Как решить неравенство

Как решить неравенство

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

СимволНазваниеТип знака
>большестрогий знак
(число на границе не включается )
строгий знак
(число на границе не включается )
больше или равнонестрогий знак
(число на границе включается )
меньше или равнонестрогий знак
(число на границе включается )

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

Как решить неравенство

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Как решить неравенство

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Как решить неравенство

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Источник

Решение неравенств

Еще раз повторим основные правила:

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

— Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный. А если на положительное число – знак неравенства останется тем же.

— Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

— Извлекать корень из неравенства нельзя. Нет такого действия!

— Если в неравенстве можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной. А потом аккуратно вернитесь к той переменной, которая была вначале.

— Если вы решаете простейшее показательное или логарифмическое неравенство – не забудьте сравнить основание степени (или логарифма) с единицей.

— Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

— Решение неравенства лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.

— Если вы воспользовались методом рационализации (замены множителя) – соответствующие формулы лучше доказать.

Источник

Как решить неравенство

Основные правила решения неравенств. Алгебра 9 класс

Теория:

Как решить неравенство

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

Чтобы решить неравенство можно:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

3) x² + 4x + 15 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки в каждом промежутке

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем Как решить неравенство

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Как решить неравенство

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Как решить неравенство

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Как решить неравенство

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Отметим полученные значения на числовой прямой:

Как решить неравенство

Расставим знаки на полученных промежутках:

Как решить неравенство

Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Решение линейных неравенств

Как решить неравенство

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

Как решаем:

В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Как решить неравенство

Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Их различия заключаются в:

Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

Как решить линейное неравенство

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

Ответ: решений нет.

Ответ: неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов – это:

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Графическим способом

Как решить неравенство

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Построение графика функции y = a · x + b производится:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Ответ: нет решений.

Источник

Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Как решить неравенство

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Как решить неравенство

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Как решить неравенство

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Как решить неравенство

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Как решить неравенство

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Как решить неравенство

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Неравенство 8 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Строгие и нестрогие неравенства

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Двойное неравенство

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Как решить неравенство

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Как решить неравенство

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9

Как решить неравенство

Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2x > 6

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

Как решить неравенство

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.

Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. « Переменная x строго больше трёх».

Как решить неравенство

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

Как решить неравенство

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.

Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Как решить неравенство

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

Как решить неравенство

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

Как решить неравенство

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Как решить неравенство

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Как решить неравенство

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

Как решить неравенство

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Как решить неравенство

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

Как решить неравенство

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x , обозначается следующим образом:

Запишем ответ к неравенству x с помощью обозначения открытого числового луча:

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x является строгим.

Отрезок

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

Как решить неравенство

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

Интервал

Изобразим интервал на координатной прямой:

Как решить неравенство

На письме интервал, заданный неравенством a обозначается следующим образом:

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 с помощью этого обозначения:

Полуинтервал

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a ему принадлежит правая граница.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x на координатной прямой:

Как решить неравенство

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x обозначается следующим образом:

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x с помощью этого обозначения:

Изобразим полуинтервал 2 на координатной прямой:

Как решить неравенство

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 принадлежит множеству его решений.

Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5

Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

Как решить неравенство

Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:

Как решить неравенство

Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:

Как решить неравенство

Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Как решить неравенство

Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [−1; 2) и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка. Промежуток [−1; 2) является полуинтервалом, промежуток [2; 5] — отрезком.

У полуинтервала [−1; 2) левая граница принадлежит ему, а правая нет.

А у отрезка [2; 5] обе границы принадлежат ему.

Как решить неравенство

Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:

Как решить неравенство

Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax ), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство x − 7

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x и обозначается как ( −∞ ; a)

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Как решить неравенство

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

Пример 2. Решить неравенство −4x

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Как решить неравенство

Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Как решить неравенство

Решениями неравенства y являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Как решить неравенство

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Как решить неравенство

Приведем подобные слагаемые:

Как решить неравенство

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Как решить неравенство

Решениями неравенства Как решить неравенствоявляются все числа, которые меньше Как решить неравенство. Граница Как решить неравенствопринадлежит множеству решений, поскольку неравенство Как решить неравенствоявляется нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства Как решить неравенствона координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 5. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Как решить неравенство

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Изобразим множество решений неравенства Как решить неравенствона координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 6. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим обе части на 6

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Решениями неравенства x являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x строгим.

Изобразим множество решений неравенства x на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 7. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 10

Как решить неравенство

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Как решить неравенство

Перенесем члены без x в правую часть

Как решить неравенство

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Как решить неравенство

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Как решить неравенство

Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 8. Решить неравенство 4

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4

Как решить неравенство

Решениями неравенства 1 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Как решить неравенство

Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 10. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим обе неравенства на 12

Как решить неравенство

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Как решить неравенство

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Как решить неравенство

Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Пример 11. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим все части неравенства на 3

Как решить неравенство

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Как решить неравенство

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Как решить неравенство

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Когда решений нет

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Как решить неравенство

Пример 2. Решить неравенство Как решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 3

Как решить неравенство

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Как решить неравенство

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Когда решений бесконечно много

Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9)

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Как решить неравенство

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Как решить неравенство

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Как решить неравенство

А если приведённое равносильное неравенство 0x имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Как решить неравенство

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Как решить неравенство

Приведём подобные слагаемые:

Как решить неравенство

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

Задания для самостоятельного решения

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство
Как решить неравенство
Как решить неравенство

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Неравенства. Виды неравенств

Неравенства – выражения вида \(a>b\), \(a 5\).

Виды неравенств:

Переменная только в первой степени

Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств . Для нашего случая имеем:

Как решить неравенство

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

Как решить неравенство

Запишем ответ в виде интервала

Неравенства и ОДЗ

Источник

Как решать неравенства — практикум ОГЭ (ГИА)

Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.

Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.

Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).

Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)

Итак, первое неравенство:

Как решать нестрогое неравенство

Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака «больше» или «меньше», стоит знак «больше или равно» или «меньше или равно». Например, давайте решим нестрогое неравенство. Возьмем простое неравенство, чтобы вы поняли суть вопроса.

Как решить неравенство

Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:

Как решить неравенство

Упрощаем правую часть:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Ответ: Как решить неравенство.

Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.

Вот так: Как решить неравенство

Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ

Неравенство 1

Укажите решение неравенства

Как решить неравенство

Решение:

Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:

Как решить неравенство

Как решить неравенство, отсюда

Как решить неравенство

искомый интервал: Как решить неравенство. Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.

Ответ 2.

Неравенство 2

Укажите множество решений неравенства:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Нам подходит вариант решения 4.

Неравенство 3

Укажите решение неравенства

Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Подходит вариант решения 2.

Ответ: 2

Неравенство 4

Укажите множество решений неравенства

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.

Ответ: 3.

Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части «Алгебра» ОГЭ (ГИА).

Источник

Решение неравенств

Определение и формулы неравенств

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки Как решить неравенство— знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Как решить неравенство

Ответ Как решить неравенство

Как решить неравенство0 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Как решить неравенство0,> \\ 0,> \end\right. > \\ <\left\<\begin

Решим каждую систему неравенств отдельно:

2. Как решить неравенство

Объединим полученные решения и запишем решение исходного неравенства Как решить неравенство.

Источник

Линейные неравенства

Знаки неравенств

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

≥ больше или равно,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

x c x ≤ c x > c x ≥ c

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи при решении линейных неравенств

№3. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

№4. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.

Источник

Решение неравенств

Решите неравенство \[x+10

Как решить неравенство

Решите неравенство \[x^2+34x+289>0\]

Как решить неравенство

Решите неравенство \[x^2-4x+4\leqslant 0\]

Как решить неравенство

Решите неравенство \[x^2+3x+3\geqslant 0\]

Как решить неравенство

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

По методу интервалов:

Как решить неравенство

(Задача от подписчиков)

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

По методу интервалов:

Как решить неравенство

Источник

Содержание:

Неравенства

Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некоторому неравенству.

В этом параграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Как решить неравенство

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

Как решить неравенство

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 Как решить неравенство10:

Из равенства 15=15 имеем:

15-15 = 0 — разность равна нулю.

Следовательно, существует зависимость между соотношениями «>», «Как решить неравенство», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

Так как разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из трех соотношений: а > b, a Как решить неравенство b или а = b.

Используя данное определение, сравним числа Как решить неравенствои Как решить неравенство. Для этого найдем их разность:

Как решить неравенство

Разность данных чисел — число положительное, поэтому Как решить неравенство> Как решить неравенство.

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1).

Как решить неравенство

Рис. 1

В неравенствах используют знаки: «>» — меньше, «>» — больше, « »— меньше или равно (не больше), «» — больше или равно (не меньше).

Неравенства, образованные при помощи знаков «Как решить неравенство» или «>», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «» или «», называют нестрогими.

Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 Как решить неравенство8; 1,2 -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство

Как решить неравенство

Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Пример:

Доказать неравенствоКак решить неравенство, если Как решить неравенство.

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Как решить неравенство

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является квадратом некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, неотрицательны: Как решить неравенство. Следовательно, неравенство Как решить неравенствосправедливо при любых положительных числах а и b.

Если в доказанном неравенстве принять, что b = 1, то получим верное неравенство:

Как решить неравенство

Итак, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример:

Доказать неравенствоКак решить неравенство

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Как решить неравенство

Следовательно, Как решить неравенство

Для положительных чисел а и b число Как решить неравенствоназывают их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

Как решить неравенство

справедливо и при любых положительных числах а и b. 11оэтому среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Пример:

Решение:

Как решить неравенство

Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности.

Выражение, полученное после преобразований, принимает неотрицательные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п.

Свойства числовых неравенств

Свойство 1 | Если а > b, то b Как решить неравенство а.

Свойство 2 | Если а Как решить неравенство b и b Как решить неравенство с, то а Как решить неравенство с.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3.

Как решить неравенствоРис.3

Аналогично можно доказать утверждение: если а > b и b > с, то а > с.

Свойство 3 | Если к обеим частям верною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Аналогично проводится доказательство для случая а > b и любого числа с.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство.

Свойство 4 | Если обе части верною неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Как решить неравенство b. Докажем, что ас Как решить неравенство bc, если с — положительное число, и ас > bc. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность:

Аналогично проводится доказательство, если имеем неравенство а > b.

Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и а Как решить неравенство b, то Как решить неравенство

Доказательство: Разделим обе части неравенства а Как решить неравенство b на положительное число ab. Получим:

Как решить неравенство

Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку Как решить неравенство.

Замечание. Двойное неравенство а Как решить неравенствоb Как решить неравенствос можно записать в виде двух неравенств: а Как решить неравенство b и b Как решить неравенство с. Если а Как решить неравенство b и b Как решить неравенство с, то для любого числа m справедливы неравенства: а + m Как решить неравенство b + m и b + m Как решить неравенство с + m, откуда а + m Как решить неравенствоb + m Как решить неравенство с + m.

Итак, если ко всем частям верного двойною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждения:

Пример:

Известно, что 1 Как решить неравенствоx Как решить неравенство3. Оцените значение выражения:

Решение:

Пример:

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

Как решить неравенство

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Свойство 5 | Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Как решить неравенствоb и с Как решить неравенствоd. Нужно доказать, что а + с Как решить неравенство b + d. Чтобы получить сумму а + с, прибавим к обеим частям первого неравенства число с, а чтобы получить сумму b + d, прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получим верные неравенства: а + с Как решить неравенство b + с, b + с Как решить неравенство b + d. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что а + с Как решить неравенство b + d.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, то а + с > b + d.

Умножение числовых неравенств

Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6.

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство.

Свойство 4 | Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Как решить неравенство b и с Как решить неравенствоd, где a, b, c и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас Как решить неравенство bd. Умножим обе части неравенства а Как решить неравенство b на положительное число с, а обе части неравенства c Как решить неравенство d — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас Как решить неравенство be, be Как решить неравенство bd. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас Как решить неравенство bd.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас > bd.

Следствие. Если а Как решить неравенство b, а и b — положительные числа, n — натуральное число, то Как решить неравенство

При доказательстве следствия достаточно взять н неравенств а Как решить неравенство b и почленно их перемножить.

Оценка значений выражений

Пример:

Решение:

а) Оценим сумму х + у.

Применим к неравенствам 11 Как решить неравенство х и 1 Как решить неравенствоу свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12 Как решить неравенство х + у. Применим это же свойство к неравенствам х Как решить неравенство14 и у Как решить неравенство2. Получим: х + у Как решить неравенство16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12 Как решить неравенствох + у Как решить неравенство16.

Сокращенно эти преобразования записывают так:

Как решить неравенство

Общая схема оценки суммы имеет такой вид:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Общая схема оценки разности имеет такой вид:

Как решить неравенство

в) Оценим произведение ху.

Поскольку 11 Как решить неравенствох Как решить неравенство14 и 1 Как решить неравенствоу Как решить неравенство2, то х и у — положительные числа. Применим к неравенству 11 Как решить неравенство х и 1 Как решить неравенствоу свойство о почленном умножении неравенств. Получим: 11 Как решить неравенствоху. Применим это же свойство к неравенствам х Как решить неравенство14 и y Как решить неравенство2. Получим: ху Как решить неравенство28. Результат запишем в виде двойного неравенства 11 Как решить неравенствоху Как решить неравенство28.

Сокращенно эти преобразования записывают гак:

Как решить неравенство

Общая схема оценки произведения имеет такой вид:

Как решить неравенство

г) Оценим частное Как решить неравенство.

Представим частное Как решить неравенствов виде произведения Как решить неравенство. Поскольку 1 Как решить неравенствоу Как решить неравенство2,

то Как решить неравенствоили Как решить неравенство. Согласно свойству о почленном умножении неравенств получим:

Как решить неравенство

то есть Как решить неравенство.

Общая схема оценки частного имеет такой вид:

Как решить неравенство

Пример:

Доказать неравенство (m + n)(mn + l) 4mn, где m 0, n 0.

Решение:

Используем известное неравенство Как решить неравенство, где а 0, b 0.

Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства:

Как решить неравенство

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Как решить неравенство

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Как решить неравенство

Примечание. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность использованного способа доказательства неравенств состоит в том, что:

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки

Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении

Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, при других — в неверное. Например, при х = 5 получим верное числовое неравенство 2 • 5 + 5 > 11; 15 > 11, а при х = 1 получим неверное числовое неравенство 2 • 1 + 5 > 11; 7 > 11.

Если нужно найти все значения х, при которых неравенство 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х.

При х = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удовлетворяет данному неравенству.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2х + 5 > 11 являются числа

Как решить неравенствои т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

Как решить неравенствоРис. 4

Как решить неравенствоРис. 5

Как решить неравенствоРис. 6

Как решить неравенствоРис. 7 а Рис. 7 б

4) Неравенству х >4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой чти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; Как решить неравенство).

Как решить неравенство*Рис. 8

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; Как решить неравенство) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»),

Как решить неравенствоРис. 9

5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х Как решить неравенство8, записывают (Как решить неравенство; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают (Как решить неравенство; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают гак:

Как решить неравенствоРис. 10 а

Как решить неравенствоРис. 10 б

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: Как решить неравенство

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7).

Как решить неравенствоРис. 11

Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2: 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [-1;4) и (2; 7). Записывают: Как решить неравенство, где Как решить неравенство— знак объединения.

Определение: Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1; 4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают:Как решить неравенство, где Как решить неравенство— знак пересечения.

Определение: Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков.

Для тех, кто хочет знать больше.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки [-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, пет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество. Его обозначают символомКак решить неравенство. Записывают: Как решить неравенство. Объединением промежутков [-2; 1] и (3; 4) является множество Как решить неравенство, не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков).

Как решить неравенство

Для промежутков Как решить неравенствомножество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: <1>. Записывают: Как решить неравенство. Легко найти, что Как решить неравенство.

Как решить неравенствоРис. 13

Пример:

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, принадлежащие промежутку: Как решить неравенство

Решение: а) Как решить неравенство;

в) наименьшего числа нет; 4,8;

г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример:

Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) Как решить неравенство; б) Как решить неравенство.

Решение:

а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5.

Как решить неравенство

Следовательно, решениями неравенства Как решить неравенствоявляются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5].

б) Решениями неравенства Как решить неравенствоявляются числа, которым соответствуют те точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения х, удовлетворяющие неравенству Как решить неравенствоили неравенству Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Следовательно, множеством решений неравенства Как решить неравенствоявляется объединение промежутковКак решить неравенство, то есть Как решить неравенство

Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства

Пример:

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м?

Решение:

Пусть длина меньшей стороны участка равна х м, тогда длина большей —

(х + 5 )м, а периметр участка — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). По условию периметр не превышает 46 м. поэтому 4х + 10 46.

Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х + 10 46 с одной переменной х.

При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями.

Неравенства, имеющие одни и тс же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Замену неравенства равносильным» ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

Используя эти и свойства, решим неравенство:

Как решить неравенство

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком, получим неравенство

Как решить неравенство

равносильное заданному неравенству.

Как решить неравенство

Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство

Как решить неравенство

Следовательно, неравенство 4х + 10 46 равносильно неравенству х 9, и ему удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка Как решить неравенство.

Как решить неравенствоРис. 16

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через х м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то х может принимать значения из промежутка (0; 9|. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее.

Для тех, кто хочет знать больше.

Как решить неравенство

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство

Как решить неравенство

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а 46- 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2).

Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными.

Пример:

Решение:

Как решить неравенство

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а остальные — в правую часть:

Как решить неравенство

приведем подобные слагаемые:

Как решить неравенство

разделим обе части неравенства на 3:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Ответ. Как решить неравенство

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство, отметить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим:

Как решить неравенство

Ответ, (Как решить неравенство; 4,2].

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Как решить неравенство

Разделим все части неравенства на 3, получим: Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство.

Пример:

Решить неравенство: Как решить неравенство

Решение:

а) Решениями неравенства |2х-3| 5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству

Как решить неравенство

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Как решить неравенство

Разделим все части неравенства на 2:

Как решить неравенство

Ответ. Решений нет.

Решая каждое неравенство совокупности, получим:

Как решить неравенство

Решениями совокупности являются значения х, удовлетворяющие неравенству х Как решить неравенство-2 или неравенству х > 3.

Как решить неравенство

Ответ. х Как решить неравенство-2 или х > 3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков: Как решить неравенство

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Множеством решений неравенства является числовой промежутокКак решить неравенство

Ответ. Как решить неравенство

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Ответ. Как решить неравенство

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Как решить неравенство

Неравенство 0 • х Как решить неравенство— 5 не имеет решений, так как при любом х значение

Ответ. Решений нет.

Неравенства вида ах > b, ax>b, ах Как решить неравенство b, ах Как решить неравенство b, где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если Как решить неравенство,то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если Как решить неравенството или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств:

Пример:

Найти область определения функции Как решить неравенство.

Решение:

Как решить неравенство

Областью определения функции является промежуток Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство

Пример:

Решить неравенство (а + 3)х Как решить неравенство5 с параметром а.

Решение:

Рассмотрим три случая: 1) а + 3 Как решить неравенство0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.

1) Если а + 3 Как решить неравенство0, то есть а Как решить неравенство-3, то, разделив обе части неравенства на отрицательное число а + 3, получим: Как решить неравенство

3) Если а + 3 > 0. то есть а > —3, то Как решить неравенство

Системы линейных неравенств с одной переменной

Понятие системы неравенств с одной переменной и ее решения

Пример:

Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 руб. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше 14 руб. По какой цене покупали помидоры хозяйки?

Решение:

Пусть цена 1 кг помидоров х руб., тогда 10 кг стоят 10х руб., что по условию задачи больше 18 руб., то есть 10х > 18.

5 кг помидоров стоят 5х руб., что по условию задачи меньше 14 руб., то есть 5х Как решить неравенство14.

Чтобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство 10х > 18, так и неравенство 5х Как решить неравенство14.

Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум неравенствам, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так:

Как решить неравенство

Решив каждое из неравенств системы, получим:

Как решить неравенство

Следовательно, значения х должны удовлетворять условию 1,8 Как решить неравенствох Как решить неравенство2.8, то есть цена 1 кг помидоров больше 1 руб. 80 к., но меньше 2 руб. 80 к.

Значение х = 2 является решением обоих неравенств системы Как решить неравенство

поскольку каждое из числовых неравенств 10 • 2 > 18 и 5 • 2 Как решить неравенство14 является

верным. Такое значение х называют решением системы неравенств.

Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Пример:

Решить систему неравенств Как решить неравенство

Решение:

Решим каждое из неравенств системы:

Как решить неравенство

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству последней системы, — промежуток Как решить неравенство, и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению: Как решить неравенство

Пример:

Решить систему неравенств Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству Как решить неравенство, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку Как решить неравенство

Ответ. Как решить неравенство

Пример:

Решить систему неравенств Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х Как решить неравенство-3.

Как решить неравенство

Общих решений неравенства не имеют.

Ответ. Решений нет.

Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решить, используя следующую схему:

Примечание.

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Найдем значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Раскроем модули на каждом из промежутков и решим соответствующие неравенство.

Решим полученное неравенство:

Как решить неравенство

Кроме того, значения х должны удовлетворять неравенству х Как решить неравенство-1, а значит, и

Значения х должны удовлетворять двум неравенствам: Как решить неравенствои х Как решить неравенство3,5, то есть

системе Как решить неравенствомножеством решений которой является промежуток [2; 3,5).

Пример:

При каких значениях х имеет смысл выражение Как решить неравенство

Решение:

Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при которых каждое из выражений 2х + 9 и 5 + х принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения л должны удовлетворять систему неравенств Как решить неравенство

Решим полученную систему:

Как решить неравенство

Пример:

Решить неравенство Как решить неравенство

Решение:

Дробь положительна только тогда, когда ее числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств:

Как решить неравенство

Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > 2, а второй — неравенству х Как решить неравенство— 1.

Ответ, х Как решить неравенство-1 или х > 2. (Множество решений можно записать в виде объединения промежутков: Как решить неравенство

Пример:

Решить двойное неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Данное двойное неравенство можно записать в виде системы

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенств (см. пункт 5, упражнение 3).

Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий назад.

Где в «Началах» Евклида сугубо геометрически было обосновано неравенство Как решить неравенство, где а и b рассматривались как длины отрезков.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства

Как решить неравенство, где а > 0, b > 0.

Как решить неравенство

Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому Как решить неравенство.

Поскольку Как решить неравенство.

Это известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить па случай большего количества чисел, называют еще неравенством Коши.

Как решить неравенство

Огюстен Луи Коши — известный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, математической физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую математическую работу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему проложить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя.

Приведем еще два известных неравенства, которые, как и неравенство Коши, используют для доказательства многих математических утверждений, в частности, для доказательства других неравенств.

Неравенство Коши — Буняковского:

Как решить неравенство

где Как решить неравенство— любые действительные числа.

О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечественные математики».

Как решить неравенство

где Как решить неравенство— натуральное число.

Как решить неравенство

Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельского университета. Основные его работы посвящены математическому анализу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной математики — математической статистике.

Неравенства

На практике вам часто приходится сравнивать величи­ны. Например, площадь России (603,7 тыс. км2) больше площади Франции (551 тыс. км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерлы (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0,011 длины эква­тора.

Когда мы сравниваем величины, нам приходится срав­нивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки =, >, b; если число а меньше числа b, то пишут а b и b > с, то а > с.

Аналогично доказывают свойство: если а b и с — любое число, то а + с > b + с.

Аналогично доказывают свойство: если а b + с вер­но. Вычтем из обеих его частей число с. Получим: Как решить неравенство

Поскольку деление можно заменить умножением Как решить неравенството, учитывая теорему 2.3, можно сделать такой вывод.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и из­менить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие: Как решить неравенство

Доказательство: Как решить неравенствоРазделим обе части неравенства а > b на положительное число ab. Получим правильное неравенство Как решить неравенство, то есть Как решить неравенствоОтсюда Как решить неравенство

В теоремах этого пункта шла речь о строгих неравен­ствах. Нестрогие неравенства также обладают аналогичны­ми свойствами. Например, если Как решить неравенство— любое число, то Как решить неравенство

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справедливость подтверждают следующие теоремы.

Теорема: (о почленном сложении неравенств).

Как решить неравенство

Аналогично доказывается свойство: если а b и с > d (или а b и с d) — неравенствами противоположных знаков.

Говорят, что неравенство а + с > b + d получено из не­равенств а > b и с > d путем почленного сложения.

Теорема: означает, что при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.

Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае по­членного сложения трех и более неравенств. Например, если

Как решить неравенство

Теорема: (о почленном умножении нера­венств). Если а > Ь, с > d и а, и, с, d — положительные числа, то ас > bd.

Аналогично доказывается свойство: если а bd получено из неравенств а > b и с > d путем почленного умножения.

Теорема: означает, что при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и пра­вые части — положительные числа, результатом явля­ется верное неравенство того же самого знака.

Заметим, что теорема 3.2 справедлива и в случае почлен­ного умножения трех и более неравенств. Например, если Как решить неравенство— положительные числа, причем Как решить неравенствоКак решить неравенството Как решить неравенство

Следствие: Если Как решить неравенство— положительные чис­ла, то Как решить неравенство, где Как решить неравенство— натурально число.

Доказательство: Как решить неравенствоЗапишем Как решить неравенствоверных неравенств а > b :

Как решить неравенствонеравенств

Так как а и b — положительные числа, то можем перемно­жить почленно Как решить неравенствозаписанных неравенств. Получим Как решить неравенство

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

Часто значения величин, являющихся результатами из­мерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Пусть, например, в результате измерения ширины х и длины у прямоугольника было установлено, что 2,5 см 44 является математической моделью задачи о периметре па­раллелограмма.

Если в это неравенство вместо переменной х подставить, например, число 16, то получим верное числовое неравен­ство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Так, каждое из чисел Как решить неравенствоявляется решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не явля­ется его решением.

Замечание. Определение решения неравенства анало­гично определению корня уравнения. Однако не принято говорить «корень неравенства».

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то гово­рят, что множеством его решений является пустое множе­ство. Пустое множество обозначают символом Как решить неравенство

Например, в задаче «решите неравенство Как решить неравенствоответ будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».

Очевидно, что неравенство Как решить неравенстворешений не имеет, т. е. множеством его решений является пустое множество.

Определение: Неравенства называют равносильны­ми, если они имеют одно и то же множество решений.

Приведем несколько примеров.

Неравенства Как решить неравенстворавносильны. Действитель­но, каждое из них имеет единственное решение х = 0.

Неравенства Как решить неравенстворавносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел.

Так как каждое из неравенств Как решить неравенстворешений не имеет, то они также являются равносильными.

Решение линейных неравенств с одной переменной

Свойства числовых равенств помогали нам решать урав­нения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы заменяли его другим, более прос­тым уравнением, но равносильным данному. По аналогич­ной схеме решают и неравенства.

При замене уравнения на равносильное ему уравнение используют теоремы о перенесении слагаемых из одной части уравнения в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Аналогичные правила применяют и при решении не­равенств.

С помощью этих правил решим неравенство, полученное в задаче о периметре параллелограмма (см. п. 4).

Имеем: 14 + 2х > 44.

Разделим обе части неравенства на 2:

Заметим, что полученное неравенство равносильно ис­ходному неравенству. Множество его решений состоит из всех чисел, которые больше 15. Это множество называют числовым промежутком и обозначают (15; +Как решить неравенство) (читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности»).

Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х > 15, расположены справа от точки, изобра­жающей число 15, и образуют луч, у которого «выколото» начало (рис. 5).

Как решить неравенство

Ответ может быть записан одним из способов: (15 ; + Как решить неравенство; либо х > 15.

Заметим, что для изображения на рисунке числового промежутка используют два способа: с помощью либо штриховки (рис. 5, а), либо дуги (рис. 5, б). Мы будем использовать второй способ.

Пример:

Решите неравенство Как решить неравенство

Решение:

Перенесем слагаемое х из правой части неравенства в ле­вую, а слагаемое 3 — из левой части в правую и приведем подобные члены:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Ответ можно записать одним из способов: Как решить неравенстволибо Как решить неравенство

Пример:

Решите неравенство Как решить неравенство

Решение:

Запишем цепочку равносильных неравенств:

Как решить неравенство

Неравенства

В этом разделе вы научитесь:

Это интересно!

Великий Азербайджанский мыслитель, философ, математик, астроном Насреддин Туси создал научные труды, которые внесли большой вклад в историю человечества. В письменных источниках его называют «Отецом тригонометрии». В своём труде «Об измерении круга» он впервые доказал теорему синусов и применил их для астрономических расчетов.

Неравенства:

Неравенства записываются при помощи знаков Как решить неравенствоНеравенства могут быть записаны словами или математическими символами, а также изображены на числовой оси.

Как решить неравенство

Для сравнения чисел и выражений применяются различные методы. Одним из них является метод оценки разности.

Пример:

Сравним выражения Как решить неравенство. Для этого рассмотрим разность Как решить неравенство. Значит, при любых значениях переменой значение выражения Как решить неравенствоне меньше (больше или равно) значения выражения Как решить неравенство.

Свойства неравенств

Доказательство 3-го свойства: если Как решить неравенство, то Как решить неравенство; если Как решить неравенство, то Как решить неравенствоТогда Как решить неравенство, отсюда следует, что Как решить неравенствоКак решить неравенство

Исследование

Рассмотрим неравенство Как решить неравенство

Как решить неравенство

При значении переменной меньше 7, значение суммы Как решить неравенствоменьше 10.

При значении переменной равной 7, значение суммы Как решить неравенстворавно 10.

При значении переменной больше 7, значение суммы Как решить неравенствобольше 10.

Неравенство Как решить неравенствоверно для всех чисел меньше 7.

Свойства неравенств

Теорема. Если неравенство верное, то прибавив или отняв от обеих частей данного неравенства одно и то же число, получим верное неравенство.

Если Как решить неравенство, то для любого числа Как решить неравенствоКак решить неравенство

Если Как решить неравенство, то для любого числа Как решить неравенствоКак решить неравенство.

Пример:

Масса морского тюленя может достигать максимально 650 кг. В настоящее время тюлень весит 398 кг. Как при помощи неравенства можно записать массу, которую еще сможет набрать тюлень?

Как решить неравенство

Свойства неравенств

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Для любых чисел Как решить неравенствопри Как решить неравенствополучим:

Если обе части верного неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Для любых чисел Как решить неравенствопри Как решить неравенствополучим:

Сложение и вычитание неравенств

Теорема. Если Как решить неравенство

Если к обеим частям неравенства Как решить неравенствоприбавить Как решить неравенство, то Как решить неравенство

Если к обеим частям неравенства Как решить неравенствоприбавить Как решить неравенство, то Как решить неравенство

Из Как решить неравенствополучим, что Как решить неравенство

Данная теорема верна при сложении двух и более неравенств. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Как решить неравенство

Если Как решить неравенствоположительные числа, Как решить неравенствои Как решить неравенство, тогда Как решить неравенство.

Если в неравенстве Как решить неравенствообе части умножим на Как решить неравенство, а в неравенстве Как решить неравенствообе части умножим на Как решить неравенство, то получим Как решить неравенствои Как решить неравенство

Отсюда следует что, Как решить неравенство.

Следствие. Если Как решить неравенствоположительные числа и Как решить неравенство, тогда Как решить неравенство. (я-натуральное число).

Числовые промежутки

При Как решить неравенствомножество всех действительных чисел, удовлетворяющих соотношению Как решить неравенствоназывается интервалом Как решить неравенство

Как решить неравенство.

Если в множество точек интервала Как решить неравенстводобавить точки Как решить неравенство, то полученный промежуток будет называться отрезком Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Множество всех чисел Как решить неравенство, удовлетворяющих двойному неравенству Как решить неравенствои Как решить неравенство, соответственно записывается как Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Множество всех точек, удовлетворяющих условию Как решить неравенствои расположенных справа от точки с координатой Как решить неравенство, записывается как Как решить неравенствои читается так: промежуток от Как решить неравенстводо плюс бесконечности.

Как решить неравенство

Если точка Как решить неравенствопринадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию Как решить неравенство, то это записывается как Как решить неравенствои графически изображается так:

Как решить неравенство

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию Как решить неравенство, записывается как Как решить неравенствои графически изображается так:

Как решить неравенство

Если точка Как решить неравенствопринадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию Как решить неравенство, то это записывается как Как решить неравенствои графически изображается так:

Как решить неравенство

Решение линейных неравенств с одной переменной

Определение. Решением линейною неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной превращающих данное неравенство в верное.

Решить неравенство, значит найти все его решения или докатать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решения, также называются равносильными. При решении неравенств используются следующие следствия, полученные из свойств числовых неравенств:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство Как решить неравенстворавносильно неравенству Как решить неравенство, а неравенство Как решить неравенстворавносильно неравенству Как решить неравенство.

3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Неравенства вида Как решить неравенство(где Как решить неравенствонекоторые числа) называются линейными неравенствами, зависящими от одной переменной.

Решение неравенства Как решить неравенство

Решение неравенства Как решить неравенство

Пример:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенстворешением неравенства является промежуток Как решить неравенство

Графическое представление решения: Как решить неравенство

Решение двойных неравенств

Двойные неравенства

Как решить неравенство

Пример 1. Запишем неравенство Как решить неравенствов виде двух неравенств Как решить неравенство

Надо найти такие значения Как решить неравенство, которые будут удовлетворять неравенствам Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Пример 2. Как решить неравенство

Надо найти такие значения х, которые будут удовлетворять неравенствам Как решить неравенство

Решаем каждое неравенство и находим объединение множеств.

Как решить неравенство

Пример 3. Двойное неравенство Как решить неравенствоможно решить используя свойства неравенств.

Как решить неравенство

Простые неравенства с переменной, входящей под знаком модуля

Геометрически решением неравенства Как решить неравенствоявляется множество всех точек, расположенных на расстоянии меньше 3-х единиц от числа 0. Это все действительные числа, которые расположены между числами 3 и 3, т.е. Как решить неравенство.

Как решить неравенство

При Как решить неравенствонеравенство Как решить неравенствогеометрически выражает расстояние от точки 0 до точек Как решить неравенство, при котором это расстояние будет меньше Как решить неравенство. Оно состоит из множества точек Как решить неравенство, размещённых на интервале Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Поэтому неравенство Как решить неравенстворавносильно двойному неравенству Как решить неравенствоАналогично, неравенство Как решить неравенстворавносильно двойному неравенству Как решить неравенство

При Как решить неравенствонеравенство Как решить неравенствогеометрически выражает расстояние от точки 0 до точек Как решить неравенство, при котором это расстояние будет больше Как решить неравенство. Для любого Как решить неравенство, взятого из промежутков Как решить неравенстворасстояние от начала отсчета до точки Как решить неравенствобольше Как решить неравенство. Поэтому, множеством решений неравенства Как решить неравенствоявляется Как решить неравенство, т.е. объединение промежутков, удовлетворяющее неравенствам Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Множество решений неравенства Как решить неравенствобудет Как решить неравенство.

Неравенства

В этой лекции вы:

Числовые неравенства

Для любых двух чисел Как решить неравенствои Как решить неравенствоимеет место одно и только одно из соотношений: Как решить неравенствоили Как решить неравенство. Ранее в зависимости от вида чисел (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми или разными знаменателями) мы использовали то или иное правило сравнения чисел. Удобнее было бы иметь универсальное правило сравнения.

Известно, что Как решить неравенство. Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: Как решить неравенство, разность положительна. Рассматривая разность левой и правой частей неравенства Как решить неравенство, получаем: Как решить неравенство, разность отрицательна. Рассматривая в равенстве Как решить неравенстворазность левой и правой частей, получим, что разность равна нулю: Как решить неравенство.

Приходим к определению сравнения чисел:

Как решить неравенство

Пример №285

Сравнить Как решить неравенствои Как решить неравенство.

Решение:

Рассмотрим разность чисел Как решить неравенствои Как решить неравенство:

Как решить неравенство

Разность отрицательна, значит Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство

Напомним, что на координатной прямой точка, соответствующая меньшему числу, лежит левее точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1 точка, соответствующая числу Как решить неравенство, лежит левее точки, соответствующей числу Как решить неравенство, поэтому Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Числовые неравенства бывают верные и неверные.

Например, Как решить неравенство— верные числовые неравенства, Как решить неравенство— неверные числовые неравенства.

Кроме знаков Как решить неравенство, называемых знаками строгого неравенства, в математике также используют знаки Как решить неравенство(читают: «меньше или равно» или «не больше») и Как решить неравенство(«больше или равно» или «не меньше»). Знаки Как решить неравенствои Как решить неравенствоназывают знаками нестрогого неравенства. Неравенства, которые содержат знак Как решить неравенство, называют строгими неравенствами, а те, которые содержат знак Как решить неравенствоили Как решить неравенствонестрогими неравенствами.

Из определения соотношений «больше», «меньше» и «равно» получаем, что Как решить неравенство, если Как решить неравенство, и Как решить неравенство, если Как решить неравенство.

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно доказывать неравенства.

Пример №286

Доказать, что при любом значении Как решить неравенствоимеет место неравенство Как решить неравенство.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Как решить неравенство.

Так как Как решить неравенствопри любом значении Как решить неравенство, то при любом значении Как решить неравенствоимеет место неравенство Как решить неравенство, что и требовалось доказать.

Условие для примера 2 можно было сформулировать проще, например: доказать неравенство Как решить неравенство.

Пример №287

Доказать неравенство Как решить неравенство.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Как решить неравенство.

Так как Как решить неравенствопри любом значении Как решить неравенство, Как решить неравенство. Следовательно, по определению, неравенство Как решить неравенствоверно при любом Как решить неравенство, что и требовалось доказать.

Пример №288

Доказать неравенство Как решить неравенство.

Доказательство: В левой части неравенства выделим квадраты двучленов:

Как решить неравенство.

При любых значениях Как решить неравенствои Как решить неравенство: Как решить неравенство.

А значит, Как решить неравенство.

Следовательно, Как решить неравенство, что и требовалось доказать.

Напомним, что число Как решить неравенствоназывают средним арифметическим чисел Как решить неравенствои Как решить неравенство. Для неотрицательных чисел Как решить неравенствои Как решить неравенствочисло Как решить неравенствоназывают их средним геометрическим.

Пример №289

Доказать, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел Как решить неравенствои Как решить неравенствоне меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

Как решить неравенство.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее, учитывая, что Как решить неравенстводля Как решить неравенство. Получим:

Как решить неравенство Как решить неравенстводля любых Как решить неравенствои Как решить неравенство. Следовательно, Как решить неравенствопри любых Как решить неравенство, Как решить неравенство, что и требовалось доказать. Отметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда Как решить неравенство. Если Как решить неравенство.

Как решить неравенствоПонятия «больше» и «меньше» появились одновременно с понятием «равно».Еще с древних времен в практической деятельности человека возникла потребность сравнивать количество предметов, длины отрезков, площади участков и т. п. Так, например, несколько неравенств присутствует в выдающемся труде «Начала» древнегреческого математика Евклида (ок. 356-300 до н. э.). В частности, там он доказывает неравенство Как решить неравенствогеометрическим методом для положительных чисел Как решить неравенствои Как решить неравенство.

Чтобы оценить отношение длины круга Как решить неравенствок его диаметру Как решить неравенство(позже названное числом Как решить неравенство), другой древнегреческий физик и математик Архимед (ок. 287-212 до н. э.) использовал неравенство:Как решить неравенство.

Привычные нам символы для записи неравенств появились лишь в XVII—XVIII в. Знаки Как решить неравенствои Как решить неравенствовпервые использовал английский математик Томас Харриот (1560-1621) в работе «Практика аналитического искусства», опубликованной в 1631 году, а знаки Как решить неравенствои Как решить неравенство— в 1734 году французский математик и астроном Пьер Бугер (1698-1758).

Кроме неравенства Коши отметим еще и такие известные неравенства:

1) Неравенство Бернулли.

Как решить неравенство, где Как решить неравенство— 1, Как решить неравенство— целое число.

2) Неравенство Чебышёва.

Как решить неравенство, где Как решить неравенство— положительные числа, причем Как решить неравенство.

3) Неравенство Коши-Буняковского.

Как решить неравенство, где Как решить неравенство— любые числа.

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим свойства числовых неравенств.

Свойство 1. Как решить неравенство

Доказательство: Поскольку Как решить неравенство, то Как решить неравенство. Тогда Как решить неравенство, но Как решить неравенство, поэтому Как решить неравенство. Следовательно, Как решить неравенство.

Аналогично будем рассуждать и в случае, когда Как решить неравенство.

Свойство 2. Как решить неравенство

Доказательство: По условию Как решить неравенство. Поэтому Как решить неравенствои Как решить неравенство, т. е. числа Как решить неравенствои Как решить неравенство— положительны. Рассмотрим разность Как решить неравенство. Имеем: Как решить неравенство

Как решить неравенство(так как числа Как решить неравенствои Как решить неравенство— положительны). Поэтому Как решить неравенство.

Аналогично рассуждаем, когда Как решить неравенствои Как решить неравенство.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунках 2 и 3.

Как решить неравенство

Свойство 3. Как решить неравенство

Доказательство: По условию Как решить неравенство, значит, Как решить неравенство. Рассмотрим разность Как решить неравенствои преобразуем ее:

Как решить неравенство, следовательно, Как решить неравенство.

Следствие: Как решить неравенство.

Доказательство: Так как Как решить неравенство, то Как решить неравенство, т.е. Как решить неравенство. Но Как решить неравенство, поэтому Как решить неравенство. Следовательно, Как решить неравенство.

Из этого следствия имеем:

если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Свойство 4. Как решить неравенство

Доказательство: Пусть Как решить неравенство, тогда Как решить неравенство. Рассмотрим разность Как решить неравенствои преобразуем ее: Как решить неравенство.

Если Как решить неравенство, то Как решить неравенство, а значит, Как решить неравенство; если Как решить неравенство, то Как решить неравенство, а значит Как решить неравенство.

Так как Как решить неравенство, то, обозначив Как решить неравенство, получим, что аналогичное свойство имеет место и в случае деления обеих частей неравенства на отличное от нуля число Как решить неравенство.

Следствие: Как решить неравенство

Доказательство: Разделим обе части неравенства Как решить неравенствона положительное число Как решить неравенство; тогда Как решить неравенство, т. е. Как решить неравенство.

Пример №290

Дано: Как решить неравенство. Сравнить:

Как решить неравенство

Решение:

1) Если к обеим частям верного неравенства Как решить неравенствоприбавим число 1, то по свойству 3 получим: Как решить неравенство.

3) Если обе части верного неравенства Как решить неравенствоумножим на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим верное неравенство Как решить неравенство.

Решение таких упражнений можно записать короче: Как решить неравенство

6) Если обе части верного неравенства Как решить неравенстворазделим на положительное число 8, то по свойству 4 получим верное неравенство Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Напомним, что в математике есть и двойные числовые неравенства: Как решить неравенство. Например, двойное неравенство Как решить неравенствоозначает, что одновременно имеют место неравенства Как решить неравенствои Как решить неравенство. Так как Как решить неравенствои Как решить неравенство, то для любого числа Как решить неравенствопо свойству 3 имеют место неравенства Как решить неравенствои Как решить неравенство.

Таким образом, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Рассуждая аналогично, получаем:

Как решить неравенство

Рассмотренные нами свойства числовых неравенств можно использовать для оценивания значении выражении.

Пример №291

Оценить периметр квадрата со стороной Как решить неравенствосм, если Как решить неравенство

Решение:

Так как периметр Как решить неравенствоквадрата находят по формуле Как решить неравенство, то все части неравенства Как решить неравенствонужно умножить на 4. Получим:

Как решить неравенство, тогда Как решить неравенство.

Следовательно, периметр квадрата больше чем 12,8 см, но меньше чем 15,6 см.

Ответ. Как решить неравенство.

Пример №292

Дано: Как решить неравенство. Оценить значение выражения:Как решить неравенство

Решение:

Используя форму записи, предложенную в задании 5 примера, получим:

Как решить неравенство

Как решить неравенство

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассмотрение свойств неравенств.

Допустим, имеем два верных неравенства одного знака: Как решить неравенствои Как решить неравенство. Сложим их левые части, их правые части и между результатами запишем такой же знак: Как решить неравенство. Получим верное числовое неравенство, ведь, действительно, Как решить неравенство. Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства одного знака.

Свойство 5 (почленное сложение неравенств). Если Как решить неравенствои Как решить неравенство, то Как решить неравенство.

Доказательство: К обеим частям неравенства Как решить неравенствоприбавим число Как решить неравенство, а к обеим частям неравенства Как решить неравенство— число Как решить неравенство, получим два верных неравенства: Как решить неравенствои Как решить неравенство, следовательно, Как решить неравенство, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываем, что если Как решить неравенствои Как решить неравенство, то Как решить неравенство.

Свойство 5 справедливо и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.

Пример №293

Стороны некоторого треугольника равны Как решить неравенствосм, Как решить неравенствосм и Как решить неравенствосм. Оценить периметр треугольника Как решить неравенство(в см), если Как решить неравенство.

Решение:

Приведем сокращенную запись решения:

Как решить неравенство

Таким образом, Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство.

Свойство 6 (почленное умножение неравенств). Если Как решить неравенствои Как решить неравенство, где Как решить неравенство— положительные числа, то Как решить неравенство.

Доказательство: Умножим обе части неравенства Как решить неравенствона положительное число Как решить неравенство, а обе части неравенства Как решить неравенство— на положительное число Как решить неравенствополучим два верных неравенства: Как решить неравенствои Как решить неравенство, следовательно, Как решить неравенство(по свойству 2). Доказано.

Аналогично можно доказать, что если Как решить неравенствои Как решить неравенство, где Как решить неравенство Как решить неравенство— положительные числа, то Как решить неравенство.

Отметим, что свойство 6 справедливо и для более чем двух неравенств.

Следствие: Если Как решить неравенство— положительные числа, причем Как решить неравенство, то Как решить неравенство, где Как решить неравенство— натуральное число.

Доказательство: Перемножив почленно Как решить неравенствоверных неравенств Как решить неравенство, где Как решить неравенствои Как решить неравенство, получим Как решить неравенство.

С помощью рассмотренных нами свойств можно оценивать сумму, разность, произведение и частное чисел.

Пример №294

Дано: Как решить неравенство. Оцените значение выражения:

Как решить неравенство

Решение:

1) Как решить неравенство

2) Чтобы оценить разность Как решить неравенство, представим ее в виде суммы: Как решить неравенство, но сначала оценим выражение Как решить неравенство.

Умножив все части неравенства Как решить неравенствона число Как решить неравенствои изменив знаки неравенства на противоположные, получим: Как решить неравенство, т. е. Как решить неравенство. Таким образом,

Как решить неравенство

3) Как решить неравенство

4) Чтобы оценить частное Как решить неравенство, представим его в виде произведения:Как решить неравенство. Оценим выражение Как решить неравенство. Если Как решить неравенство, то Как решить неравенство. Таким образом, Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство

С помощью рассмотренных свойств можно также доказывать неравенства.

Пример №295

Доказать, что Как решить неравенство, если Как решить неравенство, Как решить неравенство

Решение:

К каждому множителю левой части неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши), получим:

Как решить неравенство

Используя свойство 4, обе части каждого из этих неравенств умножим на 2, получим:

Как решить неравенство.

Перемножим эти неравенства почленно:

Как решить неравенство

Таким образом,Как решить неравенство, что и требовалось доказать.

Неравенства с переменными. решение неравенства

Также решениями неравенства Как решить неравенствоявляются, например, числа Как решить неравенствот. д.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Пример №296

Решить неравенство: 1) Как решить неравенство

Решение:

1) Как решить неравенствопри всех Как решить неравенство, причем Как решить неравенствотогда и только тогда, когда Как решить неравенство. Значит, решением неравенства Как решить неравенствоявляется любое положительное число.

2) Как решить неравенствопри любом значении Как решить неравенство, поэтому Как решить неравенствопри

любом Как решить неравенство. Следовательно, значение выражения Как решить неравенствотакже будет положительным при любом Как решить неравенство. А значит, при любом значении Как решить неравенствонеравенство Как решить неравенствоявляется неверным, т. е. не имеет решений.

Ответ. 1) Любое число, большее нуля; 2) нет решений.

Числовые промежутки. пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать с помощью числовых промежутков.

Пример №297

Как решить неравенство

Пример №298

Как решить неравенство

Пример №299

Пример №300

Как решить неравенство

Пример №301

Неравенству Как решить неравенствоудовлетворяют все числа, большие, чем 2, то есть числа, лежащие на координатной прямой справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают Как решить неравенство(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности») и изображают лучом, выходящим из «пустой» точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример №302

Неравенству Как решить неравенствоудовлетворяют все числа, большие, чем 2, и само число 2. Множество этих чисел обозначают: Как решить неравенство(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности, включая 2») и изображают лучом, лежащим справа от точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

Как решить неравенство

Пример №303

Множество чисел, удовлетворяющих условию Как решить неравенство, записывают так: Как решить неравенство(читают: «промежуток от минус бесконечности до 4»). Это множество изображено на рисунке 11.

Пример №304

Множество чисел, удовлетворяющих условию Как решить неравенство, записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4, включая 4»). Изображено оно на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка принадлежит промежутку (например, для нестрогого неравенства), то этот конец заключают в квадратную скобку, во всех остальных случаях конец заключают в круглую скобку.

Множество всех чисел изображает вся координатная прямая и его записывают в виде Как решить неравенство. Множество, не содержащее ни одного числа, обозначают символом Как решить неравенствои называют пустым множеством.

Над множествами можно выполнять некоторые действия (операции). Рассмотрим два из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств Как решить неравенствои Как решить неравенствоназывают множество, которое состоит из элементов, принадлежащих как множеству Как решить неравенство, так и множеству Как решить неравенство.

Пересечение множеств записывают с помощью символа Как решить неравенство. Изображать пересечение множеств удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 13).

Как решить неравенство

Пример №305

Если даны множества Как решить неравенство, Как решить неравенствои Как решить неравенство, то Как решить неравенство; Как решить неравенство.

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие как одному промежутку, так и другому.

Пример №306

Как решить неравенство(рис. 14).

Как решить неравенство

Пример №307

Промежутки Как решить неравенствои Как решить неравенствоне имеют общих точек (рис. 15), поэтому их пересечением является пустое множество. Записать это можно так: Как решить неравенство.

Объединением множеств Как решить неравенствои Как решить неравенствоназывают множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Как решить неравенствоили Как решить неравенство.

Для записи объединения множеств используют символ Как решить неравенство. Изображать объединение множеств также удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 16).

Пример №308

Если даны множества Как решить неравенство, Как решить неравенствои Как решить неравенство, то Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Пример №309

Как решить неравенство. Отметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество Как решить неравенствоне является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства

Неравенства вида Как решить неравенство, где Как решить неравенство-переменная, Как решить неравенство— некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если Как решить неравенство, то обе части неравенства можно разделить на Как решить неравенство, учитывая при этом свойство числовых неравенств, то есть если а Как решить неравенство, то знак неравенства оставляем без изменении; если же Как решить неравенство, то знак неравенства изменяем на противоположный.

Пример №310

Решить неравенство: 1) Как решить неравенство.

Решение:

1) Разделив обе части неравенства на 2, получим: Как решить неравенство. Таким образом, решением неравенства является промежуток Как решить неравенство.

Ответ. 1) Как решить неравенство; 2) Как решить неравенство.

Отметим, что ответ можно было записать и так:

1) Как решить неравенство; 2) Как решить неравенство.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Для неравенств с переменными имеют место свойства, подобные тем, которые справедливы и для уравнений:

Чтобы решить уравнение, мы приводим его к равносильному ему, но более простому уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, приводя их к более простым неравенствам, им равносильным.

Пример №311

Решить неравенство Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

Получили неравенство, равносильное исходному. Оно не имеет решений, так как при любом значении Как решить неравенстволевая часть неравенства будет равна нулю, а неравенство Как решить неравенствоявляется неверным.

Ответ. Решений нет.

Пример №312

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Раскрыв скобки, получим:

Как решить неравенство.

Решая далее, имеем: Как решить неравенство; то есть Как решить неравенство.

Последнее неравенство равносильно исходному и является верным при любом значении Как решить неравенство, так как при любом значении Как решить неравенствоего левая часть будет равна нулю, а неравенство Как решить неравенствоявляется верным. Таким образом, решением неравенства будет любое число, а значит, множеством решений является промежуток Как решить неравенство.

Ответ: Как решить неравенство.

Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод, что

неравенства вида Как решить неравенствоили не имеют решений, или их решение — любое число.

Пример №313

Для каждого значения Как решить неравенстворешить неравенство Как решить неравенство, где Как решить неравенство— переменная.

Решение:

Значение выражения Как решить неравенстводля разных значений Как решить неравенствоможет быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:

Как решить неравенство

1) Если Как решить неравенство, т. е. Как решить неравенство, то, разделив левую и правую части неравенства на положительное число Как решить неравенство, получим:

Как решить неравенство

2) Если Как решить неравенство, т. е. Как решить неравенство, получим не имеющее решений неравенствоКак решить неравенство.

3) Если Как решить неравенство, т. е. Как решить неравенство, то, разделив левую и правую части неравенства на отрицательное число Как решить неравенствои изменив знак неравенства на противоположный, получим:

Как решить неравенство

Ответ. Если Как решить неравенство, то Как решить неравенство; если Как решить неравенство, то решений нет; если Как решить неравенство,то Как решить неравенство.

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решение

Нам нужно найти такие значения Как решить неравенство, при которых верным будет как неравенство Как решить неравенство, так и неравенство Как решить неравенство, то есть нужно найти общие решения обоих неравенств. В таком случае объединяют неравенства в систему и говорят, что нужно решить систему неравенств:

Как решить неравенство

Решив каждое из неравенств системы, имеем систему:

Как решить неравенство

Значит, значение Как решить неравенстводолжно удовлетворять условию: Как решить неравенство.

Следовательно, скорость велосипедиста больше чем 12 км/ч, но меньше чем 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждому из неравенств системы

Как решить неравенство

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором верным является каждое из неравенств системы.

При решении системы неравенств целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

Пример №314

Решить систему неравенств:

Как решить неравенство

Решение:

Постепенно заменяя каждое из неравенств системы ему равносильным, но более простым, получим:

Как решить неравенство

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству Как решить неравенство, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству Как решить неравенство(рис. 26). Множеством решений системы является пересечение этих множеств, то есть промежуток Как решить неравенство.

Как решить неравенство

Ответ. Как решить неравенство.

Ответ в примере 1 можно записать и так: Как решить неравенство.

Пример №315

Найти все целые решения системы неравенств:

Как решить неравенство

Решение:

Найдем сначала все решения системы:

Как решить неравенство

Пример №316

Решить систему неравенств:

Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

Отметив полученные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видим, что общих точек у них нет, а значит, пересечением промежутков является пустое множество. Следовательно, система решений не имеет.

Как решить неравенство

Ответ. Решений нет.

Пример №317

Решить неравенство Как решить неравенство.

Решение:

Перепишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:

Как решить неравенство

Решим эту систему: Как решить неравенство

Таким образом, Как решить неравенство, то есть Как решить неравенство.

Ответ. Как решить неравенство.

Решение можно записать и так:

Как решить неравенство

А ответ можно также представить в виде: Как решить неравенство.

Неравенства: равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов

Понятия неравенства с одной переменной и его решений

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Как решить неравенството получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной Как решить неравенство(например, для случая «больше») записывают так: Как решить неравенство

Пример:

Как решить неравенство— линейное неравенство;

Как решить неравенство— квадратное неравенство;

Как решить неравенство— дробное неравенство

Определение:

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет

Пример:

Как решить неравенство— одно из решений неравенства Как решить неравенство, так как при Как решить неравенствополучаем верное неравенство: Как решить неравенство, то есть Как решить неравенство

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Определение:

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций Как решить неравенствои Как решить неравенство, которые стоят в левой и правой частях неравенства

Пример:

Для неравенства Как решить неравенствоОДЗ: Как решить неравенство, то есть Как решить неравенство, так как область определения функции Как решить неравенствоопределяется условием: Как решить неравенство, а областью определения функции Как решить неравенствоявляется множество всех действительных чисел

3. Равносильные неравенства

Определение:

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения

то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве)

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

4. Метод интервалов (решения неравенств вида Как решить неравенство)

2. Найти нули функции Как решить неравенство

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции Как решить неравенствона каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства

Пример:

Решите неравенство Как решить неравенство

► ПустьКак решить неравенство

1. ОДЗ: Как решить неравенство, то есть, Как решить неравенство.

2. Нули функции: Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство(входят в ОДЗ)

3. Как решить неравенство

Ответ: Как решить неравенство

5. Схема поиска решения неравенств

Как решить неравенство

Как решить неравенство— исходное неравенство;

Как решить неравенство— неравенство, полученное в результате преобразования исходного;

Как решить неравенство— символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения)

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решений

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Как решить неравенството получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком Как решить неравенство) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной Как решить неравенство(например, для случаев «больше») записывают так: Как решить неравенство

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства Как решить неравенствоявляются все значения Как решить неравенство, для неравенства Как решить неравенстворешениями являются все действительные числа (Как решить неравенство), а неравенство Как решить неравенствоне имеет решений, поскольку значение Как решить неравенствоне может быть отрицательным числом, меньшим Как решить неравенство.

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенств

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство Как решить неравенство, то общая область определения функций Как решить неравенствои Как решить неравенствоназывается областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства Как решить неравенствообластью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: Как решить неравенство), поскольку функции Как решить неравенствои Как решить неравенствоимеют области определения Как решить неравенство.

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции Как решить неравенство, так и в область определения функции Как решить неравенство(иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве Как решить неравенствофункция Как решить неравенствоопределена при всех действительных значениях Как решить неравенство, а функция Как решить неравенство— только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой Как решить неравенствоиз которой получаем систему Как решить неравенствоне имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. В случае когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 11).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенство

Как решить неравенство

достаточно учесть его ОДЗ: Как решить неравенствои условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного неравенства.

► Данное неравенство равносильно

совокупности двух систем:

Как решить неравенствоили Как решить неравенство(2)

Тогда получаем Как решить неравенствоили Как решить неравенство

Таким образом, Как решить неравенствоили Как решить неравенство.

Ответ: Как решить неравенство.

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если Как решить неравенствоили Как решить неравенство, то Как решить неравенство, поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения.

Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

3. Если обе части неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства ) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство,равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок Как решить неравенство, но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций Как решить неравенствои Как решить неравенство(рис. 54).

Как решить неравенство

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

1) если график разрывается (как в случае функции Как решить неравенство(рис. 54, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);

2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось Как решить неравенство(как в случае функции Как решить неравенство) (рис. 54, б). На оси Как решить неравенствозначения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функцииКак решить неравенство). Точки, в которых разрывается график функции Как решить неравенство, мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если Как решить неравенство, то ее область определения Как решить неравенство, и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 54, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знакКак решить неравенство. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

Как решить неравенствоПодробнее это понятие будет рассмотрено в 11 классе.

Как решить неравенствоВ 11 классе мы уточним формулировку этого свойства (так называемых непрерывных функций). Для всех известных вам функций (линейных, квадратичных, степенных, дробно-рациональных) это свойство имеет место.

В таблице 12 приведено решение дробно-рационального неравенства Как решить неравенствометодом интервалов; комментарий, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида Как решить неравенствометодом интервалов.

Пример:

Как решить неравенство

Решение:

Как решить неравенство

1. ОДЗ: Как решить неравенство, то есть Как решить неравенство

2. Нули Как решить неравенство

Как решить неравенство

тогда Как решить неравенство.

3. Как решить неравенство

4. Ответ: Как решить неравенство.

1. Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через Как решить неравенство.

Решением неравенства Как решить неравенствомогут быть только числа, которые входят в область определения функции Как решить неравенство, то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ

2. Нас интересуют те промежутки области определения функции Как решить неравенство, на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, элементарная функция Как решить неравенствоможет поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства Как решить неравенствобудет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию Как решить неравенствок нулю и решаем полученное уравнение)

3. Если теперь отметить нули на области определения функции Как решить неравенство, то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция Как решить неравенствоне меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения

4. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков Как решить неравенство

1. Найти ОДЗ неравенства

2. Найти нули Как решить неравенствоКак решить неравенство

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример:

Решите неравенство Как решить неравенство

I способ (метод интервалов)

Решение:

►Пусть Как решить неравенство

1. ОДЗ: Как решить неравенство

2. Нули Как решить неравенство

Как решить неравенство

Как решить неравенство(принадлежат ОДЗ).

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак Как решить неравенствов каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

Как решить неравенство4. Ответ: Как решить неравенство

Данное неравенство имеет вид Как решить неравенство, и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и в таблице 11.

При нахождении нулей Как решить неравенствоследим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения Как решить неравенство).

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа Как решить неравенство).

II способ (с помощью равносильных преобразований)

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение Как решить неравенство.

Но если Как решить неравенство, и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби Как решить неравенство(и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь Как решить неравенство), то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству Как решить неравенство.

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена Как решить неравенствои построим эскиз графика функции Как решить неравенство. Решение квадратного неравенства: Как решить неравенство.

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

► ОДЗ: Как решить неравенството есть Как решить неравенство.

Тогда Как решить неравенствои данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству Как решить неравенство. Поскольку Как решить неравенствопри Как решить неравенство(эти значения Как решить неравенствопринадлежат ОДЗ), получаем Как решить неравенство(см. рисунок).

Как решить неравенство

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: Как решить неравенство.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

НеравенствоГрафическое решениеФорма записи ответа
x c