Как решаются дроби
Как решаются дроби
Сложные выражения с дробями. Порядок действий
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Задача. Найдите значения выражений:
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
Это выражение можно прочитать по-разному:
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
Математические дроби – просто о сложном
В статье описаны математические дроби: основные виды дробей, их основное свойство, а также все операции, которые можно выполнять с дробями (сокращение, приведение, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление).
Дробь и ее виды
Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9).
Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5).
Смешанная — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Она представляет собой сумму этого числа и дроби. Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную путем выделения целой части (например, 9/4 = 2 ¼).
Десятичная — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. (например, 7/10 или 0,7; 9/100 или 0,09). Десятичная дробь записывается в виде целой и дробной части, которые отделяются запятой.
Математические дроби: основное свойство
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одинаковое число (не ноль), то получится равная дробь. Например, 2/3 = 2*2 / 3*2 = 4/6
Сокращение дроби
Сокращение осуществляется с помощью основного свойства дроби (чтобы упростить ее вид).
Чтобы сократить математические дроби, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на НОД.
НОД – это наибольший общий делитель (то есть максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель). Например, для дроби 4/20 наименьшим общим делителем будет 4 (4/20 = 1/5).
Приведение дробей к общему знаменателю
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель.
Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).
Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь и обратно
Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную (рассмотрим на примере 14/3).
Для перевода необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком (14 разделить на 3 равно 4 и остаток 2): получавшаяся целая часть от деления (число 4) – целая часть дроби, остаток от деления (число 2) – числитель правильной дроби. Получаем число 4 2/3.
На примере пирога: каждый пирог разрезан на 3 части и всего есть 14 кусочков. Получаем, что 12 кусочков составляют 4 целых пирога и еще остается два кусочка).
Для перевода смешанной дроби в неправильную необходимо (рассмотрим на примере 4 2/3):
для получения числителя целую часть дроби умножить на знаменатель и прибавить исходный числитель (4 умножить на 3 и прибавить 2, получим 14); знаменатель оставить прежним (число 3).
На примере пирога: есть 4 целых пирога, разрезанных на 3 части, и еще 2 кусочка из трех; получаем 12 кусочков из пирогов, разрезанных на три части, и 2 кусочка из пирога, разрезанного на три части. Итого, получаем 14 кусочков пирогов, каждый из которых разрезан на три части.
Математические дроби: сравнение
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми знаменателями, то больше та дробь, числитель которой больше (например, 5/6 > 1/6, то есть пять частей из шести будет больше, чем одна часть из шести).
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми числителями, то больше та дробь, знаменатель которой меньше (например, 1/2 > 1/3, то есть 1/2 часть пирога будет больше, чем 1/3).
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей (например, для сравнения 3/4 и 5/6 нужно привести дроби к общему знаменателю; получаем 9/12
Общие сведения
Дробь — это число, образуемое из равных долей единицы. Чтобы разобраться в сути выражения, следует понять, что означают слова «целое» и «часть». Пусть есть плитка шоколадки. Она разделена на десять частей. Если взять один кусочек, можно сказать, что в руках находится одна часть из десяти. Отломать второй — получится два куска опять же из десяти.
Эти кусочки и являются долями. То есть тем, из чего состоит целая часть. При этом их размеры должны быть одинаковыми. В рассматриваемой шоколадке их десять. Если её поделить пополам, то это действие будет сродни удалению пяти долей. На математическом языке это действие будет записано как 5 / 10. Целую же шоколадку можно представить так: 10 / 10.
Наклонная черта обозначает деление. В верхней части записывают число, определяющее, сколько долей было забрано от целого, значение которого указывается в нижней строке. В математике принято для краткости число, стоящее над чертой, называть числителем (делимым), а под ней знаменателем (делителем).
В зависимости от значений отношения, существующие дробные выражения разделяют на три типа:
Существуют и так называемые десятичные дроби. Их исторически выделили из-за простоты выражения. При этом в записи используется не черта, а запятая. Она отделяет единицы от десятичных значений. Например, 1,2; 0,2; 3,56. Это просто иные записи обыкновенных дробных выражений. Так: 1,2 = 12 / 10; 0,2 = 2 /10; 3,56 = 356 / 100.
Пожалуй, понятие смешанной дроби требует дополнительного объяснения. Записывают её так: x (y / z), где: x — целое число; y / z — дробное отношение. По сути, между двумя частями стоит знак плюс, который не указывают. Поэтому выражение x (y / z) можно переписать как x (y / z) = x + (y / z). Например, 3 (4/5) = 3 + (4 / 5).
Так как дроби это числа, то с ними можно выполнять любые арифметические операции. Но их можно не только складывать, вычитать, умножать, делить, но и возводить в степень, дифференцировать, брать логарифм. Для выполнения этих действий нужно знать правила и свойства дробей, которым и обучают на уроках математики в школе.
Главное правило
Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то результат действия от этого не изменится. Это правило справедливо и для операции деления. Доказать это утверждение довольно просто.
Пусть есть два равных выражения a / b и m / n. Они будут равными, если у них одинаковые числители и знаменатели. Значит: a * n = b * m. Например, 3 / 5 = 6 / 10, так как 3 * 10 = 5 * 6. Из этого следует, что одинаковыми будут по величине и выражения a / b = (m * c) / n * c), ведь равенство a * (n * c) = b * (m * c) также справедливо. Утверждать о верности последнего выражения можно на основании сочетательного и переместительного свойства умножения.
Эти правила гласят следующее:
Таким образом, можно записать: a / b = a * c / b * c. Это равенство и соответствует основному свойству дроби. В 5 классе после доказательства правильности утверждения, ученикам предлагается подумать над следствием, вытекающим из правила. На самом деле оно простое и порядка 90 процентов учеников называют его. Звучит оно так: если в дробном выражении делимое и делитель разделить на одно и то же число, значение выражения не изменится.
Эти правила очень важны. Благодаря им исходное равенство можно при необходимости привести к простому виду. Использование следствия иногда называют сокращением дроби. Например, пусть есть простое для понимания отношение: 60 / 30. Если выполнить деление, то в ответе получится цифра два. Но изначально числитель и знаменатель можно сократить на десять, то есть разделить на это число: 60 / 30 = 6 / 3 = 2. Результат не поменялся. Более того, можно упростить и 6 / 3, выполнив деление на три: 6 / 3 = 2 / 1 = 2. Ответ снова совпадает.
Для общего же случая нужно отметить, что сокращение возможно лишь тогда, когда делимое и делитель не являются взаимно простыми числами. Если это не так, то дробь считается несократимой. Например, 1 / 2; 4 / 5. Использование основного свойства заключается в приведении исходного выражения к несократимому: 18 / 30 = 3 / 5 (после сокращения на шесть).
Нужно отметить, что на рассмотренных правилах построены практически все алгоритмы, связанные с выполнением математических действий над дробями.
Действия с дробями
Перед тем как приступить к изучению алгоритмов выполнения арифметических операций над дробями, нужно научиться преобразовывать смешанное отношение в неправильное число и находить наименьший общий знаменатель.
Для преобразования необходимо целое умножить на делитель дробной части, а затем полученное число сложить с её делимым. Затем результат прибавления занести в числитель, а знаменатель записать без изменения. При этом целое число можно представить как неправильную дробь, если добавить к ней знаменатель, равняющийся единице. Например, 9 (3 / 4) = ((9 * 4) + 3) / 4 = 39 / 4. Это операция обратимая, то есть преобразование можно выполнить и в обратную сторону.
Если в выражениях, над которыми необходимо выполнить сложение или вычитание, стоят одинаковые по значению делители, то говорят, что они приведённые. То есть чтобы выполнить арифметическую операцию, нужно найти общее кратное для всех знаменателей. Для его определения существуют несколько методов. Самый простой, но далеко не рациональный, простое перемножение делителей.
Другой заключается в выявлении наименьшего числа среди всех знаменателей, умножения его на два с последующей пробой деления полученного результата на оставшиеся делители без остатка. Если это невозможно, меньший знаменатель умножают на три. Это действие повторяют до тех пор, пока не найдётся число, делящееся на все делители без остатка.
Алгоритмы выполнения операций над дробными выражениями следующие:
Решение задач
Несмотря на то что свойства дробей несложны, для лучшего их понимания нужно прорешать несколько простых примеров. Обычно хватает решить около шести заданий, чтобы получить необходимые навыки. Вот несколько наиболее интересных типовых примеров для самостоятельной работы:
Таким образом, использование свойств требует логического мышления и знания формул выполнения действий.
На этапе обучения их можно даже выписать в отдельную таблицу и пользоваться ей при решении, пока действия не дойдут до автоматизма. При этом полученный результат удобно проверять на онлайн-калькуляторах, которых в интернете можно насчитать более двух десятков. Это обычные сайты, выполняющие различные расчёты в режиме реального времени.
Действия с обыкновенными дробями
Если числитель меньше знаменателя, то дробь является правильной.
Если числитель больше или равен знаменателю, то дробь неправильная. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
Сложение и вычитание правильных дробей.
Чтобы сложить/вычесть правильные дроби надо привести их к общему знаменателю, затем сложить/вычесть числители, а знаменатель оставить без изменений.
Сложение неправильных дробей (смешанных чисел).
Для сложения неправильных дробей можно пользоваться таким же правилом, как и для правильных. Но обычно неправильные дроби представляют в виде смешанного числа, т.е. выделяют целую часть.
Для примера возьмем дробь 
.
Получается, что 
.
Чтобы сложить смешанные числа надо сложить их целые части, а затем дробные. Если дробная часть окажется неправильной, то из нее надо выделить целую часть и прибавить ее к уже имеющейся.
Приведу очень подробно расписанный пример:
Вычитание неправильных дробей (смешанных чисел).
Вычитать неправильные дроби можно также, как и правильные: привести к общему знаменателю и вычесть числители. Но опять же, как и со сложением, принято представлять их сначала в виде смешанных чисел.
Обратите внимание, что конечный ответ должен быть представлен в виде несократимой дроби (во всех случаях! просто до этого примера везло и попадались результаты в виде несократимых дробей).
Во втором примере не так всё гладко. Дробная часть первого числа меньше дробной части второго.
В этом случае мы занимаем у 10 единицу, которую представляем в виде дроби 60/60, а затем прибавляем к уже имеющейся дробной части. И наконец получаем нормальный пример, в котором дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого.
Так было. Во времена незнания об отрицательных числах.
Я снова решу этот пример, но другим способом, а ты выбирай, какой больше нравится)
Хочется сюда же впихнуть два примера, в которых из целых чисел будут вычитаться дробь и смешанное число. В этих двух случаях у целого числа занимается единица и представляется в виде неправильной дроби с необходимым знаменателем.
Умножение дробей и смешанных чисел.
При умножении смешанных чисел надо перевести их в неправильные дроби. Для этого знаменатель умножаем на целую часть, прибавляем числитель, результат записываем в числитель, знаменатель без изменений.
Деление дробей и смешанных чисел.
Чтобы разделить дробь на дробь надо заменить знак деления на знак умножения, а вторую дробь перевернуть вверх тормашками.
При умножении смешанных чисел переводим их в неправильные дроби и действуем также, как с обычными дробями.
Я попыталась собрать здесь всё, что пригодится в решении различных примеров с обыкновенными дробями и надеюсь, что эта статья будет тебе полезна.
Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями
Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.
Доли целого
Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.
Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.
Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.
Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.
Половина – одна вторая доля предмета.
Треть – одна третья доля предмета.
Четверть – одна четвертая доля предмета.
Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры
Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.
Числитель и знаменатель
Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).
Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Черта дроби как знак деления
Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.
При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10 : каждому человеку достанется семь десятых долей.
Равные и неравные обыкновенные дроби
Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.
В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.
Дробные числа
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Решение уравнений с дробями
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
максимальное число на которое можно поделить 6 и 8, будет 2. Делим 6 на 2, получаем 3. Делим 8 на 2 получаем 4. Ответ: 
.
Дробь две шестых будет равняться дроби одной третьей
Результат три шестых необходимо разделить на максимальное делимое число, в нашем случае это три.
решение будет таким 
результат 
необходимо упростить, находим максимальное число на которое можно разделить числитель и знаменатель, этим числом является пять. Делим числитель сорок пять на пять, получаем девять, делим знаменатель на пять, получаем шестнадцать. Ответ: девять шестнадцатых.
сначала сократим дроби а только потом умножим. Делим знаменатель первой дроби на пять, получаем
делим числитель второй дроби на пять, получаем 
теперь умножаем три первых на три шестнадцатых, получаем 
ответ такой же как в примере выше.
— можно получить, умножив числитель и знаменатель дроби 
— на 9: 
следует, что дроби 
и 
являются разными записями одного и того же числа.
разделить на их общий делитель 11, то получим дробь 
, равную дроби 
:
сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой. Числитель и знаменатель несократимой дроби являются взаимно простыми числами.
.
имеют одинаковые знаменатели. Такие дроби мы умеем сравнивать. Меньшей из этих дробей является та, числитель которой меньше, то есть
.
к одинаковому, или, еще говорят, общему знаменателю.
можно привести к знаменателям, кратным 5:
— к знаменателям, кратным 7:
а 
то 
имеют одинаковые целые части. Сравним дробные части этих чисел.
а 
то 
то есть 
часть пирога, Сережа — 
части. Для решения задачи нужно эти дроби сложить:
часть пирога.
часть пирога, а Сережа — 
часть. Какую часть пирога съели Петя и Сережа вместе?
пирога: 
Сережа съел 
пирога. Теперь можно найти часть пирога, которую мальчики съели вместе:
то большую часть пирога съел Сережа. Чтобы найти, на
— переместительное свойство;
— сочетательное свойство.
для второй — 3 
Записываем так:
заказа, ученица — 
заказа. Вместе за 1 день они выполнят:
, или половину заказа.
— основное свойство дроби, умножили или разделили числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
— сократили дробь.
— дробь 
привели к знаменателю 70; 10 — дополнительный множитель.
— наименьший общий знаменатель этих дробей.
— сложили дроби с разными знаменателями. 12 18 36 36
— вычли дроби с разными знаменателями.
дм, а ширина — 
дм. Найти площадь прямоугольника.
.
?
— дроби, то
то
ч?
— девочки. Сколько девочек в классе?
от 30 учеников:
от 30 учеников.
:
от 
0,21 от 12.
от 20.
и поменяем в ней местами числитель и знаменатель, то есть числитель запишем знаменателем, а знаменатель — числителем. Получим 
Найдем произведение этих дробей:
равно 1. Такие числа называют взаимно обратными; число 
, а число 
— обратным числу 
и 
равно 1, то 
— число, образное числу 
Итак, 
то 
связь числителя и знаменателя частного 
с числителем и знаменателем делимого 
и делителя 
малозаметна. Найдем произведение делимого 
и числа 
обратного делителю:
и 
верно равенство 
на дробь
Частное от деления двух выражении также можно записывать при помощи черты дроби. Например.
называют дробным выражением, числителем которого является выражение 12 + 3 • 3, а знаменателем — выражение 12 — 0,7. В числителе и знаменателе дробного выражения могут быть числовые выражения и выражения с переменными. Например,
—дробные выражения.
неправильными дробями: 
расстояния между этими городами. Каково расстояние между городами А и В?
расстояния;
расстояния — это 60 км, а нужно найти все расстояние, то есть в задаче известно, чему равна дробь от числа, а нужно найти само число.
которого равны 45.
которого равны 14.
и 
можно преобразовать в конечные десятичные дроби. Знаменатели этих дробей 4 = 2 • 2 и 20 = 2 • 2 • 5 имеют в своих разложениях на простые множители только два простых числа: 2 и 5. Кроме деления числителя на знаменатель, преобразовать такие дроби в десятичные можно еще и так:
в десятичную дробь.
квадрата, а на втором 
квадрата. Значит, дробь 
.
. Рассуждая в обратном порядке, получим: 
. Такое свойство называют основным свойством дроби.
, если 
;
, если 
плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел 
плитки. Мама сказала, что каждый из детей съел одинаковую часть плитки шоколада. Так ли это?
. Значит Таня и Ваня действительно съели одинаковые части плитки шоколада. Мама была права.
. Здесь числитель и знаменатель дроби 
мы разделили на 2 и получили дробь с меньшим знаменателем 8 и меньшим числителем 3. Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.
не имеют других общих делителей, кроме числа 1. Числа 5 и 7 являются взаимно простыми, поэтому дробь 
сократить нельзя.
несократимые.
Если после сокращения дроби получили дробь, которую можно ещё сократить, то действие сокращения повторяют* пока не получат несократимую дробь. Например:
асса называли «унцией». Путь, время и другие величины римляне также сравнивали с массой. Например, они говорили, что прошли семь унций пути или прочитали три унции книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Римляне имели в виду, что пройдено
пути или прочитано
книги.
можно заменить дробью 
потому, что значения этих дробей равны: 
. О таком равенстве говорят, что дробь 
нужно привести к знаменателю 50. Для этого сначала следует узнать, во сколько раз новый знаменатель 50 больше знаменателя данной дроби: 
. Затем — во столько же раз нужно увеличить числитель данной дроби: 
. Следовательно, 
. Число 5 называют дополнительным множителем.
нельзя привести к знаменателю 11 или 25, поскольку ни число 11, ни число 25 не делится на число 10.
и
.
поскольку 
; 
, поскольку 
.
и 
.
, а 
. Поскольку знаменатели полученных дробей равны, можем сравнить их числители: 
. Отсюда: 
. Следовательно, 
.
часть плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел бы 
её часть (рис. 6) Какую часть плитки шоколада съели бы Таня и Ваня вместе?
, нужно каждое слагаемое представить в одних и тех же единицах измерения. Понятно, что для плитки шоколада такой меркой является долька, или 
плитки. Тогда 
плитки содержит 3 дольки, то есть равна 
плитки шоколада, а 
плитки содержит 2 дольки, то есть равна 
плитки шоколада. Вместе это составляет 5 долек, или 
плитки шоколада.
плитки шоколада.
плитки шоколада, в которой всего 18 долек. Таня съела 
плитки шоколада, а другую часть съел Ваня. Какую часть плитки съел Ваня’?
плитки, а 
плитки, то 
или 
плитки шоколада.
плитки шоколада.
; 2) 
.
. Выразив стороны в дециметрах, получим
. Значит, в квадратных дециметрах площадь данного прямоугольника равна произведению дробей 
и 
. Но как вычислить такое произведение? Поразмышляем. Поскольку 
, то 
. Несложно заметить, что знаменатель произведения равен произведению знаменателей: 
, а числитель произведения равен произведению числителей: 
. В этом и состоит правило умножения дробей.
.
; 
.
получим обратное число 
. Для натурального числа обратной является дробь, у которой числитель — 1, а знаменатель — данное натуральное число. Например, для чисел 5, 14 и 29 обратными являются соответственно числа 
, 
, 
.
рулета. Сколько сантиметров составляют 
длины рулета?
рулета. Но такую запись получим и тогда, когда число 30 умножим на дробь 
.Значит, 
и одной стороной 
(рис. 9) вторая сторона равна частному от деления дроби 
на дробь 
.
. Тогда можем записать: 
. Видим, что 
, поскольку 
. Значит, 
, то есть 
. Такой же результат получим, когда дробь 
умножим на дробь 
, обратную дроби 
. Действительно: 
.
.
на дробь 
.
; 2) 
.
;
.
рулета Сколько сантиметров составляла длина целого рулета?
, а длина всего рулета — 
. Следовательно, чтобы по условию задачи найти длину всего рулета, можно число 30 разделить на дробь 
.Такое действие иначе называют преобразованием десятичной дроби в обыкновенную. Обратное действие называют преобразованием обыкновенной дроби в десятичную.
, 
и 
нужно преобразовать в десятичные. Для этого числитель разделим на знаменатель. Тогда получим:
Бесконечную десятичную периодическую дробь кратко записывают так: 
. Читают так: «Ноль целых восемь десятых и три в периоде».
содержит три цифры: 
.
в виде десятичной дроби:
.
. В ней первое и второе значения являются округлением с недостатком, а третье, четвёртое и пятое — с избытком. Значит, такая последовательность не даёт однозначной характеристики полученной дроби. Для более точной её оценки применяют специальные процедуры.
последовательность десятичных приближений с недостатком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этот не округлим данное число, а отбросим все последующие цифры после указанного разряда: 
.
последовательность десятичных приближений с избытком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этого добавим единицу до соответствующего разряда и отбросим все последующие цифры после него: 
.
справедливы неравенства:
с точностью до единиц, второе — с точностью до десятых, третье — с точностью до сотых.
: «Дробь 
, 
, 
и 
в виде десятичных дробей.
нельзя представить в виде конечной десятичной периодической дроби.
торта (рис. 12).
Черта, отделяющая числитель от знаменателя, называется чертой дроби. Числитель и знаменатель называют членами дроби.
— правильная, а дроби 
и 
— неправильные, «значение каждой правильной дроби меньше 1. Если числитель равен знаменателю, то значение такой дроби равно 1.
(рис. 13).
обозначают одно и то же число: половину. На координатном луче каждой точке соответствует единственное число, а записывать его можно многими различными способами (рис. 14).
и 0,5; б) 
и 0,17.
поэтому 
, поэтому данные числа равны.
; б) 3,15-
.
. Так же, разделив 28 на
. Всегда 
, или иначе 
на 2 и на 4. Получим дроби 
и 
(рис. 16).
. Если ее числитель умножить на 2, то значение дроби увеличится вдвое (рис. 17). Вообще, если числитель дроби увеличить в несколько раз, то и значение дроби увеличится во столько же раз. Если же на 2 умножить знаменатель дроби 
, то получим дробь 
, которая вдвое меньше (рис. 18). Вообще, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз.
числитель (значение дроби увеличится в 
раз) и знаменатель (значение дроби уменьшится в 
раз), то в результате значение дроби не изменится. Это иное обоснование основного свойства дроби.
больше 
в 3 раза. А дробь 
меньше 
в 3 раза.
?
. Ее числитель и знаменатель делятся на 10. Разделив их на этот общий делитель, получим 
. Эта дробь имеет то же значение, что и 
, но проще, поскольку записана меньшими числами. Такое
сокращена на 10, то есть ее числитель и знаменатель разделены на 10.
. Поступаем так:
или так: 
.
, поскольку 
. А как сравнивать дроби с разными знаменателями? Какая из двух дробей больше: 
или 
? Чтобы ответить на этот вопрос, надо привести данные дроби к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получим дробь 
, знаменатель которой такой же, как и знаменатель второй дроби. А сравнивать дроби 
и 
вы уже умеете. «Заменив дроби 
и 
на 
и 
, мы привели их к общему знаменателю 10.
и 
.
и 
может быть и произведение 5 • 3 • 10, то есть 150.
и 
.
и 
к наименьшему общему знаменателю.
, то 
преобразовать в смешанное число, разделим 32 на 5.
и 
.
и 
; б) 
и 
.
то
дм и 
дм (рис. 27), то, чтобы найти его площадь, нужно умножить эти дроби. Это нетрудно сделать, если вспомнить, как умножают десятичные дроби:
всегда
, всегда
здесь 
здесь 
и 
; б) 
и 
на 2.
или умножить 
, результаты получаем одинаковые. Оказывав, что подобное свойство сохраняется и при делении любого числа на любую дробь 
.
на 
-это значит найти такое число, которое при умножении на 
дает 
верно.
и 
называются взаимно обратными. Вообще, два числа взаимно обратные, если их произведение равно 1.
и 3, 
и 
обозначают одно и то же число. Так же выражение 
можно записать в виде 
книги. Сколько страниц прочитал ученик?
от 
равно 
всей книги. Сколько всего страниц в книге?
страниц. Тогда
от 
равно 
, то 
.
книги. Сколько страниц еще осталось ему прочитать?
ч. Найдите расстояние между городами.
, то 
— это частное 
вытекает такое правило преобразования обыкновенной дроби в десятичную.
. Разделив 7 па 25, получим 0,28. Следовательно, 
. Делить 2 на 3 можно бесконечно, поскольку остаток 2 периодически повторяется. В результате получим бесконечную периодическую десятичную дробь 
(рис.36).
пишут 
до тысячных.
— округлено до сотых;
— округлено до тысячных.
и 
, если 
и 
и 
буханки. А в папирусе дан иной ответ:
Со временем такие дроби использовали астрономы, поэтому их назвали астрономическими дробями.
, но называли их отношениями. И читали их не так, как теперь.
меридиана», а «11 таких частей, каких весь меридиан содержит 83».
или 
, например 
и другие, рассматривали еще в IV в. до н. э.
плохие, поэтому «деловые люди не любят таких дробей и выражают их суммами долей (единичных дробей)».
называют «половиной», «третью», «четвертиной», а в начале XX в. говорили «пятина», «восьмина», «девятина», «десятина». Числа 
называли соответственно:
. Такая форма записи особенно удобна для печатных аппаратов и вычислительных машин. Но пока что она не стала общепринятой.
— это частное при делении натуральных чисел 
и 
Числитель 
и знаменатель 
вместе называют членами дроби. Дальше вместо обыкновенная дробь будем писать короче: дробь.
