закон ома в матричной форме

Закон ома в матричной форме

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

закон ома в матричной форме

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Подставив (2) в (1), получим:

закон ома в матричной форме.(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

закон ома в матричной форме

где Z – диагональная квадратная (размерностью матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

закон ома в матричной форме ,(5)
закон ома в матричной форме ,(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

закон ома в матричной форме (9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

В развернутой форме (12) можно записать, как:

закон ома в матричной форме,(13)

закон ома в матричной форме

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

закон ома в матричной форме

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

Bзакон ома в матричной форме

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Zзакон ома в матричной форме

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZB T закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

Матрицы ЭДС и токов источников

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме
закон ома в матричной форме закон ома в матричной форме

Тогда матрица контурных ЭДС

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

Выражение (16) перепишем, как:

Тогда получаем матричное уравнение вида:

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

закон ома в матричной форме(22)

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

закон ома в матричной форме(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

А закон ома в матричной форме

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Yзакон ома в матричной форме

Матрица узловых проводимостей

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Матрицы токов и ЭДС источников

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме
закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Таким образом, окончательно получаем:

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Контрольные вопросы и задачи

закон ома в матричной форме

Источник

Трансформаторные подстанции высочайшего качества

с нами приходит энергия

develop@websor.ru

Уравнения цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединений А и матрицей контуров В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие режим цепи, в матричной форме, при этом получаются и выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1.39), и матрицы контурных сопротивлений (1.53).
Запишем еще раз в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа (1.26) и (1.27):

AI = 0; BU = 0, (1.58)

где I — матрица-столбец токов ветвей; U — матрица-столбец напряжений между концами ветвей.
Подставив (1.57) в (1.58), получим

закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме
Это выражение справедливо при всех значениях закон ома в матричной форме, поэтому закон ома в матричной формедля любой заданной электрической цепи.
Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщенной ветви — двухполюсника общего вида (рис. 1.25). Для такой ветви I’ = I + J и U = rI’ — Е, откуда следует, что

Это так называемые компонентные уравнения (связывают напряжение и ток ветви).
В матричной форме для всех ветвей схемы вместо (1.60) и (1.61) получим обобщенный закон Ома

где g — диагональная матрица проводимостей ветвей; r — диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Уравнения Кирхгофа (1.58) — топологические уравнения — вместе с компонентными уравнениями (1.62) или (1.63) составляют полную систему уравнений линейной электрической цепи в матричной форме.
Для получения узловых уравнений в матричной форме умножим (1.62) на матрицу А

AI = AgU + AgE — AJ = 0

и после замены по (1.40) закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

где закон ома в матричной форме-квадратная матрица узловых проводимостей; закон ома в матричной форме— матрица-столбец узловых токов, т.е. (1.64) совпадает с (1.38).
Для получения контурных уравнений в матричной форме умножим (1.63) на матрицу В

и так как BU = 0 (второй закон Кирхгофа) и закон ома в матричной форме(1.57), то

закон ома в матричной форме

Источник

3.4. Матричная форма записи законов Ома и Кирхгофа

закон ома в матричной форме

Сначала введем понятие обобщенной ветви (рис. 3.3).Для нее можно записать по первому закону Кирхгофа

закон ома в матричной форме(3.6)

И по обобщенному закону Ома

закон ома в матричной форме(3.7)

закон ома в матричной форме(3.8)

Или для тока через проводимость ветви закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме(3.9)

Закон Ома в матричной форме

закон ома в матричной форме(3.10)

закон ома в матричной форме(3.11)

где U и I – столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы, а

закон ома в матричной формеи закон ома в матричной формепричемk равно числу ветвей схемы.

Например, для схемы рис. 3.1

закон ома в матричной формеа закон ома в матричной форме

Обобщенный закон Ома в матричной форме, исходя из (3.7), получим в виде

закон ома в матричной форме

где U в  и I в  – столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы.

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Вводится понятие узловой матрицы [А].

Узловая матрица – это прямоугольная матрица, строки которой соответствуют узлам, а столбцы – ветвям направленного графа схемы.

Число строк матрицы равно числу независимых узлов. Элементы матрицы а ij, где (i – номер строки, j – номер столбца, принимают значения 1, – 1 или 0.

Элементы а ij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от него.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2

закон ома в матричной форме(3.13)

С помощью матрицы [А] запишем первый закон Кирхгофа с учетом (3.6)

закон ома в матричной форме(3.14)

закон ома в матричной форме(3.15)

где [J] – столбцовая матрица источников тока, число строк которой совпадает с числом ветвей схемы.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2

закон ома в матричной форме(3.16)

С помощью матрицы В запишем второй закон Кирхгофа с учетом (3.12)

закон ома в матричной форме(3.17)

закон ома в матричной форме(3.18)

3.5. Матричная форма записи метода контурных токов

закон ома в матричной форме(3.19)

закон ома в матричной форме(3.20)

закон ома в матричной форме(3.21)

Можно показать, что с помощью транспонированной контурной матрицы [В] Т токи ветвей схемы [/ в ] могут быть выражены через матрицу контурных токов [/ к ]

закон ома в матричной форме(3.22)

где [/ к ]–столбцовая матрица контурных токов. Тогда выражение (3.21) примет вид

закон ома в матричной форме(3.23)

или в более компактной форме

закон ома в матричной форме(3.24)

закон ома в матричной форме–матрица контурных сопротивлений; закон ома в матричной форме– матрица контурных ЭДС.

Матрицы уравнения (3.23) более просты для составления, поэтому уравнением (3.23) пользуются при решении на ЭВМ.

После решения уравнения (3.23) относительно контурных токов схемы решают последовательно уравнение (3.22) относительно токов ветвей и (3.19) относительно токов в резисторах.

Пример 3.1. В схеме рис. 3.1 определить токи в резисторах методом контурных токов, если

1. Запишем матрицы для решения уравнения (3.23), исходя из графа схемы (рис. 3.2). Римскими цифрами I и II обозначены контуры. Указаны направления обхода контуров.

Контурная матрица закон ома в матричной форме

Диагональная матрица сопротивлений ветвей закон ома в матричной форме

Транспонированная контурная матрица закон ома в матричной форме

контурных токов закон ома в матричной форме

ЭДС ветвей закон ома в матричной форме

токов источников токов закон ома в матричной форме

2. Перемножаем матрицы [В] и [R в ] закон ома в матричной форме

3. Получаем матрицу контурных сопротивлений

закон ома в матричной форме

R ik – собственные и взаимные сопротивления контуров.

4. Запишем матрицу контурных ЭДС, воспользовавшись ранее найденным произведением матриц [В] на [R B ]

закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

Обратная матрица закон ома в матричной форме

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Отсюда закон ома в матричной форме

6. Определим контурные токи закон ома в матричной формеСледовательно

7. Определим токи в ветвях схемы. Решаем уравнение (3.22)

закон ома в матричной форме

8. Определим токи в резисторах (3.19) закон ома в матричной форме

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Закон Ома в матричном виде

закон ома в матричной форме закон ома в матричной форме закон ома в матричной форме закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

закон ома в матричной форме

U в r=R в *I в

I в =G в U в r

Обобщенная ветвь электрической цепи (Закон Ома для обобщенной ветви)

закон ома в матричной формеUrk=i*rk*rk

Найдем зависимость напряжения и тока

Напишем то же для напряжения:

Запишем в матричной форме:

E в =закон ома в матричной форме закон ома в матричной формеJ в =закон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

Уравнение Кирхгофа в матричной форме: A*I в =0

B*U в =0 U в = Ur- E в

Соберем все эти уравнения в одно:

закон ома в матричной формезакон ома в матричной формезакон ома в матричной формезакон ома в матричной формезакон ома в матричной формезакон ома в матричной форме

B* R в 0 B E в

B* R в 0 B E в

î_____ ______þ

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *