Как решить логарифм
Как решить логарифм
Как решать логарифмы
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 18 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 208 000.
Не знаете, как работать с логарифмами? Не волнуйтесь! Это не так сложно. Логарифм определяется как показатель степени, то есть логарифмическое уравнение logax = y равносильно показательному уравнению a y = x. [1] X Источник информации
Как решить логарифм
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
1. Поймете, что такое логарифм.
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень.
Чувствую, сомневаетесь вы. Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
3 x = 9
А теперь решите почти то же самое:
3 x = 8
Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!
Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….
Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (3 1 = 3) и двойкой (3 2 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?
Вернёмся к нашему загадочному примеру:
3 x = 8.
Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:
Читаем ещё раз: «икс равен логарифму восьми по основанию три».
И это правильный ответ!
Мы решили крутое показательное уравнение 3 x = 8!
И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!
Как решить пример:
Это все верные ответы! Приятно, правда?
Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: «как доехать до вокзала?» И нам честно и правильно ответили: «На автобусе, который идёт до вокзала!» В жизни толку с такого ответа мало.
На вопрос: чему равен х в уравнении
Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:
Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас. Я покажу вам это конкретное число:
Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно.
Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.
И чему же равен log24?
Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:
А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.
Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо. Не только здесь.
Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
В результате получилось:
а > 0; a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим. получим. Да! Положительное число и получим. Отсюда:
Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.
Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.
Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.
Основание 10 не пишется, буква «о» пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И
Логарифмы по основанию «е» называются натуральными. Хотя чего уж там натурального.
Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!
Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение «Решение логарифмов» предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.
Запишем знакомое нам выражение:
Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:
А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:
Подставим это в предыдущую формулу, и получим:
И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!
Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.
Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.
Чему равняется выражение:
В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:
Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:
Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.
Свойства логарифмов.
здесь х>0, y>0, a>0, a≠1, m>0, m≠1.
Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!
Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?
Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:
Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.
Решилось? Неплохо! А ещё?
Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?
Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.
Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 49 6 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
[Подпись к рисунку]
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
[Подпись к рисунку]
[Подпись к рисунку]
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2; log2 25 = log2 5 2 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
[Подпись к рисунку]
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
[Подпись к рисунку]
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
[Подпись к рисунку]
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
[Подпись к рисунку]
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.
Логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2 x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2 x = 7.
По графику функции y = 2 x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2 2 = 4, 2 3 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107.
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
так как
, так как
так как
;
, так как
.
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
Формулы (4) и (5) вместе дают:
(6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
(7) |
Например, .
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
(8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
(9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. (применили основное логарифмическое тождество(1))
3. (применили формулу (4).
4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).
5. (применили формулу (3) разности логарифмов)
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения
Если у нас есть выражение, содержащее логарифмы, то мы можем преобразовать его с учетом свойств этих логарифмов. В этом материале мы рассмотрим основные правила, по которым осуществляется данное преобразование.
В первом пункте приведем основные свойства логарифмов, представив их в виде списка. Далее рассмотрим характерные примеры преобразований с использованием этих свойств. Отдельно остановимся на числовых выражениях и на выражениях с переменными, а также посмотрим, как преобразовывать примеры с использованием модуля.
Свойства логарифмов
log a q b p = log a b p log a a q = p · log a b q = p q · log a b
То же относится и к последнему свойству из списка, выраженному формулой b log a c = C log a c = c log a b : оно тоже может быть выведено из основных свойств. Нужно учитывать, что если у нас есть степень положительного числа с логарифмом в показателе, то мы всегда можем поменять число под логарифмом и основание степени местами. В принципе, на практике такие задачи встречаются не слишком часто, но мы их все же разберем.
Как преобразовать числовое выражение с логарифмом
После того, как мы вспомнили основные свойства логарифмов, покажем, как использовать их при решении задач. Начнем с того, как преобразовывать числовые выражения, потому что такие вычисления считаются более простыми. Возьмем сперва примитивные примеры, с помощью которых легко проиллюстрировать выбор нужного свойства логарифма, а потом будем наращивать сложность задач. В конце разберем задания, в которых нужно использовать сразу несколько свойств.
Как выбрать свойство логарифма для преобразования
Список свойств, приведенный в первом пункте, довольно большой, и очевидно, что нужно хорошо в нем ориентироваться, чтобы получить нужный результат. Обычно выбор делается по итогам сравнения исходного логарифма/выражения с левыми и правыми частями формул, выражающих свойства. В том случае, когда одна из частей формулы похожа на исходный логарифм или выражение, мы берем именно это свойство и выполняем преобразование с его помощью. Покажем на примерах, как именно это делается.
Решение
Далее возьмем примеры с другими свойствами логарифмов.
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и представим исходный логарифм как отношение десятичных логарифмов с известными нам значениями.
log 2 5 = l g 5 l g 2
Считаем: ln 11 ln 3 = log 3 11
Мы разобрали множество примеров, где для осуществления преобразования достаточно применить одну формулу свойства логарифма или его определение. Теперь мы можем перейти к более сложным задачам, в которых нужно последовательно применять несколько свойств, а также делать дополнительные преобразования. Однако перед этим запишем еще один важный пример использования следствий из основных свойств логарифмов.
Решение
Задачи с применением нескольких свойств логарифмов
В действительности чаще встречаются более сложные задания, чем те, что мы разобрали в предыдущем параграфе. В них приходится выполнять преобразования в несколько шагов, применяя последовательно одно свойство за другим. Кроме того, они зачастую включают в себя необходимость раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, сокращать обыкновенные дроби и др. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать правильную последовательность действий.
Решение
Вот все решение без комментариев:
( log 3 15 − log 3 5 ) · 7 log 7 5 = log 3 ( 15 : 5 ) · 5 = = log 3 3 · 5 = 1 · 5 = 5
Решение
Решение
Предварительное преобразование перед применением основных свойств логарифмов
На практике мы часто можем встретить логарифмы, которые внешне не похожи ни на одну часть формулы свойства. Однако при этом преобразование требует применения именно этих формул. Это возможно, если перед этим привести их к соответствующему виду. Это процесс называется тождественным преобразованием.
В роли таких действий могут выступать почти любые преобразования выражений, в том числе раскрытие скобок, вынесение за скобки множителей, применение формул тригонометрии и т.д. Это очевидно, поскольку выражения под знаком логарифма могут содержать практически все, что угодно: модули, скобки, дроби, степени и др. Поэтому нужно уметь выполнять разные виды преобразований, чтобы успешно решать такие задачи.
Данная статья не имеет целью осветить все возможные случаи преобразований, поскольку их очень много. Мы выбрали только четыре, которые наиболее распространены.
Разберем подробно каждый вид преобразования.
Как выделить степень в основании логарифма и под его знаком
Этот пример иллюстрирует нам следующую мысль: если есть возможность, нужно выделить степень в основании и под знаком логарифма, чтобы впоследствии применить свойство логарифма степени. Ниже мы приведем некоторые советы, как именно выделять степени в таких примерах.
Решение
Если исходного числа нет в таблице степеней, то мы можем разложить его на простые множители.
Решение
Выполняем разложение 648 на простые множители.
648 324 162 81 9 3 1 2 2 2 3 3 3
Теперь мы можем преобразовать исходный логарифм произведения в сумму, а потом воспользоваться формулой логарифма степени.
Упрощаем выражение через раскрытие скобок:
Решение
Преобразования, которые нужно сделать, чтобы получить под знаком логарифма нужную степень, могут значительно отличаться от примера к примеру.
Решение
Первое, что нам нужно сделать, – это избавиться от иррациональности в знаменателе первой дроби, лежащей в основании логарифма:
Мы получили результат, схожий с дробью под знаком логарифма. Применим к нему свойства степеней и получим:
Чтобы преобразовать второе выражение, надо воспользоваться тригонометрическими формулами, а конкретно формулой понижения степени cos 2 a = 1 + cos 2 a 2 :
log 2 · cos 1 ( 1 + cos 2 ) 3 = log 2 · cos 1 ( 2 · cos 2 1 ) 3
Как применять свойства степени при преобразовании выражений с логарифмами
Ранее мы уже использовали свойства степеней, чтобы преобразовать выражения под знаком логарифма и его основание. Посмотрим, в каких еще характерных случаях потребуется такая подготовка.
Решение
3 − 2 · 3 log 3 7 = ( 1 9 ) · 7 = 7 9
Посмотрим пример решения такой задачи.
Решение
Вот запись всего решения:
2 log 2 2 3 − 3 log 2 3 = 2 log 2 3 · log 2 3 − 3 log 2 3 = = ( 2 log 2 3 ) log 2 3 − 3 log 2 3 = 3 log 2 3 − 3 log 2 3 = 0
Также встречаются примеры, где предварительная подготовка к использованию свойств логарифмов заключается в применении и свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями, и свойства степени в степени. Например,
Преобразование логарифмов с десятичными дробями
В целом можно сказать, что в случае наличия десятичной дроби под знаком логарифма необходимо выполнить переход к обыкновенной дроби. Это поможет увидеть возможности использования свойств логарифмов.
Разберем подобную задачу.
Решение
Начнем с перехода от десятичных дробей к обыкновенным.
Теперь видно, что мы можем преобразовать 25 4 в виде ( 2 5 ) − 2 и воспользоваться формулой логарифма степени. Вычисляем значение:
Преобразование выражений с отрицательными числами под знаком логарифма
( − 2 ) 6 = ( ( − 1 ) · 2 ) 6 = ( − 1 ) 6 · 2 6 = 1 · 2 6 = 2 6
Решение
Сначала заключим, что данное выражение имеет смысл. Воспользоваться сразу свойством логарифма частного у нас нет возможности из-за отрицательных чисел под знаком логарифма, поэтому выполним преобразования.
Как преобразовать логарифмическое выражение с переменными
В предыдущих параграфах мы разобрали, как работать с числовыми выражениями, содержащими логарифмы. Однако если требуется решить логарифмическое неравенство или уравнение, нам понадобится умение работать с теми случаями, когда под знаком логарифма содержится выражение с переменными. В целом при этом мы руководствуемся теми же принципами, что и с числовыми выражениями, но тут следует отдельно пояснить некоторые нюансы, незнание которых ведет к ошибкам.
Особенности преобразований выражений с переменными
Основная трудность состоит в том, что при работе с такими выражениями числа, расположенные под знаком логарифма и в его основании, должны соответствовать особым условиям, а в случае определенных переменных из области допустимых значений эти условия могут оказаться невыполненными. Приведем один наглядный пример.
Почему надо учитывать область допустимых значений
Важно следить, как меняется область значений во время каждого преобразования. Если на каком-либо этапе происходит ее сужение, это повод тщательно проверить все вычисления и определить, правомерно ли использования данного преобразования.
Чаще всего при решении задач приходится иметь дело с выражениями, область допустимых значений которых не ограничивает применение свойств логарифмов в прямом и обратном порядке, но не следует относиться так ко всем примерам. Нужно всегда проверять, что происходит с областью допустимых значений, и своевременно отслеживать возможные ошибки.
Запишем, в ходе каких преобразований чаще всего происходит непреднамеренное сужение области значений:
Теперь, когда мы обговорили тонкости, на которые нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными с использованием свойств логарифмов, остается разобраться, как правильно эти преобразования проводить.
Правила проведения преобразований
Мы говорили ранее, что чаще всего область допустимых значений позволяет нам применять свойства логарифмов в привычных формулировках.
Решение
На первый взгляд данное выражение нужно преобразовать, используя логарифм степени, то есть сначала вынести нужную степень в виде коэффициента и потом привести подобные слагаемые. Давайте разберемся, правомерно ли применение выбранного свойства в этом случае.
3 · l g ( x + 2 ) 7 − l g ( x + 2 ) − 5 · l g ( x + 2 ) 4 = = 3 · 7 · l g ( x + 2 ) − l g ( x + 2 ) − 5 · 4 · l g ( x + 2 ) = = 21 · l g ( x + 2 ) − l g ( x + 2 ) − 20 · l g ( x + 2 ) = = ( 21 − 1 − 20 ) · l g ( x + 2 ) = 0
Область допустимых значений позволяет нам использовать и другой вариант вычисления, например, такой:
А как быть в случае, если в области допустимых значений нужные условия не будут выполняться? Возьмем соответствующий пример и разберем его.
Решение
Возьмем еще один пример, чтобы закрепить навыки работы с модулями.
Решение
Вычисляем область допустимых значений данного выражения:
А на интервале от одного до двух значение x − 1 будет положительным, а x − 2 и x − 3 – отрицательными. Значит, отрицательные значения нам нужно заключить в знаки модуля. У нас получится, что:
Теперь объединяем получившиеся результаты.
С помощью таких рассуждений и свойств логарифмов отношения, произведения и степени можно вывести несколько результатов, полезных на практике и удобных в использовании:
Решение
На первый взгляд, мы должны взять формулы логарифмов разности, суммы и степени. Давайте посмотрим, насколько правомерно их использование в данном случае. Для начала вычислим область допустимых значений:
Теперь мы можем свободно применить формулу логарифма степени и выполнить приведение подобных слагаемых:
Возможны и другие преобразования, которые дают тот же результат:
Логарифмическое уравнение: решение на примерах
Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.
Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.
Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.
Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:
Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!
Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим:
Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:
Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.
Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.
Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.
Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:
Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.
Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:
После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:
Вспоминаем свойства степеней:
Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:
Теперь преобразуем правую часть уравнения:
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:
Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:
Делаем проверку:
Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:
Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
Сведем все требования в систему:
Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:
Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.
Как сделать проверку
Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.
Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:
После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!
Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
На этой странице вы узнаете:
Математики иногда скучают?!
Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт:
Степень и логарифм — разная запись одного и того же математического события.
Понятие логарифма
Если понятие “степень” всё ещё звучит устрашающе, мы написали статью “Действия с натуральными числами”.
Что же такое логарифм во вселенной математики?
Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Существуют такие понятия, как десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте их рассмотрим.
Десятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10.
Записывается это следующим образом
В случае с десятичным алгоритмом перед нами стоит задача понять, в какую степень возвести 10, чтобы получить нужное нам число.
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (e ≈ 2,7).
Записывается это следующим образом
У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. Число e играет важную роль во многих разделах математики.
Нельзя обходить такую важную тему, как логарифмы, стороной. Они часто встречаются в заданиях 12 и 14 профильного ЕГЭ по математике. При умелом использовании их свойств можно упростить выражение или заменить запись логарифма на более удобную.
Свойства логарифмов
Основное логарифмическое тождество
Данное тождество следует из определения логарифма и используется для преобразований.
Кручу, верчу, запутать хочу. Что можно сделать с логарифмами, не навредив себе? У логарифмов есть свойства. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований. Свойства логарифмов |
Простейшие логарифмические уравнения
Как же решать логарифмические уравнения?
Логарифмическое уравнение нужно привести к виду loga f(x) = loga g(x). При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице.
Как быстро избавиться от логарифмов c одинаковым основанием? Это можно сделать, приравняв аргументы и добавив условие на один из аргументов, так как аргументы логарифмов всегда больше нуля. Например: |
Алгоритм решения логарифмического уравнения:
Осторожно! Решая логарифмические уравнения, можно разогнаться слишком сильно и вылететь с дороги…
Чтобы такого не случилось, есть специальный ограничитель неправильных ответов – ОДЗ. Область допустимых значений – это те значения, которые может принимать x (или другая буква латинского алфавита) в выражении. Работая с логарифмами и избавляясь от них, всегда следи за показаниями ОДЗ, иначе в ответ попадут лишние корни.
Рассмотрим на примере:
Давайте рассмотрим ещё одно уравнение
Проверим, подходит ли значение под ограничения, и запишем ответ, x = 6.
Простейшие логарифмические неравенства
Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.
Делается это уже известным способом, при этом нужно обращать внимание на основание логарифма.
Важно: Если 0Если a>1, тогда знак неравенства не меняется |
Алгоритм решения логарифмического неравенства:
Давайте рассмотрим решение неравенства на примере:
x 2 > 0, x > 0 ⇔ x > 0
Запишем ответ [25; +∞).
Фактчек
Проверь себя
Задание 1.
Решите уравнение
Задание 2.
Решите уравнение
Задание 3.
Решите уравнение
Задание 4.
Решите неравенство
Задание 5.
Решите неравенство
Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2
Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в
и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
( формула перехода к новому основанию логарифмов ), | |||||||||||||||
Степень можно выносить за знак логарифмаИ вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Логарифм произведения и логарифм частногоlog a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Формула перехода к новому основаниюТот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Сумма логарифмов. Разница логарифмовЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Логарифмический ноль и логарифмическая единицаЭто следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерамиРешить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере: Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение: Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так: Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Теперь делаем проверку: Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Сравнение логарифмов
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|