Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

10 способов решения квадратных уравнений

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложим левую часть на множители:

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

2. Метод выделения полного квадрата двучлена.

Выделим в левой части полный квадрат:

тогда, данное уравнение можно записать так:

3.Решение квадратных уравнений по формулам.

Как решаются квадратные уравнения

а) Решим уравнение:

б) Решим уравнение:

в) Решим уравнение: 2 + 3х + 4 = 0,

Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда

Как решаются квадратные уравнения

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

Решим уравнение 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Как решаются квадратные уравнения

Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0Как решаются квадратные уравнения

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ).

3 способ Как решаются квадратные уравнения

Преобразуем уравнения к виду.

Рис.5 Как решаются квадратные уравнения

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ). Как решаются квадратные уравнения

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Как решаются квадратные уравнения

Итак: Как решаются квадратные уравнения

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра Как решаются квадратные уравнения

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

9. Решение квадратных уравнений с помощью

Как решаются квадратные уравнениятам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

Как решаются квадратные уравнения

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

Как решаются квадратные уравнения

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы. Как решаются квадратные уравнения

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение представлено на рис 13. где

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

Как решаются квадратные уравнения

Преобразуя уравнение, получаем

Источник

Способы решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Разложим левую часть на множители:

Следовательно, уравнение можно переписать так:

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

Преобразуем теперь левую часть уравнения

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

на 4а и последовательно имеем:

Как решаются квадратные уравнения

Примеры.

а) Решим уравнение: 2 + 7х + 3 = 0.

D > 0, два разных корня;

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

б) Решим уравнение: 2 — 4х + 1 = 0,

D = 0, один корень;

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2 + 3х + 4 = 0,

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2 — 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

Согласно теореме Виета

2)Решим уравнение 132х 2 — 247х + 115 = 0.

Как решаются квадратные уравнения

Пример.

Как решаются квадратные уравнения

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Как решаются квадратные уравнения

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

Как решаются квадратные уравнения

— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

Как решаются квадратные уравнения

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

Как решаются квадратные уравнения

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Как решаются квадратные уравнения

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB * OD = OA * OC, откуда OC = OB * OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

Как решаются квадратные уравнения

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Как решаются квадратные уравнения

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Как решаются квадратные уравнения

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Как решаются квадратные уравнения

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Как решаются квадратные уравнения

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни

Как решаются квадратные уравнения

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

3) Для уравнения

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Как решаются квадратные уравнения

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Как решаются квадратные уравнения

Решение представлено на рис. 16, где

Как решаются квадратные уравнения

Преобразуя уравнение, получаем

Источник

Алгебра

Как решаются квадратные уравнения

Квадратные уравнения

План урока:

Определение квадратного уравнения

Изучая понятие многочленов, мы познакомились с квадратными трехчленами. Так называют полином 2-ой степени, содержащий только одну переменную. Если его приравнять к нулю, то получится квадратное уравнение. Дадим определение квадратному уравнению:

Приведем несколько конкретных примеров:

Числа a, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Отметим, что числа b и c могут равняться нулю, и в этом случае соответствующее слагаемое просто не записывается:

Эти уравнения именуют неполными.

Если же коэффициент а=0, то получается линейное уравнение, которое мы уже умеем решать:

Естественно, что для обозначения переменной может использоваться любая буква, а не только х:

Для обозначения коэффициентов могут использоваться специальные термины:

Неполные квадратные уравнения можно очень легко решить. Сначала рассмотрим пример, в котором b = 0:

Перенесем вправо свободный коэффициент:

Далее поделим на старший коэффициент обе части равенства:

Понятно, что х равен квадратному корню из 9. Напомним, что у каждого положительного числа есть два квадратных корня! Один из них является положительным числом и называется арифметическим, а другой противоположен ему по знаку. Поэтому можно записать, что

Иногда используют более короткую запись:

Не любое квадратное уравнение, у которого нет второго коэффициента b, будет иметь решение. Рассмотрим уравнение

Будем решать его таким же путем, перенося свободный коэффициент c вправо и деля уравнение на старший коэффициент a:

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, данное уравнение не будет иметь корней.

Сформулируем общий алгоритм решения неполных квадратных уравнений такого типа:

Теперь изучим неполные уравнения, в которых нет свободного слагаемого с. Рассмотрим их на примере:

Слева вынесем переменную х за скобки:

Теперь слева находится произведение двух множителей, а справа – ноль. Очевидно, что произведение может равняться нулю лишь в том случае, когда один из составляющих его множителей (х или 7х + 21) является нулем.

Зная это, запишем:

х = 0 или 7х + 21 = 0

Получили корень х = 0 и ещё одно линейное уравнение, которое легко решить:

В результате имеем два корня: 0 и – 3

Опишем общий алгоритм решения этих неполных уравнений:

Решение квадратного уравнения

Найти решение квадратного уравнения, если оно полное, достаточно тяжело. Нам поможет формула квадрата суммы:

(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Напомним, что с ее помощью можно разложить на множители некоторые квадратные полиномы:

х 2 + 8х + 16 = х 2 + 2•4•х + 4 2 = (х + 4) 2

Конечно, здесь нам повезло с квадратным трехчленом – его коэффициенты позволяли воспользоваться формулой квадрата суммы. Однако похожие преобразования можно выполнить и тогда, когда коэффициенты не такие удобные:

х 2 + 8х + 20 = х 2 + 8х + 16 + 4 =(х 2 + 8х + 16) + 4 = (х 2 + 2•4•х + 4 2 ) + 4 =

Здесь мы разложили число 20 на сумму 16 + 4, чтобы можно было часть выражения «свернуть» формулой квадрата суммы. Такой прием можно применить вообще к любому квадратному трехчлену:

4х 2 + 10х + 4 = (2х) 2 + 2•2х•2,5 + 2,5 2 – 2,5 2 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,5 2 + 4 =

= (2х + 2,5) 2 – 6,25 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,25

Здесь мы добавили к трехчлену слагаемое 2,5 2 и тут же его отняли. Оно было необходимо для получения формулы квадрата суммы.

Отметим, что подобное свертывание можно использовать для решения квадратного уравнения. Действительно, пусть дано уравнение

4х 2 + 10х + 4 = 0

Выше мы уже преобразовали трехчлен, стоящий слева. Произведем замену:

(2х + 2,5) 2 – 2,25 = 0

Имеем уравнение, очень похожее на неполное, где отсутствует коэффициент b. Попробуем его решить аналогичным путем:

Из этой записи мы получили два линейных уравнения:

2х + 2,5 = – 1,5 или 2х + 2,5 = 1,5

Решая их, находим два корня:

2х = – 1,5 – 2,5 или 2х = 1,5 – 2,5

2х = – 4 или 2х = – 1

х = – 2 или х = – 0,5

Аналогично можно решить и любое другое полное квадратное уравнение. Однако проще пользоваться специальными формулами, в которые надо подставлять значения коэффициентов a, b, с и получать корни квадратного уравнения. Выведем эти формулы.

Пусть есть уравнение

Поделим обе части уравнения на коэффициент а:

Далее надо выделить квадрат суммы, что бы потом свернуть его по формуле сокращенного умножения:

Далее обозначим числитель в правой части (b 2 – 4ac) буквой D. Эту величину называют дискриминантом квадратного уравнения.

Перепишем уравнение с учетом этой замены:

Далее рассмотрим три случая:

Квадрат только одного числа равен нулю – самого нуля, поэтому

Итак, при нулевом дискриминанте у уравнения есть только один корень.

Полученное выражение называют основной формулой корней квадратного уравнения.

Если дискриминант – положительное число, то уравнение существует два корня. Для вычисления первого из них надо в формуле квадратного уравнения вместо знака ± поставить минус, а для вычисления второго – знак плюс. Часто 1-ый корень обозначают как х1, а 2-ой – как х2. Заметим, что если D = 0, то при подстановке в основную формулу будет получаться один и тот же корень независимо от выбора знака плюс или минус.

Пример. Решите уравнение

2х 2 – 5х – 3 = 0

Решение. Выпишем коэффициенты уравнения

Вычислим значение дискриминанта:

D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•(– 3) = 25 + 24 = 49

Так как он больше нуля, то должно получиться два корня. Их можно найти по основной формуле квадратного уравнения:

Пример. Найдите все корни уравнения

3х 2 + 6х + 5 = 0

Решение. Найдем дискриминант:

D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•3•5 = 36 – 60 = – 24

Дискриминант оказался отрицательным, значит, и корней у уравнения нет.

Ответ: нет корней.

Пример. Найдите значения х, при которых выполняется равенство

4х 2 – 12х + 9 = 0

Решение. Вычислим дискриминант:

D = (– 12) 2 – 4•4•9 = 144 – 144 = 0

Так как D = 0, существует лишь один корень:

Пример. Найдите значения у, при которых справедливо равенство

2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3

Решение. На первый взгляд это уравнение не похоже на изучавшие до этого квадратные уравнения. Однако слагаемые, записанные справа, можно перенести влево, после чего можно будет привести подобные слагаемые:

2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3

2у 2 + 4у+ 9–у 2 – 11у– 3 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, для которого можно рассчитать дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 7) 2 – 4•1•6 = 49 – 24 = 25

Найдем значения двух корней:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Так как любое квадратное уравнение решается довольно легко, то другие, более сложные уравнения, часто пытаются свести к квадратным. Сначала рассмотрим так называемые биквадратные уравнения. Пусть надо решить уравнение

2х 4 –26х 2 + 72 = 0

На первый взгляд в левой части стоит полином четвертой, а не второй степени, то есть это уравнение не является квадратным. Введем переменную t, равную х 2 :

Если это выражение возвести в квадрат, то получим

t 2 = (х 2 ) 2 = х 4

2t 2 –26t + 72 = 0

Получили квадратное уравнение, из которого можно найти значение t. Посчитаем дискриминант:

D = (– 26) 2 – 4•2•72 = 676 – 576 = 100

Можно найти два значения t:

Однако нам надо найти значение х, а не t. Вспомним, что мы проводили замену

Подставляя вместо t найденные корни 4 и 9, получим ещё два уравнения:

Первое имеет корни (– 2) и 2, а второе (– 3) и 3. Все эти 4 числа являются корнями исходного уравнения

2х 4 – 26х 2 + 72 = 0

Мы рассмотрели пример, в котором биквадратное уравнение имело 4 корня. Однако порою их может быть и меньше.

Пример. Укажите все корни уравнения

у 4 + 4у 2 – 5 = 0

Решение. Данное уравнение подходит под определение биквадратного, а потому произведем замену t = y 2 :

D = 4 2 – 4•1•(– 5) = 16 – (– 20) = 36

далее проводим обратную замену и получаем уравнения:

Первое из них не имеет решения, ведь квадрат числа – это неотрицательное число. Поэтому решать придется только второе уравнение:

Подстановка t = x 2 самая простая и очевидная, однако, порою нужно выполнять более сложные подстановки.

Пример. Найдите все z, для которых выполняется условие

(z – 2)(z – 3)(z – 4)(z – 5) = 24

Решение.Замена неочевидна, и всё же попробуем такой вариант:

Тогда содержимое каждой скобки примет вид:

z– 2 = z– 3,5 + 1,5 = t + 1,5

z– 3 = z– 3,5 + 0,5 = t + 0,5

z– 4 = z– 3,5 – 0,5 = t–0,5

z– 5 = z – 3,5 – 1,5 = t–1,5

Уравнение примет вид:

(t + 1,5)(t + 0,5)(t – 0,5)(t – 1,5) = 24

Поменяем местами скобки:

(t – 0,5)(t + 0,5)(t – 1,5)(t + 1,5) = 24

Можно заметить, что в соседние скобки можно переписать, используя формулу разности квадратов:

(t 2 – 0,5 2 )(t 2 – 1,5 2 ) = 24

Для удобства произведем ещё одну замену s = t 2 :

(s– 0,5 2 )(s– 1,5 2 ) = 24

Раскроем скобки в левой части:

s 2 – 2,25s– 0,25s + 0,5625 = 24

s 2 – 2,5s + 0,5625– 24 = 0

s 2 – 2,5s– 23,4375 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

D = (– 2,5) 2 – 4•1•(– 23,4375) = 6,25 + 93,75 = 100

Произведем 1-ую обратную замену t 2 = s:

Первое уравнение решений не имеет, а у второго ровно 2 корня:

Пришло время второй замены z– 3,5 = t, из которой получаем два уравнения:

z– 3,5 = – 2,5 или z– 3,5 = 2,5

z= – 2,5 + 3,5 или z= 2,5 + 3,5

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений

При рассмотрении задач, связанных с геометрией, свойствами чисел, движением тел, очень часто возникают квадратные уравнения.

Решение. Обозначим как k длину той стороны прямоугольника, которая меньше. Тогда протяженность второй стороны будет равна k + 5 см. Площадь прямоугольника – это произведение его сторон, а потому можно записать:

Решим это уравнение:

k 2 + 5k – 126 = 0

D = 5 2 – 4•1•(– 126) = 25 + 504 = 529

Первый корень равен (– 14). Однако ясно, что длина стороны прямоугольника не может измеряться отрицательным числом, поэтому этот корень надо отбросить. Остается только k = 9. То есть длина первой стороны равна 9 см. Вторая сторона равна k + 5, то есть 9 + 5 = 14 см.

Ответ: 9 и 14 см.

Пример. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел составляет 290. Что это за числа?

Решение. Обозначим первое число как n. Нечетные числа чередуются с четными, поэтому следующим нечетным числом будет n + 2. Перепишем условие задачи в виде уравнения и найдем его корни:

n 2 + (n + 2) 2 = 290

n 2 + n 2 + 4n + 4 – 290 = 0

2n 2 + 4n – 286 = 0

D = 4 2 – 4•2•(– 286) = 16 + 2288 = 2304

Получили два решения. Если первое число равно – 13, то второе составит n + 2 = – 11. Если же n = 11, то второе число будет равно 13.

Ответ: – 13 и 11, либо 11 и 13.

Теорема Виета

Большое значения имеют уравнения, у которых старшим коэффициентом является единица. Математики называют их приведенными уравнениями.

Дадим несколько примеров приведенных квадратных уравнений:

Поделим на 4 обе его части:

х 2 + 1,25х + 1,5 = 0

Для приведенного уравнения сформулирована теорема Виета, которая указывает на взаимосвязь его корней и коэффициентов:

Доказать это очень легко. Если у уравнения

существует два корня, то они вычисляются по формулам:

Найдем их сумму:

Аналогично можно посчитать и их произведение:

Естественно, если у уравнения не существует корней (D 2 – 8х + 15 = 0; корни (х1 и х2) равны 3 и 5, в чем можно убедиться подстановкой:

Перемножим корни и получим 3•5 = 15 (свободный член), при сложении корней получается 3 + 5 = 8 (второй коэффициент без минуса);

Справедливо и утверждение, известное как обратная теорема Виета:

Возьмем числа 4 и 9. Их сумма равна 13, а произведение 36, поэтому они являются корнями уравнения:

х 2 – 13х + 36 = 0

в чем можно убедиться, подставив их вместо х.

Пример. Учитель математики перед уроком составляет квадратные уравнения, причем стремится к тому, чтобы у них были целые корни (чтобы детям было просто считать). Подскажите ему пример уравнения, чьи корни равны 3 и 8.

Решение. Перемножим и сложим числа 3 и 8:

Соответственно, уравнением с корнями 3 и 8 будет

х 2 – 11х + 24 = 0

Ответ: х 2 – 11х + 24 = 0

Разложение квадратного трехчлена на множители

При решении уравнения

мы находим его корни. Однако отдельно выделяют и такое понятие, как корень многочлена. Так называют значение переменной, которая обращает полином в ноль.

Понятно, что для нахождения корней полинома второй степени следует решить квадратное уравнение.

Сначала рассмотрим трехчлены, у которых коэффициент при х 2 а равен 1. Предположим, что нам удалось разложить его на произведение двух линейных полиномов:

х 2 + bх + с = (х –s)(х –k)

где s и k– какие-то произвольные числа.

Выражение справа является произведением, а потому обращается в ноль только тогда, когда нулю равен один из множителей:

х – s = 0 или х – k = 0

Так как при х = s или х = k в ноль обращается правая часть тождества, то также должна обращаться и левая часть. Получается, что числа s и k – это корни трехчлена х 2 + bх + с.

Убедимся в этом, раскрыв скобки в правой части тождества:

(х –s)(х –k) = х 2 –kx–sx + sk = х 2 – (k + s)х + sk

подставим это выражение в исходное равенство:

х 2 + bх + с = х 2 – (k + s)х + sk

Получается, произведение s и k дает свободный член, а их сумма в точности равна коэффициенту при х, взятому со знаком минус. Значит, по теореме Виета, они являются корнями уравнения!

Обозначим корни уравнения как х1 и х2. Если у трехчлена коэффициент а отличен от единицы, то эта формула (ее называют формулой разложения квадратного трехчлена на множители) примет несколько иной вид:

То есть справедливо утверждение:

А теперь и докажем его.

Пусть есть уравнение ах 2 + bx + c = 0 с корнями х1 и х2. Поделим его на а:

х 2 + (b/a)х + с/а = 0

по теореме Виета можно записать:

Умножив первое тождество на (– а), а второе наа, получим

Осталось подставить эти равенства в исходный многочлен:

Для чего же мы доказывали эту теорему? С ее помощью можно выполнить разложение квадратного трехчлена на множители. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример. Разложите полином

2х 2 + 12х – 14

на множители.

Решение. Для начала следует решить уравнение 2х 2 + 12х – 14 = 0:

D = 12 2 – 4•2•(– 14) = 144 + 112 = 256

Найдя х1 и х2, можем выполнить и разложение:

2х 2 + 12х – 14 = 2(х – 1)(х – (– 7)) = 2(х – 1)(х + 7)

Ответ: 2(х – 1)(х + 7)

Пример. Упростите выражение

Решение. На первый взгляд кажется, что сокращать нечего. Однако и в числителе, и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Разложим их на множители, решив соответствующие уравнения:

D = 2 2 – 4•1•(– 15) = 4 + 60 = 64

h 2 – 2h– 15 = (h+ 5)(h– 3)

Теперь раскладываем второй полином:

D = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Соответственно, можно записать:

h 2 – 9h +18 = (h– 3)(h– 6)

А теперь подставим в исходную дробь полученные выражения:

Отметим, что если у полинома второй степени нет корней, то и разложить его на множители не получится.

Дробно-рациональные уравнения

Периодически приходится сталкиваться с уравнениями, где переменные присутствуют в знаменателе какой-нибудь дроби. Их называют дробно-рациональными уравнениями. Обычно их можно свести к более простому виду, но при этом следует учитывать ту особенность, что корень уравнения не должен обращать знаменатель в ноль.

Пример. Найдите решение дробно-рационального уравнения

Решение. Для начала перенесем дробь из правой части в левую, а потом приведем дроби к общему знаменателю:

Умножим уравнение на величину (х – 2)(х + 3)

(х + 1)(х – 2) + 10х – 4(х + 3) = 0

х 2 – 2х + х – 2 + 10х – 4х – 12 = 0

D = 5 2 – 4•1•(– 14) = 25 + 56 = 81

Казалось бы, мы нашли два корня: 2 и (– 7). Однако в исходном уравнении в знаменателе стоит выражение (х – 2)(х – 3). При х = 2 оно обращается в нуль, то есть дробь потеряет смысл. Поэтому корень 2 следует отбросить, и остается лишь корень (– 7)

Источник

Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры

Продолжаем изучение темы «решение уравнений». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями.

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Навигация по странице.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием, то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

От уравнения 3·x 2 +12·x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Полные и неполные квадратные уравнения

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Решение неполных квадратных уравнений

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

a·x 2 =0

a·x 2 +c=0

a·x 2 +b·x=0

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Разберемся с этим.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали решение неполных квадратных уравнений. Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения :

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Можно переходить к примерам применения алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Переходим к следующему характерному примеру.

Источник

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формулеКак решаются квадратные уравнения

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Как решаются квадратные уравнения

Полное квадратное уравнение

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

Источник

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х 2 + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах 2 + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём Как решаются квадратные уравнения

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах 2 = 0; 2) ах 2 + bх = 0; 3) ах 2 + с = 0.

1. Уравнение вида ах 2 = О равносильно уравнению х 2 = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах 2 + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х1 = 0, х2 =Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение 5х 2 + 4х = 0.

Решение:

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 2 = 3, Как решаются квадратные уравнения, х — число, квадрат которого равен Как решаются квадратные уравнения, то есть квадратный корень из числа Как решаются квадратные уравнения. Таких корней два: Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения. Ответ. Как решаются квадратные уравнения. Если знаки коэффициентов а и с разные, то число Как решаются квадратные уравненияположительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах 2 + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, Как решаются квадратные уравнения. Как решаются квадратные уравнения

Выполним вместе!

Пример:

Решение:

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х 2 + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим таким способом уравнение ах 2 + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что Как решаются квадратные уравнения):

Выражение b 2 — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D 2 было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = Как решаются квадратные уравнения— единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению Как решаются квадратные уравнения, отсюда

Как решаются квадратные уравнения

или Как решаются квадратные уравнения

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед Как решаются квадратные уравнения. Кратко их записывают так: Как решаются квадратные уравнения, где Как решаются квадратные уравнения.

Это формула корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решение:

Как решаются квадратные уравнения;

Как решаются квадратные уравнения;

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

Как решаются квадратные уравнения/

Вернёмся к переменной x: l) x 2 = l, xl=-l, x2=l;

2) Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения.

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах 2 + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

Как решаются квадратные уравнения.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах 2 + 2kx + с = 0, то

Как решаются квадратные уравнения.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х 2 + рх + q = 0, Формула его корней:

Как решаются квадратные уравнения.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Решение:

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение: Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Как решаются квадратные уравнения

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х 2 + рх + q = 0 имеет корни х1 и х2, то их можно найти по формулам:

Сложим и перемножим эти корни:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Формулы (*) в этом случае дают Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияПоэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Каждое квадратное уравнение вида Как решаются квадратные уравненияравносильно приведённому квадратному уравнению Как решаются квадратные уравненияЕсли такое уравнение имеет корни х1 и х2,то

Как решаются квадратные уравнения

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х 2 + рх + q =0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

Пример:

Решите уравнение х 2 + 12х + 11 = 0.

Решение:

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х 3 +4ах 2 +bх + с = 0 имеет корни х1, х2 и х3, то

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х 2 + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

Решение:

Пример:

Решение:

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах 2 + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём Как решаются квадратные уравнения.

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Как решаются квадратные уравнения

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х 2 +4х- 21.

Решение:

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах 2 + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах 2 +bх + с = а(х — m)(х — n).

Как решаются квадратные уравнения. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах 2 +bx+c также являются корнями уравнения Как решаются квадратные уравнения. По теореме Виета,

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх 2 +5х-2, то решаем уравнение Зх 2 +5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ можно записать и так;

Зх 2 + 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь Как решаются квадратные уравнениясначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена «внести в скобки» Например:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции Как решаются квадратные уравненияпри х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Как решаются квадратные уравнения

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Как решаются квадратные уравненияРис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Как решаются квадратные уравнения

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Как решаются квадратные уравнения

Тогда Как решаются квадратные уравнения.

Как решаются квадратные уравнения

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Как решаются квадратные уравненияКвадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах 2 = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax 2 = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах 2 +bх = 0 имеет два корня: х1 = 0, х2=Как решаются квадратные уравнения; ах 2 + с = 0 имеет два корня: Как решаются квадратные уравнения, если с : а 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х 2 + рх + q = 0 имеет два корня, то

Как решаются квадратные уравнения

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х 2 +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида Как решаются квадратные уравнения, где Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа.

Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение Как решаются квадратные уравненияназывают уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений Как решаются квадратные уравнения

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения Как решаются квадратные уравненияне являются уравнениями первой степени.

Числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияназывают коэффициентами уравнения первой степени Как решаются квадратные уравнения.

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнения(упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравнения

Числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияназывают коэффициентами квадратного уравнения. Число Как решаются квадратные уравненияназывают первым или старшим коэффициентом, число Как решаются квадратные уравнениявторым коэффициентом, число Как решаются квадратные уравнениясвободным членом.

Например, квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет следующие коэффициенты: Как решаются квадратные уравнения

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, Как решаются квадратные уравнения— это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении Как решаются квадратные уравнениястарший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения Как решаются квадратные уравненияна число Как решаются квадратные уравненияполучим приведенное квадратное уравнение Как решаются квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении Как решаются квадратные уравненияхотя бы один из коэффициентов Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияравен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

Обобщим полученные результаты:

Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

При Как решаются квадратные уравненияимеем: Как решаются квадратные уравненияОтсюда Как решаются квадратные уравнения

или Как решаются квадратные уравненияНо корень Как решаются квадратные уравненияне удовлетворяет условию Как решаются квадратные уравнения

При Как решаются квадратные уравненияимеем: Как решаются квадратные уравненияОтсюда Как решаются квадратные уравненияПоследнее уравнение не имеет корней.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияуравнения первой степени Как решаются квадратные уравненияможно найти его корень по формуле Как решаются квадратные уравнения

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияквадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениянаходить его корни.

Как решаются квадратные уравнения(1)

Поскольку Как решаются квадратные уравнениято, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Как решаются квадратные уравнения

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Как решаются квадратные уравненияЭто значение называют дискриминантом квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияи обозначают буквой Как решаются квадратные уравнениято есть Как решаются квадратные уравненияТермин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

Как решаются квадратные уравнения(3)

Возможны три случая: Как решаются квадратные уравнения

1. Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении Как решаются квадратные уравнениявыражение Как решаются квадратные уравненияпринимает только неотрицательные значения.

Вывод: если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение (3) принимает вид

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Вывод: если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение имеет один корень Как решаются квадратные уравнения

3. Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение (3) можно записать в виде

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Вывод: если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение имеет два корня Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Применяют также краткую форму записи:

Как решаются квадратные уравнения

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Как решаются квадратные уравненияИмеем:

Как решаются квадратные уравнения

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде Как решаются квадратные уравнениято можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияНайдем его дискриминант: Как решаются квадратные уравненияОбозначим выражение Как решаются квадратные уравнениячерез Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято по формуле корней квадратного уравнения получаем:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

1) Для данного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Как решаются квадратные уравнения

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

3) Как решаются квадратные уравнения

Уравнение имеет два корня: Как решаются квадратные уравнения

Ответ можно записать одним из двух способов: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

4) Как решаются квадратные уравненияСледовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде Как решаются квадратные уравненияи применим формулу корней для уравнения вида Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

1) Имеем: Как решаются квадратные уравнения

При Как решаются квадратные уравненияполучаем уравнение Как решаются квадратные уравнениякоторое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию Как решаются квадратные уравнения

При Как решаются квадратные уравненияполучаем уравнение Как решаются квадратные уравнениякоторое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию Как решаются квадратные уравнения

2) Поскольку Как решаются квадратные уравненияпри Как решаются квадратные уравнениято искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияВ таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе Как решаются квадратные уравнения

Уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию Как решаются квадратные уравнения

3) Данное уравнение равносильно системе Как решаются квадратные уравненияОтсюда

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

При каком значении Как решаются квадратные уравненияимеет единственный корень уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

2) При Как решаются квадратные уравненияполучаем линейное уравнение Как решаются квадратные уравненияимеющее один корень.

При Как решаются квадратные уравненияданное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Как решаются квадратные уравнения

Имеем: Как решаются квадратные уравненияотсюда Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Как решаются квадратные уравнения

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениято

Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант Как решаются квадратные уравненияне может быть отрицательным.

Пусть Как решаются квадратные уравненияПрименив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Как решаются квадратные уравнения

Имеем: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Пусть Как решаются квадратные уравненияВ этом случае считают, что Как решаются квадратные уравненияИмеем:

Как решаются квадратные уравнения

Следствие. Если Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни приведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениято

Как решаются квадратные уравнения

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениятаковы, что Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениято эти числа являются корнями квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияПреобразуем его в приведенное:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: Как решаются квадратные уравнения(*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо Как решаются квадратные уравнениясначала число Как решаются квадратные уравненияа затем число Как решаются квадратные уравненияПолучим:

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Следствие. Если числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениятаковы, что Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениято эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Как решаются квадратные уравненияСледовательно, уравнение имеет два корня Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения

Тогда по теореме Виета Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Найдите коэффициенты Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияуравнения Как решаются квадратные уравненияесли его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и Как решаются квадратные уравнения; 2) Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения.

Решение:

1) Пусть Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения

Тогда Как решаются квадратные уравненияПо теореме, обратной теореме Виета, числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляются корнями уравнения Как решаются квадратные уравненияУмножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

Как решаются квадратные уравнения

2) Пусть Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения

Тогда Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляются корнями уравнения Как решаются квадратные уравненияОтсюда искомым является уравнение Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Известно, что Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни уравнения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияНе решая уравнения, найдите значение выражения Как решаются квадратные уравнения

Решение:

По теореме Виета Как решаются квадратные уравнения

Тогда имеем: Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Как решаются квадратные уравненияНайдите второй корень уравнения и значение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни данного уравнения, причем Как решаются квадратные уравненияПо теореме Виета Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияИмеем:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни данного уравнения, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни искомого уравнения.

По условию Как решаются квадратные уравнения

По теореме Виета Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравнения

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Как решаются квадратные уравнения

Заметим, что левая часть квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияявляется квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнения

Чтобы найти корни квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнениянадо решить соответствующее квадратное уравнение Как решаются квадратные уравнения

Значение выражения Как решаются квадратные уравненияназывают дискриминантом квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято квадратный трехчлен корней не имеет. Если Как решаются квадратные уравнениято квадратный трехчлен имеет один корень, если Как решаются квадратные уравнения— то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияРазложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Как решаются квадратные уравнения

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияразложили на линейные множители Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравненияположительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

Как решаются квадратные уравнения

где Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляются корнями квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениято по теореме Виета

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть Как решаются квадратные уравненияВ этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Как решаются квадратные уравнения

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияможно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияпри которых выполняется равенство Как решаются квадратные уравненияОтсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравнения

2) Решим уравнение Как решаются квадратные уравненияИмеем:

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравнения

3) Решим уравнение Как решаются квадратные уравненияИмеем:

Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Сократите дробь Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение Как решаются квадратные уравненияполучаем:

Как решаются квадратные уравнения

Теперь можно записать:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

При каком значении Как решаются квадратные уравненияразложение на множители трехчлена Как решаются квадратные уравнениясодержит множитель Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель Как решаются квадратные уравнениято один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Пусть Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияПодставив в исходное уравнение вместо Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениясоответственно Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения, получим квадратное уравнение с переменной Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решая это уравнение, находим: Как решаются квадратные уравнения

Поскольку Как решаются квадратные уравнениято решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Ответ можно записать двумя способами: Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Определение: Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияназывают биквадратным уравнением.

Заменой Как решаются квадратные уравнениябиквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Как решаются квадратные уравненияТакой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Выполним замену Как решаются квадратные уравненияТогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Теперь надо решить следующие два уравнения:

Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияПервое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияПолучаем: Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Получаем два уравнения:

Как решаются квадратные уравнения

Поскольку Как решаются квадратные уравнениято эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Данное уравнение равносильно системе Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Имеем: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияПолучаем уравнение Как решаются квадратные уравненияЭто уравнение равносильно системе

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Как решаются квадратные уравнения

Решите эти уравнения самостоятельно.

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Пусть Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на Как решаются квадратные уравненияперейдем к равносильному уравнению:

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Произведем замену: Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияПолучаем уравнение Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравнения

С учетом замены получаем два уравнения:

Как решаются квадратные уравнения

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Как решаются квадратные уравнения

Отсюда Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Как решаются квадратные уравненияПолучим уравнение, равносильное исходному:

Как решаются квадратные уравнения

Замена Как решаются квадратные уравненияприводит к квадратному уравнению

Как решаются квадратные уравнения

Завершите решение самостоятельно.

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида Как решаются квадратные уравнения(вы можете убедиться в этом самостоятельно). При Как решаются квадратные уравнениятакое уравнение называют уравнением четвертой степени, при Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияуравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляется биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Как решаются квадратные уравнения

Все они являются частными случаями уравнения вида Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияВывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Как решаются квадратные уравнения

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта Как решаются квадратные уравнениявыехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта Как решаются квадратные уравнения. Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна Как решаются квадратные уравнениякм/ч, тогда скорость грузовика составляет Как решаются квадратные уравнениякм/ч. Велосипедист проезжает 15 км за Как решаются квадратные уравненияч, а грузовик — за Как решаются квадратные уравненияч. Разность Как решаются квадратные уравненияпоказывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на Как решаются квадратные уравненияч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решим это уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Решив квадратное уравнение системы, получим Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравнения

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за Как решаются квадратные уравненияч, тогда второй для этого нужно Как решаются квадратные уравненияч. За 1 ч первая бригада ремонтирует Как решаются квадратные уравнениячасть дороги, а вторая Как решаются квадратные уравнениячасть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала Как решаются квадратные уравнениядороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно Как решаются квадратные уравнениядороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение Как решаются квадратные уравнения

Полученное уравнение имеет два корня: Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения(убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал Как решаются квадратные уравненияг соли. Тогда его масса была равна Как решаются квадратные уравненияг, а концентрация соли составляла Как решаются квадратные уравнения

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса Как решаются квадратные уравнения

в растворе составила Как решаются квадратные уравненияг, а масса раствора Как решаются квадратные уравненияг. Теперь концентрация соли составляет Как решаются квадратные уравнениячто на 5 %, то есть на Как решаются квадратные уравнениябольше, чем Как решаются квадратные уравненияОтсюда можно записать: Как решаются квадратные уравнения

Полученное уравнение имеет два корня: Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения(убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияназывают уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияназывают квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении Как решаются квадратные уравненияхотя бы один из коэффициентов Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияравен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравненияего дискриминант Как решаются квадратные уравнения— это значение выражения Как решаются квадратные уравнения

Решение квадратного уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение корней не имеет.

Если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение имеет один корень Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято квадратное уравнение имеет два корня Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения:

Как решаются квадратные уравнения

Теорема Виета:

Если Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

то Как решаются квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениятаковы, что Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнениято эти числа являются корнями квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияназывают квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравненияположительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: Как решаются квадратные уравнения— корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения— переменная, Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравненияназывают биквадратным уравнением.

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Как решаются квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Уравнение вида Как решаются квадратные уравненияпри Как решаются квадратные уравненияназывается квадратным уравнением. Здесь Как решаются квадратные уравнения— постоянные, Как решаются квадратные уравнения— неизвестная. Как решаются квадратные уравнения— первый коэффициент, Как решаются квадратные уравнения— второй коэффициент, Как решаются квадратные уравнения— свободный член.

Например, в уравнении Как решаются квадратные уравнения

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на Как решаются квадратные уравнения, то получим уравнение Как решаются квадратные уравненияЗдесь, обозначив Как решаются квадратные уравненияможно записать

Как решаются квадратные уравненияУравнение вида Как решаются квадратные уравненияназывается приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение Как решаются квадратные уравненияна 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Как решаются квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении Как решаются квадратные уравненияхотя бы один из коэффициентов Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияравен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияявляются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Как решаются квадратные уравненияРазделив обе части уравнения на число Как решаются квадратные уравненияполучим уравнение Как решаются квадратные уравненияЕго корнями является Как решаются квадратные уравнения

Пример 1. Разделим обе части уравнения Как решаются квадратные уравнения

2) Решение уравнений вида Как решаются квадратные уравненияДля решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Как решаются квадратные уравненияПроизведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияОтсюда следует, что уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет два корня, один из которых всегда равен Как решаются квадратные уравнения

Пример 2. Для решения уравнении Как решаются квадратные уравнениянадо левую часть уравнения разложить на множители: Как решаются квадратные уравнения

3) Решение уравнений вида Как решаются квадратные уравнения

Запишем уравнение Как решаются квадратные уравненияв виде Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравненияимеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если Как решаются квадратные уравненияимеют разные знаки, то уравнение имеет два корня Как решаются квадратные уравнения

Пример 3. Решим уравнение Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения Как решаются квадратные уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения Как решаются квадратные уравненияна множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно Как решаются квадратные уравненияа сумма Как решаются квадратные уравнения. Если Как решаются квадратные уравненияявляются целыми числами, то Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— также целые числа. В этом случае, если Как решаются квадратные уравнениято заданной уравнение можно записать в виде : Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Пример 3. Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Корни уравнения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Пример 4. Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Корни уравнения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение уравнения вида Как решаются квадратные уравненияметодом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения Как решаются квадратные уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно Как решаются квадратные уравненияа сумма Как решаются квадратные уравненияТогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде Как решаются квадратные уравнения

Пример 1. Запишем уравнение Как решаются квадратные уравненияв виде Как решаются квадратные уравнения

Тогда Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Пример 3. В трёхчлене Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияСоставим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияне существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Как решаются квадратные уравнения

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах Как решаются квадратные уравненияего надо дополнить членом Как решаются квадратные уравнения

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Как решаются квадратные уравненияПример 1. Запишем уравнение Как решаются квадратные уравненияв виде Как решаются квадратные уравненияС обеих сторон дополним данное уравнение Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Пример 2. Для решения уравнения Как решаются квадратные уравненияметодом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Как решаются квадратные уравненияДля того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение Как решаются квадратные уравненияв виде Как решаются квадратные уравненияТогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы Как решаются квадратные уравненияи прямой Как решаются квадратные уравненияПри этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Как решаются квадратные уравнения

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Как решаются квадратные уравнения

Для построения прямой Как решаются квадратные уравнениясоставим таблицу

Как решаются квадратные уравнения

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Как решаются квадратные уравнения

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияможно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на Как решаются квадратные уравнениякоторое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравненияпостроенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Как решаются квадратные уравнения

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение Как решаются квадратные уравнениязаписанного в виде Как решаются квадратные уравнениянайдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Как решаются квадратные уравнения

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияметодом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

При Как решаются квадратные уравненияэта формула является формулой корней квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять Как решаются квадратные уравнениято ее можно записать как Как решаются квадратные уравнения

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака Как решаются квадратные уравненияназывается дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение не имеет действительных корней.

2) Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение имеет два равных корня. Как решаются квадратные уравнения

3) Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение имеет два различных корня: Как решаются квадратные уравнения

Пример:

В уравнении Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияа это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня. Как решаются квадратные уравнения

В уравнении Как решаются квадратные уравнениядискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияПри Как решаются квадратные уравнениядля корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы Как решаются квадратные уравнения

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. Как решаются квадратные уравнения), то уравнение Как решаются квадратные уравненияможно записать в виде Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияОбозначим Как решаются квадратные уравнениятогда Как решаются квадратные уравнения

Пример:

Решим уравнение Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: Как решаются квадратные уравненияПо формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем Как решаются квадратные уравненият.е. Как решаются квадратные уравнения

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при Как решаются квадратные уравненияНа самом деле, из уравнения Как решаются квадратные уравненияс другой стороны Как решаются квадратные уравненияЕсли умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: Известно, что Как решаются квадратные уравнениякорни приведённого квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияОтсюда получим: Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, для уравнения Как решаются квадратные уравненияЕсли обе части любого квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияразделить на Как решаются квадратные уравнения, то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияТогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней Как решаются квадратные уравненияравна Как решаются квадратные уравненияа произведение равно Как решаются квадратные уравненияТеорема Виета остаётся в силе, если Как решаются квадратные уравнения(когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения Как решаются квадратные уравненияметодом подбора. По теореме Виета Как решаются квадратные уравнения

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Как решаются квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел Как решаются квадратные уравненияравна Как решаются квадратные уравненияа произведение равно Как решаются квадратные уравнениято эти числа являются корнями уравнения Как решаются квадратные уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа Как решаются квадратные уравненияявляются корнями уравнения Как решаются квадратные уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что Как решаются квадратные уравнениято получим: Как решаются квадратные уравненият.е. число Как решаются квадратные уравнениядействительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число Как решаются квадратные уравнениятакже является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравненияявляются его корнями. Так как Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнениято уравнение будет выглядеть как Как решаются квадратные уравнения

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

Обозначим длину одного из катетов через Как решаются квадратные уравнениятогда длина другого катета будет Как решаются квадратные уравненияа гипотенуза будет равна Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решению задачи соответствует корень Как решаются квадратные уравненият.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет Как решаются квадратные уравненияа длина гипотенузы Как решаются квадратные уравненияПериметр: Как решаются квадратные уравненияОтвет: периметр треугольника равен 24 см.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Как решаются квадратные уравненияНайдите ширину участка.

Решение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения—переменная, Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа, причем Как решаются квадратные уравнения

Например, уравнения Как решаются квадратные уравнениятакже являются квадратными.

Числа Как решаются квадратные уравненияназывают коэффициентами квадратного уравнения, число Как решаются квадратные уравненияпервым коэффициентом, число Как решаются квадратные уравнениявторым коэффициентом, число Как решаются квадратные уравнениясвободным членом.

В уравнении Как решаются квадратные уравнениякоэффициенты следующие: Как решаются квадратные уравненияВ уравнении Как решаются квадратные уравненияследующие: Как решаются квадратные уравненияа в уравнении Как решаются квадратные уравненияследующие: Как решаются квадратные уравнения

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение Как решаются квадратные уравнения— приведенное, а уравнение Как решаются квадратные уравнения— не является приведенным.

Если в квадратном уравнении Как решаются квадратные уравненияхотя бы один из коэффициентов Как решаются квадратные уравненияили Как решаются квадратные уравненияравен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором Как решаются квадратные уравненияявляется уравнение Как решаются квадратные уравненияв котором Как решаются квадратные уравнения-уравнение Как решаются квадратные уравненияв котором Как решаются квадратные уравнения— уравнение Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Как решаются квадратные уравнения

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида Как решаются квадратные уравнения

Так как Как решаются квадратные уравненияимеем уравнение Как решаются квадратные уравнениякорнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: Как решаются квадратные уравнения

2.Уравнение вида Как решаются квадратные уравнения

Имеем Как решаются квадратные уравнениято есть Как решаются квадратные уравненияТак как Как решаются квадратные уравненияЕсли Как решаются квадратные уравнениято уравнение имеет два корня: Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения2) корней нет.

3. Уравнение вида Как решаются квадратные уравнения

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Значит, уравнение имеет два корня: Как решаются квадратные уравнения

Пример №258

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Имеем: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы: Как решаются квадратные уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравненияи найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на Как решаются квадратные уравнения(так как Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Далее прибавим к обеим частям уравнения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Так как Как решаются квадратные уравненияполучим:

Как решаются квадратные уравнения

Выражение Как решаются квадратные уравненияназывают дискриминантом квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой Как решаются квадратные уравнения

Учитывая, что Как решаются квадратные уравнениязапишем уравнение в виде:

Как решаются квадратные уравненияи продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

(при делении на Как решаются квадратные уравненияучли, что Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, если Как решаются квадратные уравнениято уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет два различных корня:

Как решаются квадратные уравнения

Коротко это можно записать так:

Как решаются квадратные уравнения

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Как решаются квадратные уравненияТогда имеем уравнение Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, если Как решаются квадратные уравнениято уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет один корень: Как решаются квадратные уравненияЭтот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Как решаются квадратные уравненияПоэтому можно считать, что уравнение Как решаются квадратные уравненияпри Как решаются квадратные уравненияимеет два одинаковых корня, каждый из которых равен Как решаются квадратные уравнения

3) Как решаются квадратные уравненияВ этом случае уравнение Как решаются квадратные уравненияне имеет корней, так как не существует такого значения Как решаются квадратные уравненияпри котором значение выражения Как решаются квадратные уравнениябыло бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы: Как решаются квадратные уравнения

Пример №259

Решите уравнение: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ: Как решаются квадратные уравнения

Пример №260

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на Как решаются квадратные уравнениячтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение: Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнениятогда Как решаются квадратные уравнения

Так как Как решаются квадратные уравнениято

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида Как решаются квадратные уравнениявавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида Как решаются квадратные уравнения Как решаются квадратные уравнения(для положительных Как решаются квадратные уравненияи получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения Как решаются квадратные уравненияявляются числа Как решаются квадратные уравнения

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни Как решаются квадратные уравнениясумму его корней Как решаются квадратные уравненияпроизведение его корней Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так: Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: Пусть Как решаются квадратные уравнения— корни приведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениядискриминант которого Как решаются квадратные уравненияЕсли Как решаются квадратные уравнениято уравнение имеет два корня:

Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет два одинаковых корня: Как решаются квадратные уравнения

Найдем сумму и произведение корней:

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравненияТеорема доказана.

Если Как решаются квадратные уравненияи Как решаются квадратные уравнения— корни приведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения

Так как Как решаются квадратные уравненияразделим обе части уравнения на Как решаются квадратные уравненияПолучим приведенное квадратное уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Тогда по теореме Виета: Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнения— корни неприведенного квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениято

Как решаются квадратные уравнения

Пример №261

Не решая уравнения Как решаются квадратные уравнениянайдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Как решаются квадратные уравненияОчевидно, что Как решаются квадратные уравненияследовательно, уравнение имеет два корня Как решаются квадратные уравнения

По теореме Виета: Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Если в уравнении Как решаются квадратные уравнениякоэффициент Как решаются квадратные уравненияявляется целым числом, то из равенства Как решаются квадратные уравненияследует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа Как решаются квадратные уравнения

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Пример №263

Один из корней уравнения Как решаются квадратные уравненияравен 3. Найдите коэффициент Как решаются квадратные уравненияи второй корень уравнения.

Решение:

Пусть Как решаются квадратные уравнения— один из корней уравнения Как решаются квадратные уравнения— второй его корень. По теореме Виета: Как решаются квадратные уравненияУчитывая, что Как решаются квадратные уравненияимеем:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Пример №264

Пусть Как решаются квадратные уравнения— корни уравнения Как решаются квадратные уравненияНе решая уравнения, найдите значение выражения:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

По теореме Виета:

Как решаются квадратные уравнения

Тогда: 1) Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа Как решаются квадратные уравнения и Как решаются квадратные уравнения таковы, что Как решаются квадратные уравнения то эти числа являются корнями уравнения Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: По условию Как решаются квадратные уравненияПоэтому уравнение Как решаются квадратные уравненияможно записать так: Как решаются квадратные уравнения

Проверим, является ли число Как решаются квадратные уравнениякорнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной Как решаются квадратные уравнениячисло Как решаются квадратные уравненияПолучим:

Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, Как решаются квадратные уравнения— корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной Как решаются квадратные уравнениячисло Как решаются квадратные уравненияПолучим:

Как решаются квадратные уравнениято есть Как решаются квадратные уравнения— также корень этого уравнения.

Таким образом, Как решаются квадратные уравнениякорни уравнения Как решаются квадратные уравнениячто и требовалось доказать.

Пример №265

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид Как решаются квадратные уравненияПо теореме, обратной теореме Виета:

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, Как решаются квадратные уравнения— искомое уравнение.

Ответ, Как решаются квадратные уравнения

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно Как решаются квадратные уравнениятогда большее равно Как решаются квадратные уравненияПо условию задачи имеем уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

Упростим левую часть уравнения.

Получим: Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравненияПо условию задачи Как решаются квадратные уравненияПоэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе Как решаются квадратные уравнения

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре Как решаются квадратные уравнениярядов, тогда мест в каждом ряду Как решаются квадратные уравненияВсего мест в зале Как решаются квадратные уравнения

Имеем уравнение: Как решаются квадратные уравнения

Перепишем уравнение в виде Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравнения

По смыслу задачи значение Как решаются квадратные уравнениядолжно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Как решаются квадратные уравненияСледовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника Как решаются квадратные уравнениявершин. Из каждой его вершины выходит Как решаются квадратные уравнениядиагонали. Тогда из всех Как решаются квадратные уравненияего вершин выходит Как решаются квадратные уравнениядиагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет Как решаются квадратные уравнения

Получим уравнение: Как решаются квадратные уравнениято есть Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравненияОтрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Как решаются квадратные уравненияВысота Как решаются квадратные уравнения(в м), на которой через Как решаются квадратные уравненияс будет тело, вычисляется по формуле Как решаются квадратные уравненияВ какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: Как решаются квадратные уравнения, следовательно, после упрощения имеем уравнение: Как решаются квадратные уравнениярешив которое, найдем корни: Как решаются квадратные уравнения

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Как решаются квадратные уравненияЧерез час из того же лагеря со скоростью Как решаются квадратные уравненияотправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км? Как решаются квадратные уравнения

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: Как решаются квадратные уравнения(рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Из Как решаются квадратные уравненияпо теореме Пифагора Как решаются квадратные уравнениятогда имеем уравнение: Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравнения

Учитывая, что Как решаются квадратные уравненияполучим Как решаются квадратные уравнения

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения Как решаются квадратные уравненияявляются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида Как решаются квадратные уравненияпеременная, Как решаются квадратные уравнения— числа, причем Как решаются квадратные уравнения

Например, выражение Как решаются квадратные уравненияявляется квадратным трехчленом, у которого Как решаются квадратные уравнения

Пример №271

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнениянужно решить уравнение Как решаются квадратные уравнения

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Решим уравнение Как решаются квадратные уравненияПолучим: Как решаются квадратные уравненияСледовательно, Как решаются квадратные уравнениякорни квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнениякоторый также называют и дискриминантом квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнения

Если Как решаются квадратные уравнениято квадратный трехчлен имеет два различных корня, если Как решаются квадратные уравнениято квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если Как решаются квадратные уравнениято квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если Как решаются квадратные уравнениякорни квадратного трехчлена Как решаются квадратные уравнениято справедливо равенство

Как решаются квадратные уравнения

Доказательство: Если Как решаются квадратные уравнения— корни квадратного уравнения Как решаются квадратные уравнения(по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, Как решаются квадратные уравнениячто и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

2) Квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияне имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияна множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет два одинаковых корня Как решаются квадратные уравненияПоэтому

Как решаются квадратные уравнения

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом Как решаются квадратные уравнениябывает удобно представить его в виде Как решаются квадратные уравнения— некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена Как решаются квадратные уравненияквадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2: Как решаются квадратные уравнения

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел Как решаются квадратные уравненияпреобразуем выражение в скобках, считая, что Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияоткуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть Как решаются квадратные уравненияпоэтому добавим и вычтем Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Пример №276

Дан квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияПри каком значении Как решаются квадратные уравненияон принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Как решаются квадратные уравнения

Выражение Как решаются квадратные уравненияпри любом значении Как решаются квадратные уравненияпринимает не положительное значение, то есть Как решаются квадратные уравненияпричем это выражение равно нулю только при Как решаются квадратные уравненияПоэтому при Как решаются квадратные уравнениязначение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен Как решаются квадратные уравненияпринимает наибольшее значение, равное 16, при Как решаются квадратные уравнения

Ответ. 16 при Как решаются квадратные уравнения

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Как решаются квадратные уравнения

откуда Как решаются квадратные уравнения

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель Как решаются квадратные уравненияза скобки. Получим:

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, уравнение Как решаются квадратные уравненияимеет три корня: Как решаются квадратные уравнения

Биквадратные уравнения

Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравненияназывают биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Как решаются квадратные уравненияТогда Как решаются квадратные уравненияа исходное уравнение принимает вид:

Как решаются квадратные уравнения

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Сделаем замену Как решаются квадратные уравненияполучим уравнение Как решаются квадратные уравнениякорнями которого являются числа Как решаются квадратные уравнения

Вернемся к переменной Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие Как решаются квадратные уравненияодинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Как решаются квадратные уравненияПолучим уравнение Как решаются квадратные уравнениякоторое является квадратным относительно переменной Как решаются квадратные уравненияПерепишем его в виде Как решаются квадратные уравненияоткуда Как решаются квадратные уравнения

Возвращаемся к переменной Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Пример №281

Решите уравнение Как решаются квадратные уравнения

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Как решаются квадратные уравнения

Заметим, что выражения, содержащие переменную Как решаются квадратные уравненияв обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Как решаются квадратные уравненияПолучим уравнение с переменной Как решаются квадратные уравнения

Найдем его корни: Как решаются квадратные уравнения

Вернемся к переменной Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на Как решаются квадратные уравнениябольше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Как решаются квадратные уравненияСистематизируем условие задачи в виде таблицы: Как решаются квадратные уравнения

Так как значение величины Как решаются квадратные уравненияна 1 ч меньше значения величины Как решаются квадратные уравнениято можем составить уравнение:

Как решаются квадратные уравнения

У него два корня: Как решаются квадратные уравненияОтрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Как решаются квадратные уравненияТогда скорость легкового автомобиля: Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Как решаются квадратные уравнения

откуда Как решаются квадратные уравнения

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы: Как решаются квадратные уравнения

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским. »

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Как решаются квадратные уравнения

Обычные дроби

Частное от деления числа Как решаются квадратные уравненияна число Как решаются квадратные уравненияможно записать в виде обычной дроби Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнениячислитель дроби, Как решаются квадратные уравнения— ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Как решаются квадратные уравнения(сократили дробь Как решаются квадратные уравненияна 5);

Как решаются квадратные уравнения(привели дробь Как решаются квадратные уравненияк знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решаются квадратные уравнения

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравненияЧтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Как решаются квадратные уравнения

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Как решаются квадратные уравнения

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Как решаются квадратные уравнения

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

1) Число 3 является корнем уравнения Как решаются квадратные уравнениятак как Как решаются квадратные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

1) Уравнения Как решаются квадратные уравненияравносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида Как решаются квадратные уравнениягде Как решаются квадратные уравнениячисла, Как решаются квадратные уравненияпеременная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Ответ. Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Как решаются квадратные уравнения

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа Как решаются квадратные уравненияс натуральным показателем Как решаются квадратные уравнения называют произведение Как решаются квадратные уравнениямножителей, каждый из которых равен Как решаются квадратные уравненияСтепенью числа Как решаются квадратные уравненияс показателем 1 называют само это число.

Как решаются квадратные уравнения

Свойства степени с натуральным показателем

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Как решаются квадратные уравнения

Одночлен

Например Как решаются квадратные уравнения— одночлены; выражения Как решаются квадратные уравненияНе одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, Как решаются квадратные уравнения— одночлен стандартного вида, а одночлен Как решаются квадратные уравненияне является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Как решаются квадратные уравнения

Умножение одночленов

Как решаются квадратные уравнения

Возведение одночлена в степень

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен Как решаются квадратные уравненияне является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Как решаются квадратные уравнения

Сложение и вычитание многочленов

Как решаются квадратные уравнения

Умножение одночлена на многочлен

Как решаются квадратные уравнения

Умножение многочлена на многочлен

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Формулы сокращенного умножения

Как решаются квадратные уравнения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Использование формул сокращенного умножения

Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную Как решаются квадратные уравненияв этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную Как решаются квадратные уравнениязависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида Как решаются квадратные уравнениянезависимая переменная, Как решаются квадратные уравнения-некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Построим график функции Как решаются квадратные уравнения

Составим таблицу для любых двух значений аргумента: Как решаются квадратные уравнения

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20). Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Как решаются квадратные уравнениясистема уравнений с двумя неизвестными Как решаются квадратные уравнения

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел Как решаются квадратные уравненияявляется решением данной выше системы, поскольку Как решаются квадратные уравнения

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений Как решаются квадратные уравненияКак решаются квадратные уравнения

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений Как решаются квадратные уравнения

Как решаются квадратные уравнения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *