Как решать линейные уравнения
Как решать линейные уравнения
Решение линейных уравнений 7 класс
Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).
Свойство № 1
или
правило переноса
Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.
Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.
Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.
Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».
Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.
Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.
Рассмотрим другое уравнение.
По правилу переноса перенесем « 4x » из правой части уравнения в левую, поменяв знак на противоположный.
Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».
Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.
Свойство № 2
или
правило деления
Но нельзя делить на неизвестное!
Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.
Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.
Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.
Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».
Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».
Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.
Как решить уравнение, если « x » отрицательное
Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.
Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».
При делении на отрицательное число помните про правило знаков.
Примеры решения линейных уравнений
Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).
Линейные уравнения: определение и решение
Сегодня мы познакомимся с линейными уравнениями. Узнаем, как их решать. Разберём и простые примеры, и довольно хитрые. Это один из важнейших уроков в курсе алгебры 7 класса.
1. Краткая вводная по уравнениям
— это любое равенство, в котором присутствует хотя бы одна переменная.
Мы знаем, что равенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Чтобы проверить это, достаточно вычислить выражение, стоящее с каждой стороны от знака «равно» и сравнить полученные значения: если числа слева и справа одинаковые, то равенство верно. А если числа получились разные — равенство неверное.
С уравнениями всё сложнее. Их нельзя просто взять и вычислить, потому что мы не знаем, какое значение принимает переменная. Но если вместо переменной подставить какое-либо число, то уравнение превращается в обычное равенство — и дальше всё легко.
Итак, есть значения переменных, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. А есть значения, при которых равенство получается неверным. Это позволяет ввести понятие корня уравнения.
Определение. — это такое значение переменной, при подстановке которого это уравнение обращается в верное числовое равенство.
— значит найти все его корни, либо доказать, что таких корней нет.
Существует бесчисленное множество разных уравнений. Одни решаются легко, другие вообще не решаются.
Умение решать такие уравнения — это сложный и очень ценный навык. И сегодня мы начнём осваивать этот навык. Для этого рассмотрим самый простой вид уравнений — линейные.
2. Что такое линейное уравнение
\[\begin
А вот эти уравнения не являются линейными:
2.1. Элементарные преобразования уравнений
Существует ровно три вида преобразований, которые называются элементарными:
Вычтем из обеих частей пятёрку:
3. Решение простых уравнений
Большинство уравнений действительно так и решаются. Взгляните на примеры:
Просто делим обе части уравнения на 5:
Всё то же самое, просто делим на отрицательное число:
Но что делать вот с такими уравнениями?
\[0\cdot x=10;\quad 0\cdot x=0\]
Во втором уравнении корнем наоборот будут все числа. Потому что опять же любое число при умножении на ноль даст ноль — и именно этот ноль от нас и требуется.
3.1. Основной алгоритм
Вот так всё просто. Однако я не хочу, чтобы вы просто зазубрили эти три пункта и бездумно применяли их, когда видите линейное уравнение. Пожалуйста, помните, как и почему возникают эти правила, что такое элементарные преобразования и какие ограничения в них присутствуют (на самом деле ограничение лишь одно: нельзя умножать и делить на ноль).
Делим обе части уравнения на 4:
При решении настоящих уравнений вовсе не обязательно детально комментировать каждый шаг. Достаточно поставить вертикальную черту справа от уравнения и арифметическими знаками пояснить, что именно вы собираетесь делать.
А в будущем и этих пояснений от вас уже не потребуется.
4. Более сложные соображения
В начале урока мы обнаружили, что далеко не все уравнения сводятся к линейным с помощью элементарных преобразований. Существует множество способов преобразовать уравнение, но нам пока доступны лишь три элементарных преобразования и ещё вот такая хитрость:
Теорема. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
А это уже интересный приём, который значительно расширяет наши возможности!
Теперь решим второе. Тут вообще всё просто:
Разумеется, множителей может быть не два, а три и более. Алгоритм решения от этого никак не меняется: приравнять каждый множитель к нулю и решить каждое полученное уравнение отдельно.
5. Практика
Задача 1
Решение. Это линейное уравнение решается через элементарные преобразования:
Задача 2
\[5\left( x+9 \right)=5x+45\]
Решение. Сначала раскроем скобки.
Это действие не является элементарным преобразованием уравнений. Оно вообще не относится к уравнениям — оно относился к выражениям с переменной (точнее, как мы позже узнаем, к многочленам):
\[\begin
Ответ: все числа. Это уравнение имеет бесконечное множество корней.
Задача 3
\[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]
Решение. Вновь сначала раскроем все скобки и упростим полученное выражение:
\[\begin
Дальше остаётся лишь выполнить элементарные преобразования:
Важное замечание
Линейные уравнения
Примеры линейных уравнений:
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Примеры решения линейных уравнений:
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 2 x = − 4 + 4
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
Задания для самостоятельного решения
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
2 − 6 x − 6 = 5 − 4 x
Переносим иксы влево, числа вправо:
− 6 x + 4 x = 5 + 6 − 2
x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?
Решение:
Приравниваем эти два выражения:
№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.
( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 6.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 + x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 − 2 x 2 = 0
Замечаем, что x 2 сокращается:
x 2 − 8 x + 4 2 + x 2 + 18 x + 9 2 − 2 x 2 = 0
− 8 x + 18 x + 16 + 81 = 0
Решение:
Раскроем скобки, используя ФСУ.
( x + 10 ) 2 = ( 5 − x ) 2
x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 10 + 10 2 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ x + x 2
x 2 + 20 x + 100 = 25 − 10 x + x 2
x 2 + 20 x + 100 − x 2 + 10 x − 25 = 0
Решение:
Решение линейных уравнений с одной переменной
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Примеры решения линейных уравнений
Решение
Ответ: x – любое число.
Решение
Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.
Решение
Осуществим деление десятичных дробей:
Полученный результат есть корень заданного уравнения.
Кратко решение запишем так:
Решение
Кратко решение запишем так:
Как решать линейные уравнения
Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
\( \displaystyle ax+by+c=0\), где \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) и \( \displaystyle c\) – любые числа и \( \displaystyle a\ne 0\).
Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример… Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а \( \displaystyle 2\) яблока оставит себе.
Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по \( \displaystyle 1\) яблоку? А по \( \displaystyle 2\)? А если по \( \displaystyle 3\)?
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
\( \displaystyle y=3x+2\), где
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст \( \displaystyle 1\) яблоко, то ему необходимо покупать \( \displaystyle 5\) штук, если даст \( \displaystyle 2\) яблока – \( \displaystyle 8\) и т.д.
И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике?
Строим и отмечаем значение наших \( \displaystyle x\), то есть точки, с координатами \( \displaystyle 1\), \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 3\)!
Как ты видишь, \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) зависят друг от друга линейно, отсюда и название уравнений – «линейные».
Графическое изображение линейных и нелинейных уравнений
Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:
Найди и отметь на обоих рисунках точки \( \displaystyle x\), соответствующие \( \displaystyle y=2\).
Что у тебя получилось?
Ты видишь, что на графике первой функции одному \( \displaystyle y\) соответствует один \( \displaystyle x\).
То есть \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\) линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.
Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.
Повторюсь, еще раз:
Графиком линейного уравнения должна быть прямая линия.
С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет \( \displaystyle x\) в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например \( \displaystyle y=<
Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.
Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:
А что будет, если мы разделим что-то на \( \displaystyle x\), например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\)?
Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции \( \displaystyle y=\frac<1>
Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Линейные уравнения: как решать?
Линейным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная переменная встречается исключительно в первой степени, в том числе после преобразований, и не находится в знаменателе. В общем виде такое уравнение выглядит так:
ax + b = 0.
Впервые мы сталкиваемся с линейными уравнениями в начальной школе.
Давайте на простейших примерах вспомним, как нас учили их решать, и как метод решения изменился при дальнейшем обучении.
Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения подойдут 2 способа решения:
Нужно сделать так, чтобы коэффициент перед х равнялся 1, т.к. 1 · х = х. Сейчас коэффициент перед х равен 2. Чтобы двойку превратить в 1, надо 2 разделить на 2. Но только левую часть уравнения мы на 2 разделить не можем, поэтому делим еще и правую часть.
Поэтому учителя обычно и говорят, что надо обе части уравнения разделить (в данном случае) на 2. Получаем х = 3.
В средней школе подобное уравнение редко встретишь в таком виде, т.к. обычно деление заменяют дробной чертой и уравнение принимает такой вид:
. Почему оно линейное? Да потому, что деление на 2 можно заменить умножением на ½ и уравнение станет таким же, как в примере 4, только с другим числовым коэффициентом.
В этом случае мы должны избавится от знаменателя, умножив дробь х/2 на 2 (в этом случае двойки сократятся и останется только х). И опять же домножаем на 2 не только левую часть, но и правую.
По аналогии с предыдущим примером говорят, что мы умножаем на 2 обе части уравнения и получаем х = 12.
А вот уравнение 6 : х = 2 уже не будет линейным, т.к. заменив знак деления дробной чертой х окажется в знаменателе, а это говорит о том, что уравнение дробно-рациональное. Хотя в начальной школе мы их тоже решали: здесь х является неизвестным делителем, а чтобы его найти надо делимое разделить на частное. И, конечно, надо понимать, что на 0 делить нельзя (х ≠ 0).
Конечно, подобные уравнения, кроме как в началке, вам не встретятся. Поэтому я разберу еще парочку примеров.
Такое уравнение требует от нас умения раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые.
Пример 7. Найдите корень уравнения 
.
Уж очень сильно нам мешаются знаменатели! Избавимся от них, умножив обе части уравнения на общий знаменатель. Общим знаменателем будет число 15, т.к. 15 делится без остатка и на 3, и на 5, и на 15.
— такое преобразование уравнения обычно не пишут, а сразу сокращают 15 со знаменателями и получают следующее уравнение:
Как решить линейное уравнение? Уравнение прямой? Что такое линейные уравнения?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
Что является решением уравнения?
Решением уравнения является нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия.
Примеры линейных уравнений:
3x+5=0
x+1=5
2x=0
7x=7
3x+1=x
| x^2+4x+4=0 | (полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.) |
| 1/x+2=0 | (уравнение гиперболы) |
| √(x-1)=1 | (иррациональное уравнение) |
Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?
У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.
Как решаются линейные уравнения?
Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно
Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно
Как решать линейные уравнения с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения
С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.
Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.
Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.
Рассмотрим следующее выражение:
Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:
Еще одно выражение:
Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.
Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.
Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:
где а и b являются действительными числами.
Корень уравнения, сколько их всего
Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.
Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.
Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:
Как решать, описание алгоритма
Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.
Рассмотрим действие данного правила на примере:
Заметим, что в уравнении имеется пара частей:
Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:
В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.
Разберем еще одно уравнение:
Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:
После приведения подобных вычислим х:
Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.
Рассмотрим применение этого правила на практике:
Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:
Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:
Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:
Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.
Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:
Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:
Примеры задач для 7 класса с объяснением
Найти корни уравнения:
Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:
Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:
Требуется решить уравнение:
5 ( х − 3 ) + 2 = 3 ( х − 4 ) + 2 х − 1
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 12 + 2 х − 1
Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
5 х − 3 х − 2 х = 0 − 12 − 1 + 15 − 2
Затем следует привести подобные:
Ответ: х является любым числом.
Нужно вычислить неизвестную х :
Выполним вычисления по правилу деления:
Найти решение уравнения:
4 ( х + 2 ) = 6 − 7 х
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
Вычислить корни уравнения:
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
9 х – 12 = 28 х + 24
9 х – 28 х = 24 + 12
Решить линейное уравнение:
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 2 + 2 х − 1
Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:
Ответ: данное уравнение не имеет решений.
Решить линейное уравнение:
2 ( х + 3 ) = 5 − 7 х
Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:
Как решать линейные уравнения?
Линейные уравнения — довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах — квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок — банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)
Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)
Что такое линейное уравнение? Примеры.
Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:
где a и b — любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие могут быть!
7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)
В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b — любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?
Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)
Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь — почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.
Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:
Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число — запросто!
А вот уравнение
уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным — всяким.
Как решать линейные уравнения? Примеры.
Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.
1) Набор элементарных действий и правил математики.
Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…
Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения — квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. — как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.
Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.
Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:
Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.
Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа — тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа — считаем. Получаем:
Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка — мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование — делим обе части уравнения на 6. И — вуаля! Ответ готов.)
Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:
Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом — нету! Так что — решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)
Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования — с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика — дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число — не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)
Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:
Теперь раскрываем эти самые скобочки:
Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:
А вот здесь — внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:
то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…
Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:
А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:
3х — 9 + 6х = 30 — 4х
Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами — влево, без иксов — вправо. И применяем это преобразование:
3х + 6х + 4х = 30 + 9
Приводим подобные слева и считаем справа:
Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:
Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды — второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать — от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) — с домножения (или деления).
Работаем от простого — к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)
Например, вот такое уравнение:
Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема — с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один — правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…
А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?
Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!
После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:
Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…
Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.
Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:
Кому до сих пор непонятен этот шаг — значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы — в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:
Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно — меняются на противоположные:
a(b+c) = ab+ac
А вот теперь дроби и сократить можно:
Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов — вправо:
-20х — 15х = 20 — 10 — 12
На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)
Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они — фундамент всей остальной математики!
Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.
Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)
Например, вот такое безобидное с виду уравнение:
Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:
Приводим подобные, считаем и получаем:
Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?
Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?
Вот вам и ответ:
В научной записи это равенство пишется так:
Читается эта запись так: «Икс — любое действительное число.»
Или в другой форме, через промежутки:
Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!
А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:
7х + 2 = 4х + 5 + 3х — 2
Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:
7х — 4х — 3х = 5 — 2 — 2
И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство
Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!
А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)
Вот и ответ: решений нет.
В математической записи такой ответ оформляется вот так:
Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»
Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.
Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)
И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания — нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках — запросто! Так что теперь — тренируемся и решаем:
Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.
Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…
Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)
Линейное уравнение с одной переменной
Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.
Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.
Линейное уравнение
Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.
В общем виде линейное уравнение имеет вид:
Примеры линейных уравнений
Приведём несколько примеров линейных уравнений:
Заметим, что каждое из данных равенств имеет общую форму:
$$kx+b=0 \Leftrightarrow kx=-b$$
Следующие уравнения не будут являться линейными, так как они не имеют вышеописанный вид.
Свойства линейных уравнений
Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:
Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$
Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).
$$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$
Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:
$$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$
Равносильные уравнения
Рассмотрим три уравнения:
Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.
Важно!
У равносильных уравнений множества их решений совпадают.
В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.
Свойства равенств
Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:
Примеры решения уравнений
Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.
Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:
$$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$
Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.
Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:
Общий вид решений линейного уравнения
Шаг 1.
$$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$
Шаг 2.
Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:
$$k\neq 0, b\neq 0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow x=\frac<-b>
Шаг 3.
$$k=0, b=0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow 0\cdot x=0$$
В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:
Задача №1.
Раскроем скобки и приведем подобные.
Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.
Задача №2.
Раскроем скобки в обеих частях равенства.
Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.
Задача №3.
Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:
Теперь рассмотрим второй случай:
Задача №4.
Найдите корень уравнения:
$$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$
$$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$
Задача №5.
Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:
Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.
Линейное уравнение с одной переменной с примерами решения
Содержание:
Линейное уравнение с одной переменной
Общие сведения об уравнении
Алгебра в течение многих столетий развивалась как наука об уравнениях.
Уравнение — это равенство, содержащее не-известные числа, обозначенные буквами.
Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, у, z (икс, игрек, зет), хотя их можно обозначить и другими буквами.
Примеры уравнений: 
Рассмотрим уравнение 
. Если в нём вместо переменной х написать число 5, то будем иметь правильное числовое равенство 
. Говорят, что «число 5 удовлетворяет данное уравнение».
Число, удовлетворяющее уравнение, называется его корнем.
Уравнение 
имеет только один корень: 
Уравнение 
имеет три корня: 
Уравнение 
не имеет ни одного корня, так как при каждом значении переменной х число х + 7 на 7 больше, чем х.
Уравнение 
имеет бесконечное множество корней.
Решить уравнение — это означает, что надо найти все его корни или показать, что их не существует.
Простейшие уравнения можно решать, пользуясь известными зависимостями между слагаемыми и суммой, между множителями и произведением и т. п.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
В данном случае неизвестно вычитаемое. Чтобы найти его, следует от уменьшаемого отнять разность: 
Здесь неизвестный множитель х. Чтобы найти его, надо произведение разделить на известный множитель:
Уравнение — это своеобразный кроссворд. Только в клеточки кроссворда вписывают буквы, чтобы получить нужные слова, а в уравнение вместо переменных подставляют числа, чтобы получались правильные равенства.
Например, уравнение 
можно записать в форме числового кроссворда:
Какое число надо поставить в квадратики, чтобы получилось верное равенство?
Уравнения бывают разных видов, в частности — содержащие неизвестную переменную в квадрате, в кубе, под знаком модуля и т. п. Решим, например, уравнения:
2) Разделим обе части уравнения 
Какое число, возведённое в куб, равно 8? Таковым является число 2. Значит, решение данного уравнения х = 2.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
Пример:
Я задумал число. Если его умножить на 3, от результата отнять 4, то получим 5. Какое число я задумал?
Решение:
Решим это уравнение: 
Ответ. 3.
Пример:
При каком значении а уравнение 
будет иметь корень х = 3?
Решение:
Первый способ. Найдём неизвестный множитель х как частное от деления произведения 12 и известного множителя а + 5:
Второй способ. Подставим в уравнение 
вместо переменной х число 3:
Решим полученное уравнение относительно переменной а. Имеем:
Равносильные уравнения
Рассмотрим два уравнения: 
. Каждое из них имеет один и тот же корень: х = 5.
Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.
Чтобы решать более сложные уравнения, нужно уметь заменять их более простыми и равносильными данным. Покажем, как это делается.
Из распределительного закона умножения следует, что при любом значении х числа 2x + 5x = 7x. Поэтому равносильными будут такие, например, уравнения: 
Из распределительного закона следует, что при каждом значении х числа 
. Поэтому равносильны и уравнения:
Вообще, если в любой части уравнения свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному.
Прибавив к обеим частям верного числового равенства одно и то же число, получим также верное равенство. Подобно этому тела с равными массами, положенные на чаши уравновешенных весов, не нарушают равновесия (рис. 4).
Вспомним также, что обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если обе части уравнения умножить иди разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Например, умножив обе части уравнения 
получим уравнение 
имеющее такой же корень, как и данное. А если обе части уравнения 
разделим на 20, то будем иметь более простое уравнение 
, равносильное данному.
Всегда справедливы такие основные свойства уравнений.
В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.
Сформулированные свойства часто используют для решения уравнений. Для примера решим уравнение:
Решение:
Умножим обе части уравнения на 6:
Сведём подобные члены:
Разделим обе части уравнения на 2:
Ответ. 
Откуда произошло название науки — алгебра? От названия книги об уравнениях узбекского математика IX в. Мухаммеда аль-Хо-резми (Мухаммеда из Хорезма). В те далёкие времена отрицательные числа не считались настоящими. Поэтому когда в результате перенесения отрицательного члена уравнения из одной его части в другую этот член становился положительным, считалось, что Qh восстанавливался, переходил из ненастоящего в настоящий. Такое преобразование уравнений Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением (аль-джебр). Свойство об уничтожении одинаковых членов уравнения в обеих частях он назвал противопоставлением (аль-мукабала). Книга об этих преобразованиях называлась «Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Со временем её перевели на латинский Язык, взяв для названия только одно слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки — алгебра. Преобразование «аль,-джебр» стало важным шагом в развитии алгебры, так как упростило решение уравнений.
Алгебра, арифметика, геометрия, математический анализ — основные составляющие математики (рис. 5). Арифметику — науку о числах и вычислениях — вы уже изучали на уроках математики. В 7-9 классах будете изучать алгебру и геометрию, с математическим анализом ознакомитесь в старших классах.
Пример:
Равносильны ли уравнения:
а)
б)
Решение:
а) Если раскрыть скобки в первом уравнении, то получим второе. Значит, уравнения равносильны.
б) Решим первое уравнение:
отсюда х = 1. Итак, данные уравнения не равносильны.
Ответ. а) Равносильны; б) не равносильны.
Пример:
Решение:
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 
Перенесём слагаемое 3 в правую часть, а Зх — в левую, изменив их знаки на противоположные:
Разделим обе части уравнения на 2. Получим: х = 6. Ответ. х = 6.
Пример:
Найдите корни уравнения: 
Решение:
Умножим обе части уравнения на 3. Получим: 
Линейные уравнения
Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной х.
Если 
то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Его корень 
Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет один корень. Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один или бесконечное множество корней.
Линейное уравнение ах = b:
Например, уравнение 0x = 5 не имеет ни одного корня, так как не существует числа, которое при умножении на 0 в произведении давало бы 5.
Уравнение 0x = 0 имеет бесконечное множество корней, так как его удовлетворяет любое значение переменной х.
Решая уравнение, его сначала стараются упростить, свести к линейному. Делают это преимущественно в такой последовательности.
В результате такого преобразования получают уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения.
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. Умножим обе части уравнения на 12 — наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 12:
Если коэффициенты уравнения многозначные, его удобно решать, пользуясь калькулятором. Пример 2. Решите уравнение
Ответ. 
Найденное значение корня — приближённое. Точное значение пришлось бы записать в виде смешанной дроби, а именно 
Решая прикладные задачи, ответ обычно округляют и записывают, например, так: 
Уравнение первой степени — это отдельный вид линейных уравнений. Соотношение между этими двумя видами уравнений наглядно проиллюстрировано на рисунке 7.
Ниже приведём примеры линейных уравнений, которые не являются уравнениями первой степени.
Уравнения первой степени
Уравнения 
не линейные,но сводящиеся к линейным.
Почему уравнение вида ах = b называют линейными, станет понятно, когда вы ознакомитесь с линейными функциями.
Пример:
а) 
б) 
Решение:
а) 
— уравнение корней не имеет.
б) 
— любое число удовлетворяет уравнение.
Ответ. а) Уравнение корней не имеет;
б) уравнение имеет бесконечное множество корней.
Пример:
Найдите два числа, полусумма которых вдвое больше их полуразности, которая равна 35.
Решение:
Если полуразность чисел равна 35, то разность будет вдвое больше, а именно — 70. Обозначим меньшее число буквой х, тогда большее будет равно
70 + х. По условию задачи 
или 
, отсюда х = 35 — меньшее число, 70 + 35 = 105 — большее число. Ответ. 35 и 105.
Решение задач с помощью уравнений
Чтобы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее этой задаче уравнение. Образно говоря, надо перевести задачу с обычного языка на язык алгебры, то есть составить математическую модель данной задачи. Как это можно сделать, покажем на нескольких примерах.
Пример:
На двух токах 1000т зерна. Сколько зерна на каждом току, если на первом его на 200т меньше, чем на втором?
Решение:
Пусть на первом току 
зерна. Тогда на втором — 
а на обоих — 
Имеем уравнение:
отсюда 
Ответ. 
Уравнение 
составленное по условию задачи, — это математическая модель данной задачи.
Составить уравнения часто помогает рисунок или схема (рис. 10)
Данную задачу можно решить и другими способами.
Если на втором току есть у т зерна, то на первом 
. Так как на втором току зерна на 200 т больше, то 
отсюда 
Рисунок 10, рисунок 11., уравнение 
— это три разные математические модели прикладной задачи 1. В математике прикладными называют задачи, условия которых содержат не математические понятия.
Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Такими являются уменьшенные модели автомобиля, самолёта, строения. Глобус — модель Земли, кукла — модель человека. Если модель создана на основе уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.
Для решения задач на движение также используют разные модели. Надо помнить, что при равномерном движении пройденное телом расстояние равно произведению скорости на время 
При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. Например, если время дано в часах, а расстояние — в километрах, то скорость надо выражать в километрах в час. Если тело движется при наличии течения, то его скорость движения по течению (против течения) равна сумме (разности) его собственной скорости и скорости течения. С помощью схем многие задачи на движение можно решить устно (№ 124). Для решения некоторых сложных задач требуется построение нескольких моделей.
Рассмотрим задачу, составить уравнение к которой помогает таблица — ещё один вид математических моделей.
Пример:
Катер должен был пройти расстояние между городами со скоростью 15 км/ч, а на самом деле шёл со скоростью 12 км/ч и потому опоздал на 3 ч. Найдите расстояние между городами.
Ответ. Построим таблицу и заполним её в соответствии с условием задачи.
Катер шёл на 3 ч дольше, чем должен был идти. Этому условию соответствует уравнение:
Решим уравнение:
Ответ. 180 км.
Решив задачу с помощью уравнения, нужно всегда анализировать полученное значение неизвестного. Может получиться, что найденный корень уравнения не соответствует условию задачи.
Пример:
Периметр треугольника равен 17 см. Найдите его стороны, если одна из них короче другой на 2 см, а третьей — на б см.
Решение:
Пусть длина самой короткой стороны треугольника равна х см. Тогда длины других сторон соответственно будут равны 
.Получим уравнение: 
Решим его: 
Если длина первой стороны 3 см, то вторая и третья соответственно будут равны 5 и 9 см.
Существует ли треугольник с такими сторонами? Нет, так как каждая сторона треугольника короче суммы двух других, а
Ответ. Задача не имеет решения.
Решение прикладных задач методом математического моделирования состоит из трёх этапов:
Иногда с помощью уравнения решают не всю задачу, а только её часть.
Покажем, например, как можно заполнять пустые клеточки магического квадрата — таблицы чисел с одинаковым количеством строк столбцов, с одинаковой суммой чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям.
Пример:
Перерисуйте в тетрадь рисунок 12 и в его пустые клеточки впишите такие числа, чтобы получился магический квадрат.
Решение:
Подставим вместо х его значение 10, после чего пустые клеточки рисунка 14 заполнить нетрудно. 
В данном случае уравнение 
— модель части сформулированной задачи, дающая возможность вычислит только значение х.
Пример:
Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно — за 2,5 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч.
Решение:
Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда:
— его скорость по течению;
— скорость катера против течения;
— такое расстояние катер прошёл по течению;
— такое расстояние катер прошёл против течения.
Расстояния 
равны. Итак, получим уравнение
Пример:
Решите математический кроссворд (рис. 15).
Решение:
Исторические сведения:
Уравнения первой степени с одной переменной люди научились решать очень давно. Египетские учёные почти четыре тысячи лет тому назад искомое неизвестное число называли «аха» (в переводе — «куча») и обозначали специальным знаком. В папирусе, дошедшем до нас, есть такая задача: «Куча и её седьмая часть составляют 19. Найдите кучу». Теперь бы мы сформулировали её так: «Сумма неизвестного числа и его седьмой части равна 19. Найдите неизвестное число».
Задача сводится к уравнению 
Подобные задачи умели решать учёные Древней Греции, древних Индии, Китая. Древнегреческий математик Диофант (III в.) решал и более сложные уравнения, в частности такие, которые в современных символах имеют вид 
У Диофанта уравнение 
записывалось таким способом:
Аль-Хорезми и многие его преемники все уравнения записывали словами, не используя математических знаков.
От фамилии аль-Хорезми происходит ещё один важный для современной науки термин — алгоритм. Так называют совокупность правил, пользуясь которыми можно решить любую задачу из определённого класса задач. Например, известный вам способ умножения чисел «столбиком», способ определения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел — это алгоритмы. В современной науке понятие «алгоритм» играет огромную роль, существует даже специальная область математики — теория алгоритмов. Подробнее с алгоритмами вы ознакомитесь в старших классах.
Сначала алгеброй называли науку, изучающую различные способы решения уравнений. Со временем она значительно расширилась, обогатилась новыми идеями. Теперь уравнение — только одна из составляющих алгебры.
Напомню:
Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами.
Числа, удовлетворяющие уравнение, — его корни. Решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их не существует.
Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными друг другу.
Основные свойства уравнений.
Уравнение вида ах = b, где а и b — произвольные числа, называют линейным уравнением с переменной х. Если 
, то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной.
Каждое уравнение первой степени ах = b имеет один корень 
. Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.
Решение прикладных задач методом математического I моделирования состоит из трёх этапов:
Линейное уравнение с одной переменной
Рассмотрим три уравнения:
Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число.
Понятно, что третье уравнение корней не имеет.
Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведенные уравнения внешне похожи: все они имеют вид 
где 
— переменная, 
— некоторые числа.
Уравнение вида 
где 
— переменная, 
— некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Вот еще примеры линейных уравнений: 
Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение». В математике предложение, раскрывающее суть нового термина (слова, понятия, объекта), называют определением.
Итак, мы сформулировали (или говорят: «дали») определение линейного уравнения.
Заметим, что, например, уравнения 
линейными не являются.
Если 
то, разделив обе части уравнения 
на 
получим 
. Отсюда следует: если то уравнение 
имеет единственный корень, равный 
Если же 
то линейное уравнение приобретает такой вид: 
Здесь возможны два случая: 
В первом случае получаем уравнение 
Тогда, если 
то уравнение имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем.
Во втором случае, когда 
при любом значении получим неверное равенство 
Отсюда, если 
и то уравнение корней не имеет.
Следующая таблица подытоживает приведенные рассуждения.
Пример:
1) 
Решение:
1) Так как произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем:
Обратим ваше внимание на то, что рассмотренные уравнения не являются линейными, однако решение каждого из них сводится к решению линейных уравнений.
Пример:
Решение:
1) При 
уравнение принимает вид 
В этом случае корней нет. При 
имеем 
Ответ: если , то уравнение не имеет корней; если , то 
2) При 
уравнение принимает вид 
В этом случае корнем уравнения является любое число. При 
имеем 
Ответ: если 
, то 
— любое число; если 
, то 
Решение задач с помощью уравнений
Вам много раз приходилось решать задачи с помощью составления уравнений (текстовые задачи). И разнообразие решенных задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чем же заключается секрет его силы?
Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удается записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.
Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по этому условию уравнение называют математической моделью этой ситуации.
Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо еще решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приемы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам еще предстоит изучить.
Найденный корень — это еще не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии.
Рассмотрим, например, такие задачи:
Обе задачи приводят к одному и тому же уравнению 
, корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче решение «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй — «ягоды собирали полтора мальчика» — нет.
При решении задач на составление уравнений удобно пользоваться следующей схемой:
Эту последовательность действий, состоящую из трех шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.
Пример:
Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за 6 дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?
Решение:
Пусть рабочий изготавливал ежедневно 
деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно 
деталей, а всего их должно было быть изготовлено 
На самом деле он изготовил 
деталей. Так как по условию задачи значение выражения 
на 22 больше значения выражения 
то
Ответ: 37 деталей.
Пример:
Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он проехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?
Решение:
Пусть велосипедист ехал ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал 
ч. Первая часть пути составляет 
км, а вторая — 
км. Имеем:
Следовательно, со скоростью 10 км/ч велосипедист ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.
Что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение
Алгебра длительное время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого означает «искусство чисел». Алгебру же после выделения ее в отдельную науку рассматривали как искусство решать уравнения.
В данном разделе мы выясним, что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение, как решать задачи с помощью уравнений.
Что такое уравнение
Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали в три раза больше массы малой. Какова масса малой детали?
Пусть масса малой детали равна 
г, тогда масса большой — 
г. Масса 15 малых деталей равна 
г, а 4 больших — 
(г). По условию задачи сумма этих масс равна 270 г:
.
Мы пришли к равенству, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , при котором равенство является верным числовым равенством.
Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).
Корень уравнения
Рассмотрим уравнение 
. Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:
Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.
Итак, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.
Количество корней уравнения
Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:
уравнению 
удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.
Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение 
. Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Следовательно, какое бы число мы не взяли, равенство будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решим уравнение, составленное выше по условию задачи о больших и малых деталях:
Таким образом, масса малой детали равна 10 г.
Примеры решения уравнений:
Пример №86
Является ли число 2,5 корнем уравнения 
?
Решение:
Если 
, то:
значение левой части уравнения равно: 
; значение правой части равно: 
. Значения обеих частей уравнения равны, поэтому 
— корень данного уравнения.
Пример №87
а) 
; б) 
; в) 
.
а) 
; 
; 
; 
; 
. Ответ. 11.
б) Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, 
или 
; 
или 
. Ответ.-0,5; 2.
в) 
; 
; 
. Квадрат числа не может быть равен отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение корней не имеет.
Решение уравнений. Свойства уравнений
Решение любого уравнения сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.
Решим, например, уравнение:
. (1)
1. Раскроем скобки:
. (2)
2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
. (3)
3. Перенесем слагаемые с переменной 
в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, изменив их знаки на противоположные:
. (4)
4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
. (5)
5. Разделим обе части уравнения на 2:
.
Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.
При решении уравнения (1) мы выполняли некоторые преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:
Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.
Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и начальное уравнение.
Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.
Для тех, кто хочет знать больше
Свойства уравнений можно обосновать, используя следующие свойства числовых равенств:
Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство.
Если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получим верное числовое равенство.
Если обе части верного числового равенства разделить на одно и то же число. отличное от нуля то получим верное числовое равенство.
Из первого свойства числовых равенств можно получить такое следствие: если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим верное числовое равенство.
Используя свойства числовых равенств, докажем, например, что уравнение
(6)
имеет тс же корни, что и уравнение
. (7)
(Это свойство 2 для уравнения .)
• Пусть 
— произвольный корень уравнения (6). Тогда 
— верное числовое равенство. Перенесем слагаемое 
в левую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство 
, из которого следует, что является корнем уравнения (7). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (6) является корнем уравнения (7).
Наоборот, пусть 
— произвольный корень уравнения (7). Тогда числовое равенство 
является верным. Перенесем слагаемое 
в правую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство 
, из которого следует, что является корнем уравнения (6). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (7) является корнем уравнения (6). Таким образом, уравнения (6) и (7) имеют одни и тс же корни. • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Следовательно, уравнения (6) и (7) являются равносильными.
Примеры решения уравнений:
Пример №88
Решить уравнение 
.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 14, получим:
; 
; 
;
Пример №89
Решить уравнение 
.
Решение:
Разделив обе части уравнения на 25, получим:
Линейные уравнения с одной переменной
Линейные уравнения с одной переменной
Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а права часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.
Определение:
Уравнение вида 
, где 
— некоторые известные числа, а 
— переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.
Числа а и b называют коэффициентами линейного уравнения.
Когда при решении уравнения выполняют некоторые преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.
Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала три следующих уравнения:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
В общем случае для линейного уравнения получим:
Итог: количество корней линейного уравнения
— линейное
— единственный корень
и 
и 
Уравнения с модулями
Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является это же число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:
Так, 
. Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть 
.
Уравнения 
содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.
Уравнение вида 
. Решая уравнение вида 
, где а — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число на координатной прямой.
В общем случае уравнение 
:
Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа
(1)
Это уравнение нельзя привести к виду , где а — некоторое число. Для его решения рассмотрим два случая.
1. Если — неотрицательное число (
), то 
и уравнение (1) принимает вид 
, откуда 
. Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенству ), поэтому оно является корнем уравнения (1).
2. Если — отрицательное число (
), то 
и уравнение (1) принимает вид 
, откуда 
. Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенству ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).
Таким образом, уравнение 
имеет один корень .
Примеры выполнения заданий:
Пример №90
Решить уравнение 
.
Решение:
Пример №91
Решить уравнение 
.
Решение:
Ответ. Уравнение корней не имеет.
Пример №92
Решить уравнение 
Решение:
Ответ. Корнем уравнения является любое число.
Пример №93
Решить уравнение 
.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:
Итог. При решении уравнения нужно придерживаться следующей схемы:
Пример №94
Решить уравнение 
.
Решение:
1) 
2) 
Пример №95
Решить уравнение 
.
Решение:
Решение задач с помощью уравнений
При решении задач с помощью уравнений в большинстве случаев придерживаются следующей схемы:
Пример №96
В двух цистернах находится 66 т бензина, причем в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?
Решение:
Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — 
т. В двух цистернах вместе находится 
т бензина, что по условию равно 66 т. Получаем уравнение:
Решим это уравнение: 
.
Таким образом, во второй цистерне 30 т бензина, а в первой — 1,2 • 30 = 36 (т).
Ответ. 36 т, 30 т.
Примечание. Чтобы решить задачу 1, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — 
т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, поэтому 
. Остается решить это уравнение и записать ответ задачи.
Пример №97
Из. города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.
Решение:
Пусть скорость грузового автомобиля км/ч, тогда скорость легкового — 
км/ч.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
| Грузовой автомобиль | | 1,3 | 1,3 |
| Легковой автомобиль | | 0,8 |  |
Получили уравнение: 
Решим это уравнение:
Итак, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.
Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть 
км. Поскольку = 60, то получим:
Примечание. Опираясь на решение задач 1 и 2, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.
1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разным. В задаче 1 мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). В задаче 2 искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то при составлении уравнения рассуждения будут довольно сложными. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через расстояния, пройденные автомобилями, и составили уравнение, зная, что разность расстояний равна 10 км.
Таким образом, обозначать через 
(или какую-нибудь другую букву) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.
2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через 
те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.
Математическая модель:
Вам, наверное, уже приходилось видеть модели корабля, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее предназначения, отображает некоторые свойства оригинала.
Математическая модель — это описание некоторого реального объекта или процесса на языке математики.
Опишем на языке математики задачу 2. Определяя скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна 
км/ч.
На языке математики расстояние, пройденное грузовым автомобилем, записывают: 1,3 км, а расстояние, пройденное легковым автомобилем, — 
км.
По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что на языке математики можно выразить так: разность расстояний, пройденных грузовым и легковым автомобилями, равна 10 км, и записать: 
.
Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.
Кроме уравнений, есть и другие виды математических моделей, с которыми ми познакомимся в процессе изучения алгебры.
Интересно знать. История науки знает немало примеров, когда в рамках удачно построенной математической модели с помощью вычислений, как говорят, «на кончике пера», удавалось предвидеть существование новых физических объектов и явлений. Так, опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга пришли к выводу о существовании неизвестной тогда еще планеты и указали ее расположение на небе. По расчетам Леверье астроном Г. Галле (Германия) нашел эту планету. Ее назвали Нептуном.
Интересно знать
На протяжении многих столетий алгебра была наукой об уравнениях и способах их решения. Линейные уравнения умели решать еще древние египтяне и вавилоняне (1 тысячелетие до н. э.).
О состоянии математики в Древнем Египте свидетельствуют математические тексты, написанные на особой бумаге — папирусе, изготовленном из стеблей растения, которое имеет такое же название. Написание некоторых папирусов относят к XVIII в. до н. э., хотя описанные в них математические факты были известны древним египтянам задолго до их изложения.
Один из таких папирусов был найден в 1872 году в одной из египетских пирамид. Его приобрел английский коллекционер древностей Райнд, и сейчас >тот папирус — папирус Райнда — хранится в Лондоне.
В папирусе Райнда особое место занимают задачи на «аха» («хау»).
Это задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений с одним нечестным. «Аха» («хау») означает «совокупность», «куча» (неизвестная величина). Пример такой задачи: «Куча. Ее
, ее 
, ее 
и ее целое. Это 33». Если обозначить «кучу» — неизвестную величину — через , то получим уравнение: 
.
Более заметные успехи в создании начал алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. До нашего времени сохранились вавилонские глиняные плитки с комбинациями клиновидных черточек — клинописью. Такие плитки имели в Вавилоне то же значение, что и папирусы в Египте. На плитках встречаются и и клинописные математические тексты, которые свидетельствуют, что уже более 4000 лет гому назад в Вавилоне могли решать уравнения, содержащие квадрат неизвестного.
Начиная с VII в. до н. э., древние греки после знакомства с достижениями египтян и вавилонян в сфере математики продолжили их науку. При этом достаточно мало греческих ученых при решении задач использовали уравнения. Одним из тех, кто использовал уравнения, был древнегреческий математик Диофант.
О Диофанте известно мало, даже точно не установлены годы его жизни. Кое-что о жизни Диофанта и о том, сколько он прожил лет, можно узнать из надписи на его могильной плите.
Греческую науку в Средневековье заимствовали ученые Востока — индийцы и арабы. Именно на Востоке в IX в. алгебра становится самостоятельной математической наукой.
Происхождение слова «алгебра» также связано с Востоком.
Город Багдад в VII-IX в. был столицей могущественного Арабского халифата. Багдадские халифы оказывали содействие развитию природоведения и математических наук. За годы правления халифа Гаруна аль-Рашида в Багдаде была оборудована большая библиотека, а халиф аль-Мамун организовал своеобразную академию — «Дом мудрости» и построил хорошо оборудованную обсерваторию.
При дворе аль-Мамуна жил и работал ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (около 780 — около 850). Он собрал и систематизировал способы решения уравнений и описал их в работе «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что дословно означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». В то время отрицательные числа считались «ненастоящими», и, когда в процессе решения уравнения в какой-то его части появлялось отрицательное число, его нужно было перенести в другую часть. Эту операцию называли восстановлением (аль-джебр), то есть переведением «ненастоящих» (отрицательных) чисел в «настоящие» (положительные). С помощью противопоставления (аль-мукабала) отбрасывали одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения.
В XII в. сочинение аль-Хорезми перевели на латинский язык, сохранив в его названии только слово «аль-джебр», которое вскоре стали произносить как алгебра.
Постепенно сформировалась современная алгебра, которая охватывает не только теорию решения уравнений, а и способы проведения операций (действий) с разнообразными объектами (в частности, с числами).
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.