Как решать показательные уравнения
Как решать показательные уравнения
Показательные уравнения
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?
Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.
Как решать показательные уравнения
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^=a^\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
В этом показательном уравнении переход к \(x+2= 8-x\) невозможен, так как в основаниях разные числа
Здесь переход к \(x+3x=2x\) также невозможен, так как слева стоит сумма.
И в этом случае перейти к \(5-x=7x\) нельзя, ведь справа есть минус.
Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.
Теперь вспомним, что: \(a^<-n>=\frac<1>
Применив свойство \((a^b )^c=a^
И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.
Воспользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^
\(2^x \cdot 2^3+2^x \cdot 2^2-2^x \cdot 2^1=160\)
Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель \(2^x\) …
…и вычисляем содержимое в скобке.
Делим на \(10\) обе части уравнения…
…и дорешиваем до ответа.
Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^
Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\).
Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\).
Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.
Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…
…и дорешиваем до ответа.
Показательные уравнения, не имеющие решений
Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
— положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\);
— положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\).
И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет \(x=0\)? Проверяем:
Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^<-n>=\frac<1>
Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:
Положительное число в любой степени останется положительным числом.
Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.
Показательные уравнения с разными основаниями
В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^
Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^
Дальше решаем с помощью свойств степени.
Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов ). А значит мы не можем прийти к виду \(a^
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^
Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.
Вуаля! Избавляемся от оснований.
Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.
Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.
Что такое показательное уравнение и как его решать
20 декабря 2016
Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.
Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:
Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.
Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.
Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.
Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.
Посмотрим на следующее уравнение:
Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:
Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:
А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:
Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:
Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.
Со всеми остальными мы идём дальше. На очереди третье уравнение:
Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:
Ну а дальше вообще всё стандартно:
И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:
Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.
Как решать показательные уравнения
Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:
И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:
Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):
Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:
Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:
Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:
Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:
При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.
Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?
Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)
Преобразование показательных уравнений
Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:
С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.
Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?
Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:
Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.
Выделение устойчивого выражения
Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:
Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:
Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:
Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.
Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.
Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.
Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:
Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:
Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:
Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:
С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:
Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)
В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:
В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.
Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.
Использование свойства степеней
Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:
Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.
Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.
Начнём с первого уравнения:
Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:
Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.
Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:
Прежде всего, сделаем то, что я рекомендовал ещё в самом начале урока — избавимся от десятичной дроби:
В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.
У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:
Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:
Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:
Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:
Дальше всё просто. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:
Окончательно наше уравнение примет вид:
Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.
Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?
Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.
А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.
В общем, желаю удачной тренировки. И увидимся в следующем уроке — там мы будем разбирать действительно сложные показательные уравнения, где описанных выше способов уже недостаточно. И простой тренировки тоже будет недостаточно.:)
Алгебра
План урока:
Простейшие показательные уравнения а х = b
Его называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2:
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем:
Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2 х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию.
Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным.
Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке.
Сразу отметим, что если в ур-нии вида а х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически:
Решая простейшее показательное уравнение
мы специально представляли правую часть как степень двойки:
После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида
то его единственным решением является х = с.
Задание. Найдите решение показательного уравнения
Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели:
Задание. Найдите корень уравнения
Отсюда получаем, что х = 4.
Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями.
Задание. При каком х справедливо равенство
Решение. Преобразуем число справа:
Теперь ур-ние можно решить:
Задание. Решите ур-ние
Уравнения вида а f( x) = a g ( x)
Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние
Для его решения заменим показатели степеней другими величинами:
Теперь наше ур-ние принимает вид
Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней:
При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания:
В общем случае использованное правило можно сформулировать так:
Задание. Найдите корень ур-ния
Решение. Представим правую часть как степень двойки:
Тогда ур-ние примет вид
Теперь мы имеем право приравнять показатели:
Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие
Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что
С учетом этого можно записать
Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели:
Задание. Укажите корень показательного уравнения
Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми:
Тогда ур-ние примет вид:
Задание. Найдите корень ур-ния
Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями:
С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5 3+х :
Задание. При каких х справедлива запись
Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен:
Теперь множитель 5 х можно вынести за скобки:
Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13.
Задание. Найдите решение уравнения
Решение. Преобразуем левое слагаемое:
Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование
Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки:
Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели:
Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем:
Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям
Рассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике.
Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия:
m0 = 40 миллиграмм;
m(t) = 5 миллиграмм.
В результате мы получим ур-ние
из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40:
Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества.
Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону
а масса второго слитка описывается зависимостью
Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m1 = m2):
Делим обе части на 40:
Основания равны, а потому приравниваем показатели:
Уравнения с заменой переменных
В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:
Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:
Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:
Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:
Задание. Найдите корни ур-ния
Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4 4х+1 :
Так как 1 4х+1 = 1, мы можем записать:
Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4 4х+1 строго положительна при любом х.
Снова получили квадратное ур-ние.
Возвращаемся к переменной х:
И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:
Графическое решение показательных уравнений
Не всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений.
Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство
Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3 х и у = 4 – х:
Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния:
Получили верное равенство, значит, х = 1 – это действительно корень ур-ния.
Задание. Решите графически ур-ние
Решение. Перенесем вправо все слагаемые, кроме 2 х :
Слева стоит показательная функция, а справа – квадратичная. Построим их графики и найдем точки пересечения:
Видно, что у графиков есть две общие точки – это (0;1) и (1; 2). На всякий случай проверим себя, подставив х = 0 и х = 1 в исходное ур-ние:
Ноль подходит. Проверяем единицу:
И единица тоже подошла. В итоге имеем два корня, 0 и 1.
Показательные неравенства
С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во
Представим восьмерку как степень двойки:
По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно:
Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3).
Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее.
Например, пусть надо решить показательное неравенство
Выразим число слева как степень 0,5:
Тогда нер-во примет вид
По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во
В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так:
а его решением будет промежуток (3; + ∞).
В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида
основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом
Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный:
Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило:
Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы.
Задание. Решите простейшее неравенство
Представим число 64 как степень двойки:
теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1):
Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во
Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный:
Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна.
Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков:
Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную.
Задание. Найдите решение нер-ва
Решение. Для начала представим число 3 х+1 как произведение:
Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во:
Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом:
которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева
Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки:
Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть
Теперь произведем обратную замену t = 3 x :
Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его:
Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной.
Методы решения показательных уравнений
Показательные уравнения — определение
Показательными в алгебре называют уравнения с неизвестным, которое записано в показателе степени.
Простейшее показательное уравнение в теории имеет вид:
Пример формулы простейшего показательного уравнения:
При решении показательных уравнений многие математики советуют привести их к следующему виду:
После преобразования необходимо решить уравнение:
Виды показательных уравнений
Существуют разные типы показательных уравнений, как и неравенств. К примеру, самым простым из них является:
Знак перед b определяет количество корней показательного уравнения:
Показательным является уравнение в кратком виде:
В этом случае, неизвестная определяется таким образом:
Показательное уравнение может быть записано таким способом:
Данное уравнение является равносильным следующему уравнению:
Другой вариант записи показательного уравнения:
φ x f x = φ x g x
В этом случае возможны следующие решения:
Записанное показательное уравнение является равносильным совокупности систем:
Существуют показательные уравнения, которые допускается привести к квадратным. Как пример:
A · a 2 x + B · a x + C = 0
В этом случае A отлично от нуля, B и C являются какими-либо числами, a>0 и не равно единице.
В процессе решения подобных показательных уравнений требуется выполнить замену:
При этом t должно быть больше нуля. Получим:
A · a f x 2 + B + C · a f x = 0
A t 2 + C t + B = 0
Следующим видом показательных уравнений являются однородные.
Однородные показательные уравнения первой степени являются такими уравнениями, которые записаны в виде:
Свести подобное уравнение к показательному a f x = b несложно. Достаточно обе части равенства разделить на a f x > 0 (или b f x > 0 ) :
a f x b f x = 1 ⇒ a b f x = 1 ⇒ f x = 0
Однородным показательным уравнением второй степени называют уравнение в виде:
A · a 2 f x + B · a f x · b f x + C · b 2 f x = 0
A · a 2 f x b 2 f x + B · a f x · b f x b 2 f x + C = 0
A · a b 2 f x + B · a b f x + C = 0
A t 2 + B t + C = 0
Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковому основанию
В процессе решения показательных уравнений a x = b обычно b заменяют какой-то степенью числа а. В результате уравниваются основания. Важно правильно определить общий множитель, и решение значительно упроститься.
При идентичных основаниях, но отличающихся показателях степени, умножение чисел предполагает сложение степеней, а в процессе деления степени вычитаются.
Рассмотрим правило на примере решения показательного уравнения, содержащего корень:
Заметим, что для чисел 64 и 8 общим множителем является число 2. Запишем степени:
Подставим полученные значения и преобразуем уравнение:
В результате получилась дробь.
Попробуем решить следующее показательное уравнение. Здесь будет преобразована каждая часть выражения:
Вычислим, каким должно быть общее основание:
В результате получим:
Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковой степени
Не всегда при решении показательных уравнений получается использовать предыдущий метод. В некоторых случаях можно упростить задачу с помощью преобразования показателей степени. Данная методика имеет место лишь в том случае, когда в выражении используются операции умножения или деления.
Умножить числа, которые отличаются основаниями, но имеют идентичные степенные показатели, можно путем умножения лишь оснований. Степень при этом не меняется:
a x b x = ( a b ) x
Потренируемся использовать записанное правило. Решим пример:
В этом случае можно заметить отсутствие общих множителей в обеих частях выражения. Это не позволит найти общее основание и преобразовать уравнение. Тогда поработаем с показателями:
Закрепить принцип решения показательных уравнений с помощью приведения к одинаковой степени можно на следующем примере:
Приведем части уравнения слева и справа к одному показателю степени. С помощью свойства степенных функций преобразуем правую часть:
Примеры решения показательных уравнений
Найти корни уравнения:
Руководствуясь свойствами логарифма, преобразуем выражение:
x = log 5 5 2 = 2 · log 5 5 = 2 · 1 = 2
Заметим, что данное уравнение равносильно системе:
Требуется найти решения уравнения:
В первую очередь преобразуем все части равенства так, чтобы основанием было число 2:
Решим приведенное уравнение:
Найти корни уравнения:
Необходимо решить уравнение:
Здесь необходимо привести выражение к единому основанию:
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
t 1 = 3 + 13 2 · 4 = 16 8 = 2
Если выполнить обратную замену, то получится простейшее показательное уравнение 2 x = 2 :
Найти корни уравнения:
Согласно теореме Виета, решениями такого уравнения являются:
Выполним обратную замену:
Вычислить корни уравнения:
В этом случае целесообразно разделить уравнение, то есть все его части, на 3 x + 1 > 0 :
Требуется решить уравнение:
4 x + 6 x = 2 · 9 x
В этом случае следует перенести все слагаемые в левую часть. Затем можно выполнить тождественные преобразования:
Решения данного уравнения:
Обратная замена даст нам показательное уравнение в простейшем виде:
Показательные уравнения
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь по-сложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\)).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Показательные уравнения, как и любые другие, требуют поиска неизвестной переменной. Особенность в том, что она или выражение с ней находится в показателе степени.
Основные понятия и свойства
В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе.
Она может быть одна или являться частью выражения. Если она появляется в другом месте, приходится иметь дело с уравнениями смешанного типа.
Школьники знакомятся с простыми вычислениями уже в 7 классе, более сложные решают выпускники и студенты вузов. Если фигурирует несколько переменных и представлено больше одного уравнения, говорят об их системе.
Тогда необходимо выразить одну неизвестную через другую и искать результат методом подстановки. Поэтому умение находить значения, в которые возводят натуральные числа, пригодится на долгие годы.
Изучаются также и показательные функции: она может быть восходящей и нисходящей, в зависимости от значения переменной или выражения.
2 x = 4 – показательное уравнение с иксом в степени;
2 x = x + 12 – смешанное, ведь икс находится также и в основании.
2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;
Если вместо знака «=» используются обозначения «>», « 1 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 9 0 = 1.
2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде:
3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р 5 = р·р·р·р·р.
Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат.
Примеры решения показательных уравнений
Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.
Задание 1
Упростить и решить уравнение: 5 3x+14 = 5 7+2x
В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:
Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:
Задание 2
Выполнить вычисление и найти х:
Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:
Задание 3
Упростить и найти значение х:
Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот.
Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем.
В показателе при этом появится знак «минус»:
Далее придется выполнить простое задание, чтобы найти неизвестную переменную:
Задание 4
Вычислить: (3 x ) 2 = 81.
Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:
Задание 5
Решить уравнение: 5 x+1 + 7·5 x-2 = 132.
Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель прежде всего нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:
5 x-2 (5 3 + 7) = 132;
Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:
Далее необходимо вспомнить, что любое значение, возведенное в ноль, равно единице:
Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:
Задание 6
Решить показательное уравнение √4 x = 16.
Квадратный корень можно заменить степенью 1/2. Получается, что 4 имеет показатель x/2.
Значит, уравнение преобразуются в следующее:
А дальше необходимо действовать по уже проверенному и закрепленному методу:
Чтобы быстро решать показательные уравнения, нужно знать свойства степеней и умело ими пользоваться на практике. Это позволит легко находить неизвестные переменные. Полученные знания обязательно пригодятся для вычисления более сложных задач.
Существуют онлайн калькуляторы, позволяющие легко и просто решить степенные уравнения. Требуется просто вписать их в ячейку и немного подождать, пока машина справится с подсчетами. Но гораздо интереснее самому произвести арифметические действия и получить верный результат.
Интернет не всегда есть под рукой, а подобные примеры – основа решения более трудных задач, которые могут встретиться на экзамене ЕГЭ по математике. Например, логарифмических. Они могут содержать тригонометрические элементы и объемные алгебраические конструкции.
Показательные уравнения — 32 примера
Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.
Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.
Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.
Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам! И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера!
Показательные уравнения — коротко о главном
Показательное уравнение:
1\) называется простейшим показательным уравнением.
Свойства степеней:
| Произведение степеней | \( <^ \( <^ |
| Деление степеней | \( \frac<<^ \( \frac<<^ |
| Возведение степени в степень | \( <<\left( <^ |
Подходы к решению:
Что такое показательные уравнения
Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:
Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2
Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:
А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:
Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).
Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:
\( \begin
Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.
Как еще это можно проверить?
А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle <<2>^<4>>=16\).
Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.
И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)
где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.
Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024=<<2>^<10>>\), тогда моя задачка запишется в виде:
\( \displaystyle <<2>^
Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:
И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.
Вот тебе еще один пример:
Но что же делать?
Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).
Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:
откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,
Давай более не будем тянуть и запишем определение:
Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.
1\) называется простейшим показательным уравнением.
В нашем с тобой случае: \( \displaystyle <<1000>^
Решаются эти уравнения сведением их к виду:
\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)
Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,
И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).
Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.
Тренировка на простых примерах
Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.
Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).
Но ничего страшного, ведь \( 81=<<3>^<4>>\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:
Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?
Правило «степени в степени», которое гласит:
Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?
Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:
для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:
поэтому уравнение \( <<2>^
Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:
Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( <<2>^
И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА.
Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( <^<(x)>>>0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).
Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( <<2>^
А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( <^
Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:
Давай сверяться:
1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)
Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac<<<3>^<2x+1>><<3>^<2(x+2)>>><<<3>^<3x>>>=<<3>^<5>>.\)
Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:
При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.
Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:
2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( <<4>^<(3x+1)>>\) и \( <<625>^<(x/2)>>\) в виде степени одного и того же числа.
В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:
Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot <<64>^
Что же нам это дало? А вот что:
Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:
Применительно к моей ситуации это даст:
3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).
Перенесу слагаемое с минусом вправо:
Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:
Сложу степени слева и получу равносильное уравнение
Ты без труда найдешь его корень:
4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!
Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?
Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:
Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!
Решение простейших показательных уравнений
Решение показательных уравнений — это материал 10-11 класса. Какие же уравнения называются показательными?
Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.
Простейшие показательные уравнения
Примеры решения показательных уравнений
Уравнение 1
5 x =125. Представим число 125 в виде степени числа 5:
5 x =5 3 ; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:
Уравнение 2
4 x =32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:
(2 2 ) x =2 5 ; используем формулу возведения степени в степень: (a x ) y =a xy
Уравнение 3
3 2x-1 =81. Число 81 представим в виде степени числа 3:
3 2x-1 =3 4 ; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:
Уравнение 4
К правой части применяем формулу: (a/b) -x =(b/a) x . Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.
Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.
Уравнение 5
Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.
Переносим степень из правой части уравнения в левую.
Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.
Уравнение 6
Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( a x ∙a y =a x+y ), поэтому:
5 x (7-5)=2∙5 3 ; вынесли общий множитель за скобки.
5 x =5 3 ; отсюда следует:
Уравнение 7
3 x+2 +4∙3 x+1 =21. Применим формулу: a x + y =a x ∙a y (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):
3 x ∙3 2 +4∙3 x ∙3 1 =21; вынесем общий множитель за скобки:
3 x =1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.
Уравнение 8
5 1+2x +5 2x+3 =650. Решаем аналогично.
5 1 ∙5 2x +5 2x ∙5 3 =650;
5 2x ∙130=650 |:130
5 2x =5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.
Методы решения показательных уравнений достаточно известны и мы подробно объяснили, как их применять при решении показательных уравнений на примерах.
Как решать показательные уравнения
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений:
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
то вообще отлично получается:
8 х+1 = (2 3 ) х+1 = 2 3(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
Решаем этого монстра и получаем
Это правильный ответ.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да. Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
По тем же правилам действий со степенями:
3 2х+4 = 3 2х ·3 4
Вот и отлично, можно записать:
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать. Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:
Пример становится всё лучше и лучше!
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
Оп-па! Всё и наладилось!
Это окончательный ответ.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Ввели ограничение на значение переменной (действительно, число 2 в любой степени будет числом положительным. Решив уравнение относительно переменной t, отбросим корни, которые не будут соответствовать этому условию)
Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х ) 2 = t 2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
Тут, главное, не останавливаться, как бывает. Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они. Как тут быть? Кто-то, может и растеряется. А вот человек, который прочитал на этом сайте тему «Что такое логарифм?», только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».
Итак, решение самых простых показательных уравнений усвоили. А теперь разберем решение еще некоторых типов уравнений – посложнее.
Запишем левую часть уравнения как дробь в степени и сократим дробь в правой части уравнения. После всех преобразований имеем вот такое простое уравнение:
Теперь имеем право приравнять показатели степени. И получаем самое простое уравнение
Левая часть уравнения равна правой части, основания степеней равны, следовательно, равны и показатели степени
В левой части уравнения поделим степени с основанием 2 (напоминаю, что при делении степени на степень с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, ), а в правой части уравнения сократим дробь. После этих преобразований уравнение вот так будет выглядеть
Правую часть уравнения представим в виде обыкновенной дроби
Получаем уравнение нужного нам вида (слева и справа одинаковые основания в каких-то степенях):
И финал решения – приравниваем показатели степени
Решить показательные уравнения:
Найти произведение корней:
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме. ):
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Пример попроще, для отдыха):
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Степенные или показательные уравнения.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n
3. a n • a m = a n + m
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10•4 х = 2 4
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :
2 2х+4 = 2 2х •2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2 :
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
3 х = 9
3 х = 3 2
х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть 
Каждому значению показательной функции 
соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ: 
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. 
откуда находим 
б) Разделив обе части уравнения на 
получим уравнение 
равносильное данному. Решив его, получим 
Ответ: 
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Обозначим 
тогда 
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим: 
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения 
является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при 
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: 
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду 
. Отсюда 
Пример №1
Решите уравнение 
Решение:
Заметим, что 
и перепишем наше уравнение в виде
Пример №2
Решить уравнение 
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем 
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. 
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение 
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как 
Введем новую переменную: 
Получим уравнение 
которое имеет корни 
Однако корень
не удовлетворяет условию 
Значит, 
Пример №4
Решить уравнение 
Решение:
Разделив обе части уравнения на 
получим:
последнее уравнение запишется так: 
Решая уравнение, найдем 
Значение 
не удовлетворяет условию 
Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение 
Решение:
Заметим что 
Значит 
Перепишем уравнение в виде 
Обозначим 
Получим 
Получим 
Корнями данного уравнения будут 
Следовательно, 
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение 
Решение:
После вынесения за скобку в левой части 
, а в правой 
, получим 
Разделим обе части уравнения на 
получим 
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений: 
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :
Отсюда получим систему 
Очевидно, что последняя система имеет решение 
Пример №8
Решите систему уравнений: 
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: 
Последняя система, в свою очередь, равносильна системе: 
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем 
Подставив полученное значение во второе уравнение, получим 
Пример №9
Решите систему уравнений: 
Решение:
Сделаем замену: 
Тогда наша система примет вид: 
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение 
Тогда получим уравнения 
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть 
. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое 
(читается как «кси»), что 
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности 
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения 
вычисляются значения 
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения 
Решение:
Так как, для нового уравнения 
Значит, в интервале, 
уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при 
не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим 
Для 
проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство 
корень уравнения принадлежит интервалу
Пусть
Если 
приближенный
корень уравнения с точностью 
. Если 
то корень лежит в интервале 
если 
то корень лежит в интервале 
. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения 
с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что 
заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если 
Пусть 
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Решение показательных уравнений. Основы.
Что такое показательное уравнение? Примеры.
Итак, показательное уравнение… Новый уникальный экспонат на нашей общей выставке самых разнообразных уравнений!) Как это почти всегда бывает, ключевым словом любого нового математического термина является соответствующее прилагательное, которое его характеризует. Так и тут. Ключевым словом в термине «показательное уравнение» является слово «показательное». Что оно означает? Это слово означает, что неизвестное (икс) находится в показателях каких-либо степеней. И только там! Это крайне важно.
Например, такие простые уравнения:
5 x + 5 x +2 = 130
Или даже такие монстры:
И так далее, и тому подобное…
Прошу сразу обратить внимание на одну важную вещь: в основаниях степеней (снизу) — только числа. А вот в показателях степеней (сверху) — самые разнообразные выражения с иксом. Совершенно любые.) Всё от конкретного уравнения зависит. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь ещё, помимо показателя (скажем, 3 x = 18+x 2 ), то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Поэтому в данном уроке мы их рассматривать не будем. На радость ученикам.) Здесь мы будем рассматривать только показательные уравнения в «чистом» виде.
Уровень 0. Что такое простейшее показательное уравнение? Решение простейших показательных уравнений.
Для начала рассмотрим какую-нибудь откровенную элементарщину. С чего-то же надо начинать, верно? Например, такое уравнение:
Даже безо всяких теорий, по простой логике и здравому смыслу ясно, что х = 2. Иначе же никак, верно? Никакое другое значение икса не годится… А теперь обратим наш взор на запись решения этого крутого показательного уравнения:
Что же у нас произошло? А произошло следующее. Мы, фактически, взяли и… просто выкинули одинаковые основания (двойки)! Совсем выкинули. И, что радует, попали в яблочко!
Да, действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, то эти числа можно отбросить и просто приравнять показатели степеней. Математика разрешает.) И дальше можно работать уже отдельно с показателями и решать куда более простое уравнение. Здорово, правда?
Вот и ключевая идея решения любого (да-да, именно любого!) показательного уравнения: с помощью тождественных преобразований необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания в различных степенях. А дальше можно смело убрать одинаковые основания и приравнять показатели степеней. И работать с более простым уравнением.
А теперь запоминаем железное правило: убирать одинаковые основания можно тогда и только тогда, когда в уравнении слева и справа числа-основания стоят в гордом одиночестве.
Что значит, в гордом одиночестве? Это значит, безо всяких соседей и коэффициентов. Поясняю.
Например, в уравнении
То же самое можно сказать и про уравнение
5 3 x = 5 2 x +5 x
Здесь тоже все основания одинаковые — пятёрка. Но справа у нас не одинокая степень пятёрки: там — сумма степеней!
Короче говоря, убирать одинаковые основания мы имеем право лишь тогда, когда наше показательное уравнение выглядит так и только так:
a f ( x ) = a g ( x )
Такой вид показательного уравнения называют простейшим. Или, по-научному, каноническим. И какое бы накрученное уравнение перед нами ни было, мы его, так или иначе, будем сводить именно к такому простейшему (каноническому) виду. Или, в некоторых случаях, к совокупности уравнений такого вида. Тогда наше простейшее уравнение можно в общем виде переписать вот так:
И всё. Это будет эквивалентным преобразованием. При этом в качестве f(x) и g(x) могут стоять совершенно любые выражения с иксом. Какие угодно.
Объяснять подробно этот момент сейчас — это лишь выносить мозг среднестатистическому школьнику и отпугивать его раньше времени сухой и грузной теорией. Я этого делать не буду.) Ибо наша основная на данный момент задача — научиться решать показательные уравнения! Самые-самые простые! Посему — пока не паримся и смело выкидываем одинаковые основания. Это можно, поверьте мне на слово!) А дальше уже решаем эквивалентное уравнение f(x) = g(x). Как правило, более простое, чем исходное показательное.
Я уж молчу про иррациональные, тригонометрические и прочие зверские уравнения, которые также могут всплыть в процессе ликвидации оснований. Но не пугайтесь, откровенную жесть в показателях степеней мы с вами пока рассматривать не будем: рано ещё. Будем тренироваться лишь на самых простых уравнениях.)
Теперь рассмотрим уравнения, которые требуют некоторых дополнительных усилий для сведения их к простейшим. Для отличия назовём их простыми показательными уравнениями. Итак, двигаемся на следующий уровень!
Уровень 1. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Натуральные показатели.
Но одних только действий со степенями и тождественных преобразований мало. Необходима ещё личная наблюдательность и смекалка. Нам ведь требуются одинаковые основания, не так ли? Вот и осматриваем пример и ищем их в явном или замаскированном виде!
Например, такое уравнение:
3 2 x — 27 x +2 = 0
Первый взгляд на основания. Они… разные! Тройка и двадцать семь. Но паниковать и впадать в отчаяние рано. Самое время вспомнить, что
Числа 3 и 27 — родственнички по степени! Причём близкие.) Стало быть, имеем полное право записать:
27 x +2 = (3 3 ) x+2
А вот теперь подключаем наши знания о действиях со степенями (а я предупреждал!). Есть там такая очень полезная формулка:
Если теперь запустить её в ход, то вообще отлично получается:
27 x +2 = (3 3 ) x+2 = 3 3( x +2)
Исходный пример теперь выглядит вот так:
3 2 x — 3 3( x +2) = 0
Отлично, основания степеней выровнялись. Чего мы и добивались. Полдела сделано.) А вот теперь запускаем в ход базовое тождественное преобразование — переносим 3 3( x +2) вправо. Элементарных действий математики никто не отменял, да.) Получаем:
Решаем это линейное уравнение и получаем:
Вот и все дела. Это правильный ответ.)
А теперь осмысливаем ход решения. Что нас спасло в этом примере? Нас спасло знание степеней тройки. Как именно? Мы опознали в числе 27 зашифрованную тройку! Этот приёмчик (шифровка одного и того же основания под разными числами) — один из самых популярных в показательных уравнениях! Если только не самый популярный. Да и в логарифмах тоже, кстати. Именно поэтому в показательных уравнениях так важна наблюдательность и умение распознавать в числах степени других чисел!
Степени популярных чисел надо знать. В лицо!
Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Ответы (вразброс, естественно):
А теперь движемся дальше.)
Уровень 2. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Отрицательные и дробные показатели.
На этом уровне мы уже используем наши знания о степенях на полную катушку. А именно — вовлекаем в сей увлекательный процесс отрицательные и дробные показатели! Да-да! Нам же надо наращивать мощь, верно?
Например, такое страшное уравнение:
Опять первый взгляд — на основания. Основания — разные! Причём на этот раз даже отдалённо не похожие друг на друга! 5 и 0,04… А для ликвидации оснований нужны одинаковые… Что же делать?
Ничего страшного! На самом деле всё то же самое, просто связь между пятёркой и 0,04 визуально просматривается плохо. Как выкрутимся? А перейдём-ка в числе 0,04 к обычной дроби! А там, глядишь, всё и образуется.)
Ух ты! Оказывается, 0,04 — это 1/25! Ну кто бы мог подумать!)
Ну как? Теперь связь между числами 5 и 1/25 легче углядеть? Вот то-то и оно…
А теперь уже по правилам действий со степенями с отрицательным показателем можно твёрдой рукой записать:
Опять же, по правилам действий со степенями, теперь можно записать:
На всякий случай, напоминаю (вдруг, кто не в курсе), что базовые правила действий со степенями справедливы для любых показателей! В том числе и для отрицательных.) Так что смело берём и перемножаем показатели (-2) и (х-1) по соответствующему правилу. Наше уравнение становится всё лучше и лучше:
Всё! Кроме одиноких пятёрок в степенях слева и справа больше ничего нет. Уравнение сведено к каноническому виду. А дальше — по накатанной колее. Убираем пятёрки и приравниваем показатели:
Пример практически решён. Осталась элементарная математика средних классов — раскрываем (правильно!) скобки и собираем всё слева:
Решаем это квадратное уравнение и получаем два корня:
Поэтому очередной зелёный практический совет.
Если в показательном уравнении присутствуют десятичные дроби, то переходим от десятичных дробей к обыкновенным. В обыкновенных дробях гораздо проще распознать степени многих популярных чисел! После распознавания переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.
Имейте в виду, что такой финт в показательных уравнениях встречается очень и очень часто! А человек не в теме. Смотрит он, например, на числа 32 и 0,125 и огорчается. Неведомо ему, что это одна и та же двойка, только в разных степенях… Но вы-то ведь уже в теме!)
Дальше — больше! Развлекаться, так развлекаться.)
Во! На вид — тихий ужас… Однако внешность обманчива. Это простейшее показательное уравнение, несмотря на его устрашающий внешний вид. И сейчас я вам это покажу.)
Конечно, возиться да считать побольше придётся, но ведь и наш с вами уровень тоже растёт, не правда ли? Итак, ничего не боимся и приступаем.)
Во-первых, разбираемся со всеми чиселками, сидящими в основаниях и в коэффициентах. Они, ясное дело, разные, да. Но мы всё же рискнём и попробуем сделать их одинаковыми! Попробуем добраться до одного и того же числа в разных степенях. Причём, желательно, числа самого возможно малого. Итак, начинаем расшифровку!
С дробью 0,25 — пока непонятно. Проверять надо. Используем практический совет — переходим от десятичной дроби к обыкновенной:
Пока всё идёт хорошо. Но осталось самое нехорошее число из всех – корень квадратный из двух! А с этим перцем что делать? Можно ли его тоже представить как степень двойки? А кто ж его знает…
Что ж, снова лезем в нашу сокровищницу знаний о степенях! На этот раз дополнительно подключаем наши знания о корнях. Из курса 9-го класса мы с вами должны были вынести, что любой корень, при желании, всегда можно превратить в степень с дробным показателем.
Вот и прекрасно! Все наши неудобные числа на самом деле оказались зашифрованной двойкой.) Не спорю, где-то весьма изощрённо зашифрованной. Но и мы ведь тоже повышаем свой профессионализм в разгадке подобных шифров! А дальше уже всё очевидно. Заменяем в нашем уравнении числа 4, 0,25 и корень из двух на степени двойки:
Всё! Основания всех степеней в примере стали одинаковыми — двойка. А теперь в ход идут стандартные действия со степенями:
a m ·a n = a m + n
a m :a n = a m-n
(a m ) n = a mn
Для левой части получится:
Для правой части будет:
И теперь наше злое уравнение стало выглядеть вот так:
Кто не врубился, как именно получилось это уравнение, то тут вопрос не к показательным уравнениям. Вопрос — к действиям со степенями. Я же просил срочно повторить тем, у кого проблемы!
Вот и финишная прямая! Получен канонический вид показательного уравнения! Ну как? Убедил я вас, что не всё так страшно? 😉 Убираем двойки и приравниваем показатели:
Осталось всего лишь решить это линейное уравнение. Как? С помощью тождественных преобразований, вестимо.) Дорешайте, чего уж там! Умножайте обе части на двойку (чтобы убрать дробь 3/2), переносите слагаемые с иксами влево, без иксов вправо, приводите подобные, считайте — и будет вам счастье!
Должно всё получиться красиво:
А теперь снова осмысливаем ход решения. В данном примере нас выручил переход от квадратного корня к степени с показателем 1/2. Причём только такое хитрое преобразование нам помогло везде выйти на одинаковое основание (двойку), которое и спасло положение! И, если бы не оно, то мы бы имели все шансы навсегда зависнуть и так и не справиться с этим примером, да…
Поэтому не пренебрегаем очередным практическим советом:
Если в показательном уравнении присутствуют корни, то переходим от корней к степеням с дробными показателями. Очень часто только такое преобразование и проясняет дальнейшую ситуацию.
Конечно же, отрицательные да дробные степени уже гораздо сложнее натуральных степеней. Хотя бы с точки зрения визуального восприятия и, особенно, распознавания справа налево!
А вот поди, например, с ходу сообрази, что
Зато, если вы станете на «ты» даже с такими экзотическими степенями, как отрицательные и дробные, то ваши возможности в решении показательных уравнений колоссально расширятся, и вам уже будет по плечу практически любой тип показательных уравнений. Ну, если не любой, то процентов 80 всех показательных уравнений — уж точно! Да-да, я не шучу!
Итак, наша первая часть знакомства с показательными уравнениями подошла к своему логическому завершению. И, в качестве промежуточной тренировки, я традиционно предлагаю немного порешать самостоятельно.)
Задание 1.
Чтобы мои слова о расшифровке отрицательных и дробных степеней не пропали даром, предлагаю сыграть в небольшую игру!
Представьте в виде степени двойки числа:
Ответы (в беспорядке):
Получилось? Отлично! Тогда делаем боевое задание — решаем простейшие и простые показательные уравнения!
Задание 2.
Решить уравнения (все ответы — в беспорядке!):
2 5x-4 — 16 x+3 = 0
Получилось? Действительно, уж куда проще-то!
Тогда решаем следующую партию:
И эти примеры одной левой? Отлично! Вы растёте! Тогда вот вам на закуску ещё примерчики:
И это решено? Что ж, респект! Снимаю шляпу.) Значит, урок прошёл не напрасно, и начальный уровень решения показательных уравнений можно считать успешно освоенным. Впереди — следующие уровни и более сложные уравнения! И новые приёмы и подходы. И нестандартные примеры. И новые сюрпризы.) Всё это — в следующем уроке!