закон гука в тензорной форме
Сила упругости
Сила: что это за величина
В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.
Сила — это физическая векторная величина, которую воздействует на данное тело со стороны других тел.
Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.
Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.
Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.
Деформация
Деформация — это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил
Происходит деформация из-за различных факторов: при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела.
Деформация является деформацией, пока сила, вызывающая эту деформацию, не приведет к разрушению.
На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преимущественно перпендикулярно (нормально) приложенной силой, а другие — преимущественно с силой, приложенной по касательной.
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
Сила упругости: Закон Гука
Деформацию тоже можно назвать упругой (при которой тело стремится вернуть свою форму и размер в изначальное состояние) и неупругой (когда тело не стремится вернуться в исходное состояние).
При деформации возникает сила упругости— это та сила, которая стремится вернуть тело в исходное состояние, в котором оно было до деформации.
Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела, пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела. Выражение, описывающее эту закономерность, называется законом Гука.
Закон Гука
Fупр = kx
Fупр — сила упругости [Н]
k — коэффициент жесткости [Н/м]
х — изменение длины (деформация) [м]
Изменение длины может обозначаться по-разному в различных источниках. Варианты обозначений: x, ∆x, ∆l.
Это равноценные обозначения — можно использовать любое удобное.
Поскольку сила упругости направлена против направления силы, с которой это тело деформируется (она же стремится все «распрямить»), в Законе Гука должен быть знак минус. Часто его и можно встретить в разных учебниках. Но поскольку мы учитываем направление этой силы при решении задач, знак минус можно не ставить.
Задачка
На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при поднятии вверх рыбы весом 300 г?
Решение:
Сначала определим силу, которая возникает, когда мы что-то поднимаем. Это, конечно, сила тяжести. Не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах.
Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен :
Тогда из Закона Гука выразим модуль удлинения лески:
Выражаем модуль удлинения:
Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в Ньютонах:
x=3/(0,3 * 1000)=0,01 м = 1 см
Ответ: удлинение лески равно 1 см.
Параллельное и последовательное соединение пружин
В Законе Гука есть такая величина, как коэффициент жесткости— это характеристика тела, которая показывает его способность сопротивляться деформации. Чем больше коэффициент жесткости, тем больше эта способность, а как следствие из Закона Гука — и сила упругости.
Чаще всего эта характеристика используется для описания жесткости пружины. Но если мы соединим несколько пружин, то их суммарная жесткость нужно будет рассчитать. Разберемся, каким же образом.
Последовательное соединение системы пружин
Последовательное соединение характерно наличием одной точки соединения пружин.
При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:
Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин
1/k = 1/k₁ + 1/k₂ + … + 1/k_i
k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе [-]
Параллельное соединение системы пружин
Последовательное соединение характерно наличием двух точек соединения пружин.
В случае когда пружины соединены параллельно величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:
Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин
k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе [-]
Задачка
Какова жесткость системы из двух пружин, жесткости которых k₁ = 100 Н/м, k₂ = 200 Н/м, соединенных: а) параллельно; б) последовательно?
Решение:
а) Рассмотрим параллельное соединение пружин.
При параллельном соединении пружин общая жесткость
k = k₁ + k₂ = 100 + 200 = 300 Н/м
б) Рассмотрим последовательное соединение пружин.
При последовательном соединении общая жесткость двух пружин
1/k = 1/100 + 1/200 = 0,01 + 0,005 = 0,015
k = 1000/15 = 200/3 ≃ 66,7 Н/м
График зависимости силы упругости от жесткости
Закон Гука можно представить в виде графика. Это график зависимости силы упругости от изменения длины и по нему очень удобно можно рассчитать коэффициент жесткости. Давай рассмотрим на примере задач.
Задачка 1
Определите по графику коэффициент жесткости тела.
Решение:
Из Закона Гука выразим коэффициент жесткости тела:
Снимем значения с графика. Важно выбрать одну точку на графике и записать для нее значения обеих величин.
Например, возьмем вот эту точку.
В ней удлинение равно 2 см, а сила упругости 2 Н.
Переведем сантиметры в метры: 2 см = 0,02 м И подставим в формулу: k = F/x = 2/0,02 = 100 Н/м
Ответ:жесткость пружины равна 100 Н/м
Задачка 2
На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной (1) и медной (2) проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.
Решение:
Возьмем точки на графиках, у которых будет одинаковая сила, но разное удлинение.
Мы видим, что при одинаковой силе удлинение 2 проволоки (медной) больше, чем 1 (стальной). Если выразить из Закона Гука жесткость, то можно увидеть, что она обратно пропорциональна удлинению.
Значит жесткость стальной проволоки больше.
Ответ: жесткость стальной проволоки больше медной.
Закон Гука
Представьте, что вы взялись за один конец упругой пружины, другой конец которой закреплен неподвижно, и принялись ее растягивать или сжимать. Чем больше вы сдавливаете пружину или растягиваете ее, тем сильнее она этому сопротивляется. Именно по такому принципу устроены любые пружинные весы — будь то безмен (в нем пружина растягивается) или платформенные пружинные весы (пружина сжимается). В любом случае пружина противодействует деформации под воздействием веса груза, и сила гравитационного притяжения взвешиваемой массы к Земле уравновешивается силой упругости пружины. Благодаря этому мы можем измерять массу взвешиваемого объекта по отклонению конца пружины от ее нормального положения.
Первое по-настоящему научное исследование процесса упругого растяжения и сжатия вещества предпринял Роберт Гук. Первоначально в своем опыте он использовал даже не пружину, а струну, измеряя, насколько она удлиняется под воздействием различных сил, приложенных к одному ее концу, в то время как другой конец жестко закреплен. Ему удалось выяснить, что до определенного предела струна растягивается строго пропорционально величине приложенной силы, пока не достигает предела упругого растяжения (эластичности) и не начинает подвергаться необратимой нелинейной деформации (см. ниже). В виде уравнения закон Гука записывается в следующей форме:
где F — сила упругого сопротивления струны, x — линейное растяжение или сжатие, а k — так называемый коэффициент упругости. Чем выше k, тем жестче струна и тем тяжелее она поддается растяжению или сжатию. Знак минус в формуле указывает на то, что струна противодействует деформации: при растяжении стремится укоротиться, а при сжатии — распрямиться.
Закон Гука лег в основу раздела механики, который называется теорией упругости. Выяснилось, что он имеет гораздо более широкие применения, поскольку атомы в твердом теле ведут себя так, будто соединены между собой струнами, то есть упруго закреплены в объемной кристаллической решетке. Таким образом, при незначительной упругой деформации эластичного материала действующие силы также описываются законом Гука, но в несколько более сложной форме. В теории упругости закон Гука принимает следующий вид:
где σ — механическое напряжение (удельная сила, приложенная к поперечной площади сечения тела), η — относительное удлинение или сжатие струны, а Е — так называемый модуль Юнга, или модуль упругости, играющий ту же роль, что коэффициент упругости k. Он зависит от свойств материала и определяет, насколько растянется или сожмется тело при упругой деформации под воздействием единичного механического напряжения.
Конечно, закон Гука даже в усовершенствованной Юнгом форме не описывает всего, что происходит с твердым веществом под воздействием внешних сил. Представьте себе резиновую ленту. Если растянуть ее не слишком сильно, со стороны резиновой ленты возникнет возвратная сила упругого натяжения, и как только вы ее отпустите, она тут же соберется и примет прежнюю форму. Если растягивать резиновую ленту и дальше, то рано или поздно она утратит свою эластичность, и вы почувствуете, что сила сопротивления растяжению ослабла. Значит, вы перешли так называемый предел эластичности материала. Если тянуть резину и дальше, через какое-то время она вообще порвется, и сопротивление исчезнет полностью — это вы перешли через так называемую точку разрыва.
Иными словами, закон Гука действует только при относительно небольших сжатиях или растяжениях. Пока вещество сохраняет свои упругие свойства, силы деформации прямо пропорциональны ее величине, и вы имеете дело с линейной системой — каждому равному приращению приложенной силы соответствует равное приращение деформации. Стоит перетянуть резину за предел эластичности, и межатомные связи-пружины внутри вещества сначала ослабевают, а затем рвутся — и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее. В таком случае принято говорить, что система стала нелинейной. Сегодня исследование нелинейных систем и процессов является одним из основных направлений развития физики.
Английский физик. Родился во Фрешуотере (Freshwater) на острове Уайт в семье священника, окончил Оксфордский университет. Еще учась в университете, работал ассистентом в лаборатории Роберта Бойля, помогая последнему строить вакуумный насос для установки, на которой был открыт закон Бойля—Мариотта. Будучи современником Исаака Ньютона, вместе с ним активно участвовал в работе Королевского общества, а в 1677 году занял там пост ученого секретаря. Как и многие другие ученые того времени, Роберт Гук интересовался самыми разными областями естественных наук и внес вклад в развитие многих из них. В своей монографии «Микрография» (Micrographia) он опубликовал множество зарисовок микроскопического строения живых тканей и других биологических образцов и впервые ввел современное понятие «живая клетка». В геологии он первым осознал важность геологических пластов и первым в истории занялся научным изучением природных катаклизмов (см. Униформизм). Он же одним из первых высказал гипотезу, что сила гравитационного притяжения между телами убывает пропорционально квадрату расстояния между ними, а это ключевой компонент Закона всемирного тяготения Ньютона, и двое соотечественников и современников так до конца жизни и оспаривали друг у друга право называться его первооткрывателем. Наконец, Гук разработал и собственноручно построил целый ряд важных научно-измерительных приборов — и многие склонны видеть в этом его главный вклад в развитие науки. Он, в частности, первым додумался помещать перекрестье из двух тонких нитей в окуляр микроскопа, первым предложил принять температуру замерзания воды за ноль температурной шкалы, а также изобрел универсальный шарнир (карданное сочленение).
Закон гука в тензорной форме
В классической линейной теории упругости предполагается, что сами смещгния и их градиенты настолько малы, что можно не делать различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями. В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор перемещения 
может быть записано в следующих эквивалентных формах:
В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформирование, если специально не оговаривается противное.
Для линейного упругого тела определяющие уравнения связывают тензор напряжений и тензор деформаций соотношением
которое называется обобщенным законом Гука. Коэффициенты этого соотношения образуют тензор упругих констант 
который имеет 81 компоненту. Однако вследствие симметрии обоих тензоров — и напряжений и деформаций — различных упругих констант имеется не более 36. При записи закона Гука через эти 36 коэффициентов двойные индексы у компонент тензоров напряжений и деформаций часто заменяют одинарными индексами, которые меняются от 1 до 6. В таких обозначениях
Закон Гука можно записать в виде
где 36 упругих констант обозначены теперь 
а заглавные латинские буквы использованы в качестве индексов для того, чтобы подчеркнуть, что эти индексы меняются от 1 до 6.
Если пренебречь тепловыми эффектами, то уравнение (5.32) примет вид
Внутренняя энергия в этом случае оказывается чисто механической величиной, которая называется энергией деформации (на единицу массы). Из уравнения (6.6) следует, что
Если и считать функцией девяти компонент деформации и — и 
то дифференциал ее равен
Сравнивая (6.7) и (6.8), замечаем, что
Введем функцию и, такую, что
она называется плотностью энергии деформации (на единицу объема). В теории малых деформаций 
в (6.10) можно считать постоянной, поэтому функция и обладает следующим свойством:
Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться
в нуль одновременно с деформациями, простейшим видом выражения энергии деформации, обеспечивающим линейную связь между напряжениями и деформациями, является квадратичная форма
Принимая во внимание закон Гука (6.2), это выражение можно записать так:
В обозначениях с одним индексом квадратичная форма (6.12) имеет вид
причем 
Если функция энергии деформации существует, то вследствие симметрии 
число независимых упругих констант будет не более 21.
Закон Гука
Резюме
Закон Гука для пружин
который можно переписать:
Уравнение движения частицы под действием силы Гука в размерности 1
Дифференциальное уравнение, которое переводит действие силы Гука на частицу, можно записать:
Напряжение и модуль Юнга
Тогда закон Гука выражается в форме:
Этот закон действителен для растяжения или сжатия детали, при этом остальные размеры могут увеличиваться.
Обобщенный закон Гука
Общий случай
или, применяя соглашение Эйнштейна о суммировании (неявное суммирование по повторяющимся индексам):
σ i j = C i j k l ε k l <\displaystyle \sigma _
Наличие этих соотношений снижает количество независимых коэффициентов до 21. Это максимальное количество, действительное для кристаллических решеток без симметрии, отличной от симметрии трансляции ( триклинная ретикулярная система ).
( σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ) = ( C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1113 C 1112 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2213 C 2212 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3313 C 3312 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2313 C 2312 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1313 C 1312 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1213 C 1212 ) ( ε 11 ε 22 ε 33 ε 23 ε 13 ε 12 ) <\displaystyle <\begin
где матрица 6 × 6 симметрична: верхняя треугольная матрица включает 21 независимый коэффициент, остальные 15 членов симметричны относительно диагонали.
( σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ) = ( C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ) ( ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ) <\displaystyle <\begin
Изотропный материал
Общий случай
σ i j = E 1 + ν ( ε i j + ν 1 − 2 ν ε k k δ i j ) <\displaystyle \sigma _
Мы также можем записать закон в матричной форме:
σ = E 1 + ν ( ε + ν 1 − 2 ν T r ( ε ) I ) <\displaystyle <\boldsymbol <\sigma >>= <\frac <\mathrm Вышеупомянутые отношения можно перевернуть, чтобы получить: ε i j = 1 E [ ( 1 + ν ) σ i j − ν σ k k δ i j ] <\displaystyle \varepsilon _ или в матричной форме (применяя трассировку к соотношению выше): ε = 1 E ( ( 1 + ν ) σ − ν T r ( σ ) I ) <\displaystyle <\boldsymbol <\varepsilon >>=<\frac <1> <\mathrm Очень простая явная форма этих соотношений (с указанием деформаций в соответствии с напряжениями) Рассматривая тонкую пластину, мы предполагаем, что: и (остальная часть матрицы состоит из 0). σ x x = σ y y <\displaystyle \sigma _ Взяв предыдущую формулу: и применив ее к вычислению, мы получим: (примечание: это вычисление одинаково хорошо применимо к индексам и путем перестановки). ε i j = 1 E [ ( 1 + ν ) σ i j − ν σ k k δ i j ] <\displaystyle \varepsilon _ Важны два аспекта закона: Эти два аспекта не идентичны, линейность выражает, что удлинение пропорционально силе, в то время как упругость выражает, что этот эффект обратим и позволяет вернуться в исходное состояние, как пружина, подверженная слабым силам. У упругости есть предел, который не зависит от понятия линейности. Гук рассматривал только упругую и линейную фазы, следовательно, пропорциональную и обратимую. Линейность проистекает из того факта, что, помещая себя в случай слабых деформаций, можно сделать линейную аппроксимацию реального закона ( развитие ограничено первым порядком). Фактически речь идет о приближении к межатомному потенциалу по параболе (см. Статью « Упругая деформация» ). В случае детали сложной формы глобальный закон деформации не имеет оснований быть линейным. Однако каждый бесконечно малый элемент материи деформируется линейно. Этот конституционный закон был сформулирован Робертом Гук в латыни : что означает «такое-то удлинение, такая-то сила» или, говоря современным языком, «удлинение пропорционально силе». Гук хотел получить теорию пружин, подвергая их последовательно возрастающей силе.\left(<\boldsymbol <\varepsilon >>\right)\mathbf \right)> .(<\boldsymbol <\sigma >>)\mathbf \right)> Тарелка
σ z z = 0 <\displaystyle \sigma _ε x x <\displaystyle \varepsilon _ε x x = 1 E [ σ x x − ν ( σ y y + σ z z ) ] <\displaystyle \varepsilon _ε y y <\displaystyle \varepsilon _ε z z <\displaystyle \varepsilon _Свойства и обоснование
Аналогичный закон для сдвига
История