канонический вид квадратичной формы пример

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$$ x_ <2>$$ x_ <3>$
$ x_ <1>$$ f_ <11>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$$ \frac<1><2>f_ <12>$$ f_ <22>$$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$$ \frac<1><2>f_ <13>$$ \frac<1><2>f_ <23>$$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой канонический вид квадратичной формы пример

Пример:

Сумма канонический вид квадратичной формы примерявляется квадратичной формой от трех неизвестных канонический вид квадратичной формы пример.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при канонический вид квадратичной формы примеробозначаются через канонический вид квадратичной формы примера коэффициенты при канонический вид квадратичной формы примерчерез канонический вид квадратичной формы примерпричем канонический вид квадратичной формы пример„ Член канонический вид квадратичной формы примерзаписывается в виде канонический вид квадратичной формы примерПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: канонический вид квадратичной формы пример

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

канонический вид квадратичной формы пример

канонический вид квадратичной формы пример

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид канонический вид квадратичной формы пример. Если канонический вид квадратичной формы пример— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму канонический вид квадратичной формы примервместо X получится число канонический вид квадратичной формы пример, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе канонический вид квадратичной формы пример.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. канонический вид квадратичной формы примерпри канонический вид квадратичной формы пример. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами канонический вид квадратичной формы пример,т.е.:

канонический вид квадратичной формы пример

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

канонический вид квадратичной формы пример

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

канонический вид квадратичной формы пример

где канонический вид квадратичной формы пример-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование канонический вид квадратичной формы пример— матрица-столбец новых переменных канонический вид квадратичной формы пример— матрица, обратная к S.

канонический вид квадратичной формы пример

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

канонический вид квадратичной формы пример

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис канонический вид квадратичной формы примерпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы канонический вид квадратичной формы пример, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. канонический вид квадратичной формы примерпри канонический вид квадратичной формы пример

Если канонический вид квадратичной формы примерканонический базис F(X), то выражение: канонический вид квадратичной формы примерназывается каноническим видом F(X) в базисе канонический вид квадратичной формы примергде канонический вид квадратичной формы пример— новый набор неизвестных.

Теорема. Если канонический вид квадратичной формы пример— разложение вектора а по каноническому базису канонический вид квадратичной формы пример квадратичной формы канонический вид квадратичной формы пример то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле канонический вид квадратичной формы пример

Доказательство:

канонический вид квадратичной формы пример

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис канонический вид квадратичной формы примерквадратичной формы F(X) и ее канонический вид канонический вид квадратичной формы примерв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов канонический вид квадратичной формы пример симметрической матрицы канонический вид квадратичной формы пример, является каноническим базисом квадратичной формы канонический вид квадратичной формы пример, а выражение канонический вид квадратичной формы пример— ее каноническим видом в базисе канонический вид квадратичной формы пример,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы канонический вид квадратичной формы пример. Будем говорить, что матрица канонический вид квадратичной формы примерудовлетворяет условию Якоби, если определители:

канонический вид квадратичной формы пример

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что канонический вид квадратичной формы пример

Обозначим через канонический вид квадратичной формы примерматрицу:

канонический вид квадратичной формы пример

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. канонический вид квадратичной формы примерИз условия канонический вид квадратичной формы примерследует, что канонический вид квадратичной формы примери, значит, каждая система уравнений канонический вид квадратичной формы пример, где канонический вид квадратичной формы примервектор диагональной системы, имеет единственное решение канонический вид квадратичной формы пример. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы канонический вид квадратичной формы примерудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби канонический вид квадратичной формы пример матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы канонический вид квадратичной формы пример, а выражение:

канонический вид квадратичной формы пример ее каноническим видом в базисе канонический вид квадратичной формы пример.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

канонический вид квадратичной формы пример

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой канонический вид квадратичной формы примерпеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

канонический вид квадратичной формы пример, где:

канонический вид квадратичной формы пример– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а канонический вид квадратичной формы пример– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы канонический вид квадратичной формы пример.

Например: канонический вид квадратичной формы пример– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой канонический вид квадратичной формы примерпеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных канонический вид квадратичной формы примеримеет следующий вид:

канонический вид квадратичной формы пример

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
канонический вид квадратичной формы пример– в этом слагаемом находится произведение канонический вид квадратичной формы примери канонический вид квадратичной формы пример(квадрат);
канонический вид квадратичной формы пример– здесь произведение канонический вид квадратичной формы пример;
канонический вид квадратичной формы пример– и здесь произведение канонический вид квадратичной формы пример.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: канонический вид квадратичной формы пример, в котором:

канонический вид квадратичной формы пример– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: канонический вид квадратичной формы пример

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе канонический вид квадратичной формы пример, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы канонический вид квадратичной формы примернам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

канонический вид квадратичной формы пример

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

канонический вид квадратичной формы пример

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

канонический вид квадратичной формы пример
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит канонический вид квадратичной формы примерслагаемых с квадратами переменных и канонический вид квадратичной формы примерслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: канонический вид квадратичной формы пример. Её можно записать, как произведение двух матриц:

канонический вид квадратичной формы пример

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: канонический вид квадратичной формы пример, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: канонический вид квадратичной формы пример.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
канонический вид квадратичной формы пример

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

канонический вид квадратичной формы пример, где:

канонический вид квадратичной формы пример– столбец переменных;

канонический вид квадратичной формы пример– его транспонированная строка;

канонический вид квадратичной формы примерматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты канонический вид квадратичной формы примерпри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, канонический вид квадратичной формы пример– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель канонический вид квадратичной формы примерназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы канонический вид квадратичной формы примеррангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы канонический вид квадратичной формы пример, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае канонический вид квадратичной формы пример. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

канонический вид квадратичной формы пример

И в самом деле:
канонический вид квадратичной формы пример
далее:
канонический вид квадратичной формы пример
канонический вид квадратичной формы пример, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

канонический вид квадратичной формы пример

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

канонический вид квадратичной формы пример

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое канонический вид квадратичной формы примердважды содержит 1-ю переменную, поэтому канонический вид квадратичной формы пример;

– из аналогичных соображений определяем канонический вид квадратичной формы примери сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: канонический вид квадратичной формы пример.

Так как в слагаемое канонический вид квадратичной формы примервходят 1-я и 2-я переменная, то канонический вид квадратичной формы пример(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: канонический вид квадратичной формы пример.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением канонический вид квадратичной формы пример(а точнее, присутствует с нулевым множителем: канонический вид квадратичной формы пример), то канонический вид квадратичной формы пример, и на холст отправляются два нуля: канонический вид квадратичной формы пример.

И, наконец, из слагаемого канонический вид квадратичной формы примеропределяем канонический вид квадратичной формы пример, после чего картина завершена:
канонический вид квадратичной формы пример– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» канонический вид квадратичной формы пример, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
канонический вид квадратичной формы пример

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы канонический вид квадратичной формы пример. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, канонический вид квадратичной формы пример, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор канонический вид квадратичной формы пример, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
канонический вид квадратичной формы пример, значит, канонический вид квадратичной формы пример

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: канонический вид квадратичной формы пример, ранг равен трём, дискриминант канонический вид квадратичной формы пример

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
канонический вид квадратичной формы пример

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме канонический вид квадратичной формы пример.

Как отмечалось в начале урока, переменные канонический вид квадратичной формы примермогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение канонический вид квадратичной формы пример, например:

канонический вид квадратичной формы пример
канонический вид квадратичной формы пример, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору канонический вид квадратичной формы примерставится в соответствие определённое число канонический вид квадратичной формы пример. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений канонический вид квадратичной формы примеррассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы канонический вид квадратичной формы пример– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений канонический вид квадратичной формы пример).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

канонический вид квадратичной формы пример

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

канонический вид квадратичной формы пример– всегда, если только канонический вид квадратичной формы примеродновременно не равны нулю.

канонический вид квадратичной формы пример– для любого вектора канонический вид квадратичной формы пример, кроме нулевого канонический вид квадратичной формы пример.

И вообще, если для любого ненулевого вектора канонический вид квадратичной формы пример, канонический вид квадратичной формы пример, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же канонический вид квадратичной формы пример– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения канонический вид квадратичной формы пример, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
канонический вид квадратичной формы примери из уравнения канонический вид квадратичной формы примернайдём её собственные значения:

канонический вид квадратичной формы пример

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
канонический вид квадратичной формы пример
канонический вид квадратичной формы пример, значит, форма канонический вид квадратичной формы примеропределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях канонический вид квадратичной формы примерона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители канонический вид квадратичной формы примеркоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
канонический вид квадратичной формы пример
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: канонический вид квадратичной формы пример.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: канонический вид квадратичной формы пример, канонический вид квадратичной формы пример, если канонический вид квадратичной формы пример– чётное или канонический вид квадратичной формы пример, если канонический вид квадратичной формы пример– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы канонический вид квадратичной формы пример:

канонический вид квадратичной формы пример, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

канонический вид квадратичной формы пример

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма канонический вид квадратичной формы примеропределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы канонический вид квадратичной формы примериз Примера 1:
канонический вид квадратичной формы пример

первый её угловой минор канонический вид квадратичной формы пример, а второй канонический вид квадратичной формы пример, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений канонический вид квадратичной формы пример, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму канонический вид квадратичной формы примери её матрицу из Примера 2:
канонический вид квадратичной формы пример

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
канонический вид квадратичной формы пример, следовательно, форма точно не отрицательна.

канонический вид квадратичной формы пример, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) канонический вид квадратичной формы пример

б) канонический вид квадратичной формы пример

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора канонический вид квадратичной формы пример, то форма определена неотрицательно, если канонический вид квадратичной формы пример– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы канонический вид квадратичной формы пример, при которых канонический вид квадратичной формы пример.

Здесь можно привести такой «баян»:
канонический вид квадратичной формы пример

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: канонический вид квадратичной формы пример, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: канонический вид квадратичной формы пример.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
канонический вид квадратичной формы пример
и ещё более тривиальный пример:
канонический вид квадратичной формы пример– здесь форма равна нулю при любом векторе канонический вид квадратичной формы пример, где канонический вид квадратичной формы пример– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы канонический вид квадратичной формы примерсуществуют два главных минора 1-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
канонический вид квадратичной формы пример(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» канонический вид квадратичной формы примерглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
канонический вид квадратичной формы пример– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
канонический вид квадратичной формы пример– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
канонический вид квадратичной формы пример– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы канонический вид квадратичной формы пример.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей канонический вид квадратичной формы примеропределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор канонический вид квадратичной формы пример-го порядка неположителен, если канонический вид квадратичной формы пример– нечётное либо неотрицателен, если канонический вид квадратичной формы пример– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
канонический вид квадратичной формы пример

Составим матрицу канонический вид квадратичной формы примерформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
канонический вид квадратичной формы пример

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае канонический вид квадратичной формы пример2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– положительны,
главный минор 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу канонический вид квадратичной формы примерформы канонический вид квадратичной формы пример, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
канонический вид квадратичной формы пример

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
канонический вид квадратичной формы пример

Вычислим угловые миноры:
канонический вид квадратичной формы пример
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
канонический вид квадратичной формы пример

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
канонический вид квадратичной формы пример

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
канонический вид квадратичной формы пример
умножим обе его части на канонический вид квадратичной формы пример, сменив у неравенства знак:
канонический вид квадратичной формы пример, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
канонический вид квадратичной формы пример

Второе неравенство уже решено: канонический вид квадратичной формы пример, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: канонический вид квадратичной формы пример.
Таким образом, имеем совместную систему:
канонический вид квадратичной формы пример
из которой следует, что форма определена отрицательно при канонический вид квадратичной формы пример. Например, если канонический вид квадратичной формы пример:
канонический вид квадратичной формы пример– то при любом ненулевом векторе канонический вид квадратичной формы примерданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если канонический вид квадратичной формы пример, то:
канонический вид квадратичной формы пример
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу канонический вид квадратичной формы примерформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
канонический вид квадратичной формы пример– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
канонический вид квадратичной формы пример
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
канонический вид квадратичной формы пример

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, канонический вид квадратичной формы пример, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях канонический вид квадратичной формы пример.

Ответ: при канонический вид квадратичной формы примерформа определена отрицательно, при канонический вид квадратичной формы примернеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
канонический вид квадратичной формы пример

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
канонический вид квадратичной формы пример
Квадратичная форма двух переменных имеет вид канонический вид квадратичной формы пример, в данном случае: канонический вид квадратичной формы пример. Запишем форму в матричном виде:
канонический вид квадратичной формы пример

Проверка:
канонический вид квадратичной формы пример
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
канонический вид квадратичной формы пример
Поскольку канонический вид квадратичной формы пример, то ранг формы равен двум.

Ответ: канонический вид квадратичной формы пример, канонический вид квадратичной формы пример, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали канонический вид квадратичной формы пример, следовательно:
канонический вид квадратичной формы пример

Симметричные коэффициенты 1-й строки: канонический вид квадратичной формы пример, таким образом:
канонический вид квадратичной формы пример

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: канонический вид квадратичной формы пример, и:
канонический вид квадратичной формы пример

И, наконец, канонический вид квадратичной формы пример

Ответ: канонический вид квадратичной формы пример

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
канонический вид квадратичной формы пример
и вычислим её угловые миноры:
канонический вид квадратичной формы пример

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
канонический вид квадратичной формы пример
и вычислим её угловые миноры:
канонический вид квадратичной формы пример

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример,
шесть главных миноров 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример
четыре главных минора 3-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы канонический вид квадратичной формы примери вычислим её угловые миноры:
канонический вид квадратичной формы пример
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. канонический вид квадратичной формы примери остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
канонический вид квадратичной формы пример
канонический вид квадратичной формы пример– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

канонический вид квадратичной формы пример «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *