интегральная форма уравнений электростатики

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вы будете перенаправлены на Автор24

Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.

В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:

Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.

Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

Готовые работы на аналогичную тему

Уравнения Максвелла в интегральной форме

По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:

Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:

Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:

Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.

Решение:

По определению, плотность тока смещения можно записать как:

Используя одно из уравнений системы Максвелла:

найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:

Решение:

В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:

Источник

Уравнения максвелла в интегральной форме, с примерами

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.

Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.

Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).

Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.

Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света

Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

Из выражения для магнитного потока следует

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

По теореме Стокса в векторном анализе

где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.

Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).

В диэлектрике вектор электрического смещения равен

где – плотность тока смещения в вакууме, а – плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

Для областей поля, где нет макротоков

Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей

В интегральной форме эти уравнения имеют вид

По теореме Гаусса из векторного анализа

В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где – объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.

Для стационарных электрического и магнитного полей

Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить «материальными уравнениями«, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды

Введение. Принято считать, что токи смещения входят в правую часть уравнений Максвелла [1] совершенно равноправно с токами переноса. Однако «до настоящего времени эти уравнения через токи смещения никто еще не решал, так как решения

В настоящее время в ЦНИИ проводятся разработки по изучению солитонных полей, солитонных каналов связи, а так же изучается воздействие на третий глаз человека излучений от соответствующих генераторов.

Специальная теория относительности (СТО) покоится на двух китах: оптике и механике, и прошла свое развитие от Галилея до Эйнштейна в механике и от Гюйгенса и Максвелла до Эйнштейна в теории света и электродинамике.

Джеймс Клерк Максвелл родился 13 июня 1831г. в Эдинбурге, в семье юриста — обладателя поместья в Шотландии. В мальчике рано проявились любовь к технике и стремление постичь окружающий мир.

В статье предлагается альтернативный подход к решению проблемы единого поля электромагнетизма и гравитации в рамках классической теории Максвелла, вместо общей теории относи– тельности Эйнштейна.

Уравнения Максвелла: дифференциальные формы закона Гаусса для электро и магнитных полей, закона Ампера и закона Фарадея

В статье мы, используя теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса приведем четыре уравнения Максвелла к дифференциальной форме. В конце статьи вы сможете посмотреть видео-лекцию для закрепления информации.

Четыре фундаментальных уравнения электромагнетизма сформулированы Джеймсом Клерком Максвеллом. Они описывают свойства электрического и магнитного полей и отношения между этими полями. Из уравнений Максвелла можно вывести уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме со скоростью света

Первое уравнение Максвелла, дифференциальной формы Фарадея

Закон Фарадея — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) в левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Мы можем оставить правую сторону в законе Фарадея в виде:

Теперь мы можем сравнить оба поверхностных интеграла:

Итак, мы получаем закон Фарадея — дифференциальную форму:

Второе уравнение Максвелла, дифференциальной формы обобщенного закона Ампера

Обобщенный закон Ампера — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) с левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Мы можем представить правую часть в обобщенном законе Ампера как поверхностный интеграл:

С учетом того, что прямой ток I можно выразить плотностью тока j :

записываем правую сторону как один поверхностный интеграл:

Теперь мы сравним оба поверхностных интеграла друг с другом:

Чтобы это уравнение было истинным для каждой поверхности A, независимо от ее размера и формы, подфункции с обеих сторон уравнения должны быть равны.

Таким образом, мы получаем обобщенный закон Ампера — дифференциальную форму :

Третье уравнение Максвелла, дифференциальной формы закона Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса для электрического поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Нагрузка Q также представлена ​​как интеграл объема от плотности заряда ρ :

Из равенства обоих интегралов объема:

получаем закон Гаусса для электрического поля — дифференциальную форму:

Четвертое уравнение Максвелла,дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для магнитного поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Поскольку на основе закона Гаусса для магнитного поля оба этих интеграла равны нулю, то подфункции также равны нулю, поэтому мы сразу получаем закон Гаусса для магнитного поля — дифференциальную форму:

Финальный вывод уравнений Максвелла

Видео-лекция

В данном видео подробно разберем уравнения Максвелла.

Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме

4.
Граничные условия.Уравнения Максвелла в интегральной форме. Граничные
условия.

4.1.
Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные
условия. Дифференциальные системы
уравнений Максвелла для материальных сплошных средв четырех,
приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в
областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций.

На поверхностях
разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо
иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные
стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на
фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности.

В линейных задачах
разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности),
разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает
из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля
будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной
переходной областью.

Однако это приводит к большому усложнению решения задачи.
По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы
раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям
Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. Переход от
дифференциальных уравнений к уравнениям в интегральной форме неоднозначен.

«Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде
законов сохранения. По сути, это первичные постулаты электродинамики сплошных
сред (в рамках теории сплошной среды они ни откуда не выводятся). Из этих
уравнений и получаются граничные условия.

Отметим, что предельный переход от
неоднородной переходной области к резкой границе раздела сред, дает те же граничные
условия, что и уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. Это
является дополнительным аргументом правильности граничных условий, получаемых
из уравнений в интегральной форме.

Связь
уравнения (4.1) с известным нам дифференциальным уравнением

Это
условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора
магнитной индукции.

Получим
теперь граничное условие для вектора электрической индукции

можно
прейти к первичной интегральной форме следующим способом: проинтегрируем (4.3)
по объему

С
учетом формулы Гаусса-Остроградского будем иметь первичную интегральную форму

Не
следует воспринимать приведенные рассуждения, как вывод уравнения (4.4) из
(4.3). На самом деле первичным является уравнение (4.4). Более того: уравнение
(4.4) это постулат.

получим
из (4.7), (4.8) два граничные условия

где- произвольное касательное к границе
раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить
граничное условие (4.10) в векторной форме

где
— вектор плотности поверхностного тока
проводимости.

Уравнения Максвелла

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражениеЗакон Гаусса

Закон индукции Фарадея

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Материальные уравнения — Джеймс Максвелл. Уравнения электромагнитного поля

где введены безразмерные константы: — диэлектрическая восприимчивость и — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

СГССИ

где — относительная диэлектрическая проницаемость, — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины (в единицах СИ — Ф/м) и (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

где — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ).

Система уравнений Максвелла в интегральной форме

В основе теории Максвелла, позволившей с единых позиций объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, лежат рассмотренные уже ранее четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным [его циркуляция определяется (77.3) и равна нулю], так и вихревым [его циркуляция

циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электричеасие заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н [см. (78.8)]:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D |см. (20.3)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного,

где Q — алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, то формула (79.3) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В [см. (60.5)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого магнитного поля:

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме включает четыре уравнения: (79.1), (79.2), (79.4) и (79.5):

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнето- электрические и неферромагнитные среды):

Физический смысл уравнений Максвелла: источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, а источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные ноля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Источник

47.Электромагнитное поле. Уравнение Максвелла в интегральной форме.

Введение Максвеллом понятия тока сме­щения привело его к завершению создан­ной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование кото­рых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле (см. § 137) мо­жет быть как потенциальным (e_q), так и вихревым (Е_B), поэтому напряженность суммарного поля Е=Е_Q+Е_B. Так как циркуляция вектора e_q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е_B оп­ределяется выражением (137.2), то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поля

Это уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами (электрическими то­ками), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью , то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак,полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):

где ₀ и ₀ — соответственно электриче­ская и магнитная постоянные,  и  — соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости,  — удельная прово­димость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля мо­гут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные по­ля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими заря­дами (электрическими токами), либо пере­менными электрическими полями. Уравне­ния Максвелла не симметричны относи­тельно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе су­ществуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (Е=const и В=const) уравнения Максвелла при­мут вид

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса можно представитьполную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная

идифференциальная — эквивалентны. Однако когда имеютсяповерхности разры­ва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений являет­ся более общей.

Уравнения Максвелла в дифференци­альной форме предполагают, что все вели­чины в пространстве и времени изменяют­ся непрерывно. Чтобы достичь математи­ческой эквивалентности обеих форм урав­нений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электро­магнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов прово­димости).

Уравнения Максвелла — наиболее об­щие уравнения для электрических и маг­нитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в ме­ханике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда свя­зано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит­ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобщени­ем основных законов электрических и маг­нитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явле­ния. Одним из важных выводов этой тео­рии явилось существование магнитного поля токов смещения (см. § 138), что по­зволило Максвеллу предсказать существо­вание электромагнитных волн — перемен­ного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3•10 8 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвел­ла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857—1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полно­стью описываются уравнениями Максвел­ла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштей­на, так как факт распространения электро­магнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и электромагнитные явления во всех инер­циальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инва­риантны относительно преобразований Ло­ренца: их вид не меняется при переходе

от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D, Н в них преобразуются по определенным прави­лам.

Из принципа относительности вытека­ет, что отдельное рассмотрение электри­ческого и магнитного полей имеет относи­тельный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь непод­вижными относительно одной инерциаль­ной системы отсчета, движутся относи­тельно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвиж­ный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке про­странства постоянное магнитное поле, дви­жется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное маг­нитное поле возбуждает вихревое электри­ческое поле. Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а так­же принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базиру­ющейся на представлении об электромаг­нитном поле.

Источник