исследовать особые точки функции и найти в них вычеты

Исследовать особые точки функции и найти в них вычеты

ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Точка аС z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце < z :0 z – a | r >, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) регулярна в некоторой окрестности < R z | z= и функция

имеет в точке x = 0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f ( z ) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f ( z ) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

в) существенно особой точкой, если

Заметим, что типы особых точек z = функции f ( z ) и x = 0 функции j(x) совпадают, ибо

f ( a )= f ¢ ( a )=…= f ( m-1 ) ( a ) =0,

f (m) ( a ) 0.

При т =1 точка а называется простым нулем функции f ( z ), при m >1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g ( z ) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

, где P ( z ) и Q ( z ) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q ( z ) (и только они) являются полюсами функции f ( z ).

Порядок полюса f ( z ) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q ( z ).

Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f ( z ), регулярной в этой точке, если функция

имеет нуль кратности т в точке x =0.

Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f ( z ), то f ( z ) регулярна в некотором кольце < z : 0 z-a | r >и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,

.

Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f ( z ), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т ³ 1, если главная часть имеет вид

, где с т 0.

3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Разложение функции f ( z ) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид

Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z = , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z = .

Источник

Исследовать особые точки функции и найти в них вычеты

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z—z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Исследовать особые точки функции и найти в них вычеты

Возникли трудности? Посмотри приведенное ниже решение.

Решение . Воспользуемся первой формулой п. 2. из списка основных формул для нахождения вычетов:

.

б) Найти вычеты функции f ( z ) =tgz в ее особых точках.

Решение. Особые точки функции tgz – нули ее знаменателя, т. е. точки

, k =0, ± 1, ± 2, …

есть полюса первого порядка.

.

в) Найти вычет функции в особой точке z =0.

Решение. В точке z =0 имеем

.

Следовательно, точка z =0 есть устранимая особая точка функции f ( z ). Поэтому .

г) Найти вычет функции в точке z =2.

.

д) Найти вычет функции в точке z =0.

.

Следовательно, по теореме

.

е) в бесконечно удаленной точке.

.

Следовательно по теореме

.

Источник

Найти все особые точки функции

Найти все особые точки функции
Пожалуйста помогите решить! очень прошу: задание: Найти все особые точки функции f(z), определить.

Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них
Всем доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, решение данной задачи: «Найти все особые точки.

Найти все особые точки и их вычеты
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задания по ТФКП! 1).

Найти все особые точки и установить их тип
Найти все особые точки и установить их тип f(z)=(z^3+1)/((z+1)*(z+3)^2) Получилось найти особые.

Для функции найти изолированные особые точки
Для функции найти изолированные особые точки,провести их классификацию,вычислить вычеты.

Для функции f(z) найти изолированные особые точки
Для функции f(z) найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты.

Найти особые точки функции f(z) и определить их характер
Найти особые точки функции f(z) и определить их характер Ребят, а как для этой функции.

Исследовать особые точки функции и найти в них вычеты
Всем доброго времени суток! Застрял на таком номере f(z)=\frac <1-cos(z)>первая точка это.

Особые точки заданной функции
Прошу помочь мне только с определением особых точек, так как сам я догадаться не могу. Понимаю, что.

Особые точки функции, вычеты
Найти все особые точки функции, определить их характер и вычислить вычеты в них.

Источник