Как рассчитать хорду окружности

29.08.202229.08.2022 admin 0 Комментариев

Как рассчитать хорду окружности

Длина хорды окружности

Определение длины хорды окружности

Формула расчёта длинны хорды

Длина хорды окружности может быть определена по формуле:

r – радиус окружности

O – центр окружности

α – центральный угол

Следует заметить, что такую величину, как длина хорды, инженерам, конструкторам различных машин и механизмов, а также архитекторам приходится вычислять не так уж и редко. Чаще всего этот параметр необходим для того, чтобы правильно сконструировать и разметить весьма распространенные в технике фланцевые соединения.

Основные их элементы, фланцы, представляют собой плоские кольца, на которых на одинаковом друг от друга расстоянии располагаются отверстия, куда устанавливаются резьбовые шпильки или болты. Фланцы используются для соединения между собой участков различных трубопроводов и валов, причем применяются они в большинстве случаев попарно. Для того чтобы определить, в каких именно местах при изготовлении этих деталей следует просверлить отверстия, необходимо знать, какова длина хорды окружности, проходящей через их центры. При этом имеется в виду та хорда, которая располагается между центрами соседних отверстий. Зная этот параметр, можно не только составить правильный чертеж, по которому в дальнейшем будут производиться фланцы, но и впоследствии проконтролировать точность их изготовления. С большой точностью определить такой параметр, как длина хорды, требуется и тогда, когда разрабатываются детали машин и механизмов, имеющих форму криволинейных скоб: именно он определяет расстояние между конечными точками этих изделий.

Важную роль длина хорды играет и в баллистике – науке, изучающей движение тел, брошенных в пространстве. Дело в том, что перемещаются они по эллиптической траектории, и для того чтобы определить такой параметр, как, скажем, расстояние по прямой, которое при тех или иных условиях преодолеет пуля или баллистическая ракета, требуется вычислить именно длину хорды. При этом специалистами используются достаточно сложные математические методы и формулы, учитывающие большое количество различных параметров, и для того, чтобы определить такую, казалось бы, простую величину, как длина хорды, в баллистике широко применяется современная высокопроизводительная вычислительная техника.

Что касается хорд в архитектуре, то их чаше всего можно встретить там, где используются различные сводчатые и арочные конструкции. Например, для того, чтобы точно рассчитать ширину дверного проема, верхняя часть которого выполнена в виде арки, требуется вычислить именно такой параметр, как длина хорды. При проектировании строений, которые увенчаны куполами (например, христианские храмы), архитекторам также в обязательном порядке нужно пользоваться формулами расчета хорд для того, чтобы правильно определить параметры снования этих конструкций (например, требуемые их диаметры).

Источник

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Тогда справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Источник

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Источник

Хорда — это геометрическая струна

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы подробно расскажем, что такое ХОРДА.

Слово это имеет древнегреческие корни и переводится как «струна».

Это очень точно характеризует ее внешний вид, так как хорда представляет собой прямую линию.

Хорда — это.

Термин ХОРДА применяется сразу в нескольких областях:

В геометрии хорда – это часть прямой, которая проходит между двумя точками на окружности или эллипсе;

Но в рамках этой статьи мы подробно рассмотрим первый вариант значения термина ХОРДА. Тот, который применяют в геометрии, и который школьники подробно изучают в 7 классе.

Что такое хорда в геометрии

Хорда – это отрезок прямой, которая проходит через две точки на любой кривой линии. Это могут быть окружность, эллипс, гипербола или парабола.

Выглядит хорда вот так:

На этом рисунке изображены сразу две хорды – AB и CD. А есть еще частный случай, когда хорда проходит через центр окружности.

Такая хорда, на данном рисунке это отрезок AB, будет являться диаметром окружности. И как нетрудно догадаться, это самая длинная хорда, которая может быть для данного примера.

Свойства хорды

Если сравнивать хорду с другими частями окружности, то можно вывести целый ряд закономерностей.

Например, хорда и радиус:

Хорда и диаметр:

Хорда и центр окружности:

И еще одно свойство хорд в окружности. Если взять уже знакомый нам рисунок расположенный сразу под определением, то при пересечении хорд получается вот такая зависимость – произведение частей одной хорды равна произведению частей другой:

Как рассчитать длину хорды

Длина хорды – это расстояние от одной точки пересечения с окружностью до другой. Чаще всего она обозначается латинской буквой «L».

Чтобы рассчитать длину хорды, надо знать значение радиуса и центрального угла. Формула выглядит так:

Вот и все, что мы хотели рассказать о ХОРДЕ.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Не знаю, что делать школьникам с этими знаниями, вот мне эти хорды нигде не пригодились, далеко не всю геометрию можно направить в практическое русло.

Источник

Как найти хорду окружности?

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой. Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью. Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

angle AOB = 2 angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

angle ADB = angle AEB = angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ .

angle ADB + angle AKB = 180^

angle ADB = angle AEB = angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac<1> <2>left ( cup DmC + cup AlB ight )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

angle M = angle CBD — angle ACB = frac<1> <2>left ( cup DmC — cup AlB ight )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^< circ>.

angle A + angle C = angle B + angle D = 180^

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

Источник

Секущая и хорда окружности

Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?

Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь.

Зная свойства секущих и хорд в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!

Секущая и хорда окружности — коротко о главном

Секущая окружности

Здесь \( \displaystyle AC\) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Хорда окружности

Здесь \( \displaystyle BC\) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle AСB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\). Тогда:

\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha\).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется:

\( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Теорема о секущей и касательной

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно:

\( \displaystyle A<^<2>>=AD\cdot AE\).

А теперь подробнее…

Определения секущей и хорды окружности

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинки.

Здесь \( \displaystyle AC\) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Здесь \( \displaystyle BC\) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда \( \displaystyle BC\) является кусочком секущей \( \displaystyle AC\)?

Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас \( \displaystyle AB\) – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущей и хорде окружности?

Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теорема синусов» и «Теорема косинусов» — с длины хорды в окружности.

Длина хорды окружности

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle ACB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\).

Тогда \( \Large\frac<\sin \alpha >=2R\)

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды окружности можно найти по формуле:

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.

Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Произведение длин отрезков хорд окружности

Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Произведение длин отрезков секущих окружности

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Источник

Хорда окружности

На одном из последних заказов пришлось освежить свои знания геометрии. Давайте сделаем это вместе.

Что такое хорда

Хорду окружности можно определить как отрезок прямой, соединяющий любые две точки на окружности. Следует отметить, что диаметр является самой длинной хордой окружности, которая проходит через центр окружности. На рисунке ниже изображен круг и его хорда.

В данном круге с O в качестве центра, AB представляет диаметр круга (самая длинная хорда), OE обозначает радиус круга и CD представляет собой хорду круга.

Формула длины хорды

Существует две основные формулы для нахождения длины хорды круга:

заметки, математика, геометрия

Источник

Расчет длины хорды окружности – Формула длины хорды окружности

Длина хорды окружности

Определение длины хорды окружности

Длина хорды окружности может быть определена по формуле:

r – радиус окружности

O – центр окружности

α – центральный угол

Формула высоты сегмента круга

Сегмент — часть круга ABC, отсеченная хордой AC

h — высота сегмента ABC

L — хорда AC

R — радиус кружности

O — центр окружности

α — центральный угол AOC

Формула высоты через радиус и центральный угол, (h):

Сегмент круга — расчет параметров онлайн

Данный калькулятор считает параметры сегмента круга, а именно:

Перед вами 2 калькулятора, чтобы рассчитать параметры сегмента:

1) сегмент круга решается с помощью радиуса (R) и угла (A).

2) сегмент круга находим с помощью высоты и длины хорды.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

It is expected a positive number.

It is expected a positive integer.

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

Фигура

Рисунок

Определение и свойства

Окружность

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

При пользовании таблицей при радиусах, не равных 1, следует:

Центральный угол в градусах

Длина дуги l

Стрелка h

1/h

Площадь сегмента

1	0,0175	0,0000	458,36	0,0175	0,00000
2	0,0349	0,0002	229,19	0,0349	0,00000
3	0,0524	0,0003	152,79	0,0524	0,00001

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

При пользовании таблицей при радиусах, не равных 1, следует умножить l, h и C на величину радиуса, а площадь сегмента умножить на квадрат радиуса.
При данной длине дуги l и стрелке h находим r=l:l_o, где l_o-длина дуги, соответствующая данному отношению l:h при r=1. Если r — радиус круга и α — центральный угол в градусах, то получаем:

Центральный угол в градусах

Длина дуги l_o

Стрелка h

1/h

Длина хорды с

Площадь сегмента

10,01750,0000458,360,01750,0000020,03490,0002229,190,03490,0000030,05240,0003152,790,05240,0000140,06980,0006114,600,06980,0000350,08730,001091,690,08720,0000660,10470,001476,410,10470,0001070,12220,001964,010,12210,0001580,13960,002456,010,13950,0002390,15710,003150,960,15690,00032100,17490,003845,870,17430,00044110,19200,004641,700,19170,00059120,20940,005538,230,20910,00076130,22690,006435,280,22640,00097140,24430,007532,780,24370,00121150,26180,008630,600,26110,00149160,27930,009728,040,27830,00181170,29670,011027,010,29560,00217180,31420,012325,350,32190,00257190,33160,013724,170,33010,00302200,34910,015222,980,34730,00352210,36650,016721,950,36450,00408220,38400,018420,900,38160,00468230,40140,020120,000,39870,00535240,41890,021919,170,41580,00607250,43630,023718,470,43290,00686260,45380,025617,710,44990,00771270,47120,027617,060,46690,00862280,48870,029716,450,48380,00961290,50610,031915,890,50080,01087300,52360,034115,370,51760,01180310,54110,036414,880,53450,01301320,55850,038714,420,55130,01429330,57600,041213,990,56800,01566340,59340,043713,580,58470,01711350,61090,046313,200,60140,01864360,62830,048912,840,61800,02027370,64580,051712,500,63460,02198380,66320,054512,170,65110,02378390,68070,057411,870,66760,02568400,69810,060311,580,68400,02767410,71560,063311,300,70040,02976420,73300,066411,040,71670,03195430,75050,069610,780,73300,03425440,76790,072810,550,74920,03664450,78540,076110,320,76540,03915460,80290,079510,100,78150,04176470,82030,08299,800,79750,04448480,83780,08659,690,81350,04731490,85520,09009,500,82940,05025500,87270,09379,310,84520,05331510,89010,09749,140,86100,05649520,90760,10128,970,87670,05978530,92500,10518,800,89240,06319540,94250,10908,650,90800,06673550,95990,11308,490,92350,07039560,97740,11718,350,93890,07417570,99480,12128,210,95430,07808581,01230,12548,070,96960,08212591,02970,12967,940,98480,08629601,04720,13407,811,00000,09059611,06470,13847,691,01510,09502621,08210,14287,561,03010,09958631,09960,14747,461,04500,10428641,11700,15207,351,05980,10911651,13450,15667,241,07460,11408661,15190,16137,141,08930,11919671,16940,16617,041,10390,12443681,18680,17106,941,11840,12982691,20430,17596,851,13280,13535701,22170,18086,761,14720,14102711,23920,18596,671,16140,14683721,25660,19106,581,17560,15270731,27410,19616,501,18960,15889741,29150,20146,411,20360,15514751,30900,20666,341,21750,17154761,32650,21206,261,23120,17808771,43390,21746,181,24500,18477781,36140,22296,111,25860,19160791,37880,22846,041,27220,19859801,39630,23405,971,28560,20573811,41370,23965,901,29890,21301821,43120,24535,831,32210,22045831,44860,25105,771,32520,22804841,46610,25695,711,33830,23578851,47350,26275,651,35120,24367861,50100,26865,591,36400,25171871,51840,27465,531,37670,25990881,53590,28075,471,38930,26825891,55530,28675,421,40180,27675901,57080,29295,361,41420,28540911,58820,29915,311,42650,29420921,60570,30535,261,43870,30316931,62320,31165,211,45070,31226941,64060,31805,161,46270,32152951,65800,32445,111,47460,33093961,67550,33095,061,48630,34050971,69300,33745,021,49790,35021981,71040,34394,971,50940,36008991,72790,35064,931,52080,370091001,74530,35724,891,53210,380261011,76280,36394,841,54320,390501021,78020,37074,801,55430,401041031,79770,37754,761,56520,411661041,81510,38434,721,57,600,422421051,83260,39124,681,58670,433331061,85000,39824,651,59730,444391071,86750,40524,611,60770,455601081,88500,41224,571,61800,466951091,90240,41934,541,62820,478451101,91990,42644,501,63830,490081111,93730,43364,471,64830,501871121,95480,44084,431,65810,513791131,97220,44814,401,66780,525861141,98970,45544,371,67730,538071152,00710,46274,341,68680,550411162,02460,47014,311,69610,563891172,04200,47754,281,70530,575511182,05950,48504,251,71430,588271192,07690,49254,221,72330,601161202,09440,50004,191,73210,614181212,11180,50764,161,74070,627341222,12930,51524,131,74920,640631232,14680,52284,111,75760,654041242,16420,53054,081,76590,667591252,18170,53874,051,77400,681251262,19910,54604,031,78200,695051272,21660,55384,001,78990,708971282,23400,56163,981,79760,723011292,25150,56953,951,80520,737161302,26890,57743,931,81260,751441312,28640,58533,911,81990,765841322,30380,59333,881,82770,780341332,32130,60133,861,83410,794971342,33870,60933,841,84100,809701352,35620,61733,821,84780,824541362,37360,62543,801,85450,839491372,39110,63353,771,86080,854551382,40860,64163,751,86720,869711392,41600,64983,731,87330,884971402,44350,65803,711,87940,900341412,46090,66623,691,88530,915801422,47840,67443,671,89100,931351432,49580,68273,661,89660,947001442,51330,29103,641,90210,962741452,53070,69933,621,90740,978581462,54820,70763,601,91260,994491472,56560,71603,581,91761,010501482,58310,72443,571,92251,026581492,60050,73283,551,92731,042751502,61800,74123,531,93191,059001512,63540,74963,521,93631,075321522,64290,75813,501,94061,091711532,67040,76663,481,94471,108181542,68780,77503,471,94871,124721552,70530,78363,451,95261,141321562,72270,79213,441,95631,157991572,74020,80063,421,95981,174721582,75760,80923,411,96331,191511592,77520,81783,391,96651,208351602,79250,82643,381,96961,225251612,81000,83503,371,97261,242211622,82740,84363,351,97541,259211632,84490,85223,341,97801,276261642,86230,86083,331,98051,293351652,87980,86953,311,98291,310491662,89720,87813,301,98511,327661672,91470,88683,281,98711,344871682,93220,89553,271,98901,362121692,94960,90423,261,99081,379401702,96710,91283,251,99241,396711712,98450,92153,241,99381,414041723,00200,93023,231,99511,431401733,01940,93903,221,99631,448781743,03690,94773,201,99731,466171753,05430,95643,191,99811,483591763,07180,96513,181,99881,501011773,08920,97383,171,99931,518451783,10670,98253,161,99971,535891793,12410,99133,151,99991,553341803,14161,00003,142,00001,57080

Пример 1.

Вычислить радиус окружности, у которой при стрелке h=2 мм длина дуги l=10 мм.

Находим l/h=10/2=5. Из таблицы определяем l_o≈ 1,6930, r=l/ l_o=10/1,6930=5,9 мм.

Пример 2.

Вычислить стрелку h дуги окружности радиусом r=50 мм при центральном угле α=30 o

Из таблицы находим h=0,0341*50=1,705 мм.

Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты.

Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты. Опа-на! Не путаем диаметр и радиус!

Число
сегментов n

Длина одной хорды
L

Суммарная длина
хорд, L*n

Источник

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Термин «хорда» используется в различных науках. Например, в биологии это означает скелетный гибкий стержень, в математике — отрезок, вписанный в окружность. В геометрии хорда окружности — это отрезок, который соединяет две точки окружности. Она является частью секущей, проведенной через окружность.

Хорда в геометрии

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Касательная и секущая

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Источник

Формула хорда – Формула длины хорды окружности

Хорда

Определение хорды

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом.

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

Задачи про окружность | Описание курса | Треугольник (Трикутник)

Хорда (геометрия) — это… Что такое Хорда (геометрия)?

Хорда в планиметрии — отрезок прямой линии, соединяющей две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы).

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегмент.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметр. Диаметр — это самая длинная хорда в окружности.

Свойства хорд

Дуга AB равна дуге CD. Дуга BC равна дуге DA

Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AE×EB = CE×ED

Основные формулы

Связанные понятия и утверждения

Ссылки

Длина хорды: основные понятия

Бывают случаи в жизни, когда знания, полученные во время школьного обучения, очень полезны. Хотя во время учебы эти сведения казались скучными и ненужными. Например, как можно использовать информацию о том, как находится длина хорды? Можно предположить, что для специальностей, не связанных с точными науками, такие знания малопригодны. Однако можно привести много примеров (от конструирования новогоднего костюма до сложного устройства аэроплана), когда навыки решения задач по геометрии являются нелишними.

Понятие «хорда»

Данное слово означает «струна» в переводе с языка родины Гомера. Оно было введено математиками древнего периода.

Хордой обозначают в разделе элементарной геометрии часть прямой линии, которая объединяет две любые точки какой-либо кривой (окружности, параболы или эллипса). Другими словами, данный связующий геометрический элемент находится на прямой, пересекающей заданную кривую в нескольких точках. В случае окружности длина хорды заключена между двумя точками этой фигуры.

Часть плоскости, ограниченная прямой, пересекающей окружность, и ее дугой называют сегментом. Можно отметить, что с приближением к центру длина хорды увеличивается. Часть окружности, находящуюся между двумя точками пересечения данной прямой, называют дугой. Ее мерой измерения является центральный угол. Вершина данной геометрической фигуры находится в середине круга, а стороны упираются в точки пересечения хорды с окружностью.

Свойства и формулы

Длина хорды окружности может быть вычислена по следующим условным выражениям:

L =D×Sinβ или L=D×Sin(1/2α), где β – угол при вершине вписанного треугольника;

D – диаметр окружности;

α – центральный угол.

Можно выделить некоторые свойства данного отрезка, а также других фигур, связанных с ним. Эти моменты приведены в следующем списке:

Другие вычисления

Чтобы найти длину дуги окружности, которая заключена между концами хорды, можно использовать формулу Гюйгенса. Для этого необходимо провести такие действия:

Длина хорды может использоваться в различных сферах. Например, при расчетах и конструировании фланцевых соединений, которые широко распространены в технике. Также можно увидеть вычисление этой величины в баллистике для определения расстояния полета пули и так далее.

Хорда (геометрия) — Википедия. Что такое Хорда (геометрия)

Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда в окружности.

Свойства хорд окружности

Хорда и расстояние до центра окружности

Хорда и диаметр

Хорда и радиус

Хорда и вписанный угол

Хорда и центральный угол

Хорда и дуга

Другие свойства

Свойства хорд эллипса

Основные формулы

Связанные понятия

Ссылки

что такое хорда и как найти её длину

Учебник скурили штоль?

отрезок прямой линии, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы). длина (l) = 2rsin (a/2)

Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности, самая большая хорда. Длина хорды окружности может быть определена по формуле: Длина хорды формула L = 2r × sin ( α / 2 ) r – радиус окружности α – центральный угол

В элементарной геометрии хордой называют отрезок прямой линии, который соединяет две точки, лежащие на некоторой кривой (окружности, эллипсе, параболе). Хорда, которая проходит через центр окружности, называется ее диаметром. Длина хорды окружности может быть определена по формуле: Длина хорды формула L = 2r × sin ( α / 2 ) L – хорда r – радиус окружности O – центр окружности α – центральный угол

Хорда — отрезок соединяющий любые две Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. точки окружности.

Хорда? Что такое хорда в геометрии?

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зеленым цветом), 4 — дуга Хорда в планиметрии — отрезок прямой линии, соединяющей две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы). Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегмент. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметр. Диаметр — это самая длинная хорда в окружности. Содержание 1 Свойства хорд 2 Основные формулы 3 Связанные понятия и утверждения 4 Ссылки Свойства хорд Хорды являются равноудаленными от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине. Перпендикуляр с середины хорды окружности проходит через центр этой окружности. Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам. Дуги, заключенные между равными хордами, равны. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Дуга AB равна дуге CD. Дуга BC равна дуге DA Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AE×EB = CE×ED Основные формулы Длина хорды: L = 2 R \sin(\frac<\alpha><2>) Связанные понятия и утверждения Касательная Диаметр Теорема Сальмона Ссылки Справочник. Окружности. Архивировано из первоисточника 3 декабря 2012. Есть более полная статья Категория: Планиметрия Wikimedia Foundation. 2010. ХоргошХорев (Локачинский район) Смотреть что такое «Хорда (геометрия) » в других словарях: Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия Хорда окружности — Окружность и её центр Окружность геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. В Викисловаре есть статья «окружность» Вписанная окружность Описанная окружность Окружность Аполлония Единичная… … Википедия Лобачевского геометрия — Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… … Википедия Начертательная геометрия — Начертательная геометрия инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов. Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов … Википедия Начертательная геометрия* — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. При обыкновенном способе изображения предметов линии,… … Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона Начертательная геометрия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. При обыкновенном способе изображения предметов линии,… … Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона Плоскость Лобачевского — Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… … Википедия История тригонометрии — Геодезические измерения (XVII век) … Википедия Диаметр — в изначальном значении это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам. Содержание 1 Диаметр ге

Что такое хорда. А что такое учебник по геометрии ты знаешь? Лень школоло уже переходит все границы

линия между двумя точками окружности или спирали, хорда проведенная через центр является диаметром

Хорда- прямая, соединяющая две точки кривой линии.

Хорда (геометрия) — Gpedia, Your Encyclopedia

Источник

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Касательная и секущая

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Источник

Как вычислить хорду окружности

Согласно определению кривой линии в аналитической геометрии она представляет собой некоторый набор точек. Если любую пару таких точек соединить отрезком, его можно будет назвать хордой. Вне пределов высших учебных заведений чаще всего рассматривают хорды, относящиеся к кривым правильной формы, и в большинстве случаев этой кривой оказывается окружность. Вычислить длину хорды, соединяющей две точки окружности, не очень сложно.

Если провести два радиуса в точки окружности, ограничивающие хорду, угол между ними будет называться «центральным». При известной величине этого угла (θ) и радиусе окружности (R) длину хорды (d) определите, рассмотрев равнобедренный треугольник, который образуют эти три отрезка. Так как известный угол лежит напротив искомой стороны (основания треугольника), формула должна содержать произведение удвоенного радиуса на синус половины этого угла: d = 2*R*sin(θ/2).

Две точки, лежащие на окружности, вместе с хордой задают и границы некоторой дуги на этой кривой. Длина дуги (L) однозначно определяет величину центрального угла, поэтому, если она приведена в условиях задачи вместе с радиусом окружности (R), рассчитать длину хорды (d) тоже будет возможно. Величину угла в радианах выражает отношение длины дуги к радиусу L/R, а в градусах эта формула должна выглядеть так: 180*L/(π*R). Подставьте ее в равенство предыдущего шага: d = 2*R*sin((180*L/(π*R))/2) = 2*R*sin(90*L/(π*R)).

Знание площади сектора (S), вырезанного в круге двумя известными радиусами (R), проведенными в крайние точки хорды, тоже позволит рассчитать длину этой хорды (d). Величина центрального угла в этом случае может быть определена как отношение между удвоенной площадью и возведенным в квадрат радиусом: 2*S/R². Подставьте это выражение в ту же формулу из первого шага: d = 2*R*sin((2*S/R²)/2) = 2*R*sin(S/R²).

Источник

Хорда окружности ℹ️ определение, свойства, формула, теорема

Хорда — это

Термин ХОРДА применяется сразу в нескольких областях:

В геометрии хорда – это часть прямой, которая проходит между двумя точками на окружности или эллипсе;

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

Видео

Касательная и секущая

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.

Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Произведение длин отрезков хорд окружности

Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Произведение длин отрезков секущих окружности

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Свойства хорды и вписанного угла

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды	Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности	Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.