количественные отношения между дисками и связями

Количественные отношения

Существует три вида количественных отношений, обусловливаемых реальными связями предметов окружающего нас мира:

§71. Прямое отношение. Показатели двух разнокачественных величин, взаимно обусловливающих существование друг друга, могут находиться в прямо пропорциональном отношении друг к другу.

Прямо пропорциональное отношение величин представляет собой, таким образом, дробь. Одна величина выступает при этом как квант, а другая как численность этого кванта. Значение самих величин изменяется, а показатель их соотношения остаётся постоянным. В нашем примере квант числового показателя – 1 чел., а его численность – 500 кг зерна. Сам числовой показатель данного количественного отношения будет выглядеть так: 1 : 500 (если в килограммах) или 1 : 0,5 (если в тоннах).

Прямое отношение позволяет нам находить предельное значение величин. В нашем примере верхним пределом значения соотносящихся величин является: а) реальная численность населения России – 150.000.000 человек и б) величина сбора зерновых культур по всей стране – 75.000.000 тонн. Нижним же пределом, соответственно, является: а) 1 человек и б) 500 кг зерна.

§72. Обратное отношение. Определив через прямое отношение предельное числовое значение величин, мы получаем возможность рассмотреть каждую из них отдельно. Причём данное числовое значение величины является внешней границей амплитуды развития количественных отношений внутри неё. Количественные отношения внутри величины могут изменяться только в обратном порядке. Если прямое отношение представляет собой дробь, то обратное отношение представляет собой произведение. Например: 1 х 24, или 2 х 12, или 4 х 6, или 3 х 8.

При обратно пропорциональном отношении числовой показатель величины остаётся неизменным. Меняется соотношение её внутренних определений, её численности и кванта. Перемена их значения по отношению друг к другу происходит в обратном порядке. Увеличение одного ведёт к пропорциональному уменьшению другого, и наоборот.

Например. Рассчитанная нами благодаря прямому отношению величина ежегодного сбора зерновых культур, необходимая для всего населения России, составляет 75 млн тонн. Но эта цифра может включать в себя разное зерно: пшеницу, рожь, просо и т.д. Соответственно, их количества могут соотноситься в пределах данной цифры в обратной пропорции по отношению друг к другу.

Другой пример. Если для одного школьника на один учебный год требуется около 200 тетрадных листов, то исходя из этой цифры мы можем определить число и толщину тетрадей в следующих соотношениях.

§73. Численный показатель исходной величины (75 млн тонн, 200 тетрадных листов) ограничивает амплитуду колебания соотносящихся внутри неё сторон и через крайние точки этой амплитуды поглощает их собой. Тем самым мы вновь возвращаемся к своей величине, но уже как качественно определённой посредством прямого (внешнего) и обратного (внутреннего) отношения. Иначе говоря, её количественный показатель установлен теперь также и через присущее ей качество.

§74. Степенное отношение – это единство прямого и обратного отношения определений величины. Как квант величина есть некое качество, она есть то, что пребывает в себе в неизменном виде. Как численность она есть количество, то, что способно увеличиваться и уменьшаться. Действия по возведению в степень и по извлечению корня раскрывают способность величины к самоувеличению и самоуменьшению в пределах своего качества (§§65-66).

Следовательно, находясь на ступени степенного отношения, мы оставляем все другие величины за пределами своего внимания и сосредоточиваем его теперь только на данной величине. Подобно тому, как на ступени для-себя-бытия (сферы качества) мы приходим к определению нечто как исключающему из себя всё иное, так и теперь, на ступени степенного отношения (сферы количества), мы приходим только к одной величине как исключающей из себя все другие величины, но сохраняющей при этом способность изменяться в пределах своего качества.

§75. В степенном отношении величина содержит в себе уже не только количественную определённость, но и как исключающая из себя все другие величины указывает на своё единство со своей качественной определённостью. Таким образом, оттолкнувшись от категории для-себя-бытия нечто, мы вышли к категории количества, рассматривая которую, мы последовательно прошли через определения чистого количества, определённого количества и количественных отношений. Определив показатель величины через прямое и обратное отношение, мы тем самым вновь вернулись к категории для-себя-бытия нечто, но как уже соединившейся со своей количественной определённостью. Такое непосредственное единство качественной и количественной определённости предметов окружающего нас мира даёт нам категорию меры.

Осуществляя любые количественные исчисления, мы на самом деле всегда уже предполагаем их конечной целью определение меры. На это указывает и наш язык, который саму процедуру нахождения какого-либо количества называет измерением. Да и сам наш мир во всём является мерой. Неслучайна, видимо, и этимологическая близость самих этих слов: мир и мера.

Источник

Количественная оценка степеней свободы и числа связей

Количественный анализ

Порядок и процедуры кинематического анализа

В ходе кинематического анализа расчётной схемы сооружения даются ответы на два главных вопроса:

1) достаточно ли суммарное число внешних и внутренних связей в системе для того, чтобы при правильном их размещении обеспечить её геометрическую неизменяемость?

2) правильно ли расставлены связи?

Следует обратить внимание на то, что первый вопрос ещё не предполагает изучения правильности расстановки связей – он нацелен на оценку их количества.

В связи с этим в кинематическом анализе выделяются два последовательных этапа:

1) количественный анализ;

2) качественный (структурный) анализ.

К о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з – это исследование расчётной схемы сооружения, заключающееся в оценке баланса (соотношения) суммарного числа степеней свободы дисков системы до наложения на них внешних и внутренних связей (т.е. несвязанных дисков) и суммарного числа внешних и внутренних связей системы, в пересчёте на связи первого типа.

Указанный пересчёт объясняется тем, что именно связь первого типа способна устранять, при правильном её использовании, одно возможное взаимное перемещение (линейное или угловое) соединяемых дисков, т.е. одну степень свободы.

Суммарное число степеней свободы несвязанных дисков системы обозначим количественные отношения между дисками и связями, а суммарное число условных (в пересчёте) связей первого типа – nc.

Для правильной оценки соотношения между количественные отношения между дисками и связямии nc (больше, меньше, равны) необходимо, изучив расчётную схему сооружения, заранее строго определить, какие элементы системы считать дисками, а какие рассматривать как связи. При этом имеет смысл учитывать возможности, проиллюстрированные выше на рис. 1.25. Один и тот же элемент не может одновременно быть и диском, и связью; связи должны налагаться только на диски, но не друг на друга.

После номинации дисков выполняется формальное выявление внешних и внутренних связей в системе по следующему алгоритму:

2) каждая комбинация проверяется на предмет реального существования предсказанных в главе 1.3 возможных соединений соответствующих дисков, и в случае наличия связей (одной или нескольких) определяются их типы;

3) дополнительно для всех дисков проверяется наличие связей между точками одного и того же диска (примеры – на рис. 1.29: связь 3-го количественные отношения между дисками и связямитипа (припайка) в узле А диска D1 (криволинейного стержня с замкнутой осью), связь 2-го типа (шарнир) в диске-стержне D2 и связь АВ 1-го типа (линейная) в диске D3 ;

4) во всех точках, где имеются соединения с диском «земля» (опоры), т.е. внешние связи, оцениваются их типы и подсчитывается число эквивалентных им связей 1-го типа.

Число дисков системы (без учёта диска «земля») обозначим D, число внутренних связей 1-го типа – С, 2-го типа (шарниров в плоских системах) – Н, 3-го типа (припаек) – П, суммарное число внешних связей (с диском «земля»), пересчитанных на связи 1-го типа – Со.

количественные отношения между дисками и связями

Рис. 1.29

Рассмотрим примеры реализации вышеприведённого алгоритма, учитывая, что для одной и той же системы возможны различные варианты представления о её дисках и связях.

количественные отношения между дисками и связямиколичественные отношения между дисками и связями

Рис. 1.30

В третьем варианте (см. рис. 1.30, г) рассматривается только один диск D1. Поэтому внутренних связей, соединяющих его с другими дисками, нет. Стержень KL, схема которого точно соответствует определению линейной связи согласно рис. 1.12, учитывается как внутренняя связь 1-го типа между точками K и L одного диска (в соответствии с п. 3 приведённого выше алгоритма). Правый стержень с ломаной осью отнесён к внешним связям в качестве условной линейной связи с осью SG (по аналогии с рис. 1.25, б). Внешние связи (опоры) в точках А и В – такие же, как в первом варианте. Суммарное число эквивалентных внешних связей 1-го типа: 3 + 2 + 1 = 5.

Таким образом, в трёх рассмотренных вариантах номинации дисков и связей имеем:

Возможны и иные варианты представления о дисках и связях той же системы.

В некоторых точках (узлах) могут соединяться шарнирно или жёстко более двух дисков (рис. 1.31, а, б соответственно).

количественные отношения между дисками и связями

Шарнирный узел (см. рис. 1.31, а) по существу представляет собой попарное соединение дисков бесконечно близко расположенными шарнирами (см. рис. 1.31, в), условно изображаемыми с общим центром (осью вращения). Поэтому шарнир, соединяющий более двух дисков, называется кратным (или сложным). Очевидно, что в нем объединены nD, уз – 1 обычных (иногда говорят – простых) цилиндрических шарниров; здесь nD, уз – количество дисков, соединяемых в узле кратным шарниром. В случае, показанном на рис. 1.31, а, соединение дисков в узле учитывается как три простых шарнира (Нуз = nD, уз – 1 = 4 – 1 = 3). Заметим, что если какой-либо стержень из сходящихся в шарнирном узле отнесён не к дискам, а к связям 1-го типа, то при подсчете кратности шарнира он, конечно, не учитывается.

количественные отношения между дисками и связями

Рис. 1.31

Аналогично кратной, т.е. соединяющей более двух дисков, может быть и припайка (см. рис. 1.31, б), эквивалентная также nD, уз – 1 простым припайкам (двум в узле, изображённом на рис. 1.31, б: Пуз = nD, уз – 1 = 3 – 1 = 2).

количественные отношения между дисками и связями

Рис.1.32

Замечание, не имеющее прямого отношения к кинематическому анализу,но полезное в дальнейшем:

Особенности соединения нескольких элементов в шарнирном узле реальной конструкции определяются конкретным инженерным воплощением узла: возможно соосное объединение элементов на общем цилиндрическом вкладыше – в этом случае кратный шарнир в расчётной схеме появляется естественным образом; могут применяться также различные сочетания шарнирных соединений с небольшими расстояниями между осями шарниров – при формировании расчётной схемы конструкции эти малые несоосности могут игнорироваться, что опять же приводит к возникновению кратного шарнира. Каким образом появился кратный шарнир в расчётной схеме сооружения, для кинематического анализа не имеет никакого значения. Однако на стадии расчёта конструкции целесообразно конкретизировать соединение дисков в узле, обозначив определённую комбинацию простых шарниров – это позволяет составить чёткое представление о реакциях связей и о том, к каким именно соединяемым дискам те или иные из них должны быть приложены.

количественные отношения между дисками и связями

При выводе формулы для суммарного числа внешних и внутренних связей nc (в пересчёте на связи 1-го типа) учитывается, что пространственная припайка эквивалентна шести простым связям (плоская – трём), шарниры плоских систем (цилиндрические и поступательные) учитываются как две связи 1-го типа, шаровой шарнир в пространственной системе – как три:

количественные отношения между дисками и связями

При использовании формулы ( 2 ) для пространственной системы все соединения, не подпадающие под признаки припайки, шарового шарнира или связи 1-го типа, непосредственно представляются как комбинации соответствующего числа простых связей.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Количественные характеристики отношений

количественные отношения между дисками и связями

Теория частично упорядоченных множеств содержит ещё немало нерешенных проблем. Даже на вопрос о числе таких множеств, которые могут быть построены из заданного числа n элементов, не существует еще ответа, если n≥6. Прямыми подсчетами удалось лишь установить, что если S(n) — число частично упорядоченных множеств, то S(2) = 3, S(3)= 19, S(4) = 219, S(5) = 4231, а числа Sн(n) для неизоморфных множеств найдены только для n=4 и n=5 элементов: Sн(4) = 16 и Sн(5) = 63.

Мы научились вычислять количества отношений над большими множествами-носителями и перечислять отношения, но строгих формул даже для количества S(n) получить не удалось. Я вспоминаю это время как период интенсивного творческого роста своего и сотрудников, когда почти после каждой выдачи ЭВМ результатов и их анализа возникали идеи по модификации, совершенствованию модели, алгоритмов, вносились исправления для проверки очередных гипотез, но чего-то существенного (возможно мозгов) не хватало.

То, что удалось открыть (получить) привожу ниже по тексту. Кстати, результаты других зарубежных исследователей совпадали с нашими, но они сообщали только о количестве S(n) и не упоминали о перечислении частичных порядков.

Начинали мы с малого. Полный список бинарных отношений для любого n-множества-носителя известен и легко может быть получен. Отыскивался ответ на вопросы: сколько при заданном n существует отношений с фиксированным одним свойством, с парой свойств, с тройкой и т. д. Дело в том, что располагая этими данными, можно было строить не переборные, а прямые алгоритмы перечисления таких отношений, которые, следуя правилу «бритвы Оккама», не производят лишних сущностей.

Здесь дальше пойдет речь о получении таких результатов для бинарных отношений (БО).
Итак, имеется n-множество-носитель БО и полный список всех БО, а также список свойств БО:

— рефлексивность; антирефлексивность; частичная рефлексивность;
— симметричность; антисимметричность; асимметричность; несимметричность;
— транзитивность; антитранзитивность;
— слабый порядок; строгий порядок; частичный порядок; совершенный (линейный);
— толерантность;
— эквивалентность;
— цикличность;
— полнота.

Количественные характеристики типов бинарных отношений

Отношения могут обладать не только одним конкретным свойством, но и совокупностями пар, троек и т. д. свойств. Использование таких отношений на практике обычная ситуация. Так, например, каждому отношению толерантности (безразличия) присущи два свойства: симметричность и рефлексивность. Такая совокупность свойств определяет тип отношений толерантности.

Другой тип отношений возникает из отношений толерантности, если потребовать от таких отношений выполнимость расширенного списка свойств: симметричность, рефлексивность и транзитивность. Понятно, что возможно не все отношения толерантности окажутся транзитивными, но те, которые будут обладать набором трех названных свойств, образуют новый тип отношений, называемых эквивалентностями.

Множество отношений эквивалентности оказывается вложенным в множество отношений толерантности. Для примера в каталоге эти типы отношений выделены заливкой (8 толерантностей и только 5 из них эквивалентности). Возникает вопрос о количестве БО, обладающих набором свойств или одним из них.

Рефлексивность

Отношение α = на множестве A = <количественные отношения между дисками и связями> является рефлексивным (обладает свойством рефлексивности), если каждая пара (количественные отношения между дисками и связями) удовлетворяет данному отношению. Здесь Å — график (не граф) отношения количественные отношения между дисками и связями.

Другими словами, главная диагональ матрицы графика Å отношения заполнена единицами. На графе рефлексивного отношения все вершины имеют петли. Отношение является антирефлексивным, если ни для какого количественные отношения между дисками и связямине выполняется количественные отношения между дисками и связями. В этом случае матрица антирефлексивного отношения α на главной диагонали не имеет ни одной единицы, т.е. там размещаются нули, а соответствующий граф не имеет петель ни в одной вершине.

Наконец, отношение α является нерефлексивным, если для некоторого количественные отношения между дисками и связямивыполняется, а для других не выполняется. Такие отношения будем считать частично рефлексивными. Матрица нерефлексивного отношения на главной диагонали содержит частично единицы, частично – нули. Граф такого нерефлексивного отношения имеет петли не во всех вершинах.

Классическим примером рефлексивного отношения является главная диагональ матричного представления, единичное (E = Δ) отношение, т.е. отношение равенства (в каталоге № 68). График этого отношения образован точками (парами), лежащими на главной диагонали матрицы и соответствующими парами количественные отношения между дисками и связями, никаких других точек график этого отношения не содержит.

Матричное представление этого отношения соответствует единичной матрице (E). Граф диагонального отношения образован вершинами, соответствующими элементам из множества А, которым приписаны петли. Часто диагональное отношение обозначают символом количественные отношения между дисками и связями.

В случае рефлексивного отношения, соответствующий ему граф также является рефлексивным, в случае антирефлексивного отношения его граф антирефлексивный. Если для некоторого отношения α известно, что оно рефлексивное, то дополнение ᾱ всегда антирефлексивное, и количественные отношения между дисками и связями.

Для антирефлексивного отношения β справедливо количественные отношения между дисками и связями.

Пример 1. Отношение ≤ (не больше) на множестве N является рефлексивным, а отношение на множестве A является симметричным (обладает свойством симметрии относительно прямой, совпадающей с главной диагональю графика Å), если для некоторой пары количественные отношения между дисками и связямииз количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями. Другими словами, для любой пары количественные отношения между дисками и связямивыполняется либо в обе стороны, либо совсем не выполняется.

На графе симметричного отношения, если пара вершин i и j связана дугой (i, j), то она обязательно связана и дугой (j, i). Граф симметричного отношения является симметричным ориентированным или просто неориентированным, обыкновенным графом.

Отношение α является антисимметричным, если из количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиследует что i=j.

Матрица антисимметричного отношения содержит не обязательно все единицы на главной диагонали и содержит единицы в одной из двух симметричных относительно главной диагонали позиций: над диагональю либо под диагональю. Граф этого отношения образован вершинами с петлями для всех или некоторых из них и, если пара вершин (i, j) в графе связана, то всегда дугой только одного направления. Заметим, что для симметричного и антисимметричного отношения некоторые диагональные точки могут либо включаться в него, либо нет.

Если антисимметричное отношение не содержит ни одной диагональной точки, то говорят, то такое отношение является асимметричным, т.е. оно всегда антирефлексивно.

Пример 2. Отношение (≤) на множестве N – является антисимметричным, а отношение ( содержит и любые последовательности количественные отношения между дисками и связями$» data-tex=»inline»/>, образованные перестановкой членов множества Х.

Заметим также, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно; нерефлексивное и транзитивное бинарное отношение всегда асимметрично. Для практики и выполнения вычислений интерес представляет количество отношений, обладающих определенным свойством, связанным с симметрией графика. Выполним подсчет таких отношений для произвольного множества А мощностью |A| = n.

В своих рассуждениях будем опираться на свойство рефлексивности, которое, как и многие другие, изучено еще недостаточно глубоко. Даже поверхностный анализ множества всех отношений позволяет сделать вывод о том, что оно всегда может быть разделено на количественные отношения между дисками и связямиклассов одинакового объема, а состав отношений, образующих эти классы, подчиняется определенной закономерности.

Множества отношений во всех классах имеют одинаковое устройство, отличаются только числом и составом диагональных точек, все разнообразие которых определяется числом количественные отношения между дисками и связями. Определим состояние диагонали отношения при фиксированном n количеством и составом точек на ней и принадлежащих конкретному отношению. Ясно, что при фиксированном множество состояний заполненности ячеек диагонали определяется булеаном количественные отношения между дисками и связями, где ∆ – полное множество точек диагонали графика декартова квадрата мощностью |∆| = n.

Таким образом, в теории отношений традиционно рассматривались и изучались только два крайние состояния: либо все точки диагонали включены в отношение и оно является рефлексивным, либо отношение не содержит ни одной диагональной точки, и тогда оно антирефлексивно.

Будем называть все промежуточные состояния с одной диагональной точкой, с двумя и так далее частичной рефлексивностью k-го порядка k=0(1)n, а отношения такого вида частично рефлексивными. Так частично рефлексивное отношение порядка ноль – это антирефлексивное отношение, а частично рефлексивное отношение порядка n- это просто рефлексивное отношение.

Заметим, что все состояния могут быть упорядочены как элементы булеана множества ∆. Предлагаемый подход позволяет наметить путь анализа раз-личных свойств и подсчета числа отношений, обладающих отдельными свойствами или их совокупностями.

Пусть рассматриваются отношения рефлексивные и симметричные. Симметричность отношения определяется наличием пар точек в нем, которые расположены в матрице отношения симметрично относительной диагонали. При произвольном n таких пар существует количественные отношения между дисками и связями. Обозначим множество этих пар символом S.

Тогда все разнообразие симметричных и рефлексивных отношений будет определяться булеаном количественные отношения между дисками и связями. Множество таких отношений более подробно будет рассматриваться несколько позже, а здесь скажем, что оно образует пространство безразличия или толерантности. Ясно, что число отношений толерантности определяется мощностью булеана количественные отношения между дисками и связями, т.е. количественные отношения между дисками и связями.

Ниже в табл. 1 приведены значения числа толерантных отношений для начальных значений n из отрезка натурального ряда чисел.

Таблица 1. Количества толерантных БО

количественные отношения между дисками и связями

количественные отношения между дисками и связями

где n число диагональных точек отношения. В табл. 2 приводятся значения |SM| для некоторых n.

Таблица 2. Количества симметричных БО

количественные отношения между дисками и связями

Теперь перейдем к подсчету асимметричных отношений, множество которых будем обозначать через AS. Эти отношения характеризуются тем, что в них отсутствуют все точки диагонали и ни одна из клеток матрицы отношения, лежащих вне диагонали, не имеет симметричной. Другими словами, это множество антирефлексивных и антисимметричных отношений.

Мощность этого множества может быть определена из выражений

количественные отношения между дисками и связями

где К =количественные отношения между дисками и связями.

Получим приведенную формулу для подсчета мощности множества AS — асимметричных отношений при заданной мощности носителя |А| = n. По определению все отношения множества AS антирефлексивны, следовательно, главная диагональ в матрицах отношений пуста, а единичные элементы могут размещаться лишь в половине оставшихся позиций матрицы, т.е. в количественные отношения между дисками и связямиклетках.

Итак, предположим, что асимметричное отношение содержит k-элементов (точек, упорядоченных пар) 0 ≤ k ≤ количественные отношения между дисками и связями. Количество отношений с таким числом элементов, очевидно, будет равно числу сочетаний из количественные отношения между дисками и связямипо k.

При этом с каждым из k элементов свяжем пару симметричных позиций: одна над главной диагональю матрицы, другая – под диагональю.Поскольку в каждой паре элемент может быть в одной из двух позиций, то для размещения k элементов возникает булеан количественные отношения между дисками и связямивозможностей.

Таким образом, количественные отношения между дисками и связями– это число выборов k пар позиций из количественные отношения между дисками и связямиимеющихся пар в матричном представлении отношений, а количественные отношения между дисками и связями– количество возможностей расставить k элементов по позициям в каждой паре. Количество отношений, содержащих k элементов определяется как произведение числа выборов пар позиций на количество вариантов расстановки этих k элементов, т.е. количественные отношения между дисками и связями.

Полное же число отношений в множестве AS получается при суммировании полученных произведений по всем значениям k от нуля до максимально допустимого K =количественные отношения между дисками и связями, т.е.

количественные отношения между дисками и связями

где К =количественные отношения между дисками и связями.

Пример 3. Пусть мощность множества носителя |А| = 5. Подсчитаем по найденной формуле число асимметричных отношений. Определим значение верхнего предела К в сумме, К =количественные отношения между дисками и связями=10. Данные подсчета слагаемых суммы приведены в табл. 3.

количественные отношения между дисками и связями

Существует другой способ подсчета мощности множества AS. Он основан на подсчете числа отображений множества пар симметричных позиций во множество состояний, в котором может быть каждая такая пара. В асимметричном отношении имеется количественные отношения между дисками и связямипар позиций.

Каждая позиция в паре клеток может быть занята 0 или 1, но для пары позиций имеются S = 3 состояния, которые обозначим следующим образом:

— 1, если элемент (1) помещен над диагональю;
— 2, если элемент (1) помещен под диагональю;
— 3, если обе позиции пусты (заняты нулями).

Таким образом, пара симметричных позиций (в матрице отношения) может быть в каждом
отношении в одном из трех состояний. Формула для подсчета всех возможных отображений множества пар позиций (обозначим его символом K ) в множество S состояний имеем:
количественные отношения между дисками и связями|AS| =|S|^<|K|>$» data-tex=»inline»/>

Пример 4. Для условий предыдущего примера имеет вид |A| = 5, K=|K| = количественные отношения между дисками и связями|S| = 3, тогда, количественные отношения между дисками и связями.

Результаты расчетов двумя разными способами совпадают, что лишний раз убеждает в правильности полученных формул. Таким образом, получено соотношение

количественные отношения между дисками и связями

где К = количественные отношения между дисками и связями

Приведем в табл. 4 числа асимметричных отношений |AS| для небольших значений n.

Таблица 4. Количества асимметричных БО

количественные отношения между дисками и связями

Имея формулу для определения числа асимметричных отношений, можно получить другую – для подсчета числа антисимметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства антисимметричности отношения.

Итак, обозначим множество антисимметричных отношений символом ANS, тогда мощность этого множества определится по формуле количественные отношения между дисками и связями

количественные отношения между дисками и связями

где К =количественные отношения между дисками и связями

Ниже приводится табл. 5, содержащая значения (ANS) при n = 3(1)5.

Таблица 5. Количества антисимметричных БО

количественные отношения между дисками и связями

В дальнейшем нам потребуются понятия, которые удобно ввести здесь.

Транзитивность (лат. Transitivus – переходный, от transitus – переход)

Другими словами, для транзитивного отношения из наличия в его составе элементов (количественные отношения между дисками и связями) и (количественные отношения между дисками и связями) следует, что оно содержит, обязательно и элемент ( количественные отношения между дисками и связями). Для графа отношения это свойство означает, что если пара вершин ( количественные отношения между дисками и связями) связана ориентированным путем, проходящим через вершину k и образованным 2-мя последовательными дугами ( количественные отношения между дисками и связями), ( количественные отношения между дисками и связями), то эти же вершины непосредственно связаны и единственной дугой (количественные отношения между дисками и связями). Для элементов матрицы [количественные отношения между дисками и связями] транзитивного отношения α из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями.

Определение свойства транзитивности для бинарных отношений предполагает, что отношение содержит не менее трех элементов (упорядоченных пар). А как это свойство проявляется в отношениях одноэлементных, пустых или содержащих только два элемента?

Все одноэлементные и пустое отношение транзитивны. Двухэлементное отношение может быть транзитивным и нетранзитивным, если пары, входящие в него, содержат общий элемент j. Дуги графа, соответствующие упорядоченным парам направлены в одну сторону (образуют ориентированный не обеспечивающий транзитивность маршрут).

Например, пусть ( количественные отношения между дисками и связями)є α и ( количественные отношения между дисками и связями)є α. Сформулированное определение требует: чтобы отношение α было транзитивным, обязательно наличие в нем третьей пары (дуги), а именно, ( количественные отношения между дисками и связями), но так как ее нет, то свойство транзитивности для α не выполнено.

Если, как и раньше, отношение содержит только две пары с общим элементом количественные отношения между дисками и связями, но такие, что общий элемент количественные отношения между дисками и связяминаходится в одинаковой позиции в обеих парах (количественные отношения между дисками и связями), ( количественные отношения между дисками и связями) или (количественные отношения между дисками и связями),
( количественные отношения между дисками и связями), а дуги на графе направлены в разные стороны, то такое отношение транзитивно, так как включение третьей пары в состав отношения не требуется.

Транзитивным отношение будет и в случае, когда две пары не имеют общих элементов. Примерами транзитивных отношений являются:« равенство » (=), так как из i = k, k = j вытекает i = j; « i больше j»; в геометрии – «параллельность прямых». Примеры не транзитивных отношений: «перпендикулярность прямых» в геометрии; « i не равно j».

В литературе, посвященной отношениям, можно встретить разнообразные понятия, характеризующие транзитивность: слабая транзитивность, сильная транзитивность, отрицательная транзитивность, антитранзитивность, слабая антитранзитивность, обобщенная транзитивность, транзитивное замыкание и некоторые другие. Здесь сделана попытка систематизировать многообразные оттенки проявления свойства транзитивности в отношениях.

Для транзитивного отношения α отношение количественные отношения между дисками и связямитакже всегда является транзитивным. Пересечение произвольного числа транзитивных отношений является транзитивным отношением. Если рассматривать отношение ᾰ, которое является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих отношение α, то ᾰ называется транзитивным замыканием отношения α.

Транзитивное замыкание ᾰ может быть построено для любого отношения α в соответствии с правилом из количественные отношения между дисками и связямиследует:

количественные отношения между дисками и связями.

Отношение ᾰ является наименьшим транзитивным отношением, содержащим α. Если α транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием α=ᾰ и наоборот.

При изображении транзитивного бинарного отношения ориентированным графом можно изображать не весь орграф, а лишь его транзитивный остов, т.е. не изображаются дуги, соединяющие начало и конец каждого маршрута длиной более единицы. В этом случае говорят, что для отношения α взят транзитивный остов графа. Эта операция по существу является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец каждой цепи соединяются дугой.

Относительно операции объединения отношений в общем случае свойство транзитивности не выполняется. Объединение двух транзитивных отношений количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиявляется транзитивным тогда и только тогда, когда одно из них транзитивно относительно другого. Для пары бинарных отношений количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиможно рассматривать транзитивность одного из них относительно другого.

Так количественные отношения между дисками и связямиявляется транзитивным относительно количественные отношения между дисками и связямипри выполнении условий:

1) из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями;
2) из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями.

В случае, когда количественные отношения между дисками и связямиотносительная транзитивность является обычной транзитивностью.

Известно следующее утверждение относительно свойств транзитивности, симметричности и асимметричности отношения. Если бинарное отношение транзитивно, то его симметричная часть количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиасимметричная часть также транзитивны.

Обратное выполняется лишь в том случае, если количественные отношения между дисками и связями, количественные отношения между дисками и связямитранзитивны и количественные отношения между дисками и связямитранзитивно относительно количественные отношения между дисками и связями. В общем случае из транзитивности количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямине следует транзитивность α.

Композиция транзитивного отношения α с собой удовлетворяет соотношению α·α ⊆ α. Отношение α является отрицательно транзитивным (нетранзитивным) в том случае, если транзитивным является дополнение к нему, т.е. ᾱ. В матрице такого отношения [ количественные отношения между дисками и связями] из количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями. Отрицательная транзитивность α не исключает того, что само α может быть также транзитивным.

В этом случае говорят, что α является сильно транзитивным отношением. Элементы матрицы [ количественные отношения между дисками и связями] такого отношения характеризуются тем, что из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями, a из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями.

Наряду с сильно транзитивными отношениями рассматриваются слабо транзитивные (псевдотранзитивные), к которым относятся те из отношений, где выполняются условия из количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями. Из асимметрии и отрицательной транзитивности следует его транзитивность.

Отношение α является транзитивно полным, если для любых δ из количественные отношения между дисками и связями,
следует сравнимость количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связями, т.е. выполняются либо количественные отношения между дисками и связямилибо количественные отношения между дисками и связями.

Цикличность

Отношения, заданные на множестве А, могут рассматриваться с точки зрения наличия в них циклов. Удобно такое рассмотрение проводить на графах отношений. Граф циклического отношения всегда содержит, по крайней мере, один замкнутый контур (ормаршрут). При игнорировании стрелок контур превращается в цикл. Граф ациклического отношения не содержит циклов и называется ациклическим или бесконтурным.

Отношение = является циклическим, если из элементов множества А может быть образована хотя бы одна цепочка вида количественные отношения между дисками и связямипроизвольной длины δ. График Å транзитивного замыкания для циклического отношения содержит, по крайней мере, одну пару (количественные отношения между дисками и связями), а для ациклического отношения α не содержит ни одной такой пары.

Отношение = является ациклическим, если для любого δ≥1 выполняется условие из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями. В матрице[количественные отношения между дисками и связями] ациклического отношения из количественные отношения между дисками и связямиследует i≠j. Ациклическое отношение всегда асимметрично, но обратное не верно. Другими словами, если некоторые вершины количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиграфа α ациклического отношения соединены путем; то в графе нет дуги (количественные отношения между дисками и связями).

Классическими примерами графов с таким свойством являются транзитивные турниры. Вершины таких графов допускают перенумерацию, при которой для любой дуги (количественные отношения между дисками и связями) номер вершины j больше, чем вершины i.

Если α – антирефлексивное транзитивное бинарное отношение, то оно ациклично. Из ацикличности и транзитивной полноты отношения следует его транзитивность.

Полнота

Свойство полноты (совершенства, линейности). Все множество отношений разделяет на неполные и полные, среди которых в свою очередь выделяются сильно полные. Будем иллюстрировать свойство полноты отношений, рассматривая графы отношения.

Граф полного отношения – полный, т.е. любые две его вершины непосредственно связаны хотя бы одной дугой, т.е. являются смежными. Поскольку каждой дуге в графе соответствует точка (элемент, пара) графика отношения, то на основании изложенного можно сформулировать определение.

Отношение = является полным (совершенным, линейным) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются сравнимыми или равны между собой. Таким образом, полное отношение рефлексивно. Другими словами, для любых двух элементов количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямисправедливо количественные отношения между дисками и связями.

Если в отношении α найдется хотя бы одна пара количественные отношения между дисками и связями, количественные отношения между дисками и связяминесравнимых и неравных между собой элементов, то такое отношение является неполным. Для любого полного отношения α справедливо количественные отношения между дисками и связямиили из количественные отношения между дисками и связямиследует количественные отношения между дисками и связями. Бинарное отношение α полно тогда и только тогда, когда количественные отношения между дисками и связями, т.е. когда его асимметричная часть совпадает с двойственным (п.9) отношением.

Бинарное отношение α является сильно полным, когда его график совпадает с A×A. Граф такого отношения является полным графом, в котором каждая пара вершин связана ребром, а каждая вершина имеет петлю. Такой граф называют сильно полным графом. Для полного отношения α всегда выполняются соотношения количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связями. Отношение количественные отношения между дисками и связямивсегда полно.

Если количественные отношения между дисками и связямии количественные отношения между дисками и связямиполные отношения, то количественные отношения между дисками и связямиполно. В матрице [количественные отношения между дисками и связями] полного отношения количественные отношения между дисками и связямиили количественные отношения между дисками и связямидля любых i, j, либо верны оба равенства. Отношение α является слабо полным (слабосвязным), если для любых количественные отношения между дисками и связямитаких, что количественные отношения между дисками и связями, либо количественные отношения между дисками и связями, либо количественные отношения между дисками и связями.

В матрице [количественные отношения между дисками и связями] слабо полного отношения для любых i ≠ j, либо количественные отношения между дисками и связями, либо количественные отношения между дисками и связями, либо верны оба равенства. Отношение α является транзитивно полным, если для произвольного n из количественные отношения между дисками и связямиследует сравнимость количественные отношения между дисками и связямит.е. количественные отношения между дисками и связямиили количественные отношения между дисками и связями.

Выполним подсчет числа полных отношений. Вначале рассмотрим задачу о линиях. Линией в матрице отношения будем называть отрезок прямой перпендикулярный главной диагонали матрицы отношений, соединяющий центры симметрично расположенных относительно этой диагонали двух ячеек (клеток) матрицы.

Если на одну линию (прямую) в матрице отношения попадают две и более пар симметричных позиций, то число линий, тем не менее, остается равным числу таких пар позиций. Полное число пар позиций при произвольном n определяется как количественные отношения между дисками и связями.

Итак, в матрице для произвольного отношения над множеством А имеется множество L параллельных отрезков (линий). Обозначим концевые позиции отрезков (линий) символами Л – левая и П – правая. Имеется также |L| фишек, которые можно помещать в позиции на концах линий. Задача заключается в том, чтобы определить число способов, которыми можно было бы расставить |L| фишек так, чтобы на каждой линии было не менее одной фишки.

Понятно, что задача может быть сведена к определению числа F отображений f: L → π множества L линий в множество π позиций (п = <Л, П>). Известно, что число таких отображений определяется формулой количественные отношения между дисками и связями. Конкретное отображение (образ) может иметь вид последовательности индексов для | L | позиций. Символу Л соответствует позиция под главной диагональю, а символу П, симметричная ей над диагональю.

Из определения полного отношения следует, что его график содержит не менее К точек, К = количественные отношения между дисками и связями, расположенных: так, что все линии оказываются занятыми, хотя бы одной фишкой. Число k точек графика, дополнительных к минимально необходимому числу, может пробегать значение k = 0(1)К =количественные отношения между дисками и связями.

При каждом фиксированном числе k точек множество выборов позиций, в которых они могут размешаться определяется значением количественные отношения между дисками и связями, где К – множество незанятых позиций. Так как k дополнительных точек заполняют полностью k линий, то для обеспечения свойства полноты отношения остается заполнить К — k позиций фишками (точками из множества минимально необходимого), и число таких заполнений равно количественные отношения между дисками и связями.

Выборы позиций для k дополнительных точек и способы заполнения фишками К-k линий являются независимыми. Следовательно, общее число возможностей размещения К + k точек в 2∙К позициях так, чтобы все линии были заняты хотя бы одной точкой, определится выражением количественные отношения между дисками и связями

Если просуммировать это выражение по, то получим число полных отношений, которое не зависит от ситуации с размещением диагональных точек. Другими словами, это число частично рефлексивных полных отношений, например, антирефлексивных и полных рефлексивных и полных и т.п.

Пример 5. Многообразие ситуаций размещения диагональных точек определяется числом количественные отношения между дисками и связями. Тогда П мощность множества всех полных отношений при фиксированном n определится по формуле

количественные отношения между дисками и связями.

Для отношений с тремя обязательными свойствами

Для отношений эквивалентности с тремя обязательными свойствами. Имеется замечательный результат: каждому отношению эквивалентности над множеством из n элементов взаимно однозначно соответствует разбиение этого множества. Число таких отношений определяется формулой

количественные отношения между дисками и связями, где S(n, m) — число Стирлинга 2-го рода, Bn — число
Белла или в рекуррентной форме

количественные отношения между дисками и связями

Для упорядоченных множеств (частичных порядков) подобные формулы не открыты и их число определяется непосредственными вычислениями, т.е. моделированием. Для малых значений n данные приведены в таблице

Таблица 6. Количественные характеристики бинарных отношений

количественные отношения между дисками и связями

В таблице 6. показаны: n = |A| – мощность множества-носителя;
количественные отношения между дисками и связями– количество всех бинарных отношений на множестве А;
|Ин(n) | – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного по-рядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.

Заключение

В работе выполнен детальный анализ основных свойств и устройства бинарного отношения, на основе которого удалось получить количественные характеристики для БО с одним и более свойствами. Найдены и приведены оригинальные соотношения для количества некоторых типов отношений с двумя и тремя обязательными свойствами. Эти результаты открывают возможность моделирования и изучения БО и отношений более высокой арности.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *