задача минимизации нормальных форм булевых функций

Схемотехника. Минимизация логических функций

Зачем это нужно?

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы (цепи), пропорциональны числу логических операций и числу вхождений переменных или их отрицаний. В принципе любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью аксиом и теорем логики, но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок.

К тому же процесс упрощения булевых выражений не является алгоритмическим. Поэтому более целесообразно использовать специальные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции более просто, быстро и безошибочно. К таким методам относятся, например, метод Квайна, метод карт Карно, метод испытания импликант, метод импликантных матриц, метод Квайна-Мак-Класки и др. Эти методы наиболее пригодны для обычной практики, особенно минимизация логической функции с использованием карт Карно. Метод карт Карно сохраняет наглядность при числе переменных не более шести. В тех случаях, когда число аргументов больше шести, обычно используют метод Квайна-Мак-Класки.

В процессе минимизации той или иной логической функции, обычно учитывается, в каком базисе эффективнее будет реализовать ее минимальную форму при помощи электронных схем.

Минимизация логических функций при помощи карт Карно

Карта Карно — графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно можно рассматривать как определенную плоскую развертку n-мерного булева куба.

Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.

В карту Карно булевы переменные передаются из таблицы истинности и упорядочиваются с помощью кода Грея, в котором каждое следующее число отличается от предыдущего только одним разрядом.

Основным методом минимизации логических функций, представленных в виде СДНФ или СКНФ является операция попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной. В этом случае все переменные, кроме одной, можно вынести за скобки, а оставшиеся в скобках прямое и инверсное вхождение одной переменной подвергнуть склейке. Например:

Возможность поглощения следует из очевидных равенств

Таким образом, главной задачей при минимизации СДНФ и СКНФ является поиск термов, пригодных к склейке с последующим поглощением, что для больших форм может оказаться достаточно сложной задачей. Карты Карно предоставляют наглядный способ отыскания таких термов.

Как известно, булевы функции N переменных, представленные в виде СДНФ или СКНФ могут иметь в своём составе 2N различных термов. Все эти члены составляют некоторую структуру, топологически эквивалентную N–мерному кубу, причём любые два терма, соединённые ребром, пригодны для склейки и поглощения.

На рисунке изображена простая таблица истинности для функции из двух переменных, соответствующий этой таблице 2-мерный куб (квадрат), а также 2-мерный куб с обозначением членов СДНФ и эквивалентная таблица для группировки термов:

В случае функции трёх переменных приходится иметь дело с трёхмерным кубом. Это сложнее и менее наглядно, но технически возможно. На рисунке в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб.

Как видно из рисунка, для трёхмерного случая возможны более сложные конфигурации термов. Например, четыре терма, принадлежащие одной грани куба, объединяются в один терм с поглощением двух переменных:

В общем случае можно сказать, что 2K термов, принадлежащие одной K–мерной грани гиперкуба, склеиваются в один терм, при этом поглощаются K переменных.

Для упрощения работы с булевыми функциями большого числа переменных был предложен следующий удобный приём. Куб, представляющий собой структуру термов, разворачивается на плоскость как показано на рисунке. Таким образом появляется возможность представлять булевы функции с числом переменных больше двух в виде плоской таблицы. При этом следует помнить, что порядок кодов термов в таблице (00 01 11 10) не соответствует порядку следования двоичных чисел, а клетки, находящиеся в крайних столбцах таблицы, соседствуют между собой.

Аналогичным образом можно работать с функциями четырёх, пяти и более переменных. Примеры таблиц для N=4 и N=5 приведены на рисунке. Для этих таблиц следует помнить, что соседними являются клетки, находящиеся в соответственных клетках крайних столбцов и соответственных клетках верхней и нижней строки. Для таблиц 5 и более переменных нужно учитывать также, что квадраты 4х4 виртуально находятся друг над другом в третьем измерении, поэтому соответственные клетки двух соседних квадратов 4х4 являются сосоедними, и соответствующие им термы можно склеивать.

Карта Карно может быть составлена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно — это таблица истинности составленная в 2-х мерном виде. Благодаря использованию кода Грея в ней верхняя строка является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т.о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик). На пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности. После того как Карта заполнена, можно приступать к минимизации.

Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ):

Далее берём первую область и смотрим какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных, если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем то же самое что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.
Например(для Карт на 2-ве переменные):

Источник

Минимальная ДНФ булевой функции

Основные методы получения минимальной ДНФ функции это: равносильные преобразования, метод карт Карно, метод Квайна (или Квайна-МакКласки), преобразования по булевому кубу. Все они разобраны ниже. В некоторых задачах также построены релейно-контактные или функциональные схемы.

Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Другие примеры решений о булевых функциях:

Задачи и решения о минимизации ДНФ булевых функций

Задача 4. С помощью карт Карно найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ или КНФ булевой функции f(x1,x2,x3,x4), заданной вектором своих значений.
(1100 0101 0011 0011)

$$f = ( 1, 2, 5, 6, 14), [4, 9, 11, 12, 15].$$

$$f = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15).$$

$$f(x,y,z)=(\bar x \vee \bar y)\wedge (\bar y \vee \bar z) \to (\bar x \vee \bar z)$$

Задача 8. Переключательная функция от трех аргументов задана номером в десятичной системе счисления. Получить номер ПФ в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах, таблицу истинности, определить СДНФ, СКНФ, символическую форму функции с восьмеричной нумерацией наборов. Минимизировать функцию по кубу соседних чисел и карте Карно. Определить свойства функции. Реализовать функцию переключательной схемой на функциональных элементах в базисах а) И, ИЛИ, НЕ, б) И-НЕ, в) ИЛИ-НЕ.

Задача 9. Для булевой функции f, заданной в таблице 1:
а) найти сокращённую ДНФ;
б) найти ядро функции;
в) получить все тупиковые ДНФ и указать, какие из них являются минимальными;
г) на картах Карно указать ядро и покрытия, соответствующие минимальным ДНФ.

Решение задач о минимальной ДНФ на заказ

Сокращенная и минимальная ДНФ

Сокращенная ДНФ — форма записи булевой функции, для которой 1) любые два слагаемых различаются как минимум в двух позициях, 2) ни один из конъюнктов не содержится в другом. Для булевой функции может существовать несколько сокращенных ДНФ

Минимальная ДНФ — такая сокращенная ДНФ, в которой содержится минимальное количество вхождений переменных.

Источник

Сокращённая и минимальная ДНФ

Содержание

Сокращенная ДНФ [ править ]

Функцию можно записать с помощью сокращенной ДНФ не единственным способом.

Минимальная ДНФ [ править ]

Каждая минимальная ДНФ является сокращенной, но не каждая сокращенная — минимальна. Например, запись [math](x \land y) \lor (y \land z) \lor (x \land z)[/math] является минимальной ДНФ для медианы (она же сокращенная, как видно в примере выше); а запись [math](x \land y \land \lnot z) \lor (\neg x \land y \land z) \lor (x \land z)[/math] — не минимальная, но сокращенная ДНФ.

Минимизация ДНФ [ править ]

Рассмотрим несколько способов минимизации дизъюнктивных нормальных форм:

Визуализация гиперкубами [ править ]

Этот способ работает при количестве переменных не больше трёх (в противном необходимо вводить четвёртое или следующие за ним измерения для представления фигур). Сначала мы рисуем куб в системе отсчёта [math]Oxyz[/math] (названия координатных осей соответствуют названиям переменных). Затем каждую вершину обрабатываем следующим образом:

пока у нас есть незакрашенные вершины, мы выбираем грань, либо вершину, либо ребро, на которых больше всего закрашенных чёрным вершин и ещё не обработанных вершин.

Карты Карно [ править ]

Теперь для каждого конъюнкта мы помечаем соответствующую ему ячейку таблицы.

[math](\neg X \wedge Y \wedge \neg Z \wedge W) \vee (\neg X \wedge Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge Z \wedge \neg W) \vee (X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (X \wedge \neg Y \wedge Z \wedge \neg W)[/math]

будет выглядеть на картах Карно так:

Теперь покрываем прямоугольниками (длины сторон которых — степени двойки ( [math]1, 2, 4[/math] )) те ячейки карт Карно, которые содержат в себе единицу (на каждом ходу мы выбираем такой прямоугольник, чтобы он покрывал наибольшее количество ещё не покрытых клеток) до тех пор, пока не покроем все такие ячейки.

Для карт Карно на примере это выглядело бы так:

После этого записываем каждый прямоугольник в виде конъюнкта, в котором будут указаны только те переменные, которые одинаковы для всех ячеек этого прямоугольника.

То есть, в этом примере получаем: [math](\neg Z \wedge \neg X) \vee (\neg W \wedge \neg Y)[/math]

Метод Квайна [ править ]

Этот метод основан на применении двух основных операций:

Метод состоит в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений частей СДНФ пока это может быть осуществимо.

Описание алгоритма [ править ]

Алгоритм завершается, когда подмножество является пустым, либо нельзя выполнить ни одной операции неполного попарного склеивания. После выполнения этого алгоритма будет получена сокращенная (но еще не минимальная) форма.

Переход от сокращённой формы к минимальной осуществляется с помощью специальной таблицы. Члены СДНФ заданной функции вписываются в столбцы, а в строки — члены сокращённой формы. Отмечаются столбцы членов СДНФ, которые поглощаются отдельными элементами сокращённой формы.

Члены сокращённой формы, не подлежащие исключению, образуют ядро. Такие члены определяются по вышеуказанной матрице. Для каждой из них имеется хотя бы один столбец, перекрываемый только этим членом.

Для получения минимальной формы достаточно выбрать из членов сокращённой формы, не входящих в ядро, такое минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих членов, которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядра.

Пример [ править ]

Функция от четырёх аргументов задана следующей таблицей:

[math]0000[/math][math]0001[/math][math]0010[/math][math]0011[/math][math]0100[/math][math]0101[/math][math]0110[/math][math]0111[/math][math]1000[/math][math]1001[/math][math]1010[/math][math]1011[/math][math]1100[/math][math]1101[/math][math]1110[/math][math]1111[/math]Значение

[math]1[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]1[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]0[/math][math]1[/math][math]1[/math][math]1[/math][math]1[/math][math]1[/math][math]1[/math]

Проведём операции неполного склеивания и поглощения:

На данном шаге все элементы вида [math]Ax[/math] или [math]A \neg x[/math] участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому элементы сокращённой ДНФ на этом шаге не получены.

На данном этапе получаем элементы сокращённой ДНФ [math]\neg x \land \neg z \land \neg w[/math] и [math]y \land \neg z \land \neg w[/math]

Обе элементарные конъюнкции на данном шаге являются элементами сокращённой ДНФ.

В результате выполнения алгоритма мы получаем следующую сокращённую ДНФ: [math](\neg x \land \neg z \land \neg w) \lor (y \land \neg z \land \neg w) \lor (x \land z) \lor (x \land y) [/math]

Переход от сокращённой формы к минимальной:

Источник