Как решить неравенство
Как решить неравенство
Решение линейных неравенств
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
Символ | Название | Тип знака |
---|---|---|
> | больше | строгий знак (число на границе не включается ) |
строгий знак (число на границе не включается ) | ||
≥ | больше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
≤ | меньше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Решение неравенств
Еще раз повторим основные правила:
— Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
— Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный. А если на положительное число – знак неравенства останется тем же.
— Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
— Извлекать корень из неравенства нельзя. Нет такого действия!
— Если в неравенстве можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной. А потом аккуратно вернитесь к той переменной, которая была вначале.
— Если вы решаете простейшее показательное или логарифмическое неравенство – не забудьте сравнить основание степени (или логарифма) с единицей.
— Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
— Решение неравенства лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.
— Если вы воспользовались методом рационализации (замены множителя) – соответствующие формулы лучше доказать.
Основные правила решения неравенств. Алгебра 9 класс
Теория:
Алгебраические неравенства.
Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.
Дробно-рациональные неравенства.
Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.
Чтобы решить неравенство можно:
Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.
3) x² + 4x + 15 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.
Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде
Данное неравенство равносильно следующей совокупности
Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки в каждом промежутке
Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.
Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем
Метод интервалов, решение неравенств
Определение квадратного неравенства
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Отметим полученные значения на числовой прямой:
Расставим знаки на полученных промежутках:
Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Решение линейных неравенств
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Линейные неравенства, примеры, решения
После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.
Что такое линейное неравенство?
В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.
Их различия заключаются в:
Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.
Как решить линейное неравенство
Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.
Используя равносильные преобразования
Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
Ответ: решений нет.
Ответ: неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.
Методом интервалов
Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.
Метод интервалов – это:
Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.
Графическим способом
Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.
Построение графика функции y = a · x + b производится:
Неравенства, сводящиеся к линейным
Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.
Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.
7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0
Это приводит решение к линейному неравенству.
Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:
Ответ: нет решений.
Общие сведения о неравенствах
Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.
Определения и свойства
Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, 5 > 3
Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.
Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:
Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.
Свойство 1.
Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Свойство 2.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Свойство 3.
Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.
Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1
Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.
Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.
Неравенство 8 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».
Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:
Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.
Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.
Строгие и нестрогие неравенства
Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:
Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.
Двойное неравенство
Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.
Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.
Сначала записываем 6
Слева записываем, что это число больше, чем число 4
Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9
Неравенство с переменной
Неравенство, как и равенство может содержать переменную.
Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.
Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.
Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.
Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:
Как решать неравенства
Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.
Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.
А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.
Пример 1. Решить неравенство 2x > 6
Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.
В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.
Итак, разделим обе части неравенства на 2.
Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.
Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. « Переменная x строго больше трёх».
Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.
После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:
Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.
Числовые промежутки
Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.
Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8
Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.
Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.
Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.
Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.
На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.
Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:
В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.
На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.
Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.
Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.
На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:
На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.
На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.
С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:
То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.
Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:
В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.
А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.
Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.
Числовой луч
Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее
Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.
На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.
Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.
Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3
Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.
Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:
В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.
Открытый числовой луч
Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.
На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:
Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.
Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:
На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x , обозначается следующим образом:
Запишем ответ к неравенству x с помощью обозначения открытого числового луча:
В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x является строгим.
Отрезок
Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:
На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:
Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x ≤ 8 с помощью этого обозначения:
Интервал
Изобразим интервал на координатной прямой:
На письме интервал, заданный неравенством a обозначается следующим образом:
Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 с помощью этого обозначения:
Полуинтервал
Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.
В ситуации с полуинтервалом a ≤ x ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.
А в ситуации с полуинтервалом a ему принадлежит правая граница.
Изобразим полуинтервал 2 ≤ x на координатной прямой:
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x не принадлежит множеству его решений.
На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x обозначается следующим образом:
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x с помощью этого обозначения:
Изобразим полуинтервал 2 на координатной прямой:
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 не принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 принадлежит множеству его решений.
Изображение числовых промежутков на координатной прямой
Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5
Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:
Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.
Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.
Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:
Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.
Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:
Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.
Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [−1; 2) и [2; 5]
В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка. Промежуток [−1; 2) является полуинтервалом, промежуток [2; 5] — отрезком.
У полуинтервала [−1; 2) левая граница принадлежит ему, а правая нет.
А у отрезка [2; 5] обе границы принадлежат ему.
Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]
Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.
В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.
А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.
Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:
Примеры решения неравенств
Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax ), будем называть линейным неравенством с одной переменной.
Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2
Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b
Пример 1. Решить неравенство x − 7
Прибавим к обеим частям неравенства число 7
Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x и обозначается как ( −∞ ; a)
На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:
Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4
Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.
Пример 2. Решить неравенство −4x
Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y
Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства y являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 8
Решениями неравенства являются все числа, которые меньше
. Граница
принадлежит множеству решений, поскольку неравенство
является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство
Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:
Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 6. Решить неравенство
Умножим обе части на 6
Решениями неравенства x являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x строгим.
Изобразим множество решений неравенства x на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 7. Решить неравенство
Умножим обе части неравенства на 10
В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:
Перенесем члены без x в правую часть
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 10
Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 8. Решить неравенство 4
Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.
Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4
Решениями неравенства 1 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 является строгим.
Изобразим множество решений неравенства 1 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0
Разделим все члены неравенства на −2
Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 10. Решить неравенство
Умножим обе неравенства на 12
Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 2
Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 11. Решить неравенство
Умножим все части неравенства на 3
Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6
Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:
Пример 2. Решить неравенство
Умножим обе части неравенства на 3
В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:
Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Когда решений бесконечно много
Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9)
Раскроем скобки в правой части неравенства:
Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
А если приведённое равносильное неравенство 0x имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) имеет те же решения.
Ответ можно записать в виде числового промежутка:
В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x
Раскроем скобки в левой части неравенства:
Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.
Запишем ответ в виде числового промежутка:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Неравенства. Виды неравенств
Неравенства – выражения вида \(a>b\), \(a 5\).
Виды неравенств:
Переменная только в первой степени
Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
Что такое решение неравенства?
Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.
Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.
Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств . Для нашего случая имеем:
Когда в неравенстве меняется знак?
В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:
При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)
Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:
Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:
Запишем ответ в виде интервала
Неравенства и ОДЗ
Как решать неравенства — практикум ОГЭ (ГИА)
Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.
Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.
Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).
Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)
Итак, первое неравенство:
Как решать нестрогое неравенство
Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака «больше» или «меньше», стоит знак «больше или равно» или «меньше или равно». Например, давайте решим нестрогое неравенство. Возьмем простое неравенство, чтобы вы поняли суть вопроса.
Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:
Упрощаем правую часть:
Ответ: .
Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.
Вот так:
Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ
Неравенство 1
Укажите решение неравенства
Решение:
Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:
, отсюда
искомый интервал: . Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.
Ответ 2.
Неравенство 2
Укажите множество решений неравенства:
Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:
Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!
Нам подходит вариант решения 4.
Неравенство 3
Укажите решение неравенства
Решение:
Подходит вариант решения 2.
Ответ: 2
Неравенство 4
Укажите множество решений неравенства
Решение:
Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.
Ответ: 3.
Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части «Алгебра» ОГЭ (ГИА).
Решение неравенств
Определение и формулы неравенств
Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.
Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.
Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений
Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.
Основные правила, применяемые при решении неравенств
Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.
Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.
Примеры решения неравенств
0 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Решим каждую систему неравенств отдельно: 2. Объединим полученные решения и запишем решение исходного неравенства Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства: ≥ больше или равно, ≤ меньше или равно, то получится неравенство. Линейные неравенства – это неравенства вида: a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b Примеры линейных неравенств: 3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0 x c x ≤ c x > c x ≥ c Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ. Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит. Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ. a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи при решении линейных неравенств №3. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 №4. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях. Решите неравенство \[x+10 Решите неравенство \[x^2+34x+289>0\] Решите неравенство \[x^2-4x+4\leqslant 0\] Решите неравенство \[x^2+3x+3\geqslant 0\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя. По методу интервалов: (Задача от подписчиков) Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя. По методу интервалов: Содержание: Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некоторому неравенству. В этом параграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы. Вы знаете, что записи являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа. Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства: Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 Из равенства 15=15 имеем: 15-15 = 0 — разность равна нулю. Следовательно, существует зависимость между соотношениями «>», « Определение: Так как разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из трех соотношений: а > b, a Используя данное определение, сравним числа Разность данных чисел — число положительное, поэтому На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1). Рис. 1 В неравенствах используют знаки: «>» — меньше, «>» — больше, «≤ »— меньше или равно (не больше), «≥» — больше или равно (не меньше). Неравенства, образованные при помощи знаков « Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: Пример: Доказать неравенство Решение: Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является квадратом некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, неотрицательны: Если в доказанном неравенстве принять, что b = 1, то получим верное неравенство: Итак, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2. Пример: Доказать неравенство Решение: Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: Следовательно, Для положительных чисел а и b число справедливо и при любых положительных числах а и b. 11оэтому среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Пример: Решение: Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности. Выражение, полученное после преобразований, принимает неотрицательные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п. Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п. Свойство 1 | Если а > b, то b Свойство 2 | Если а Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3. Аналогично можно доказать утверждение: если а > b и b > с, то а > с. Свойство 3 | Если к обеим частям верною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство. Аналогично проводится доказательство для случая а > b и любого числа с. Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство. Свойство 4 | Если обе части верною неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство. Доказательство: Пусть а Аналогично проводится доказательство, если имеем неравенство а > b. Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю. Следствие. Если a и b — положительные числа и а Доказательство: Разделим обе части неравенства а Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку Замечание. Двойное неравенство а Итак, если ко всем частям верного двойною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство. Аналогично можно обосновать утверждения: Пример: Известно, что —1 Решение: Пример: Решение: Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её: Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами. Свойство 5 | Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство. Доказательство: Пусть а Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, то а + с > b + d. Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6. В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство. Свойство 4 | Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство. Доказательство: Пусть а Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас > bd. Следствие. Если а При доказательстве следствия достаточно взять н неравенств а Пример: Решение: а) Оценим сумму х + у. Применим к неравенствам 11 Сокращенно эти преобразования записывают так: Общая схема оценки суммы имеет такой вид: Общая схема оценки разности имеет такой вид: в) Оценим произведение ху. Поскольку 11 Сокращенно эти преобразования записывают гак: Общая схема оценки произведения имеет такой вид: г) Оценим частное Представим частное то то есть Общая схема оценки частного имеет такой вид: Пример: Доказать неравенство (m + n)(mn + l) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0. Решение: Используем известное неравенство Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства: Умножим обе части каждого неравенства на 2: Почленно перемножив эти неравенства, получим: Примечание. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность использованного способа доказательства неравенств состоит в том, что: Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, при других — в неверное. Например, при х = 5 получим верное числовое неравенство 2 • 5 + 5 > 11; 15 > 11, а при х = 1 получим неверное числовое неравенство 2 • 1 + 5 > 11; 7 > 11. Если нужно найти все значения х, при которых неравенство 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х. При х = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удовлетворяет данному неравенству. Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство. Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2х + 5 > 11 являются числа Рассмотрим несколько примеров. 4) Неравенству х >4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой чти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ 4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; 5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7). Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2: 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [-1;4) и (2; 7). Записывают: Определение: Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1; 4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают: Определение: Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков. Для тех, кто хочет знать больше. Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки [-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, пет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество. Его обозначают символом Для промежутков Пример: Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, принадлежащие промежутку: Решение: а) в) наименьшего числа нет; 4,8; г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет. Пример: Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) Решение: а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5. Следовательно, решениями неравенства б) Решениями неравенства Следовательно, множеством решений неравенства Пример: Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м? Решение: Пусть длина меньшей стороны участка равна х м, тогда длина большей — (х + 5 )м, а периметр участка — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). По условию периметр не превышает 46 м. поэтому 4х + 10 ≤ 46. Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х + 10 ≤ 46 с одной переменной х. При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями. Неравенства, имеющие одни и тс же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными. Замену неравенства равносильным» ему неравенствами выполняют на основании таких свойств: Используя эти и свойства, решим неравенство: Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком, получим неравенство равносильное заданному неравенству. Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство Следовательно, неравенство 4х + 10 ≤ 46 равносильно неравенству х ≤ 9, и ему удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через х м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то х может принимать значения из промежутка (0; 9|. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее. Для тех, кто хочет знать больше. мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны. Пусть х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 ≤ 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а ≤ 46- 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2). Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными. Пример: Решение: перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а остальные — в правую часть: приведем подобные слагаемые: разделим обе части неравенства на 3: Ответ. Пример: Решить неравенство Решение: Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим: Ответ, ( Пример: Решить неравенство Решение: Разделим все части неравенства на 3, получим: Ответ. Пример: Решить неравенство: Решение: а) Решениями неравенства |2х-3| ≤ 5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим: Разделим все части неравенства на 2: Ответ. Решений нет. Решая каждое неравенство совокупности, получим: Решениями совокупности являются значения х, удовлетворяющие неравенству х Ответ. х Рассмотрим несколько примеров. Пример: Решить неравенство Решение: Множеством решений неравенства является числовой промежуток Ответ. Пример: Решить неравенство Решение: Ответ. Пример: Решить неравенство Решение: Неравенство 0 • х Ответ. Решений нет. Неравенства вида ах > b, ax>b, ах Если Пример: Найти область определения функции Решение: Областью определения функции является промежуток Ответ. Пример: Решить неравенство (а + 3)х Решение: Рассмотрим три случая: 1) а + 3 1) Если а + 3 3) Если а + 3 > 0. то есть а > —3, то Пример: Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 руб. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше 14 руб. По какой цене покупали помидоры хозяйки? Решение: Пусть цена 1 кг помидоров х руб., тогда 10 кг стоят 10х руб., что по условию задачи больше 18 руб., то есть 10х > 18. 5 кг помидоров стоят 5х руб., что по условию задачи меньше 14 руб., то есть 5х Чтобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство 10х > 18, так и неравенство 5х Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум неравенствам, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так: Решив каждое из неравенств системы, получим: Следовательно, значения х должны удовлетворять условию 1,8 Значение х = 2 является решением обоих неравенств системы поскольку каждое из числовых неравенств 10 • 2 > 18 и 5 • 2 верным. Такое значение х называют решением системы неравенств. Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы. Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Пример: Решить систему неравенств Решение: Решим каждое из неравенств системы: Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству последней системы, — промежуток Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению: Пример: Решить систему неравенств Решение: На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку Ответ. Пример: Решить систему неравенств Решение: На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х Общих решений неравенства не имеют. Ответ. Решений нет. Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решить, используя следующую схему: Примечание. Пример: Решить неравенство Решение: Найдем значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны нулю: Раскроем модули на каждом из промежутков и решим соответствующие неравенство. Решим полученное неравенство: Кроме того, значения х должны удовлетворять неравенству х Значения х должны удовлетворять двум неравенствам: системе Пример: При каких значениях х имеет смысл выражение Решение: Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при которых каждое из выражений 2х + 9 и 5 + х принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения л должны удовлетворять систему неравенств Решим полученную систему: Пример: Решить неравенство Решение: Дробь положительна только тогда, когда ее числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств: Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > 2, а второй — неравенству х Ответ, х Пример: Решить двойное неравенство Решение: Данное двойное неравенство можно записать в виде системы Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенств (см. пункт 5, упражнение 3). Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий назад. Где в «Началах» Евклида сугубо геометрически было обосновано неравенство Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому Поскольку Это известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить па случай большего количества чисел, называют еще неравенством Коши. Огюстен Луи Коши — известный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, математической физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую математическую работу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему проложить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя. Приведем еще два известных неравенства, которые, как и неравенство Коши, используют для доказательства многих математических утверждений, в частности, для доказательства других неравенств. Неравенство Коши — Буняковского: где О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечественные математики». где Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельского университета. Основные его работы посвящены математическому анализу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной математики — математической статистике. На практике вам часто приходится сравнивать величины. Например, площадь России (603,7 тыс. км2) больше площади Франции (551 тыс. км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерлы (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0,011 длины экватора. Когда мы сравниваем величины, нам приходится сравнивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки =, >, b; если число а меньше числа b, то пишут а b и b > с, то а > с. Аналогично доказывают свойство: если а b и с — любое число, то а + с > b + с. Аналогично доказывают свойство: если а b + с верно. Вычтем из обеих его частей число с. Получим: Поскольку деление можно заменить умножением Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство. Следствие: Доказательство: В теоремах этого пункта шла речь о строгих неравенствах. Нестрогие неравенства также обладают аналогичными свойствами. Например, если Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справедливость подтверждают следующие теоремы. Теорема: (о почленном сложении неравенств). Аналогично доказывается свойство: если а b и с > d (или а b и с d) — неравенствами противоположных знаков. Говорят, что неравенство а + с > b + d получено из неравенств а > b и с > d путем почленного сложения. Теорема: означает, что при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака. Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае почленного сложения трех и более неравенств. Например, если Теорема: (о почленном умножении неравенств). Если а > Ь, с > d и а, и, с, d — положительные числа, то ас > bd. Аналогично доказывается свойство: если а bd получено из неравенств а > b и с > d путем почленного умножения. Теорема: означает, что при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части — положительные числа, результатом является верное неравенство того же самого знака. Заметим, что теорема 3.2 справедлива и в случае почленного умножения трех и более неравенств. Например, если Следствие: Если Доказательство: Так как а и b — положительные числа, то можем перемножить почленно Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств: Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение. Пусть, например, в результате измерения ширины х и длины у прямоугольника было установлено, что 2,5 см 44 является математической моделью задачи о периметре параллелограмма. Если в это неравенство вместо переменной х подставить, например, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44. Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Так, каждое из чисел Замечание. Определение решения неравенства аналогично определению корня уравнения. Однако не принято говорить «корень неравенства». Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует. Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то говорят, что множеством его решений является пустое множество. Пустое множество обозначают символом Например, в задаче «решите неравенство Очевидно, что неравенство Определение: Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Приведем несколько примеров. Неравенства Неравенства Так как каждое из неравенств Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства. Решая уравнение, мы заменяли его другим, более простым уравнением, но равносильным данному. По аналогичной схеме решают и неравенства. При замене уравнения на равносильное ему уравнение используют теоремы о перенесении слагаемых из одной части уравнения в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. Аналогичные правила применяют и при решении неравенств. С помощью этих правил решим неравенство, полученное в задаче о периметре параллелограмма (см. п. 4). Имеем: 14 + 2х > 44. Разделим обе части неравенства на 2: Заметим, что полученное неравенство равносильно исходному неравенству. Множество его решений состоит из всех чисел, которые больше 15. Это множество называют числовым промежутком и обозначают (15; + Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х > 15, расположены справа от точки, изображающей число 15, и образуют луч, у которого «выколото» начало (рис. 5). Ответ может быть записан одним из способов: (15 ; + Заметим, что для изображения на рисунке числового промежутка используют два способа: с помощью либо штриховки (рис. 5, а), либо дуги (рис. 5, б). Мы будем использовать второй способ. Пример: Решите неравенство Решение: Перенесем слагаемое х из правой части неравенства в левую, а слагаемое 3 — из левой части в правую и приведем подобные члены: Ответ можно записать одним из способов: Пример: Решите неравенство Решение: Запишем цепочку равносильных неравенств: В этом разделе вы научитесь: Это интересно! Великий Азербайджанский мыслитель, философ, математик, астроном Насреддин Туси создал научные труды, которые внесли большой вклад в историю человечества. В письменных источниках его называют «Отецом тригонометрии». В своём труде «Об измерении круга» он впервые доказал теорему синусов и применил их для астрономических расчетов. Неравенства: Неравенства записываются при помощи знаков Для сравнения чисел и выражений применяются различные методы. Одним из них является метод оценки разности. Пример: Сравним выражения Доказательство 3-го свойства: если Исследование Рассмотрим неравенство При значении переменной меньше 7, значение суммы При значении переменной равной 7, значение суммы При значении переменной больше 7, значение суммы Неравенство Свойства неравенств Теорема. Если неравенство верное, то прибавив или отняв от обеих частей данного неравенства одно и то же число, получим верное неравенство. Если Если Пример: Масса морского тюленя может достигать максимально 650 кг. В настоящее время тюлень весит 398 кг. Как при помощи неравенства можно записать массу, которую еще сможет набрать тюлень? Свойства неравенств Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Для любых чисел Если обе части верного неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство. Для любых чисел Теорема. Если Если к обеим частям неравенства Если к обеим частям неравенства Из Данная теорема верна при сложении двух и более неравенств. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если Если в неравенстве Отсюда следует что, Следствие. Если При Если в множество точек интервала Множество всех чисел Множество всех точек, удовлетворяющих условию Если точка Множество всех чисел, удовлетворяющих условию Если точка Определение. Решением линейною неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной превращающих данное неравенство в верное. Решить неравенство, значит найти все его решения или докатать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решения, также называются равносильными. При решении неравенств используются следующие следствия, полученные из свойств числовых неравенств: 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство 3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Неравенства вида Решение неравенства Решение неравенства Пример: Графическое представление решения: Двойные неравенства Пример 1. Запишем неравенство Надо найти такие значения Пример 2. Надо найти такие значения х, которые будут удовлетворять неравенствам Решаем каждое неравенство и находим объединение множеств. Пример 3. Двойное неравенство Геометрически решением неравенства При Поэтому неравенство При Множество решений неравенства В этой лекции вы: Для любых двух чисел Известно, что Приходим к определению сравнения чисел: Сравнить Решение: Рассмотрим разность чисел Разность отрицательна, значит Ответ. Напомним, что на координатной прямой точка, соответствующая меньшему числу, лежит левее точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1 точка, соответствующая числу Числовые неравенства бывают верные и неверные. Например, Кроме знаков Из определения соотношений «больше», «меньше» и «равно» получаем, что Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно доказывать неравенства. Доказать, что при любом значении Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее: Так как Условие для примера 2 можно было сформулировать проще, например: доказать неравенство Доказать неравенство Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее: Так как Доказать неравенство Доказательство: В левой части неравенства выделим квадраты двучленов: При любых значениях А значит, Следовательно, Напомним, что число Доказать, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее, учитывая, что Чтобы оценить отношение длины круга Привычные нам символы для записи неравенств появились лишь в XVII—XVIII в. Знаки Кроме неравенства Коши отметим еще и такие известные неравенства: 1) Неравенство Бернулли. 2) Неравенство Чебышёва. 3) Неравенство Коши-Буняковского. Рассмотрим свойства числовых неравенств. Свойство 1. Доказательство: Поскольку Аналогично будем рассуждать и в случае, когда Свойство 2. Доказательство: По условию Аналогично рассуждаем, когда Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунках 2 и 3. Свойство 3. Доказательство: По условию Следствие: Доказательство: Так как Из этого следствия имеем: если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим верное неравенство. Свойство 4. Доказательство: Пусть Если Так как Следствие: Доказательство: Разделим обе части неравенства Дано: Решение: 1) Если к обеим частям верного неравенства 3) Если обе части верного неравенства Решение таких упражнений можно записать короче: 6) Если обе части верного неравенства Напомним, что в математике есть и двойные числовые неравенства: Таким образом, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство. Рассуждая аналогично, получаем: Рассмотренные нами свойства числовых неравенств можно использовать для оценивания значении выражении. Оценить периметр квадрата со стороной Решение: Так как периметр Следовательно, периметр квадрата больше чем 12,8 см, но меньше чем 15,6 см. Ответ. Дано: Решение: Используя форму записи, предложенную в задании 5 примера, получим: Продолжим рассмотрение свойств неравенств. Допустим, имеем два верных неравенства одного знака: Свойство 5 (почленное сложение неравенств). Если Доказательство: К обеим частям неравенства Аналогично доказываем, что если Свойство 5 справедливо и в случае почленного сложения более чем двух неравенств. Стороны некоторого треугольника равны Решение: Приведем сокращенную запись решения: Таким образом, Ответ. Свойство 6 (почленное умножение неравенств). Если Доказательство: Умножим обе части неравенства Аналогично можно доказать, что если Отметим, что свойство 6 справедливо и для более чем двух неравенств. Следствие: Если Доказательство: Перемножив почленно С помощью рассмотренных нами свойств можно оценивать сумму, разность, произведение и частное чисел. Дано: Решение: 1) 2) Чтобы оценить разность Умножив все части неравенства 3) 4) Чтобы оценить частное Ответ. С помощью рассмотренных свойств можно также доказывать неравенства. Доказать, что Решение: К каждому множителю левой части неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши), получим: Используя свойство 4, обе части каждого из этих неравенств умножим на 2, получим: Перемножим эти неравенства почленно: Таким образом, Также решениями неравенства Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений нет. Решить неравенство: 1) Решение: 1) 2) любом Ответ. 1) Любое число, большее нуля; 2) нет решений. Числовые промежутки. пересечение и объединение множеств Множество решений неравенств удобно записывать с помощью числовых промежутков. Неравенству Неравенству Множество чисел, удовлетворяющих условию Множество чисел, удовлетворяющих условию Таким образом, если конец промежутка принадлежит промежутку (например, для нестрогого неравенства), то этот конец заключают в квадратную скобку, во всех остальных случаях конец заключают в круглую скобку. Множество всех чисел изображает вся координатная прямая и его записывают в виде Над множествами можно выполнять некоторые действия (операции). Рассмотрим два из них: пересечение и объединение. Пересечением множеств Пересечение множеств записывают с помощью символа Если даны множества Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие как одному промежутку, так и другому. Промежутки Объединением множеств Для записи объединения множеств используют символ Если даны множества Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. Неравенства вида Решить неравенство: 1) Решение: 1) Разделив обе части неравенства на 2, получим: Ответ. 1) Отметим, что ответ можно было записать и так: 1) Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными. Для неравенств с переменными имеют место свойства, подобные тем, которые справедливы и для уравнений: Чтобы решить уравнение, мы приводим его к равносильному ему, но более простому уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, приводя их к более простым неравенствам, им равносильным. Решить неравенство Решение: Получили неравенство, равносильное исходному. Оно не имеет решений, так как при любом значении Ответ. Решений нет. Решить неравенство Решение: Раскрыв скобки, получим: Решая далее, имеем: Последнее неравенство равносильно исходному и является верным при любом значении Ответ: Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод, что неравенства вида Для каждого значения Решение: Значение выражения 1) Если 2) Если 3) Если Ответ. Если Нам нужно найти такие значения Решив каждое из неравенств системы, имеем систему: Значит, значение Следовательно, скорость велосипедиста больше чем 12 км/ч, но меньше чем 13 км/ч. Число 12,6 удовлетворяет каждому из неравенств системы Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором верным является каждое из неравенств системы. При решении системы неравенств целесообразно придерживаться следующей последовательности действий: Решить систему неравенств: Решение: Постепенно заменяя каждое из неравенств системы ему равносильным, но более простым, получим: Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству Ответ. Ответ в примере 1 можно записать и так: Найти все целые решения системы неравенств: Решение: Найдем сначала все решения системы: Решить систему неравенств: Решение: Отметив полученные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видим, что общих точек у них нет, а значит, пересечением промежутков является пустое множество. Следовательно, система решений не имеет. Ответ. Решений нет. Решить неравенство Решение: Перепишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств: Решим эту систему: Таким образом, Ответ. Решение можно записать и так: А ответ можно также представить в виде: Определение: Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Пример: Определение: Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет Пример: 2. Область допустимых значений (ОДЗ) Определение: Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций Пример: Для неравенства 3. Равносильные неравенства Определение: Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого 1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве) 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства) 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства) 4. Метод интервалов (решения неравенств вида 2. Найти нули функции 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции 4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства Пример: Решите неравенство ► Пусть 1. ОДЗ: 2. Нули функции: 3. Ответ: 5. Схема поиска решения неравенств Объяснение и обоснование: Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Например, решениями неравенства Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции Например, в неравенстве В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов. С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве. Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. В случае когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства. Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений. Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств. По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 11). Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенство достаточно учесть его ОДЗ: ► Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Тогда получаем Таким образом, Ответ: Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса. 1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве). 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного). 3. Если обе части неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства ) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство,равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства. Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях: 1) если график разрывается (как в случае функции 2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось В таблице 12 приведено решение дробно-рационального неравенства Пример: Решение: ► 1. ОДЗ: 2. Нули тогда 3. 4. Ответ: 1. Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через Решением неравенства 2. Нас интересуют те промежутки области определения функции 3. Если теперь отметить нули на области определения функции 4. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков 1. Найти ОДЗ неравенства 2. Найти нули 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований. Пример: Решите неравенство I способ (метод интервалов) Решение: ►Пусть 1. ОДЗ: 2. Нули 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак Данное неравенство имеет вид При нахождении нулей Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа II способ (с помощью равносильных преобразований) Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение Но если Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ. Решение: ► ОДЗ: Тогда Учитывая ОДЗ, получаем ответ. Ответ: При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.0,> \\
.
Линейные неравенства
Знаки неравенств
Линейные неравенства
Таблица числовых промежутков
Неравенство Графическое решение Форма записи ответа x c Алгоритм решения линейного неравенства
Примеры решения линейных неравенств:
Решение неравенств
Неравенства
Числовые неравенства
10:
», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.
b или а = b.
и
. Для этого найдем их разность:
>
.
» или «>», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «≤» или «≥», называют нестрогими.
8; 1,2 ≥ -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство.
Доказательство неравенств
, если
.
. Следовательно, неравенство
справедливо при любых положительных числах а и b.
называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство
Свойства числовых неравенств
а.
b и b
с, то а
с.
Рис.3
b. Докажем, что ас
bc, если с — положительное число, и ас > bc. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность:
b, то
•
b на положительное число ab. Получим:
.
b
с можно записать в виде двух неравенств: а
b и b
с. Если а
b и b
с, то для любого числа m справедливы неравенства: а + m
b + m и b + m
с + m, откуда а + m
b + m
с + m.
x
3. Оцените значение выражения:
Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений
Сложение числовых неравенств
b и с
d. Нужно доказать, что а + с
b + d. Чтобы получить сумму а + с, прибавим к обеим частям первого неравенства число с, а чтобы получить сумму b + d, прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получим верные неравенства: а + с
b + с, b + с
b + d. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что а + с
b + d.
Умножение числовых неравенств
b и с
d, где a, b, c и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас
bd. Умножим обе части неравенства а
b на положительное число с, а обе части неравенства c
d — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас
be, be
bd. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас
bd.
b, а и b — положительные числа, n — натуральное число, то
b и почленно их перемножить.
Оценка значений выражений
х и 1
у свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12
х + у. Применим это же свойство к неравенствам х
14 и у
2. Получим: х + у
16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12
х + у
16.
х
14 и 1
у
2, то х и у — положительные числа. Применим к неравенству 11
х и 1
у свойство о почленном умножении неравенств. Получим: 11
ху. Применим это же свойство к неравенствам х
14 и y
2. Получим: ху
28. Результат запишем в виде двойного неравенства 11
ху
28.
.
в виде произведения
. Поскольку 1
у
2,
или
. Согласно свойству о почленном умножении неравенств получим:
.
, где а ≥ 0, b ≥ 0.
Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки
Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении
и т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков.
Числовые промежутки
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7 а Рис. 7 б
).
*Рис. 8
) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»),
Рис. 9
8, записывают (
; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≤ 8, записывают (
; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают гак:
Рис. 10 а
Рис. 10 б
Объединение и пересечение числовых промежутков
Рис. 11
, где
— знак объединения.
, где
— знак пересечения.
. Записывают:
. Объединением промежутков [-2; 1] и (3; 4) является множество
, не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков).
множество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: <1>. Записывают:
. Легко найти, что
.
Рис. 13
;
; б)
.
являются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5].
являются числа, которым соответствуют те точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения х, удовлетворяющие неравенству
или неравенству
.
является объединение промежутков
, то есть
Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства
.
Рис. 16
, отметить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.
; 4,2].
.
.
.
-2 или неравенству х > 3.
-2 или х > 3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:
Линейные неравенства с одной переменной
.
.
— 5 не имеет решений, так как при любом х значение
b, ах
b, где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.
,то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если
то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств:
.
.
5 с параметром а.
0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.
0, то есть а
-3, то, разделив обе части неравенства на отрицательное число а + 3, получим:
Системы линейных неравенств с одной переменной
Понятие системы неравенств с одной переменной и ее решения
14.
14.
х
2.8, то есть цена 1 кг помидоров больше 1 руб. 80 к., но меньше 2 руб. 80 к.
14 является
Решение систем линейных неравенств с одной переменной
, и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток
.
, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству
.
-3.
.
-1, а значит, и
и х
3,5, то есть
множеством решений которой является промежуток [2; 3,5).
— 1.
-1 или х > 2. (Множество решений можно записать в виде объединения промежутков:
.
, где а и b рассматривались как длины отрезков.
, где а > 0, b > 0.
.
.
— любые действительные числа.
— натуральное число.
Неравенства
то, учитывая теорему 2.3, можно сделать такой вывод.
Разделим обе части неравенства а > b на положительное число ab. Получим правильное неравенство
, то есть
Отсюда
— любое число, то
— положительные числа, причем
то
— положительные числа, то
, где
— натурально число.
Запишем
верных неравенств а > b :
неравенств
записанных неравенств. Получим
является решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не является его решением.
ответ будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».
решений не имеет, т. е. множеством его решений является пустое множество.
равносильны. Действительно, каждое из них имеет единственное решение х = 0.
равносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел.
решений не имеет, то они также являются равносильными.
Решение линейных неравенств с одной переменной
) (читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности»).
; либо х > 15.
либо
Неравенства
Неравенства могут быть записаны словами или математическими символами, а также изображены на числовой оси.
. Для этого рассмотрим разность
. Значит, при любых значениях переменой значение выражения
не меньше (больше или равно) значения выражения
.
Свойства неравенств
, то
; если
, то
Тогда
, отсюда следует, что
меньше 10.
равно 10.
больше 10.
верно для всех чисел меньше 7.
, то для любого числа
, то для любого числа
.
при
получим:
при
получим:
Сложение и вычитание неравенств
прибавить
, то
прибавить
, то
получим, что
положительные числа,
и
, тогда
.
обе части умножим на
, а в неравенстве
обе части умножим на
, то получим
и
.
положительные числа и
, тогда
. (я-натуральное число).
Числовые промежутки
множество всех действительных чисел, удовлетворяющих соотношению
называется интервалом
.
добавить точки
, то полученный промежуток будет называться отрезком
.
, удовлетворяющих двойному неравенству
и
, соответственно записывается как
.
и расположенных справа от точки с координатой
, записывается как
и читается так: промежуток от
до плюс бесконечности.
принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию
, то это записывается как
и графически изображается так:
, записывается как
и графически изображается так:
принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию
, то это записывается как
и графически изображается так:
Решение линейных неравенств с одной переменной
равносильно неравенству
, а неравенство
равносильно неравенству
.
(где
некоторые числа) называются линейными неравенствами, зависящими от одной переменной.
решением неравенства является промежуток
Решение двойных неравенств
в виде двух неравенств
, которые будут удовлетворять неравенствам
.
можно решить используя свойства неравенств.
Простые неравенства с переменной, входящей под знаком модуля
является множество всех точек, расположенных на расстоянии меньше 3-х единиц от числа 0. Это все действительные числа, которые расположены между числами 3 и 3, т.е.
.
неравенство
геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек
, при котором это расстояние будет меньше
. Оно состоит из множества точек
, размещённых на интервале
.
равносильно двойному неравенству
Аналогично, неравенство
равносильно двойному неравенству
неравенство
геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек
, при котором это расстояние будет больше
. Для любого
, взятого из промежутков
расстояние от начала отсчета до точки
больше
. Поэтому, множеством решений неравенства
является
, т.е. объединение промежутков, удовлетворяющее неравенствам
.
будет
.
Неравенства
Числовые неравенства
и
имеет место одно и только одно из соотношений:
или
. Ранее в зависимости от вида чисел (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми или разными знаменателями) мы использовали то или иное правило сравнения чисел. Удобнее было бы иметь универсальное правило сравнения.
. Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства:
, разность положительна. Рассматривая разность левой и правой частей неравенства
, получаем:
, разность отрицательна. Рассматривая в равенстве
разность левой и правой частей, получим, что разность равна нулю:
.
Пример №285
и
.
и
:
.
, лежит левее точки, соответствующей числу
, поэтому
.
— верные числовые неравенства,
— неверные числовые неравенства.
, называемых знаками строгого неравенства, в математике также используют знаки
(читают: «меньше или равно» или «не больше») и
(«больше или равно» или «не меньше»). Знаки
и
называют знаками нестрогого неравенства. Неравенства, которые содержат знак
, называют строгими неравенствами, а те, которые содержат знак
или
— нестрогими неравенствами.
, если
, и
, если
.
Пример №286
имеет место неравенство
.
.
при любом значении
, то при любом значении
имеет место неравенство
, что и требовалось доказать.
.
Пример №287
.
.
при любом значении
,
. Следовательно, по определению, неравенство
верно при любом
, что и требовалось доказать.
Пример №288
.
.
и
:
.
.
, что и требовалось доказать.
называют средним арифметическим чисел
и
. Для неотрицательных чисел
и
число
называют их средним геометрическим.
Пример №289
и
не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):
.
для
. Получим:
для любых
и
. Следовательно,
при любых
,
, что и требовалось доказать. Отметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда
. Если
.
Понятия «больше» и «меньше» появились одновременно с понятием «равно».Еще с древних времен в практической деятельности человека возникла потребность сравнивать количество предметов, длины отрезков, площади участков и т. п. Так, например, несколько неравенств присутствует в выдающемся труде «Начала» древнегреческого математика Евклида (ок. 356-300 до н. э.). В частности, там он доказывает неравенство
геометрическим методом для положительных чисел
и
.
к его диаметру
(позже названное числом
), другой древнегреческий физик и математик Архимед (ок. 287-212 до н. э.) использовал неравенство:
.
и
впервые использовал английский математик Томас Харриот (1560-1621) в работе «Практика аналитического искусства», опубликованной в 1631 году, а знаки
и
— в 1734 году французский математик и астроном Пьер Бугер (1698-1758).
, где
— 1,
— целое число.
, где
— положительные числа, причем
.
, где
— любые числа.
Основные свойства числовых неравенств
, то
. Тогда
, но
, поэтому
. Следовательно,
.
.
. Поэтому
и
, т. е. числа
и
— положительны. Рассмотрим разность
. Имеем:
(так как числа
и
— положительны). Поэтому
.
и
.
, значит,
. Рассмотрим разность
и преобразуем ее:
, следовательно,
.
.
, то
, т.е.
. Но
, поэтому
. Следовательно,
.
, тогда
. Рассмотрим разность
и преобразуем ее:
.
, то
, а значит,
; если
, то
, а значит
.
, то, обозначив
, получим, что аналогичное свойство имеет место и в случае деления обеих частей неравенства на отличное от нуля число
.
на положительное число
; тогда
, т. е.
.
Пример №290
. Сравнить:
прибавим число 1, то по свойству 3 получим:
.
умножим на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим верное неравенство
.
разделим на положительное число 8, то по свойству 4 получим верное неравенство
.
. Например, двойное неравенство
означает, что одновременно имеют место неравенства
и
. Так как
и
, то для любого числа
по свойству 3 имеют место неравенства
и
.
Пример №291
см, если
квадрата находят по формуле
, то все части неравенства
нужно умножить на 4. Получим:
, тогда
.
.
Пример №292
. Оценить значение выражения:
Почленное сложение и умножение неравенств
и
. Сложим их левые части, их правые части и между результатами запишем такой же знак:
. Получим верное числовое неравенство, ведь, действительно,
. Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства одного знака.
и
, то
.
прибавим число
, а к обеим частям неравенства
— число
, получим два верных неравенства:
и
, следовательно,
, что и требовалось доказать.
и
, то
.
Пример №293
см,
см и
см. Оценить периметр треугольника
(в см), если
.
.
.
и
, где
— положительные числа, то
.
на положительное число
, а обе части неравенства
— на положительное число
получим два верных неравенства:
и
, следовательно,
(по свойству 2). Доказано.
и
, где
— положительные числа, то
.
— положительные числа, причем
, то
, где
— натуральное число.
верных неравенств
, где
и
, получим
.
Пример №294
. Оцените значение выражения:
, представим ее в виде суммы:
, но сначала оценим выражение
.
на число
и изменив знаки неравенства на противоположные, получим:
, т. е.
. Таким образом,
, представим его в виде произведения:
. Оценим выражение
. Если
, то
. Таким образом,
.
Пример №295
, если
,
.
, что и требовалось доказать.
Неравенства с переменными. решение неравенства
являются, например, числа
т. д.
Пример №296
при всех
, причем
тогда и только тогда, когда
. Значит, решением неравенства
является любое положительное число.
при любом значении
, поэтому
при
. Следовательно, значение выражения
также будет положительным при любом
. А значит, при любом значении
неравенство
является неверным, т. е. не имеет решений.
Пример №297
Пример №298
Пример №299
Пример №300
Пример №301
удовлетворяют все числа, большие, чем 2, то есть числа, лежащие на координатной прямой справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают
(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности») и изображают лучом, выходящим из «пустой» точки с координатой 2 (рис. 9).
Пример №302
удовлетворяют все числа, большие, чем 2, и само число 2. Множество этих чисел обозначают:
(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности, включая 2») и изображают лучом, лежащим справа от точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).
Пример №303
, записывают так:
(читают: «промежуток от минус бесконечности до 4»). Это множество изображено на рисунке 11.
Пример №304
, записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4, включая 4»). Изображено оно на рисунке 12.
. Множество, не содержащее ни одного числа, обозначают символом
и называют пустым множеством.
и
называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих как множеству
, так и множеству
.
. Изображать пересечение множеств удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 13).
Пример №305
,
и
, то
;
.
Пример №306
(рис. 14).
Пример №307
и
не имеют общих точек (рис. 15), поэтому их пересечением является пустое множество. Записать это можно так:
.
и
называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств
или
.
. Изображать объединение множеств также удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 16).
Пример №308
,
и
, то
.
Пример №309
. Отметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество
не является промежутком (рис. 15).
Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства
, где
-переменная,
— некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если
, то обе части неравенства можно разделить на
, учитывая при этом свойство числовых неравенств, то есть если а
, то знак неравенства оставляем без изменении; если же
, то знак неравенства изменяем на противоположный.
Пример №310
.
. Таким образом, решением неравенства является промежуток
.
; 2)
.
; 2)
.
Пример №311
левая часть неравенства будет равна нулю, а неравенство
является неверным.
Пример №312
.
.
; то есть
.
, так как при любом значении
его левая часть будет равна нулю, а неравенство
является верным. Таким образом, решением неравенства будет любое число, а значит, множеством решений является промежуток
.
.
или не имеют решений, или их решение — любое число.
Пример №313
решить неравенство
, где
— переменная.
для разных значений
может быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:
, т. е.
, то, разделив левую и правую части неравенства на положительное число
, получим:
, т. е.
, получим не имеющее решений неравенство
.
, т. е.
, то, разделив левую и правую части неравенства на отрицательное число
и изменив знак неравенства на противоположный, получим:
, то
; если
, то решений нет; если
,то
.
Системы линейных неравенств с одной переменной, их решение
, при которых верным будет как неравенство
, так и неравенство
, то есть нужно найти общие решения обоих неравенств. В таком случае объединяют неравенства в систему и говорят, что нужно решить систему неравенств:
должно удовлетворять условию:
.
Пример №314
, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству
(рис. 26). Множеством решений системы является пересечение этих множеств, то есть промежуток
.
.
.
Пример №315
Пример №316
Пример №317
.
, то есть
.
.
.
Неравенства: равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов
Понятия неравенства с одной переменной и его решений
то получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной
(например, для случая «больше») записывают так:
— линейное неравенство;
— квадратное неравенство;
— дробное неравенство
— одно из решений неравенства
, так как при
получаем верное неравенство:
, то есть
и
, которые стоят в левой и правой частях неравенства
ОДЗ:
, то есть
, так как область определения функции
определяется условием:
, а областью определения функции
является множество всех действительных чисел
)
на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.
, то есть,
.
(входят в ОДЗ)
— исходное неравенство;
— неравенство, полученное в результате преобразования исходного;
— символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения)
Понятия неравенства с переменной и его решений
то получаем неравенство с переменной.
) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной
(например, для случаев «больше») записывают так:
являются все значения
, для неравенства
решениями являются все действительные числа (
), а неравенство
не имеет решений, поскольку значение
не может быть отрицательным числом, меньшим
.
Область допустимых значений (ОДЗ) неравенств
, то общая область определения функций
и
называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства
областью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ:
), поскольку функции
и
имеют области определения
.
, так и в область определения функции
(иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.
функция
определена при всех действительных значениях
, а функция
— только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой
из которой получаем систему
не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.
Равносильные неравенства
и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного неравенства.
или
(2)
или
или
.
.
или
, то
, поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения.
, но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).
Метод интервалов
и
(рис. 54).
(рис. 54, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);
(как в случае функции
) (рис. 54, б). На оси
значения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции
). Точки, в которых разрывается график функции
, мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если
, то ее область определения
, и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 54, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знак
. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).
Подробнее это понятие будет рассмотрено в 11 классе.
В 11 классе мы уточним формулировку этого свойства (так называемых непрерывных функций). Для всех известных вам функций (линейных, квадратичных, степенных, дробно-рациональных) это свойство имеет место.
методом интервалов; комментарий, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида
методом интервалов.
, то есть
.
.
.
могут быть только числа, которые входят в область определения функции
, то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ
, на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, элементарная функция
может поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства
будет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию
к нулю и решаем полученное уравнение)
, то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция
не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения
(принадлежат ОДЗ).
в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Ответ:
, и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и в таблице 11.
следим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения
).
).
.
, и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби
(и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь
), то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству
.
и построим эскиз графика функции
. Решение квадратного неравенства:
.
то есть
.
и данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству
. Поскольку
при
(эти значения
принадлежат ОДЗ), получаем
(см. рисунок).
.