задачи с транзитивными отношениями
Задачи
Задачи Задачи с отношениями
В данном разделе представлены логические задачи с транзитивными отношениями «больше», «меньше», «равно».
Необходимым условием успешного решения таких задач является умение перейти от отношений разного вида между элементами задачи к отношениям, одного вида.
Пример
Груша тяжелее яблока, а персик легче яблока. Какой из фруктов самый тяжелый?
Рассмотрим поэтапное решение задач данного типа.
Ученики проговаривают условие задачи и записывают его в тетрадь следующим образом: после слова Дано: записываются все элементы задачи, причем для каждого из них вводится обозначение — символьная переменная. Проводится черта, под которой пишется слово Надо: и вопрос задачи. Затем проводится вертикальная черта, отделяющая условие и вопрос от рассуждения (решения).
Для нашей задачи рассуждения ученика на данном этапе будут выглядеть следующим образом:
В задаче требуется узнать, какой из фруктов самый тяжелый; запишем этот вопрос в графу Надо:
| Дано: | Рассуждения: | ||||||||||||
| Яблоко (Я.) | |||||||||||||
| Груша (Г.) | |||||||||||||
| Персик (П.) | |||||||||||||
| Что тяжелее всех? В графе Рассуждения: строится схема — модель условия задачи, в которой заданные в условии задачи отношения записываются в символьных переменных. Например, для нашей задачи акцентируем внимание на отношении «тяжелее». Тогда первое отношение — «груша тяжелее яблока» — будет записано так Г.Я. Второе отношение — «персик легче яблока» — надо перевести в равнозначное, выраженное словом «тяжелее». Получим — «яблоко тяжелее персика» — Я.П. Запишем условие задачи с одним отношением «тяжелее» в одной строке — Г.Я.Я.П. В данной записи выделим повторяющуюся символьную переменную и запишем новое отношение с одной переменной вместо выделенных двух — Г.Я.П. Эта запись символизирует отношение «тяжелее» между данными задачи. Рассуждения ученика (устные) на данном этапе могут выглядеть следующим образом: Запишем условие задачи на одной строке, используя символьные переменные. Так как (по условию задачи) груша тяжелее яблока, запишем Г. Я. Так как (по условию задачи) персик легче яблока, значит, яблоко тяжелее персика, запишем Я. П. Выделим прямоугольником две повторяющиеся символьные переменные. Теперь можем дать ответ на вопрос задачи: тяжелее всех груша. Эталон записи решения задачи в тетради:
Ответ:
Бутылка уравновешивается на чашечных весах тарелкой и стаканом. Два кувшина уравновешиваются тремя тарелками. Бутылка и стакан уравновешиваются кувшином. Сколько стаканов уравновесят бутылку? Урок задачи с транзитивными отношениямиВ ходе решения задач на смекалку, головоломок дети учатся планировать свои действия, обдумывать их, догадываться в поисках результата, проявляя при этом творчество. Эта работа активизирует не только мыслительную деятельность ребенка, но и развивает у него качества, необходимые для профессионального мастерства, в какой бы сфере потом он не трудился. Просмотр содержимого документа |
Груша тяжелее всех фруктов.
– Какие из этих слов являются математическими терминами?
Д. Симметричность, рефлексивность.
У. Объясните, почему?
Д. Они обозначают свойства отношений.
У. Сегодня мы продолжим разговор о свойствах отношений, повторим известные свойства – рефлексивность и симметричность – и узнаем новое свойство отношений.
III. Повторение пройденного материала
Графы изображены на доске:
У. Какими свойствами обладают эти графы?
Д. Свойством рефлексивности.
Д. На графе изображена петля.
У. Какое отношение изображено на графе?
У. Составьте и прочитайте высказывания.
Д. 125 равно 125; 500 равно 500.
У. Какое свойство является рефлексивным?
Д. Любое число равно самому себе.
У. Приведите примеры отношений, которые обладают рефлексивным свойством.
Д. Быть равным по длине, быть равным самому себе, быть равным по площади, число делится само на себя без остатка, быть равным по периметру самому себе.
У. Приведите примеры отношений, которые не обладают рефлексивным свойством.
Д. Быть братом, быть сестрой, быть больше, быть меньше.
У. Как рефлексивное свойство отражается на графе?
– Каким свойством обладает этот граф?
Д. Свойством симметричности.
Д. У каждого ребра есть противоположное ребро.
У. Какое отношение задано на графе?
У. Составьте и прочитайте эти высказывания.
Д. Если Дима – брат Пети, то Петя является братом Димы. Если Дима – брат Коли, то Коля является братом Димы. Если Коля – брат Пети, то Петя является братом Коли.
У. Какое свойство является симметричным?
Д. Если один человек является братом другого, то, следовательно, второй – брат первого, если они мальчики.
У. Приведите примеры отношений, которые обладают симметричным свойством.
Д. Быть братом, если все дети – мальчики; быть сестрой, если все дети – девочки; быть параллельными; быть равными.
У. Какие отношения не обладают симметричными свойствами?
У. Как свойство симметричности изображено на графе?
Д. Для каждого ребра имеется противоположное ребро.
Учитель раздает детям карточки.
Двое учащихся на индивидуальных досках выполняют эту работу. Затем дети проверяют задание.
– При каком условии отношение на графах будет обладать свойством рефлексивности? свойством симметричности? У кого задание выполнено так же, как на досках?
Прочитайте задание 53 на странице 21 в тетради на печатной основе. Какими свойствами обладает каждое отношение?
Заполните таблицу. Если отношение обладает указанным свойством, поставьте знак «+»; если нет, поставьте знак «–».
Два отношения дети разбирают с комментариями, два – выполняют самостоятельно.
IV. Знакомство с новым материалом
У. Давайте посмотрим граф отношений «больше» между числами 12, 8, 46.
– Составьте и прочитайте высказывание.
Д. Если 46 > 12, 12 > 8, то 46 > 8.
У. Обладает ли свойством рефлексивности отношение «больше»? Почему? Свойством симметричности? Почему?
– Неужели это отношение «больше» останется без свойства? Отношение: когда одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое больше третьего, – обладает транзитивным свойством.
На доску прикрепляется карточка со словом транзитивность.
– На графе ребра, идущего от 46 к 12 и от 12 к 8 образуется цепь (учитель рисует синим цветом). Ребро, идущее от 46 к 8 замыкает эту цепь и называется замыкающим (учитель рисует зеленым цветом). Свойство транзитивности на графе отражается так: если цепь состоит из двух ребер, то на графе есть и замыкающие ребра.
V. Первичное закрепление нового материала
У. С каким новым свойством вы познакомились?
Д. С транзитивным свойством.
У. Какое отношение обладает транзитивным свойством?
Д. Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.
У. Как выражается на графе свойство транзитивности?
Д. Если есть цепь, состоящая из двух ребер, то на графе есть и замыкающее ребро.
У. Откройте учебник на странице 113. Прочитайте задачу 425:
Цена блокнота 39 рублей, ручки – 7 рублей и тетради – 2 рубля. Прочитайте все высказывания, изображенные на графе отношения «дороже». Какими свойствами обладает это отношение?
– Что такое Б? Р? Т? Какое отношение задано?
У. Составьте и прочитайте высказывания, изображенные на графе, начиная со слов: «Если блокнот дороже ручки, а ручка дороже тетради, то блокнот дороже тетради». Обладает ли оно свойством рефлексивности?
У. Обладает ли оно свойством симметричности?
Д. Если один предмет дороже второго, то второй не может быть дороже первого. Предмет не может быть дороже самого себя.
У. На доске – граф к следующему заданию: Игорь, Петя и Сергей – родственники, братья.
– Прочитайте все высказывания.
Д. Если Игорь – брат Пети, а Петя – брат Сергея, то Игорь является братом Сергея.
У. Обладает ли оно свойством рефлексивности?
Д. Человек не может быть братом самому себе.
У. Обладает ли оно свойством симметричности?
Д. Если Игорь – брат Пети, то Петя – брат Игоря, и т.д.
У. Изобразите на графе недостающие ребра так, чтобы это отношение обладало симметричным свойством.
Дети выполняют задание.
– Чему вы учились, выполняя это упражнение?
Д. Составлять высказывания по графу, на котором отражено транзитивное свойство.
У. Определите по графу, изображенному в задании 424, какое отношение является транзитивным.
Д. На первом графе нет отношения транзитивности, потому что нет замыкающего ребра.
– На втором графе оно есть, потому что показаны несколько цепей, состоящих из двух ребер, и замыкающее ребро.
– На третьем графе его нет, потому что нет замыкающего ребра.
У. Правильно! Чему вы учились, выполняя это упражнение?
Д. Определять по графу, какое отношение является транзитивным.
У. Как на графе изображается транзитивное свойство?
VI. Обучение построению графов, обладающих транзитивным свойством
У. Изобразите граф отношений делится без остатка на. между числами 7, 28, 56. Прочитайте.
Д. Если 56 делится на 28, 28 делится на 7 без остатка, то 56 делится на 7 без остатка.
У. Каким свойством обладает это отношение?
Д. Число делится само на себя.
У. Почему оно не обладает свойством симметричности?
Д. Нельзя меньшее число разделить на большее.
Учитель раздает карточки с заданиями.
Один ученик выполняет задание у доски для проверки выполнения работы.
У. Каким свойством обладает это отношение?
– Каким другим свойством обладает отношение «параллельно»?
Д. Если одна прямая параллельна второй, то вторая параллельна первой.
У. Изобразите на графе недостающие ребра так, чтобы отношение стало симметричным.
Является ли отношение «параллельно» рефлексивным? Почему?
Д. Нет, потому что прямая не может быть параллельной самой себе.
У. А теперь выполним в учебнике № 428.
У. Обладает ли отношение «перпендикулярно» свойством транзитивности?
У. Начертите граф отношения «перпендикулярно», проверив, обладает ли это отношение свойством транзитивности.
– Обладает ли отношение «перпендикулярно» свойством транзитивности? Почему?
Д. Нет, потому что если одна прямая перпендикулярна второй, вторая перпендикулярна третьей, то первая не может быть перпендикулярна третьей.
У. Какие отношения обладают свойством транзитивности?
Д. Быть больше или меньше, быть сестрой или братом, быть параллельным.
У. Какие отношения не обладают этим свойством?
Д. Быть перпендикулярным.
У. Как отражается на графе свойство транзитивности?
Д. Если есть цепь, состоящая из двух ребер, то на графе есть и замыкающее ребро.
VII. Самостоятельная работа
У. Какие отношения мы рассматривали?
Д. Рефлексивность, симметричность, транзитивность.
У. Сравним, какие отношения будут обладать указанным свойством, а какие – нет.
Класс делится на группы. Каждая группа получает карточку с заданием.
Иметь одну и ту же длину
Постройте граф отношений «не равно» между числами 8, 24, 72. Отметьте знаком 
названия тех свойств, которыми обладает это отношение.
Рефлексивность
Симметричность
Транзитивность
Стрелки на графе означают «не равно».
Отметьте знаком название тех свойств, которыми обладает это отношение.
Рефлексивность
Симметричность
Транзитивность
Осуществляется проверка работ.
У. Какие из отношений обладают всеми тремя свойствами? Какие из отношений обладают двумя свойствами?
Какие только одним?
Есть ли отношение, которое не обладает ни одним из этих свойств?
У. Какова тема урока? Что нового вы узнали? Что узнали о свойстве транзитивности? Что учились делать?