова применив этот метод. Бинарный поиск работает следующим образом: установить и. Обратите внимание, что интервал имеет следующее свойство: and that. Последнее следует, поскольку не может быть; таким образом, если он меньше, чем у нас есть соответствующий коэффициент. В общем, у нас всегда будет интервал, чтобы и.
Не хватает одного, но критического момента.Мы не можем позволить себе вычислить факториалы, использованные в описанной выше процедуре. Они будут слишком большими. Итак, мы просто используем арифметическую схему для выполнения всех вышеперечисленных вычислений, но делаем их все по модулю. Ключевым моментом является то, что это не меняет никаких расчетов НОД. Это зависит от того же простого факта, что и.
В чем сложность факториалов
Итак, в чем сложность вычислений. Поскольку в настоящее время факторинг считается сложной задачей, очевидно, что это трудно вычислить.Но действительно ли это сложно?
Вспомним формулу дублирования:
Если вместо этого формула была
, тогда был бы быстрый алгоритм для факториала. Тогда мы сможем фактор. Позвольте быть стоимость вычислений. Тогда такое уравнение даст
Это подразумевает быстрый метод вычислений.
Представьте себе, что где — рациональная функция, а каждый — экспоненциальный член. Это член формы, где и являются многочленами.Если бы это было правдой, то было бы легко вычислить. Обратите внимание, что это остается верным, даже если тождество верно только для плотного подмножества натуральных чисел. Это должно удовлетворять свойству, что для каждого существует не более того.
Даже больше. Предположим, что это функция, так что
для натуральных чисел. Тогда будет достаточно быстрого вычисления этой функции. Обратите внимание: суть этого обобщения заключается в том, что вы не можете использовать какой-то простой аргумент роста, чтобы показать, что не существует настоящей формулы формулы дублирования — по крайней мере, я ее не вижу.
Можем ли мы доказать, что не может удовлетворить ни одно такое уравнение? Я думаю, что это может быть сложно, но, безусловно, было бы интересно получить такой результат. Хотя это не было бы общей нижней границей факторинга, отсутствие реальной «формулы дублирования», по крайней мере, показало бы, что нет простого способа разложения. С другой стороны, отсутствие такой нижней границы показывает, как мало мы знаем о факторинге. Те, кто считает, что факторинг — это сложный процесс, должны быть обеспокоены тем, что мы даже не можем исключить возможность существования такого метода факторинга.
Другое направление будет обсуждаться в следующем посте. Подход состоит в том, чтобы смотреть не на факториальную функцию прямо, а косвенно через полином. Рассмотрим полином, определенный для каждого. Если мы можем вычислить этот многочлен пошагово, то очевидно, что мы можем вычислить пошагово: просто установите. Однако предположим в более общем смысле, что это многочлен с различными целыми корнями. Если мы можем эффективно выполнять быстрые вычисления, сможем ли мы по-прежнему быстро учитывать фактор? Ответ — да, при мягких условиях на отдельных корнях.Подробнее об этом в будущем.
mishin05
mishin05
+ 
+ 
+ …
+ 
+ 
+ … = 20 + 4 = 24
Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
.
.
,
для n > 0 и 
.
определяется как количество беспорядков порядка 
, то есть перестановок 
