Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax 2 + bx = 0,если c = 0;
ax 2 + c = 0,если b = 0;
ax 2 = 0,если b = 0 и c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Источник

Неполные квадратные
уравнения

В уроке «Как решать квадратные уравнения» мы разобрали решение обычных квадратных уравнений, но есть уравнения, в которых не всегда очевидно, как найти коэффициенты « a », « b » и « c » для формулы поиска корней.

Например, рассмотрим такое квадратное уравнение.

Давайте сравним это уравнение с общим видом квадратного уравнения
« ax 2 + bx + c = 0 » и определим, чему в нем равны « a », « b » и « c ».

Возникает вопрос: «Чему здесь равен коэффициент « b »?» Ответ прост: « b = 0 ». На самом деле по-другому уравнение можно записать так:

Зная чему равны коэффициенты, можно применить формулу нахождения
корней « x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

».

x1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 4 · (−64)
2 · 4

x1;2 =

−0 ± √ 0 + 1024
8

x1;2 =

± √ 1024
8

x1 =

+ 32
8
x2 =

− 32
8
x1 = 4x2 = −4

Ответ: x1 = 4 ; x2 = −4

Примеры неполных квадратных уравнений

Рассмотрим другие примеры неполных квадратных уравнений. Выпишем их коэффициенты « a », « b » и « c » и найдем корни.

x1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 3 · 0
2 · 3

x1;2 =

0 ± √ 0
6

x1;2 =

0
6

x = 0

Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 5 · 125
2 · 5

x1;2 =

0 ± √ 2500
10

x1;2 =

0 ± 50
10

x1 =

50
10
x2 =

−50
10
x1 = 5x2 = −5

x1;2 =

−(−1) ± √ (−1) 2 − 4 · 9 · 0
2 · 9

x1;2 =

1 ± √ 1 − 0
18

x1;2 =

1 ± 1
18

x1 =

1 + 1
18
x2 =

1 − 1
18
x1 =

2
18
x2 =

0
18
x1 =

1
9
x2 = 0

Другие способы решения неполных квадратных уравнений

Любое неполное квадратное уравнение можно решить, не используя формулу для корней квадратного уравнения.

Корни в неполном квадратном уравнении можно найти, применяя формулы сокращенного умножения и правило деления уравнения на число.

Решим другим методом уравнения, которые мы решали по формуле выше.

Вспомним, что только умножение на « 0 » даст в результате ноль. Поэтому становится понятно, что в этом уравнении только один корень « x = 0 ».

Разделим левую и правую часть уравнению по правилу деления на « 5 ».

5x 2 = 125 | (:5)
5x 2 (:5) = 125 (:5)
x 2 = 25

Перенесем все в левую часть.

Произведение многочленов в скобках будет равно нулю в том случае, когда любая из скобок окажется равна нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдем корни уравнения.

Вынесем общий множитель за скобки в левой части.

9x 2 − x = 0
x(9x − 1) = 0

Произведение будет равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

x = 0(9x − 1) = 0
9x = 1 | (:9)
9x (:9) = 1 (:9)
x =

1
9

Ответ: x1 = 0 ; x2 =

1
9

Если у вас не получается решить уравнение с помощью формул сокращенного умножения, используйте формулу для поиска корней квадратного уравнения.

С помощью этой формулы всегда можно решить любое квадратное уравнение!

Источник

Методы решения неполных квадратных уравнений

Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.

Алгоритм нахождения решений

На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.

Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c

Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:

ax2+c=0 при b равном нулю

Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.

План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:

А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.

В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.

Особый вид уравнения

Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.

Как решать неполное квадратное уравнение

Другие способы решения неполных уравнений

Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.

Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.

Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.

Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.

Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.

Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.

Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.

Как решать неполное квадратное уравнение

При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.

Видео

Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.

Источник

Неполные квадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax 2 +c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х 2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х 2 =45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х 2 =9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х1=–3, х2=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

Выполним решение уже известным способом: –6х 2 =90. х 2 =–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х1=10, х2=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax 2 +bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax 2 =0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х 2 =0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

Также делим обе части на 23 и получаем х 2 =0. Значит, корень уравнения – нуль.

Источник

Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения (вида \(ax^2+bx+c=0\)) у которых хотя бы один из коэффициентов (\(b\) или \(c\)) равен нулю, называют неполными.

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Решение неполных квадратных уравнений

Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:

У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:

Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.

Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Источник

Определение и примеры неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Как решать неполное квадратное уравнение

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

Как решать неполное квадратное уравнение

Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Как решать неполное квадратное уравнение

Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:

Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:

Следующим шагом составим систему условий:

Как решать неполное квадратное уравнение

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x 2 – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Источник

Неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Как решать неполное квадратное уравнение

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Общий множитель x выносим за скобки:

Как решать неполное квадратное уравнение

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Общий множитель 5x выносим за скобки:

Как решать неполное квадратное уравнение

Приравниваем к нулю каждый множитель:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами некоторых рациональных чисел):

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

Как решать неполное квадратное уравнение

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

Как решать неполное квадратное уравнение

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Как решать неполное квадратное уравнение

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

Источник

8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

I. ax 2 =0неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.

Решить уравнения.

Решение. Раскроем скобки, умножив на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Ответ: 0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4x 2 =0.

Решение. Вынесем общий множитель за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

Ответ: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Если (-c/a) 0, то имеем два действительных корня:

Как решать неполное квадратное уравнение

Решение.

Источник

Как решать неполное квадратное уравнение

Общие сведения

Уравнение — это равенство, которое в своём составе имеет неизвестный член. Другими словами, переменную. Решение как полных, так и неполных уравнений подразумевает определение значений, которые при подстановке сделают запись верной. Существуют различные виды равенств: линейные, дробные, квадратные.

Многочлены, в которых самой высокой степенью в выражении является цифра два, называют квадратными. Они относятся к фундаментальным математическим записям. Их используют для вычислений уравнений сложного вида. Например, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств.

Как решать неполное квадратное уравнение

Числа, которые делают равенство правильным, называют корнями. Условно квадратные уравнения разделяют по их видам на три категории:

Полным квадратным равенством называют выражение вида: ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — коэффициенты, а x — неизвестный корень. Разумеется, множитель в первом одночлене не может быть равен нулю, иначе запись примет вид классического линейного многочлена. Решать его довольно тривиально, поэтому интересней случаи, когда b или c равняются нулю.

В этом случае равенства примут вид ax 2 + bx = 0 и ax 2 + c = 0. Так вот такие выражения и называют неполными уравнениями. Решать их можно по упрощённому алгоритму, не используя формулы для определения дискриминанта или теорему Виета.

Нужно отметить, что квадратные многочлены отличаются друг от друга только содержанием в записи ненулевых одночленов. Значит, в принципе, все правила и теоремы, которые применимы для классического полного равенства, возможно использовать и для её частных случаев. Но часто применять их нерационально.

Неполные записи хороши тем, что они могут решаться при простых числах даже в уме. Поэтому всегда следует сложные примеры перед решением в лоб пробовать преобразовать в частные случаи. Для этого используют: сокращения, сочетательный, распределительный и переместительный законы, приведение подобных.

Классический способ

При этом по вычисленному дискриминанту можно судить о количестве ответов. Так, если он равен нулю, то решение будет только одно, когда же многочлен меньше нуля, уравнение не имеет смысла. Формулы несложны и вполне легко запоминаются. Но всё же в некоторых случаях имеет смысл использовать так называемую теорему Виета.

Как решать неполное квадратное уравнение

С её помощью можно просто находить корни. Заключается она в следующем: пусть икс первое и второе являются решениями уравнения вида: x 2 + bx + c = 0. Тогда будут верны равенства:

Если коэффициент квадратного одночлена единица (приведённое выражение), то всегда сумма корней будет равна отрицательному значению свободного члена, а произведение — второму коэффициенту. На первый взгляд кажется, что по этим формулам не очень и легко найти нужные корни. На самом деле после небольшой тренировки определять корни можно будет даже устно.

При недостаточном опыте или при вычислении сложных примеров, например, дробных, конечно же, можно использовать простой алгоритм поиска неизвестных. Сначала следует выяснить их знак. Тут поможет правило, что минус на плюс при умножении даёт отрицательный результат, и то, что при сложении двух минусовых выражений в ответе будет также минус. Естественно, что если в произведении и сумме положительные числа, то и оба корня будут со знаком плюс.

Как решать неполное квадратное уравнение

Теперь нужно внимательно посмотреть на свободный член, так как числа, определяющие рациональное решение, обязательно должны быть среди множителей этого коэффициента. То есть понадобится разложить это выражение и сконструировать из полученного ряда два значения, которые в сумме дадут нужный член. Сделать это можно, выписав делители числа, считая их за икс один, а результат деления принять за икс два.

Следует отметить, что довольно часто не приведённое уравнение можно сделать подходящим под теорему Виета. Для этого нужно каждый член разделить на число, являющееся коэффициентом в первом одночлене: ax 2 + bx + c = x 2 = bx / a + c / a = 0. Это важно запомнить, так как в будущем это замечание позволит довольно просто решать как полные квадратные уравнения, так и неполные.

Упрощённые методы

Как решать неполное квадратное уравнение

Удобство неполных выражений в том, что алгоритм их решения можно построить на простых преобразованиях, подобных действиям с линейными уравнениями. Так как может существовать только два вида выражений, отличных от полной записи, то и способов будет столько же.

Итак, если математическая запись имеет вид ax 2 + bx = 0, то справедливо выполнить ряд следующих преобразований и рассуждений:

Как видно, алгоритмы и правила довольно простые. Но перед тем как перейти к непосредственному рассмотрению примеров с решением неполных квадратных уравнений, следует упомянуть об онлайн-калькуляторах. Это интернет-сервисы, позволяющие совершенно бесплатно находить ответы на математические задачи в режиме реального времени. Воспользоваться ими может любой желающий, имеющий доступ к сети и гаджет с установленным веб-обозревателем.

Всё, что требуется от пользователя, — это введение заданного равенства в предлагаемую форму и нажатие кнопки «Выполнить расчёт». Через несколько секунд калькулятор выведет на экран результат решения. Причём многие такие сайты позволяют просмотреть и детальное решение заданного примера. Эта возможность довольно востребованная, так как позволяет не только понять алгоритм вычисления, но и закрепить пройденный на уроках материал.

Примеры решения

Знать теорию без умения применять её на практике бесполезно. Тем более что понять алгоритм и научиться действительно быстро находить корни неполного равенства можно только после тренировки. Обычно для закрепления материала достаточно самостоятельно прорешать около семи примеров. Вот два типовых задания, рассчитанные на учащихся восьмых классов.

Решить равенство тремя способами: 2x 2 — 18 = 0:

Как решать неполное квадратное уравнение

Из полученных корней разными способами все три варианта дали один и тот же ответ. Отсюда можно сделать вывод, что используемые алгоритмы верны, при этом все действия в них выполнены правильно.

Как решать неполное квадратное уравнение

В этом случае также можно было решать уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Если самостоятельно выполнить вычисления, то можно будет убедиться в правильности найденного ответа.

Источник

Как решать неполные квадратные уравнения?

Как решать неполное квадратное уравнение

Вспоминаем квадратное уравнение:

ax^2+bx+c=0

Если в левой части уравнения хотя бы один коэффициент при переменной равняется нолю, то уравнение называется неполным. Причём если нолю равняется коэффициент при x^2

то уравнение вырождается до линейного. Соответственно рассмотрению в нашем случае не подлежит.

Итак, неполные квадратные уравнения могут иметь вид:

ax^2+bx=0

ax^2+c=0

Каждое из них можно дополнить до «стандартного» квадратного уравнения

ax^2+bx+0=0

ax^2+0х+c=0

ax^2+0х+0=0

и решать привычным способом. Но решение можно найти и гораздо более простым способом.

ax^2+bx=0

Выносим х за скобки: x(ax+b)=0. Один корень получаем автоматически: x=0. Второй корень получаем из линейного уравнения в скобках: ax+b=0, откуда x=-b/a.

ax^2+c=0

Тривиально до банальности: x^2=0/a, и теперь при любом а x=0.

Источник

Неполные квадратные уравнения

Как решать неполное квадратное уравнение Как решать неполное квадратное уравнение

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 135.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 135.

Неполные квадратные уравнения решаются очень быстро. Главное знать, как решается каждый отдельный подвид неполного уравнения, а их всего 3, имеет свой, давно известный путь решения. Достаточно попробовать решить по одному уравнению из каждого вида, и вы будете свободно ориентироваться в этой теме.

Как решать неполное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент b или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:

Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.

Виды неполных квадратных уравнений

Каждый подвид уравнения решается быстро и просто. Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.

Первый случай

Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:

В таком случае, решение принимает следующий вид:

Вот и все решение.

Второй случай

Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:

В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:

$$ax^2+bx=0$$ – вынесем общий множитель за скобку (общий множитель у них – х)

$$x(ax+b)=0$$ – произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Решим небольшой пример.

Этот способ иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.

Третий случай

Третий случай самый простой, когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важны и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно, подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки уравнения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

Как решать неполное квадратное уравнение

Что мы узнали?

Мы дали определение неполного квадратного уравнения. Разобрали виды неполных квадратных уравнений и пути их решения, привели примеры для каждого из них. Поговорили о скользких моментах, на которых часто случаются ошибки.

Источник

Методика решений неполных квадратных уравнений

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Виды и решения неполных квадратных уравнений.

Определение: Квадратное уравнение Как решать неполное квадратное уравнениеназывается неполным, если хотя бы один из коэффициентов Как решать неполное квадратное уравнениеи Как решать неполное квадратное уравнениеравен нулю.

1. ax 2 =0 неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ).

Решение: х=0. Ответ: 0.

Решение. Раскроем скобки, умножив на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Ответ: 0.

2. ax 2 +bx=0 неполное квадратное уравнение (с=0 ).

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0

5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем:

Ответ: 0; 5,2.

3. ax 2 +c=0 неполное квадратное уравнение (b=0 );

Решение.

x=± Как решать неполное квадратное уравнение

х=±7

Пример 4. 3( x 2 + 4)=0

Решение. Раскроем скобки умножив слагаемые на 3

Уравнения для закрепления.

1. Най­ди­те корни урав­не­ния Как решать неполное квадратное уравнение

2. Най­ди­те корни урав­не­ния Как решать неполное квадратное уравнение

3. Найдите корни урав­не­ния Как решать неполное квадратное уравнение.

4. Найдите корни урав­не­ния Как решать неполное квадратное уравнение.

5. Решите урав­не­ние Как решать неполное квадратное уравнение

6. Решите уравнение 4х 2 + 20 = 0

7. Решите уравнение. х 2 = 0

10. Решите урав­не­ние. Х 2 – 0,36 =0

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Теория и методика педагогического проектирования

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Основы разработки онлайн-курса

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Как решать неполное квадратное уравнение

«Домашнее обучение. Лайфхаки для родителей»

Как решать неполное квадратное уравнение

Акция до 31 августа

Как решать неполное квадратное уравнение

«Начало учебного года современного учителя»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Как решать неполное квадратное уравнение

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

Как решать неполное квадратное уравнение

Дистанционные курсы для педагогов

Видеолекции для
профессионалов

Как решать неполное квадратное уравнение

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 900 043 материала в базе

Другие материалы

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Настоящий материал опубликован пользователем Глазкова Екатерина Олеговна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как решать неполное квадратное уравнение

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 490 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

«Игровые формы проведения урока математики в основной школе»

«Софрология. Упражнения для релаксации»

«Детская агрессивность. Психологическая коррекция агрессивности у дошкольников»

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),

В таком уравнении:

Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.

Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 есть два корня.

Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.

x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775

Примеры

Пример 1

20x² – 15x – 10 = 0

Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.

1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 значит есть два корня.

2. Ищем эти корни: формула корней

Как решать неполное квадратное уравнение

2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:

Как решать неполное квадратное уравнение

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539

2.2. Второй корень:

Как решать неполное квадратное уравнение

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

Пример 2

a = –1, b = 6, c = 18

Дискриминант D = b² – 4ac

D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 есть два корня

a = –1, b = 6, c = 18, D = 108

x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615

x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0

Мы уже нашли корни

Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:

20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)

Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем

20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =

Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.

Виды квадратных уравнений

Полное и неполное квадратное уравнение

В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:

–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)

x² + 16x = 0 (отсутствует с)

–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)

Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).

Как решать неполное квадратное уравнение?

Способ решения, когда b=0

5x² = 5, делим всё на 5

x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1

Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)

x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)

x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,

x = 0 или (x + 16)= 0

(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16

Второй способ решения, когда c=0

Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).

a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)

Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.

Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>

x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0

x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16

Способ решения, когда b=0 и c=0

Приведённое квадратное уравнение

Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:

x² + px + q = 0, где:

3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)

2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)

Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений

Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.

Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.

Источник

Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения можно решать так же, как и полные – через дискриминант. Это универсальный способ.

Как решать неполное квадратное уравнение

Но есть способы более простые.

Неполные квадратные уравнения делятся на 3 вида.

Рассмотрим каждый из них.

Как решать неполное квадратное уравнение

Уравнение такого вида имеет два корня, либо не имеет корней.

Как решать неполное квадратное уравнение

Уравнение такого вида всегда имеет 2 корня, один из которых нулевой.

Как решать неполное квадратное уравнение

Здесь один корень, равный нулю.

Посмотрите видеоролик, где на примерах показано, как решать неполные квадратные уравнения.

Если вам понравился материал — будьте добры,поделитесь с друзьями! Спасибо!

Источник

21. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

где х — переменная, а, b и с — числа.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения

Как решать неполное квадратное уравнение

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

Пример 2. Решим уравнение 4х 2 + 3 = 0.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х 2 + 3 = 0. Ответ: корней нет.

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение

равносильное уравнению ах 2 + с = 0.

Если Как решать неполное квадратное уравнение> 0, то уравнение имеет два корня:

Как решать неполное квадратное уравнение

Если Как решать неполное квадратное уравнение2 + 9х = 0.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:

х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + bх = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

Произведение х(ах + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ах + b = 0.

Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим

Значит, неполное квадратное уравнение вида ах 2 + bх = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ах 2 = 0 равносильно уравнению х 2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Упражнения

Как решать неполное квадратное уравнение

Источник

Неполное и полное квадратное уравнение: значение, формула, решение, примеры

Содержание:

Математические равенства с одной, несколькими неопределенными величинами называют уравнением. Решить задачу – означает определить числовые значения так, чтобы получить достоверное равенство после подстановки в исходный конструктив. Выражения с
неизвестными имеют определенную степень. Она устанавливается наивысшей степенью,
присущей переменной.

Выражение считается квадратным, если степень искомого элемента – вторая. Возможно наличие одного или нескольких искомых корней.

Решение сложной системы с Х во второй степени предполагает предварительный расчет дискриминанта. Используется установленная формула D = b² − 4ac.

Дискриминант, равный 0, – присутствует один Х. D меньше 0 – отсутствуют корни. D больше 0 – в формуле две основных переменных.

Главный признак любого примера с неизвестной величиной рассматриваемой группы – наличие. Допускается присутствие простого искомого определителя параметра Х, свободных членов.

Максимальная степень больше 2 – структура не относится к данной категории. Общий вид стандартного выражения:

Переменные Х – свободные. Числовыми определителями являются a, b и c, «а» не может иметь значение нуль.

Что такое неполное квадратное уравнение, как его решать, примеры

Неполная конструкция – квадратное уравнение без «с», имеет стандартный вид ах 2 + bx + c = 0.

Минимум один числовой элемент приравнивается к 0. Это может быть с, b или оба числа. Отсюда следует, что структура имеет вид:

Как решить пример с неизвестными неполного типа

Для решения системы ах 2 + bx = 0 левая часть структуры представляется в виде множителей. Скобка разделяет между собой х. Получается: х*(ах + b) = 0. Получить ноль при умножении можно только при условии наличия одного нулевого множителя. Следовательно, х = 0, ах + b = 0.

Решение системы стандартного типа:
x 2 — 15x = 0
x(x — 15) = 0
x1 = 0,
x — 15 = 0
x2 = 15

Полное квадратное уравнение: решение, примеры

Полный вариант конструкции предполагает наличие коэффициентов, все показатели положительные, больше нуля. Такие квадратные уравнения ОГЭ выглядят следующим образом: ax 2 + bx + c = 0, «а» не может быть равным нулю. В роли числовых коэффициентов выступают a, b, c; х является переменной.

Чтобы получить решение такой системы, необходимо высчитать дискриминант. Используется конструкция D=b2-4aс. Знак дискриминанта отрицательный – корень может
отсутствовать. Положительный D указывает на наличие двух основ. Используется система:

При решении подобных задач полного типа с положительным дискриминантом важно
учитывать наличие минуса.

Источник

Решение неполных квадратных уравнений

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Теория и методика педагогического проектирования

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Основы разработки онлайн-курса

Как решать неполное квадратное уравнение

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Как решать неполное квадратное уравнение

«Домашнее обучение. Лайфхаки для родителей»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Как решать неполное квадратное уравнение

8 класс
Решение неполных квадратных уравнений

Как решать неполное квадратное уравнение

Математику нельзя изучать,
наблюдая
как это делает сосед.

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 3 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Как решать неполное квадратное уравнение

Акция до 31 августа

Как решать неполное квадратное уравнение

«Начало учебного года современного учителя»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Как решать неполное квадратное уравнение

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

Как решать неполное квадратное уравнение

Дистанционные курсы для педагогов

Видеолекции для
профессионалов

Как решать неполное квадратное уравнение

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 900 043 материала в базе

Материал подходит для УМК

Как решать неполное квадратное уравнение

«Алгебра», Алимов Ш.А. и др.

§ 26. Неполные квадратные уравнения

Другие материалы

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Настоящий материал опубликован пользователем Кадалаева Залина Константиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как решать неполное квадратное уравнение

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 490 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

Как решать неполное квадратное уравнение

Как решать неполное квадратное уравнение

«Педагогическая поддержка и проблема личности ребенка»

«Технология проблемного обучения в условиях реализации ФГОС»

«Создание ситуации успеха на уроке как необходимое условие процесса обучения школьника»

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Решение неполных квадратных уравнений графическим способом

Неполные квадратные уравнения

Как решать неполное квадратное уравнение

О чем эта статья:

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Как решать неполное квадратное уравнение

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

    Вынести х за скобки

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Как решать квадратные уравнения

Как решать неполное квадратное уравнение

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Как решать неполное квадратное уравнение

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению ax 2 + c = 0, которое:

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Как решать неполное квадратное уравнение

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x 2 − 6x + 8 = 0.

    Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Как решать неполное квадратное уравнение

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>Как решать неполное квадратное уравнение

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

Как решать неполное квадратное уравнение

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Как решать неполное квадратное уравнение

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

    разделим обе части этого уравнения на отличное от нуля число a, после чего получим приведенное квадратное уравнение:

Как решать неполное квадратное уравнение

выделим полный квадрат левой части нового уравнения:

Как решать неполное квадратное уравнение,

после чего уравнение примет вид Как решать неполное квадратное уравнение

перенесем два последних слагаемых в правую часть и сменим знак на противоположный:

Как решать неполное квадратное уравнение

преобразуем выражение в правой части:

Как решать неполное квадратное уравнение

Так, мы пришли к уравнению Как решать неполное квадратное уравнение, которое полностью равносильно исходному ax 2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения Как решать неполное квадратное уравнение:

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

    Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

    Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

    Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Как решать неполное квадратное уравнение, где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Как решать неполное квадратное уравнение

где D1 = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

Как решать неполное квадратное уравнение

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

Как решать неполное квадратное уравнение

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Как решать неполное квадратное уравнение

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Как решать неполное квадратное уравнение

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *