инвариантность формы полного дифференциала

Инвариантность формы полного дифференциала

Выражение полного дифференциала функции нескольких переменных имеет тот же вид вне зависимости от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями других независимых переменных.

Доказательство опирается на формулу полного дифференциала

инвариантность формы полного дифференциала

Что и требовалось доказать.

5.Полная производная функции— производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид инвариантность формы полного дифференциалаи ее аргументы зависят от времени: инвариантность формы полного дифференциала. Тогда инвариантность формы полного дифференциала, где инвариантность формы полного дифференциала— параметры задающие траекторию. Полная производная функции инвариантность формы полного дифференциала(в точке инвариантность формы полного дифференциала) в таком случае равна частной производной по времени (в соответствующей точке инвариантность формы полного дифференциала) и может быть вычислена по формуле:

инвариантность формы полного дифференциала,

где инвариантность формы полного дифференциала— частные производные. Следует отметить, что обозначение инвариантность формы полного дифференциалаявляется условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции инвариантность формы полного дифференциала:

инвариантность формы полного дифференциала

Здесь нет инвариантность формы полного дифференциалатак как инвариантность формы полного дифференциаласама по себе («явно») не зависит от инвариантность формы полного дифференциала.

Полный дифференциал

функции f (x, у, z. ) нескольких независимых переменных — выражение

инвариантность формы полного дифференциала

в случае, когда оно отличается от полного приращения

на величину, бесконечно малую по сравнению с

инвариантность формы полного дифференциала

Касательная плоскость к поверхности

1. инвариантность формы полного дифференциала

2. инвариантность формы полного дифференциала

3. инвариантность формы полного дифференциала

4. инвариантность формы полного дифференциала

Нормаль к поверхности

1. инвариантность формы полного дифференциала

2. инвариантность формы полного дифференциала

3. инвариантность формы полного дифференциала

4. инвариантность формы полного дифференциала

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение Dy ее представимо в виде

D y = f'(x)D x +a (D x) D x,

где первое слагаемое линейно относительно Dx, а второе является в точке Dx = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем Dx. Если f'(x)№ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения Dy. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента Dx и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно Dx часть приращения Dy, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = Dx. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx. (4)

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tgf. Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x,

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Dx.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме ( 3) равна y’ = f'(u)· u’. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u’dx = f'(u)du,

так как u’dx = du. То есть dy = f'(u)du. (5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле ( 4) dx = Dx, а в формуле ( 5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

Интегральное исчисление — раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 990 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Дифференцируемость функции многих переменных

Частные производные.

Пусть функция
$$
f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_)\nonumber
$$
определена в окрестности точки \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>)\). Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\varphi (x_<1>) = f(x_<1>,x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>)\nonumber
$$
Функция \(\varphi (x_<1>)\) может иметь производную в точке \(x_<1>^<0>\). По определению такая производная называется частной производной \(\frac<\partial f><\partial x_<1>>(x^<0>)\).

Аналогично определяются частные производные (первого порядка)
$$
\frac<\partial f><\partial x_>(x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>), i = \overline<2, n>.\nonumber
$$

Функция двух переменных может иметь в точке \(x^<0>, y^<0>\) две частные производные первого порядка
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x^<0>, y^<0>),\quad \frac<\partial f><\partial y>(x^<0>, y^<0>).\nonumber
$$

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.

Дифференцируемость функции многих переменных в точке.

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.

Функция \(f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_)\) называется дифференцируемой в точке \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>)\), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа \(A_<1>, \ldots, A_\), что
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>A_(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)),\quad при \ x \rightarrow x^<0>.\label
$$

Функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки \(x^<0>\) функция \(f(x)\) может быть представлена в следующем виде:
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_^f_(x)(x_ — x_^<0>)\label
$$
где функции \(f_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство \(\psi(x) = o(\rho(x, x^<0>))\) при \(x \longrightarrow x^<0>\) означает, что \(\psi(x) = \varepsilon(x)\rho(x, x^<0>)\), где \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon(x) = 0\).

Доопределим функции \(\varepsilon_(x)\) в точке \(x^<0>\) по непрерывности, полагая \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon_(x) = \varepsilon_(x^<0>) = 0\).

Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] + y^<4>>\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\).

\(\vartriangle\) Покажем, что существует число \(C > 0\) такое, что для любых \(x \in \boldsymbol \) и \(y \in \boldsymbol \) справедливо неравенство
$$
|\sqrt [3] + y^<4>> — x| \leq C |y|^<4/3>\label
$$

Если \(y = 0\), то неравенство \eqref справедливо при любом \(C\). Пусть \(y \neq 0\). Положим \(t = xy^<-4/3>\). Тогда неравенство \eqref эквивалентно неравенству \(\vert \psi(t) \vert Пример 2.

Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>\nonumber
$$
недифференцируема в точке (0,0).

\(\triangle\) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке \((0,0)\), тогда, согласно определению, существуют числа \(A\) и \(B\) такие, что
$$
f(x, y) — f(0, 0) = Ax + By + o(\rho),\quad \rho = \sqrt + y^<2>>,\nonumber
$$
где \(f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>, \ f(0, 0) = 0, \ A =\displaystyle \frac<\partial f(0, 0)> <\partial x>= 1, \ B = \frac<\partial f(0, 0)> <\partial y>= 1\).

Пусть \(x = y > 0\), тогда
$$
\sqrt [3] <2>x = 2x + o(x)\nonumber
$$
или \((\sqrt [3] <2>— 2) x = o(x)\) при \(x \rightarrow 0\), что противоречит определению символа \(o(x)\). Следовательно, функция \(\sqrt [3] + y^<3>>\), недифференцируема в точке \((0, 0)\).

Второй способ. Если функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:
$$
\sqrt [3] + y^<3>> = x \varphi (x, y) + y \psi (x, y),\label
$$
где функции \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) непрерывны в точке \((0,0)\).

Пусть \(k\) — произвольное число. Положим в \eqref \(y = kx\). Тогда
$$
\sqrt[3]<1 + k^<3>>=\varphi(x,kx)+k\psi(x,kx).\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(x \rightarrow 0\) и пользуясь непрерывностью функций \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) в точке \((0,0)\), получаем, что при любом \(k\) выполняется равенство
$$
\sqrt [3] <1 + k^<3>> = \varphi (0, 0) + k \psi (0, 0) = a + kb.\nonumber
$$
Это неверно, так как функция \(\sqrt [3] <1 + k^<3>>\) не есть линейная функция (ее вторая производная по \(k\) не обращается тождественно в нуль). \(\blacktriangle\)

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^ <0>\in R^\), то она имеет в точке \(x^<0>\) все частные производные \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<1, n>\), и
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>))\quad при\ x \rightarrow x^<0>.\label
$$

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда найдутся такие числа \(A_<1>, \ldots, A_\), что при \(x \rightarrow x^<0>\) будет выполнено равенство \eqref. Пусть в этом равенстве \(x_ <1>\neq x_<1>^<0>\), а \(x_ <2>= x_<2>^<0>, \ldots, x_ = x_^<0>\). Тогда равенство \eqref принимает следующий вид:
$$
f(x_<1>, x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>) — f(x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>) = A_ <1>(x_ <1>— x_<1>^<0>) + o (|\Delta x_<1>|)\nonumber
$$
при \(x_ <1>— x_<1>^ <0>= \Delta x_ <1>\longrightarrow 0\).

Аналогично доказывается, что у функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\) существуют и остальные частные производные и что
$$
A_ = \frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<2, n>.\nonumber
$$

Подставляя эти выражения в равенство \eqref, получаем \eqref. \(\bullet\)

Так как функция \(f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>\) примера 2 недифференцируема в точке \((0,0)\), то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке. Так, функция
$$
f(x, y) = \begin
\displaystyle\frac<2xy> + y^<2>> & \text <при \(x^<2>+ y^ <2>> 0\)>\\
0 & \text<при \(x = y = 0\)>
\end\nonumber
$$
не имеет предела при \(x, y) \rightarrow (0, 0)\), а поэтому и не является непрерывной в точке \((0,0)\). Тем не менее у этой функции в точке \((0,0)\) существуют обе частные производные:
$$
\frac<\partial f><\partial x>(0,0) = \lim_<\substack>\frac = 0,\quad \frac<\partial f><\partial y>(0,0) = 0.\nonumber
$$

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Если все частные производные \(\frac<\partial f><\partial x_>(x),\ i = \overline<1, n>\), определены в окрестности точки \(x^ <0>\in R^\) и непрерывны в точке \(x^<0>\), то функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции \(\displaystyle \frac<\partial f><\partial x>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial y>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial z>(x, y, z)\), определены в некотором шаре \(S_<\varepsilon>(x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) и непрерывны в центре шара \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\).

Запишем приращение функции в следующем виде:
$$
f(x, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>) = f(x, y, z) — f(x^<0>, y, z) +\\+ f(x^<0>, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z) + f(x^<0>, y^<0>, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>).\nonumber
$$

Пусть \(x^ <0>0\)>\\
0, & \text<при \(x = y = 0\)>
\end\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\), так как
$$
f(x, y) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o(\sqrt + y^<2>>)\nonumber
$$
при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\).

Но при \(x^ <2>+ y^ <2>> 0\) частная производная
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x, y) = 2x \sin \frac<1> <\sqrt+ y^<2>>> — \frac <\sqrt+ y^<2>>> \cos \frac<1> <\sqrt+ y^<2>>>\nonumber
$$
не имеет предела при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке \((0,0)\). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что \(\displaystyle\frac<\partial f (x, 0)><\partial x>\) не имеет предела при \(x \rightarrow 0\).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть функции \(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)\) дифференцируемы в точке \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>) \in R^,\ y^ <0>= (\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_ (x^<0>)) \in R^\) и функция \(f(y) = f(y_<1>, \ldots, y_)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\).

\(\circ\) Так как функция \(f(y)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\), то в силу теоремы 1 найдутся функции \(f_(y),\ y = \overline<1, m>\), непрерывные в точке \(y^ <0>= (y_<1>^<0>, \ldots, y_^<0>)\) и такие, что
$$
f(y) — f(y^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>f_(y)(y_ — y_^<0>),\quad f_(y^<0>) = \frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>).\label
$$

Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции
$$
\psi_ (x) = f_(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)),\quad j = \overline<1, m>,\label
$$
непрерывны в точке \(x^<0>\), причем
$$
\psi_ (x^<0>) = f_(\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_ (x^<0>)) = f_(y^<0>) = \frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>).\label
$$

Подставив в \eqref \(y_ <1>= \varphi_ <1>(x), \ldots, y_ = \varphi_ (x)\) и воспользовавшись обозначениями \eqref, получаем
$$
\Phi (x) — \Phi (x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\psi_(x)(\varphi_ (x^<0>) — \varphi_ (x^<0>)).\label
$$

Но функции \(\varphi_ (x^<0>),\ j = \overline<1, m>\), дифференцируемы в точке \(x^<0>\), поэтому найдутся такие непрерывные в точке \(x^<0>\) функции \(\varphi_(x)\), что
$$
\begin
\displaystyle \varphi_ (x) — \varphi_ (x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\varphi_(x)(x_ — x_^<0>),\quad \varphi_(x^<0>)=\frac<\partial \varphi_><\partial x_>(x^<0>),\\ i = \overline<1, n>,\quad j = \overline<1, m>.
\end\label
$$

Так как функции \(\psi_(x)\) и \(\varphi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\), то и функции \(\Phi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\). А это означает, что сложная функция \(\Phi(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) (теорема 1).

Вторая из формул \eqref дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема во всех точках пространства \(R^<2>\). Перейти к полярным координатам и найти выражения для \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial r>\) и \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial \varphi>\).

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда при \(x \rightarrow x^<0>\) ее можно записать в виде \eqref:
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f(x^<0>)><\partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)).\nonumber
$$

Положим по определению
$$
dx_ = \Delta x_ = x_ — x_^<0>.\nonumber
$$

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\), то линейную форму относительно приращений независимых переменных
$$
df(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>)dx_\label
$$
назовем дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\). Тогда
$$
f(x) = f(x^<0>) + d f(x^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)) \ \mbox <при>\ x \rightarrow x^<0>.\nonumber
$$

Иногда выражение \eqref называют первым дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\).

Если бы \(y_<1>, \ldots, y_\) были независимыми переменными, то \(df(y^<0>)\) отличался бы от дифференциала сложной функции \eqref только тем, что в выражении \eqref \(dy_(x^<0>)\) — дифференциалы функций \(\varphi_\), а в
$$
df(y^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>)dy_\nonumber
$$
\(dy_\) — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.

Инвариантность формы первого дифференциала является весьма удобным его свойством. При записи \(df(y^<0>)\) в виде \eqref мы можем не задумываться о том, являются ли переменные \(y_<1>, \ldots, y_\) независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бывает затруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества \(G \subset R^\). Тогда в каждой точке \(x \in G\) можно вычислить дифференциал
$$
df(x) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(y^<0>)dx_.\nonumber
$$

Он будет функцией \(2n\) переменных \(x_<1>, \ldots, x_\), \(dx_<1>, \ldots, dx_\), причем при фиксированных \(x_<1>, \ldots, x_\) дифференциал есть линейная функция \(dx_<1>, \ldots, dx_\). Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:

Докажем, например, что \(d(uv) = u\ dv + v\ du\).

Найти дифференциал функции \(\displaystyle\operatorname\frac\).

Формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в выпуклой области \(G \subset R^\). Напомним, что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек \(x = (x_<1>, \ldots, x_) \in G,\ y = (y_<1>, \ldots, y_) \in G\) найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что
$$
f(y) — f(x) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial y_>(x + \theta(y — x))(y_ — x_).\label
$$

Формула \eqref называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.

\(\circ\) Пусть точки \(x, y \in G\). Так как область \(G\) выпукла, то отрезок, соединяющий точки \(x\) и \(y\), лежит в области \(G\). Поэтому определена функция одной переменной
$$
\varphi (t) = f(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), \ldots, x_ + t(y_ — x_)),\ 0 \leq t \leq 1.\label
$$

Очевидно, что \(\varphi (0) = f(x),\ \varphi (1) = f(y)\) и что функция \(\varphi (t)\) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем
$$
\varphi'(t) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), \ldots, x_ + t(y_ — x_))(y_ — x_).\label
$$

Применим к функции \(\varphi (t)\) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что \(\varphi (1) — \varphi (0) = \varphi’ (\theta)\). Используя формулы \eqref и \eqref, теперь легко получаем формулу \eqref. \(\bullet\)

Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема на открытом множестве \(G \subset R^<2>\). Рассмотрим ее график
$$
\operatorname f = \<(x, y, z):\ z = f(x, y),\ (x, y) \in G\>.\nonumber
$$

Пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на \(\operatorname f\), то есть \(z_ <0>= f(x_<0>, y_<0>)\), и пусть гладкая кривая
$$
\Gamma = \\nonumber
$$
лежит на графике и проходит через точку \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Это означает, что
$$
z(t) = f(x(t), y(t));\ (x(t_<0>),\ y(t_<0>),\ z(t_<0>) = (x_<0>, y_<0>, z_<0>),\ t_ <0>\in (\alpha, \beta).\label
$$

Дифференцируя тождество \eqref в точке \(t_<0>\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
dz = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)dx + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)dy.\label
$$

Вектор \(d \tau = (dx, dy, dz)\) есть касательный вектор к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Введем вектор
$$
\textbf = \left(- \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>),\ — \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>),\ 1\right).\label
$$

Условие \eqref означает, что вектор \(\textbf\) ортогонален к касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Говорят, что вектор \(\textbf\) ортогонален к кривой \(\Gamma\) в точке \(P\). Но \(\Gamma\) — любая гладкая кривая, лежащая на \(\operatorname f\) и проходящая через точку \(P\). Поэтому вектор \(\textbf\) ортогонален к любой кривой, лежащей на \(\operatorname f\) и проходящей через точку \(P\). Он называется вектором нормали к \(\operatorname f\) в точке \(P\).

Плоскость, проходящая через точку \(P\) и ортогональная вектору нормали \(\textbf\), называется касательной плоскостью к \(\operatorname f\) в точке \(P\). Ее уравнение есть
$$
Z — f(x_<0>, y_<0>) = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)(X — x_<0>) + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)(Y — y_<0>).\label
$$

Прямая, проходящая через точку \(P\) и параллельная вектору \(N\), называется нормалью к \(\operatorname f\) в точке \(P\). Ее уравнение —
$$
\frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = \frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = Z — f(x_<0>, y_<0>).
$$

Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in \operatorname f\).

Таким образом, \(d\ f(x_<0>, y_<0>)\) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).

инвариантность формы полного дифференциалаРис. 26.1

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция \(f(x, y, z)\) определена в области \(G \subset R^<3>\), и пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению
$$
\textbf = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma),\nonumber
$$
где
$$
\cos^ <2>\alpha + \cos^ <2>\beta + \cos^ <2>\gamma = 1.\nonumber
$$

Если функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\), то производную по направлению \(\textbf\) в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = \left.\frac

f(x_ <0>+ t\cos \alpha,\ y_ <0>+ t\cos \beta,\ z_ <0>+ t\cos \gamma)\right|_=\\= \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \alpha + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \beta + \frac<\partial f><\partial z>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \gamma.\label
$$

\(\circ\) Формула \eqref есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. \(\bullet\)

Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
$$
\nabla = \textbf\frac<\partial> <\partial x>+ \textbf\frac<\partial> <\partial y>+ \textbf\frac<\partial><\partial z>\label
$$
и договориться, что векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, \(\nabla\) действует как дифференциальный оператор, то
$$
(\textbf, \nabla) =\cos \alpha \frac<\partial> <\partial x>+ \cos \beta \frac<\partial> <\partial y>+ \cos \gamma \frac<\partial><\partial z>.\nonumber
$$
Тогда формулу \eqref можно записать через оператор Гамильтона
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = (\textbf, \nabla)f(x_<0>, y_<0>, z_<0>).\nonumber
$$

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *