закон больших чисел в форме бернулли

Закон больших чисел в форме бернулли

§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

5.3. Закон больших чисел Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

(55)

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А). (Доказательство)

Мы говорили (см. § 1, п. 1), что при большом числе испытаний частота Р*(А)=m/n события А обладает свойством устойчивости. Это обстоятельство находит свое объяснение в законе больших чисел Бернулли.

Источник

Закон больших чисел в форме бернулли

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведе-
ние среднего арифметического случайных величин с произвольными распре-
делениями, ЗБЧ Бернулли—утверждение только для схемы Бернулли.

Т е о р е м а (ЗБЧ Бернулли). Пусть ν_n —число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Тогда При этом для любого ε > 0

или в эквивалентной форме

П р и м е р 1. Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Оценим
вероятность того, что число гербов отличается от 5000 менее, чем на 100.
Пусть ν_n —число гербов, выпавших в n = 10000 испытаниях. Нужно
оценить вероятность события.

Пример 2. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

Пример 3. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .

Пример 4. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве Р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .

Источник

Как работает Закон больших чисел – Примеры в реальной жизни

Как начать торговать на бирже: Инструкции и Примеры, Обучение

Примеры работы закона больших чисел в разных областях и отраслях. Чем отличаются ЗБЧ от Чебышева и Бернулли и как их применять в своей жизни.

Этот термин пришел из теории вероятности, закон больших чисел показывает насколько близким окажется среднее значение выборки к математическому ожиданию для одного и того же распределения.

Звучит несколько непонятно, ниже подробнее остановимся на физическом смысле этого закона и методах его применения в разных сферах человеческой деятельности.

Этот закон применяется и в инвестировании, и в здравоохранении, и в сфере страхования – везде, где нужно анализировать массив информации.

Что такое закон больших чисел

Для начала разберемся с терминами:

Закон больших чисел простыми словами – это закон, позволяющий понять, каким вероятнее всего окажется результат эксперимента, если проводить его неоднократно. Чем большим будет число таких экспериментов, тем ближе будет результат к математическому ожиданию.

Более того, закон больших чисел – это та закономерность, которая позволяет прогнозировать исход случайных событий на длинной дистанции. Это важно в прогнозировании и оценке рисков в любой сфере деятельности человека.

Если заинтересуетесь доказательствами этого, рекомендуем углубиться в теорию вероятности. Так, доказательство закона больших чисел Чебышева показывает, что среднее арифметическое при приближении числа экспериментов к бесконечности практически уравнивается с матожиданием.

Схожее доказательство есть для закона больших чисел Бернулли. В нем доказывается, что при неограниченно большом количестве экспериментов частота проявления определенного события оказывается равной вероятности его появления.

Помимо обычного есть и усиленный закон больших чисел. В обычном матожидание может бесконечное количество раз сильно отличаться от среднего значения результата экспериментов (происходит это бесконечно редко). В усиленном же законе вероятность такого отличие сведена к нулю, то есть со 100%-ной вероятностью матожидание сводится к арифметическому среднему.

Сущность закона больших чисел

Для визуализации закона представьте себе подбрасывание монетки. Вероятность выпадения одной из сторон 50%, если подбросить ее 10 раз, то распределение может оказаться и 70/30 и 20/80.

Но если продолжать эксперимент 10000, 1000000 раз, то распределение будет приближаться к 50/50. То есть частота проявления каждого события на дистанции стремится к вероятности его появления.

Еще один пример – подбрасывание кубиков (вернее одного кубика). В каждом эксперименте может выпасть число от 1 до 6, но закон больших чисел утверждает, что на длинной дистанции среднее арифметическое суммы бросков приближается к 3,5. Результаты эксперимента доказывают это на практике.

Похожую закономерность можно найти, например, при исследовании результатов общения страховых агентов с потенциальными клиентами. При большой выборке окажется, что в среднем на 1000 звонков приходится определенное количество заключенных договоров. Так что важно понимать суть закона больших чисел, он работает в любой сфере.

Без использования этого закона было бы невозможно планировать развитие бизнеса и оценивать эффективность работы в прошлом.

Как использовать закон больших чисел инвестору

Зная, что понимается под законом больших чисел инвестор может прогнозировать результаты вложений.

Работа со статистикой в этом и заключается, инвестиционная стратегия проверяется на истории, рассчитывается математическое ожидание, коэффициент Шарпа, Сортино и прочие характеристики.

Если для исследования взять достаточно продолжительный временной отрезок, то в будущем при использовании этой инвестиционной стратегии результат вероятнее всего окажется близок к полученному на истории.

Простейший пример оценки стстратегии:

Ответьте на вопрос – стоит ли работать при таких условиях?

Например, алгоритмические хедж-фонды работают с сотнями/тысячами стратегий, нацеленных на сотни различных инструментов. Обязательное требование для включения стратегии в пул – положительное математическое ожидание. При работе с инструментами с с максимальной отрицательной корреляции, это делает работу практически безубыточной.

Рядовой инвестор также использует понятие о законе больших чисел (даже если не владеет терминологией из теории вероятности). Вспомните как проводится анализ любого инвестиционного портфеля:

Эта схема – типичное использование закона больших чисел, ей следуют все опытные инвесторы.

Разберем этот метод на примере инвестиций в ETF с тикером SPY.

Для тестирования выберем любой временной промежуток, например, 2010-2016 гг.. В отчете нас интересует математическое ожидание или средний арифметический прирост капитала в год и в месяц.

Есть еще и средний геометрический прирост, он рассчитывается на основании наклона кривой роста депозита, при стабильном росте капитала средний арифметический и геометрический прирост практически совпадают.

Теперь проведем форвард-тест (взяв участок истории после 2016 г.). Если кратко, то по закону больших чисел в будущем должны получить примерно тот же результат.

Ожидания оправдались – рассчитывали на среднюю месячную и годовую доходность на уровне 1,07% и 13,62%, а при форвард-тесте получили 1,20% и 15,42%. Расхождение составило 12,2% и 13,2%, что для не особенно длинной дистанции неплохой результат.

Закон больших чисел просто показывает каким вероятнее всего будет результат случайного события. Но он не гарантирует, что в каждом следующем испытании итог будет строго равен математическому ожиданию.

За период с февраля 1993 г. по конец 2000 г. SPY показал себя отлично. Опираясь на статистику, инвестор мог рассчитывать на средний профит в 17,98% в год или 1,39% в месяц.

Но после 2000 г. начался спад и фонд просел, инвестор получил убыток. На короткой дистанции могло показаться, что закон перестал работать и пора искать новый инструмент для вложений.

В следующие пару лет ETF SPY был убыточным. Вместо роста капитала инвестор получил убыток в среднем 15,19% в год или 1,36% в месяц. Расхождение с ожиданиями порядка 180-200%, на погрешность это списать нельзя.

Причина таких расхождений – работа с небольшими временными промежутками. Здесь уместна аналогия с подбрасыванием монетки:

То же и в инвестировании. Вспомните сущность закона больших чисел, он применим только при достаточном массиве статистики.

Если вернуться к ETF SPY и оценить его показатели за все время существования, то окажется, что рассчитывать можно в среднем на рост в 10,83% за год и 0,86% в месяц.

Этим результатам стоит доверять больше еще и потому, что за выбранный период SPY успел пережить 2 кризиса.

Ровно по такой же схеме закон больших чисел используется и в хедж-фондах, управляющих миллиардами долларов. Отличаются лишь инструменты анализа информации, сам принцип остается тем же.

Как использовать закон больших чисел в бизнесе

Закон больших чисел связан с обработкой статистических данных. Крупный бизнес не сможет работать и прогнозировать развитие без обработки статистики, поэтому этот закон в бизнесе применяется повсеместно.

Ниже – варианты применения закона в различных секторах:

Закон больших чисел в бизнесе применяется повсеместно. Прогнозирование результатов в будущем – не единственное его применение.

Так, закон больших чисел описывает фазы развития бизнеса. В частности, из него следует, что темпы роста бизнеса в процентном соотношении не могут сохраняться постоянными неограниченно долго.

Отсюда следует, что у молодого бизнеса более вероятен резкий рост, чем у компаний с многомиллиардными оборотами. Это следует взять на вооружение инвесторам.

По мере роста происходит насыщение рынка, рост в процентном соотношении падает (при этом в деньгах показатели растут). Чтобы не перейти к стагнации компания выводит новые продукты, выходит на новые рынки.

Применение закона больших чисел в банковской деятельности

Закон больших чисел просто необходим в банковской сфере.

В кредитовании. Например, чтобы обосновать проценты по кредиту. Использовав закон больших чисел банк может спрогнозировать какая доля заемщиков не выплатит займ. В том числе исходя из этого назначается процент за использование кредитных денег.

Для составления профиля благонадежного и неблагонадежного заемщика. На основании этого закона составляется профиль заемщика, который с наибольшей вероятностью вернет займ. Учитываются все составляющие – пол, сфера работы и должность, трудовой стаж, средний месячный доход, назначение займа, кредитная история, семейное положение.

Что касается того, на чем основывается закон больших чисел при его применении в банковской сфере, то это тот же массив статистики.

Эта закономерность используется и другими околофинансовыми учреждениями. Например, БКИ при расчете кредитного рейтинга и прогнозе о возможности займа в банке опираются на анализ статистики. Значит закон больших чисел задействован и здесь.

Как работает закон больших чисел в страховании

Сектор страхования предлагает всем желающим (не только физлицам) защитить себя от убытков при наступлении несчастного случая.

На первый взгляд форс-мажоры спрогнозировать невозможно, но при изучении статистики оказывается, что и они подчиняются математическим закономерностям.

Закон больших чисел в страховании используется для определения минимального страхового взноса, который бы позволил компании перекрыть убытки при наступлении страхового случая.

Пример

Закон больших чисел говорит о том, что в среднем за год вероятность попадания в ДТП/угона (условия наступления страхового случая оговариваются отдельно) составляет 1/200 или 0,5%. То есть ежегодно страховщику придется выплачивать компенсацию 0,5 х 100000/100 = 500 автовладельцам.

Страхование – бизнес, который стал возможным исключительно благодаря закону больших чисел. Без прогнозирования соотношения прибыли и убытка по страховым случаям страховщики не стали бы работать.

Когда закон больших чисел не работает

Сложно найти сферу деятельности человека, где не применяется закон больших чисел. Но сама по себе эта закономерность не является 100%-ной гарантией того, что в будущем события будут развиваться в соответствии с расчетами.

Закон больших чисел может не работать при:

Это не значит, что закон больших чисел нельзя использовать в бизнесе и инвестировании. Просто нужно заранее понимать, что он лишь прогнозирует вероятный результат в будущем на основе статистики.

Заключение

Если дать определение закону больших чисел простым языком, его можно назвать законом, описывающим наиболее вероятный сценарий развития событий в будущем, опираясь на массив исторических данных. При этом он не гарантирует на 100%, что результаты окажутся точно такими же.

Эту закономерность использует любой бизнес без исключения, в инвестировании ей также отведена существенная роль.

Вероятнее всего вы и сами неосознанно пользуетесь этой закономерностью при планировании своих инвестиций. Если же нет – самое время начать это делать.

Трейдер, инвестор, частный предприниматель. «Финансовые рынки объединяют разные интересы, бизнес, континенты. Это то место, где всегда можно найти, чем заняться, что и как сделать или создать.»

Источник

Парадокс лотереи и закона больших чисел Бернулли

Посвящается РЕАЛЬНОМУ ЗАКРЫТИЮ
игорных заведений с 1-го июля 2009 года вне игровых зон

в связи с вступлением вчера, 30.06.2009, в силу Пункта 1 статьи 17, пункта 1 статьи 18 и статьи 19
ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАКОНА от 29.12.2006 N 244-ФЗ «О ГОСУДАРСТВЕННОМ РЕГУЛИРОВАНИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЮ АЗАРТНЫХ ИГР И О ВНЕСЕНИИ ИЗМЕНЕНИЙ В НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ АКТЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (принятого ГД ФС РФ 20.12.2006), http://nalog.consultant.ru/doc64924.html

ПАРАДОКС ЛОТЕРЕИ И ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ

Возможность – благоприятный случай получить разочарование

(«Афоризмы, цитаты, и крылатые слова»,
http://aphorism-list.com/t.php?page=vozmojnost)

Твои шансы выиграть в лотерею возрастут,
если ты купишь билет

Уинстон Грум (из «Правил Форреста Гампа»)
(«Афоризмы об играх»,
http://letter.com.ua/aphorism/game1.php)

Вполне ожидаемо (и философски проверяемо [англ.]), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет» («Академика», Список парадоксов, http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/165304).

«Парадокс лотереи (типа спортлото)

Большинство участников лотерей (в которых выигрыш распределяется между всеми победителями, как в спортлото) обычно не ставят на «слишком симметричные» комбинации, хотя все комбинации равновозможны. Причина этого проста. Игроки по опыту знают, что, как правило, выигрывают не симметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что…. Почему?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).

Все в жизни играли в какие-либо игры, необязательно в азартные, которые, так или иначе, связаны с вероятностью. А если кто-то и не играл, то наверняка подбрасывал пару раз в жизни монетку. Просто так, для развлечения или решая какой-либо вопрос, на который самому делать выбор оказывалось непосильным или невозможным. И я проделывал в детстве то же самое. Но уже тогда в голове закрадывалось какое-то сомнение в правильности обоснования своего выбора решений даже пустяковых вопросов подбрасыванием монетки. Видимо, уже тогда не хотелось передоверять собственное право выбора слепому случаю. Но не столько из-за того, что я и сам могу выбрать лучший вариант именно сейчас и именно для себя, а больше из-за того, что такой выбор не будет справедливым. Справедливым настолько, что я без всяких дальнейших раздумий и внутренних колебаний смог бы его принять и действовать сообразно этому выбору. А затем я и вовсе прекратил дальнейшие попытки принятия решений таким нехитрым способом, когда мои опасения подтвердились во время просмотра одного из популярных индийских фильмов, проходивших у нас в 80-х годах. Если не ошибаюсь, это был фильм «Месть и закон». В нём один из главных героев, делая выбор чего-либо, с серьёзным видом подбрасывал монетку. И всё было бы ничего, да только когда его подстрелили всё-таки, и он подарил свою «счастливую монетку», то оказалось, что она была с двумя одинаковыми сторонами. Видимо, этот герой хорошо усвоил первое правило успеха: если хочешь выиграть в казино, стань его владельцем.

На вопрос задачи, приведённой Секеем в своей книге, о том, почему ВЫГОДНЕЕ выбирать именно симметричные варианты геометрического расположения номеров на поле карточки, ответ не так уж и сложен. Вывод следует, исходя из трёх условий:

1) все варианты: и симметричные, и несимметричные – равновероятны;

2) большинство игроков выбирают несимметричные варианты;

3) получаемая сумма выигрыша зависит от количества: а) участников, б) выигравших (по категориям выигрыша, конечно);

следовательно, с точки зрения выгоды, то есть увеличения возможной прибыли при угадывании, симметричные варианты угадает намного меньшее количество игроков при том же самом количестве участвующих в лотерее, и сумма выигрыша будет делиться между намного меньшим количеством победителей.

Но с другой стороны, если бы всё так было просто, то и не возникало бы никаких сложностей с определением вероятности тех или иных событий. А парадоксов и разнообразных парадоксальных задач по теории вероятности существует не меньше, а то и гораздо больше, чем в других отраслях науки (в тех же математике, логике, физике). Например, такая задача.

«Парадокс игры в кости

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1,2,3,4,5 или 6. (Сумма очков на противоположных гранях равна 7, т.е. падение на 1 означает выпадение 6 и т.д.).

В случае бросания 2-х костей сума выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10= 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9 и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html)».

В этой задаче нет никакого парадокса. Парадоксальность, а точнее уловка, скрыта в неполной информации: количество вариантов возможных комбинаций больше указанного. Потому что указаны лишь типы вариантов, способы составления, которые нужно распределить на количество костей.

Ответ прост: 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три, потому что вероятность выпадения суммы, равной 9, при двух костях больше, чем вероятность выпадения суммы, равной 10, при трёх костях, что отражает соотношение количества вариантов составления этих сумм.

Количество вариантов составления сумм:

А. 9 на двух кубиках: 3+6 (2 возможных варианта, то есть на первом 3 на втором 6 и наоборот) и 4+5 (2 вар.). Итого: 4 варианта

10 на двух кубиках: 4+6 (2 вар.) и 5+5 (1 вар.). Итого: 3 варианта

Соотношение вероятности в пользу суммы 9.

Б. 9 на трёх кубиках: 1+2+6 (6 вар.), 1+3+5 (6 вар.), 1+4+4 (3 вар.), 2+2+5 (3 вар.), 2+3+4 (6 вар.), 3+3+3 (1 вар.). Итого: 25 вариантов

10 на трёх кубиках: 1+3+6 (6 вар.), 1+4+5 (6 вар.), 2+2+6 (3 вар.), 2+3+5 (6 вар.), 2+4+4 (3 вар.), 3+3+4 (3 вар.), 4+4+2 (3 вар.) Итого: 30 вариантов

Соотношение вероятности в пользу суммы 10.

Почему же вероятность событий порождает столько противоречий?

Возможно, я ошибаюсь, но, по моему мнению, даже математики, не говоря уж о тех, кто вовсе не знаком с теорией вероятности, находятся в плену одной ложной исходной посылки о распределении вероятности. Это представление о том, что события происходят только в зависимости от их вероятности, без учёта распределения вероятности во времени. Жизнь не всегда идёт по рассчитанным схемам и именно так, как её описывают математически. Отражение этой двуликости: математического расчёта и в то же самое время не совпадение с ним – приводится в следующем парадоксе.

ПАРАДОКС ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ

«Отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Некоторые игроки уверены, что при серии выпадений орлов увеличивается вероятность выпадения решки. И в то же время у монет нет памяти, они не знают предыдущие броски и каждый раз вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Даже если перед этим выпадали 1000 гербов подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).

Закон больших чисел Бернулли

«Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причём вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли …

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е…

Таким образом, из противоречий, заключённых в этих парадоксах, можно сформулировать общую проблему.

1. Парадокса лотереи – вероятность выигрыша конкретного билета ничтожна, но вероятность выигрыша какого-либо билета равна 1, то есть 100 процентам;

2. Парадокса закона больших чисел Бернулли – вероятность выпадения любого варианта равнозначна, но в действительности она должна меняться при большем выпадении одних вариантов для приведения вероятности к балансу.

Проблема, на мой взгляд, содержится в непонимании неравномерного распределения вероятности на количество вариантов или, другими словами, в зависимости вероятности одного варианта события от другого во временном контексте.

Никто не будет спорить, что сумма вероятностей вариантов события равна единице. Но почему все считают, что распределение по вариантам равномерно? Такой подход полностью игнорирует изменчивость мира в течение времени. И те же выпадения сторон монетки должны тогда строго чередоваться по очереди: орёл, решка, орёл, решка. Тогда распределение вероятности, рассчитанное по формуле, будет полностью совпадать с действительным ЗА ЛЮБОЙ КОНКРЕТНЫЙ ПЕРИОД ВРЕМЕНИ. Потому что в пределах этого временного периода, количество выпадающих разных вариантов будет одинаковым. Но в действительности это не так. Внутри отдельных периодов вероятность каждого варианта события меняется от 0 до 1 (от нуля до ста процентов). Например, когда из десяти раз все десять раз выпадет орёл (или красное, если это рулетка в казино). Мне известен случай, когда в рулетку выпало 15 раз подряд чёрное. Это с точки расчета вероятности вообще невозможно, если брать за единицу, то есть сумму всех возможных вариантов, к примеру, 20 выпадений, в которые входят эти пятнадцать. И это, кстати, продолжая мысль, почему-то не привело к следующим пятнадцати выпадениям красного цвета. Такие выпадения подряд игроки называют сериями. Серии наблюдаются и в спорте, да вообще везде.

Вы скажете, что закон Бернулли описывает периоды с большими, «неограниченными количествами опытов» и в этих пределах он верен? Тогда почему бы той же монетке не выпасть сначала 1000 раз одной стороной подряд, а затем тысячу раз другой? Ведь закон в этом случае не нарушается ни на каплю? В действительности этого не происходит. В действительности любые длинные ряды выпадений двух возможных вариантов событий (А и Б, что можно заменить, например, на «орёл» и «решка») будут близко соответствовать схеме выпадений:

А, Б, А, Б, ААА, Б, АА, ББ, АА, ББББББ, АА, БББ, А, ББББББ, ААА, Б, АА, ББ, А, Б, АААА, Б, АА, БББ, АААА, Б, А, Б, А… (по 30 А и Б, всего 60).

Как видно, в рамках каждого конкретного отрезка (периоды выпадений или периоды времени) наблюдаются неравномерности. И длительность «серий» выпадений одного варианта а) подряд и б) в рамках периода (например, 10 выпадений) может колебаться. Теоретически амплитуда таких колебаний ничем не ограничена, но практически не ограниченных по длительности серий не существует. То есть существует некий предел, до которого возрастает длительность «серий», её «длина». Этими двумя ограничениями и регулируется баланс вероятности вариантов события: во-первых, переменчивостью вариантов в рамках произвольного периода (времени), другими словами, переменой «длины» серий от 1 до нескольких повторов подряд, а во-вторых, ограничением длины и частоты серий в рамках произвольного периода (времени). Этим достигается разнообразие событий, вариативность.

Такое распределение вероятности и отмечают игроки, которые выбирают несимметричные варианты расположения номеров на лотерейной карточке. Они исходят не из равного распределения вероятности на количество номеров, то есть их равновозможного выпадения, а, как раз, из неравномерного распределения вероятности по номерам. Почему-то ещё до сих пор не выпадало тех же самых номеров не то, что два тиража подряд, но и в массе всех тиражей. Это я могу говорить с уверенностью на основе изучения лотереи «Спортлото 5 из 36», проводимой в течение десятков лет. Подряд два тиража выпадет максимум 1 номер предыдущего тиража (достаточно часто – около четверти тиражей), 2 (в единичных случаях), 3 (в более редких случаях). Согласно теории вероятности когда-нибудь и все пять номеров выпали бы одинаковыми два тиража подряд. Но на это ушли бы тысячи лет, даже если бы тиражи проводились каждый день, а не раз в неделю. Это следует, если исходить из того, что общее количество возможных вариантов в лотерее «Спортлото 5 из 36» (36 * 35 * 34 * 33 * 32 / 1 * 2 * 3 * 4 * 5) = 376. 992, а повтор пяти номеров предыдущего тиража произойдёт не раньше, чем выпадут все возможные варианты хотя бы раз, что произойдёт при проведении 1 тиража в день, с учётом високосных годов за: 376. 992 / (365 * 4 + 1) * 4 = 1032,1478

1032 года. Но даже и после полного перебора всех возможных вариантов подряд два одинаковых тиража могут не выпасть ещё несколько тысяч лет, а возможно, и никогда.

Парадокс лотереи возникает из-за того, что вероятность выигрыша каждого конкретного билета в отдельности, то есть любого, ничтожна мала, стремиться к нулю, но вероятность выигрыша какого-то одного конкретного билета равна ста процентам. Потому что вероятность выпадения конкретных номеров в конкретном тираже распределена между всеми вариантами не-рав-но-мер-но. Грубо говоря, сто процентов вероятности делится не на всю массу билетов, а на две части – все выигравшие (то есть один, для упрощения) и все проигравшие (все остальные). Таким образом, шанс выиграть есть и у каждого, и ни у кого. Потому что невозможно узнать, КАКОЙ ИМЕННО билет выиграет, но что КАКОЙ-ТО ОДИН билет выиграет, мы знаем заранее (не вдаваясь в детали количества выигравших и условий выигрыша).
В этом месте, как это ни смешно, становится очевидной правота «женской логики», которая утверждает, что вероятность падения метеорита на Красную площадь равна не один к нескольким миллионам, а пятьдесят на пятьдесят – или упадёт или нет.
Видимо, подобного моему мнения придерживался и такой известный математик, как Пуанкаре. «Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят, потому что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами» (Парадокс де Муавра, выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).

То есть парадокс лотереи возникает из-за неправильной исходной посылки – распределение вероятности не равномерно в рамках отдельного периода, а изменчиво. И если принять за отдельный период один тираж, то в нём НЕ МОГУТ выпасть ВСЕ возможные варианты, а выпадет только ОДИН. Поэтому противоречивое понимание вероятности исчезает: вероятность выпадения абсолютного большинства вариантов будет равна нулю, и лишь вероятность одного варианта будет равна единице.

В парадоксе лотереи нет противоречивых условий:

1) только один вариант выпадает в конкретном тираже из всех возможных (выигрывает один билет);

2) возможных вариантов намного больше одного.

Следовательно, вероятность ожидания выигрыша только ОДНОГО из всех возможных вариантов (билетов) стремиться к единице, а вероятность ожидания выигрыша ВСЕХ ОСТАВШИХСЯ ОТ ОДНОГО вариантов (билетов) стремиться к нулю.

В парадоксе больших чисел Бернулли тоже нет противоречия:

1) вероятность выпадения одного из возможных вариантов равна половине – 0,5;

2) ожидание изменения вероятности выпадения второго из возможных вариантов после серии выпадений первого меняется.

Следовательно, вероятность события в целом не меняется, то есть сумма вероятностей вариантов остаётся прежней, но в рамках отдельного периода, тем более, если он несравнимо мал по отношению к сумме всех возможных периодов выпадений, вероятность меняется, что и отражается в ожиданиях игроков.

Таким образом, В ПАРАДОКСЕ ЛОТЕРЕИ НЕТ ПРОТИВОРЕЧИЯ, КАК И В ПАРАДОКСЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ.

01.07.2009 03:00 – 6.30

PS: вероятность появления другой статьи вместо этой была близка к 100 процентам, именно сегодня или в ближайшие дни. Однако этого не произошло. А появление этой статьи в ближайшие недели было вообще близко к нулю. Однако это произошло.

Источник